4.1.1 n次方根与分数指数幂-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 4.1.1　n次方根与分数指数幂 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对有理数指数幂a(a＞0，且a≠1，m，n为整数，且n＞0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握指数幂的运算性质． 教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系． 教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.与()n的区别与联系． 核心素养：1.通过n次方根和n次根式的概念的形成过程，发展数学抽象素养.2.通过正确运用根式的运算性质化简、求值，发展数学运算素养． 知识点一　根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号表示； ②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成± (a>0)； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二　根式的性质 当n>1，且n∈N＋时， (1)根据n次方根的意义，可得()n＝a． (2)当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝． [点拨]　 与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制． (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0；当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R.只要()n有意义，其结果恒等于a. 知识点三　分数指数幂的意义 (1)a＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)， a－＝＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)． (2)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． [想一想]　分数指数幂中，为什么规定a>0? 提示：当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a－无意义．因此规定a>0就省去了不必要的讨论，便于学习和应用． [点拨]　(1)分数指数幂a不可理解为个a相乘． (2)把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数． 知识点四　有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． [拓展]　(1)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． (2)＝(a>0，b>0，r∈Q)． 1．(根式的概念)若a为实数，则下列式子可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. 答案：D 2．(根式的化简求值)当a<0时，a＋＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 3．(根式与分数指数幂的互化)(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－＝(－x) B.＝y(y>0) C．x－＝(x>0) D．[]＝x(x<0) 答案：BC 4．(有理数指数幂的运算)计算：－(1－0.5－2)÷＝________． 答案： 题型一　n次方根与根式 角度 根式的概念 　(1)64的立方根是________． [解析]　64的立方根是4. [答案]　4 (2)已知x6＝2024，则x＝________． [解析]　因为x6＝2024，所以x＝±. [答案]　± (3)若有意义，则实数x的取值范围为________． [解析]　要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3，所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [答案]　[－3，＋∞) 【感悟提升】n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 【跟踪训练】 1．(1)已知a∈R，n∈N＋，给出下列四个式子： ①；②；③；④. 其中无意义的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 答案：A 解析：①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5，所以有意义；③中(－5)2n＋1<0，所以无意义；④中根指数为9，所以有意义．故选A. (2)①16的平方根是________，－27的5次方根是________； ②已知x3＝6，则x＝________． 答案：①±4　－　②　 解析：①因为(±4)2＝16，所以16的平方根为±4.－27的5次方根为＝－. ②因为x3＝6，所以x＝. (3)若有意义，求实数x的取值范围． 解：要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2， 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． 角度 根式的化简与求值 　化简下列各式： (1)＋()5； (2)＋()6； (3). [解]　(1)原式＝(－3)＋(－2)＝－5. (2)原式＝|－3|＋2＝3＋2＝5. (3)原式＝|a－3|＝ 【感悟提升】根式化简与求值的注意点 (1)分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简与求值． (2)在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围． (3)运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用． (4)注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练】 2．(1)求下列各式的值： ①；②； ③()5；④. 解：①＝－2. ②＝|－9|＝9. ③()5＝2. ④＝＝|x＋y| ＝ (2)若＝3a－1，求实数a的取值范围． 解：∵＝＝|3a－1|， 由|3a－1|＝3a－1，可知3a－1≥0， ∴a≥.故实数a的取值范围为. 题型二　根式与分数指数幂的互化 　用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)： (1)·；(2)； (3)·；(4)()2·. [解]　(1)原式＝a·a＝a. (2)原式＝a·a·a＝a. (3)原式＝a·a＝a. (4)原式＝(a)2·a·b＝ab. 【感悟提升】根式与分数指数幂互化的依据 (1)熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a－＝＝，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． 【跟踪训练】 3．(1)用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)： ①x；②x－；③x－y. 解：①x＝. ②x－＝. ③x－y＝. (2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式： ①·(a<0)；②(b<0)； ③(x≠0)． 解：①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a) ＝－(－a)(a<0)． ②原式＝(－b)×＝(－b)(b<0)． ③原式＝＝＝x－. 题型三　有理数指数幂的运算 　计算下列各式： (1)＋2－2×－0.010.5； (2)－＋＋[(0.064)－2.5] －π0； (3)·(a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝－＋＋－1＝－＋＋－1＝3. (3)原式＝·a·a－·b－·b＝a0b0＝. 【感悟提升】指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 【跟踪训练】 4．计算下列各式(式子中字母都是正数)： (1)0.027＋－； (2)(－2ab－)·(－ab－)6÷(－2ab－)2. 解：(1)原式＝＋－＝＋－＝. (2)原式＝÷(4ab－) ＝－··＝－. 1．已知m10＝2，则m＝(　　) A. B．－ C. D．± 答案：D 解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数，∴m＝±. 2．若n<m<0，则－＝(　　) A．2m B．2n C．－2m D．－2n 答案：C 解析：原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，因为n<m<0，所以m＋n<0，m－n>0，所以原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m. 3．(多选)(2024·湖北荆州中学高一上月考)下列各式中一定成立的是(　　) A.＝n7m B.＝ C.＝(x＋y)(x>0，y>0) D.＝ 答案：BD 解析：＝n7m－7，A错误；＝3＝，B正确；＝(x3＋y3)(x>0，y>0)，C错误；＝(9)＝(9)＝，D正确．故选BD. 4．当x<2时，＋()3＝________． 答案：2－ 解析：因为x<2，所以原式＝|x－2|＋x－＝2－. 5．(2024·广东汕头澄海中学高一上检测)计算：＋(－9.6)0－×＝________． 答案： 解析：＋(－9.6)0－×＝＋1－×＝＋1－1＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 根式与分数指数幂的互化 根式的化简 根式与分数指数幂的互化 根式的化简 根式的概念及性质 有理数指数幂的运算 根式求值 根式的化简 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 根式与分数指数幂的互化 有理数指数幂的计算或化简 有理数指数幂的运算 有理数指数幂的运算及应用 根式的概念及性质 根式的化简及应用 利用根式的性质进行化简 1．已知a>0，则a－＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：a－＝＝. 2．化简(m<0)为(　　) A．m B．m C．－m D．－m 答案：D 解析：∵m<0，∴＝＝－m. 3．(2024·湖南永州一中高一上月考)将()－(x>0)化成分数指数幂为(　　) A．x B.x－ C．x－ D.x 答案：A 解析：()－＝＝＝x.故选A. 4．当有意义时，化简－的结果是(　　) A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 答案：C 解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，－＝－＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.故选C. 5．(多选)下列各式正确的是(　　) A.＝ B.＝0 C.＝a2(n>1，n∈N＋) D．()n＝a(n>1，n∈N＋) 答案：CD 解析：因为<0，>0，所以≠，故A不正确；因为＝π－3.14≠0，故B不正确；因为n>1，n∈N＋时，2n为偶数，所以＝a2，故C正确；因为()n＝a(n>1，n∈N＋)，故D正确．故选CD. 6．(多选)下列各式运算正确的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 答案：ABD 解析：对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，[－(a3)2·(－b2)3]3＝[－a6·(－b6)]3＝(a6b6)3＝a18b18，故D正确．故选ABD. 7.的值为________． 答案：－ 解析：＝＝－. 8．已知＋1＝a，化简()2＋＋＝________． 答案：a－1 解析：由已知＋1＝a，即|a－1|＝a－1，得a≥1.所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1. 9．将下列根式化为分数指数幂的形式． (1)(a>0)；(2) (b>0)． 解：(1)原式＝＝＝＝a. (2)原式＝＝＝b. 10．(2024·广东广州六中高一上月考)计算或化简下列各式： (1)(×)6＋()－4×－×80.25＋(－2024)0； (2) (a>0，b>0)． 解：(1)原式＝(2×3)6＋(2×2)－4×－2×(23)＋1＝22×33＋2－7－2＋1＝102. (2)原式＝＝·＝. 11．(多选)(2024·江苏无锡一中高一上月考)以下化简结果正确的是(字母均为正数)(　　) A．a·a·a＝1 B．(a6·b－9)－＝a－4b6 C. ＝－ac D．(－2xy－)(3x－y)(－4xy)＝24y 答案：BD 解析：a·a·a＝a＋＋＝a5，A错误；(a6·b－9)－＝＝a－4b6，B正确；＝·c－－＝－ac－2，C错误；(－2xy－)·(3x－y)(－4xy)＝24x－＋·y－＋＋＝24y，D正确．故选BD. 12．(多选)(2024·河北辛集中学高一上质检)已知a>0，若0≤r≤8，r∈N，则将式子()8－r·化为关于a的整数指数幂的可能结果为(　　) A．a4 B．a2 C．a D．a－2 答案：ACD 解析：()8－r·＝a·a－＝，要使4－∈Z，则r为4的倍数．又r∈N，且0≤r≤8，因此r＝0，4，8.故所有可能的化简结果为a4，a，a－2.故选ACD. 13．使等式＝(5－x)成立的x的取值范围是________． 答案：[－5，5] 解析：要使＝＝|x－5|＝(5－x)，则所以－5≤x≤5. 14．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值． 解：y＝＋＝|2x＋1|＋|2x－3|＝ 其图象如图所示． 由图易知函数的最小值为4. 15．已知a<b<0，n>1，n∈N＋，化简＋. 解：∵a<b<0，∴a－b<0，a＋b<0. 当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a； 当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a. ∴＋＝ 13 学科网（北京）股份有限公司 $$