2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　一元二次不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题． 教学重点：1.分式不等式的求解.2.与一元二次不等式有关的恒成立问题.3.利用一元二次不等式求解实际问题． 教学难点：能够从实际生活中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． 核心素养：1.通过学习分式不等式的求解，解决一元二次不等式恒成立问题，提升数学抽象素养.2.通过利用一元二次不等式求解实际问题，提升数学建模素养． 知识点一　简单的分式不等式的解法 [想一想]　>0的解集等价于的解集吗？ 提示：不等价，>0的解集等价于与的解集的并集． 知识点二　一元二次不等式恒成立问题 (1)在R上的恒成立问题 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔； ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔； ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔； ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔． (2)在给定范围内的恒成立问题 ①当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. [想一想]　一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件是什么？ 提示： 1．(简单分式不等式的解法)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝________． 答案：{x|0<x≤1} 2．(不等式恒成立问题)已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为________． 答案： 3．(一元二次不等式的实际应用)若产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，假设该产品能够全部售出，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台． 答案：150 题型一　简单分式不等式的解法 　解下列不等式： (1)≥0；(2)>1. [解]　(1)原不等式等价于 即 解得－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}． (2)原不等式可化为－1>0，即<0，等价于(3x－2)(4x－3)<0，∴<x<. ∴原不等式的解集为. 【感悟提升】简单分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，再用上述方法求解． 【跟踪训练】 1．解下列不等式： (1)<0；(2)≤2. 解：(1)由<0，得>0， 此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0， ∴x<－2或x>1， ∴原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}． (2)不等式移项得－2≤0， 化简得≤0，即≥0， ∴ ∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2，或x≥5}． 题型二　不等式恒成立问题 　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解]　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则⇒－4<m<0. ∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}． (2)y<－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝＋>0， ∴m<. ∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为，∴只需m<即可． ∴m的取值范围为. 【感悟提升】解决一元二次不等式恒成立问题的策略 (1)对二次项系数是否为零进行讨论． (2)搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． (3)将一元二次不等式、判别式与图象相结合． (4)分离参数，将问题转化为函数的最值问题． 【跟踪训练】 2．(1)已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对任意的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 解：当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立； 当m≠0时，由二次函数的图象可知有 解得m<1－， 故m的取值范围是{m|m<1－}． (2)若不等式x2＋mx>4x＋m－3对满足1≤m≤4的所有数m恒成立，求实数x的取值范围． 解：不等式x2＋mx>4x＋m－3⇔(x－1)m＋x2－4x＋3>0.设y＝(x－1)m＋x2－4x＋3，其中m为自变量，x为参数，即y是关于m的函数． ①当x＝1时，y恒等于0，即y>0不成立， 即x2＋mx>4x＋m－3不成立． ②当x≠1时， 易得 ⇔⇔ 解得x<－1或x>2. 综上所述，实数x的取值范围是{x|x<－1，或x>2}． 题型三　一元二次不等式的实际应用 　某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(单位：件)与单价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件这种风衣所需成本为c＝500＋30x元，假设所生产的这种风衣能够全部售出，问：该厂日产量多大时，可使日获利不少于1300元？ [解]　设该厂日产量为x件时，日获利为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500， 由题意可得－2x2＋130x－500≥1300， 解得20≤x≤45. 故该厂日产量x满足20≤x≤45时，可使日获利不少于1300元． 【感悟提升】解不等式应用题的步骤 (1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)求：解不等式； (4)答：回答实际问题． 提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【跟踪训练】 3．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解：设税率调低后税收总收入为y元， 则y＝2400m(1＋2x%)(8－x)% ＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)． 依题意，得y≥2400m×8%×78%， 即－m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%， 整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 根据x的实际意义知0<x≤8， 所以x的取值范围为{x|0<x≤2}． 1．不等式≤0的解集是(　　) A．{x|x<－1，或－1<x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1，或x≥2} D．{x|－1<x≤2} 答案：D 解析：此不等式等价于∴－1<x≤2. 2．(2024·重庆八中高一上月考)若不等式ax2＋(a－1)x＋a>0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B．{a|a>1} C. D. 答案：C 解析：当a＝0时，0＋(0－1)×x＋0>0，∴x<0，不符合题意，舍去；当a≠0时，由题意得a>0，且Δ＝(a－1)2－4a2<0，解得a>.综上，实数a的取值范围是. 3．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为(　　) A．{x|45≤x≤100} B．{x|75≤x≤120} C．{x|60≤x≤100} D．{x|80≤x≤120} 答案：C 解析：因为汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，所以＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为－20.依题意得－20≤9，解得x<0或45≤x≤100.因为60≤x≤120，所以60≤x≤100. 4．(2024·安徽阜阳高一上期末联考)已知命题p：∃x∈R，x2＋2mx＋3≤0，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值：________． 答案：－1(答案不唯一) 解析：由命题p：∃x∈R，x2＋2mx＋3≤0为假命题，则x2＋2mx＋3>0恒成立，得Δ＝4m2－4×3<0，解得－<m<，所以整数m的值可以为－1，0，1(答案不唯一)． 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围为________． 答案：{x|10≤x≤30} 解析：设矩形的另一边长为y，由相似三角形的性质，得＝，整理，得y＋x＝40.又x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，将y＝40－x代入xy≥300，整理，得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30，即边长x的取值范围为{x|10≤x≤30}． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 简单分式不等式的求解 分式不等式的求解 一元二次不等式的实际应用 已知分式不等式的解集求参数 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式与集合问题相结合 一元二次不等式能成立问题 一元二次不等式的实际应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ 对点 一元二次不等式恒成立问题；含参数的一元二次不等式的求解 一元二次不等式的实际应用 含参数的分式不等式的求解 三个“二次”之间的关系；简单分式不等式的求解 一元二次不等式组有解问题 可转化为一元二次不等式的双变量不等式恒成立问题 换元法求二次函数的最值；一元二次不等式的实际应用 1．不等式≥1的解集是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为解得≤x<2，则原不等式的解集为.故选B. 2．不等式<2的解集为(　　) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2，或x>2} 答案：A 解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴原不等式的解集为{x|x≠－2}． 3．(2024·河南TOP二十名校高一下2月调研)河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10，x∈Z)，则被租出的客房会减少15x套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为(　　) A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 答案：C 解析：依题意，每天有(500－15x)间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500－15x)(200＋10x)＝－150x2＋2000x＋100000.因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以－150x2＋2000x＋100000>106600，即3x2－40x＋132<0，解得6<x<.因为1≤x≤10且x∈Z，所以x＝7，即该连锁酒店每间客房每天的定价应为270元．故选C. 4．(2024·山东潍坊(安丘市、诸城市、高密市)高一上期中)关于x的不等式≤1的解集为，则实数a的值为(　　) A．－6 B．－ C. D．4 答案：D 解析：≤1⇔≤0⇔(2x＋a＋1)(x－1)≤0且x≠1.由题意得－＝－，解得a＝4.故选D. 5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<－2} 答案：C 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立；当a≠2时，则即解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}．故选C. 6．(多选)(2024·广东广州六中高一上阶段考试)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则下列命题中正确的是(　　) A．若A＝B，则a＝－3 B．若A⊆B，则a＝－3 C．若B＝∅，则a≤－6，或a≥6 D．若a＝3，则A∩B＝{x|－3<x<6} 答案：ABC 解析：由已知得，A＝{x|－3<x<6}，令y＝x2＋ax＋a2－27.若A＝B，即－3，6是方程x2＋ax＋a2－27＝0的两个根，则得a＝－3，A正确；若A⊆B，则解得a＝－3，B正确；当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，C正确；当a＝3时，B＝{x∈R|x2＋3x－18<0}＝{x|－6<x<3}，所以A∩B＝{x|－3<x<3}，D错误．故选ABC. 7．(2024·广东湛江高一上阶段考试)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|－1≤a≤4} 解析：因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． 8．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________． 答案：{t|3≤t≤5} 解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400(20－t)×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5. 9．(2024·江苏清江中学高一上段考)已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0. 解：∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立， ∴当a＝0时，1≥0，不等式恒成立； 当a≠0时，则解得0<a≤1. 综上，0≤a≤1. 由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0. ∵0≤a≤1， ∴①当1－a>a，即0≤a<时，不等式的解集为a<x<1－a； ②当1－a＝a，即a＝时，不等式为<0，不等式的解集为∅； ③当1－a<a，即<a≤1时，不等式的解集为1－a<x<a. 综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a<x<1－a}；当a＝时，原不等式的解集为∅；当<a≤1时，原不等式的解集为{x|1－a<x<a}． 10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0<x<1)． 整理，得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1)． (2)要使本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有 即 所以0<x<， 所以投入成本增加的比例x应在0<x<范围内． 11．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集是(　　) A．{x|x<－1，或x>2} B．{x|－1<x<2} C．{x|1<x<2} D．{x|x>2} 答案：A 解析：依题意，a>0且－＝1.所以>0⇔(ax－b)·(x－2)>0⇔(x－2)>0，即(x＋1)(x－2)>0⇒x<－1或x>2. 12．(2024·江西南昌一中高一上期中)已知关于x的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0的解集为{x|x1<x<x2}，且实数x1，x2满足＋<2，则实数m的取值范围是________________． 答案： 解析：由题意可知，x1，x2为一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的两个不同的根，故Δ＝[－(m＋1)]2－4(2m－1)>0，解得m<1或m>5，又x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1，从而＋＝＝<2，解分式不等式可得，m<或m>1，又因为m<1或m>5，所以实数m的取值范围为. 13．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则实数k的取值范围为____________________． 答案：{k|－10≤k<－8，或4<k≤6} 解析：解不等式x2－2x－3>0，得x>3，或x<－1，解方程2x2＋(k＋2)x＋k＝0，得x1＝－1，x2＝－.①当k<2，即－>－1时，不等式2x2＋(k＋2)x＋k<0的解集为，此时不等式组的解集为或∅，若不等式组的解集中仅有一个整数，则4<－≤5，即－10≤k<－8；②当k>2，即－<－1时，不等式2x2＋(k＋2)x＋k<0的解集为，此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则－3≤－<－2，即4<k≤6.综上可知，实数k的取值范围为{k|－10≤k<－8，或4<k≤6}． 14．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围是________ __________． 答案：{λ|－8≤λ≤4} 解析：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，因为y2≥0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 15．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24)． (1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少？ (2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？ 解：(1)设x h后蓄水池中的存水量为y t， 则y＝400＋60x－120(0≤x≤24)， 设＝u，则u2＝6x(0≤u≤12)， 所以y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40. 因为0≤u≤12，故当u＝6， 即x＝6时，ymin＝40. 即从供水开始到第6 h时，蓄水池中的存水量最少，为40 t. (2)依题意，得400＋10u2－120u＜80， 即u2－12u＋32＜0， 解得4＜u＜8，所以16＜u2＜64. 又u2＝6x，所以16＜6x＜64， 所以＜x＜. 又－＝8，所以每天有8 h出现供水紧张现象． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$