2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　基本不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.能用基本不等式来进行简单的证明.2.能用基本不等式解决实际问题中的最值问题． 教学重点：1.不等式的证明过程中式子的变形、转化.2.把实际问题抽象为数学中关于函数的最值问题． 教学难点：理解和识别实际问题中的数量关系，判断能否转化为基本不等式的数学模型． 核心素养：借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 知识点一　利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆、并、配等变形，使之达到能使用基本不等式的形式． 知识点二　利用基本不等式解决实际问题的一般步骤 (1)读懂题意，设出变量，列出函数关系式； (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案． 1．(利用基本不等式求参数)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 答案：B 2．(基本不等式在实际问题中的应用)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________． 答案：20 题型一　利用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3. [证明]　＋＋ ＝＋＋＋＋＋－3 ＝＋＋－3. ∵a，b，c都是正数， ∴＋≥2＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴＋＋＞6， ∴＋＋＞3. 【感悟提升】利用基本不等式证明不等式的策略 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤；≥(a>0，b>0)可变形为ab≤等．同时要从整体上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件． (3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式． 【跟踪训练】 1．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10. 证明：＋＋ ＝＋＋ ＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号， ∴＋＋≥10. 题型二　基本不等式在实际问题中的应用 　(2024·福建泉州晋江市磁灶中学高一上第一次阶段考试)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． [解]　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知ax＝360，得a＝， ∴y＝225x＋－360. ∵x>0， ∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440， 当且仅当225x＝时，等号成立， 即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【感悟提升】利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢． 【跟踪训练】 2．(2024·湖北孝感高级中学高一上质检)某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为 L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机的工资为每小时76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资) 解：设总费用为y元． 由题意，得y＝76.4×＋7.2××＝＋2x(40≤x≤100)． 因为y＝＋2x≥2＝280， 当且仅当＝2x，即x＝70时取等号，所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h. 题型三　基本不等式的综合问题 　若不等式9x＋≥a＋1(常数a>0)对一切正实数x恒成立，求a的取值范围． [解]　常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x恒成立，则a＋1≤，又9x＋≥6a，当且仅当9x＝，即x＝时，等号成立．故必有6a≥a＋1，解得a≥.所以a的取值范围为. 【感悟提升】利用基本不等式求参数的策略 (1)观察题目特点，由基本不等式确定相关成立条件． (2)分离参数，转化为求代数式的值或取值范围． ①a≤y恒成立⇔a≤ymin； ②a≥y恒成立⇔a≥ymax. (3)注意等号的取舍． 【跟踪训练】 3．(2024·河南郑州第二高级中学高一上月考)若不等式x＋2≤a(x＋y)对一切正实数x，y恒成立，则实数a的最小值为________． 答案：2 解析：因为x>0，y>0，则x＋2≤a(x＋y)⇔a≥，而＝≤＝＝2，当且仅当x＝2y时取“＝”，则a≥2，所以实数a的最小值为2. 1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 答案：B 解析：设每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，由题意得y＝＋≥2＝20，当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．故选B. 2．(2024·湖南长沙雨花区高一上期末)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半．已知△ABC的周长为12，c＝4，则此三角形的面积最大时，∠A＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C 解析：由题可知a＋b＝8，c＝4，可得p＝(a＋b＋c)＝6，则S＝＝≤×＝4，当且仅当a＝b＝4时取等号，所以此时三角形为等边三角形，故∠A＝60°.故选C. 3.(多选)如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中正确的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 答案：ABD 解析：由题意，知a>0，b>0，(a＋b)2表示正方形ABCD的面积，4ab表示4个长方形的面积之和，(a－b)2表示正方形A1B1C1D1的面积，所以(a＋b)2≥4ab，(a＋b)2>(a－b)2，故A，D正确；当a＝b时，4个长方形为4个正方形，此时A1，B1，C1，D1四点重合，B正确；C显然错误．故选ABD. 4．(2024·山东日照实验高级中学高一上第一次月考)设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值为________． 答案：－4 解析：由a>0，b>0，且＋＋≥0，得k≥(a＋b)·＝－，又－≤－＝－4，当且仅当a＝b时取等号，故－的最大值为－4，故k≥－4，所以实数k的最小值为－4. 5.如图所示，在半径为4 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________ cm2，此时AB＝________ cm. 答案：16　4 解析：如图所示，连接OC，设OB＝x(0<x<4)，则BC＝＝，AB＝2OB＝2x，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝2时，等号成立．此时AB＝2x＝4. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 基本不等式在实际问题中的应用——增长率问题 基本不等式在实际问题中的应用——容积最大问题 基本不等式中的恒成立问题——配凑法 基本不等式在实际问题中的应用——直接法 基本不等式与 方程组结合 基本不等式在实际问题中的应用——速度问题 基本不等式在实际问题中的应用——利润最大问题 基本不等式中的恒成立问题——常数代换法 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★ ★★★ 对点 构造多个基本不等式证明不等式 基本不等式在实际问题中的应用——面积最小问题 基本不等式在数学文化中的应用 利用基本不等式判断不等关系——直接法 基本不等式中的恒成立问题——配凑法 利用基本不等式证明不等式 基本不等式在实际问题中的应用——成本最低问题 1．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 答案：B 解析：由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤(当且仅当a＝b时，等号成立)，所以1＋x≤1＋，故x≤. 2．(2024·湖北宜昌一中高一上质量检测)设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是(　　) A．(38－3) m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 答案：B 解析：设车厢的长为b m，高为a m．由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，∴V＝a··2＝2·.设a＋1＝t>1，则V＝2≤2＝16，当且仅当2t＝，即t＝3时取“＝”，此时a＝2.故选B. 3．(2024·北京师范大学附属中学高一上月考)∀x∈{x|x>1}，不等式2x＋m＋>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m<－8 B．m>－8 C．m<－6 D．m>－6 答案：D 解析：不等式2x＋m＋>0化为2(x－1)＋>－m－2，∵x>1，∴2(x－1)＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈{x|x>1}恒成立，∴－m－2<4，解得m>－6.故选D. 4．(2024·四川省宜宾市期中)高一学生在新的学期里，刚刚搬入新教学楼，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高．已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低．设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案：B 解析：由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋≥4，当且仅当n＝，即n＝2时，不满意度最小，又n∈N＋，分别把n＝2，3代入y＝n＋，易知当n＝3时，y最小，故最适宜的教室应在3楼． 5．已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使＋取得最小值．若y＝，x＝是方程y＝xα的解，则α＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：＋＝(m＋n)＝1＋＋＋16＝17＋＋≥17＋2＝25，当且仅当＝，m＋n＝1，即m＝，n＝时，取等号．即＋取得最小值时，m＝，n＝，所以y＝25，x＝5，即25＝5α.所以α＝2. 6．(多选)若小融从家到学校往返的速度分别为a和b(0<a<b)，其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是(　　) A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 答案：AD 解析：设家和学校两地之间的距离为s，则全程所需的时间为＋，所以v＝＝.因为b>a>0，由基本不等式可得<，所以v＝<＝，另一方面，v＝<＝，又v－a＝－a＝>＝0，所以v>a，所以a<v<.故选AD. 7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大． 答案：5 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，等号成立，此时年平均利润最大． 8．(2024·江西南昌一中高一上月考)已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为________． 答案：6 解析：由已知，可得6＝1，所以2a＋b＝6(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，所以9m≤54，即m≤6. 9．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，＋≥2＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等号不能同时取到， ∴＋＋＞a＋b＋c. 10.如图所示，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN.要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．若设DN＝x，则DN为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 解：因为DC∥AM，所以＝， 所以＝，所以AM＝(x>0)， 则矩形花坛AMPN的面积y＝AM·AN＝＝3≥3＝24，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以当DN＝2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米． 11．(2024·上海黄浦区高一上期中)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则x＝.若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为(注：1里＝300步)(　　) A．2里 B．4里 C．6里 D．8里 答案：D 解析：因为1里＝300步，则由图知EB＝1200步＝4里，GA＝750步＝2.5里．由题意，得GA＝，则EF·GF＝EB·GA＝4×2.5＝10，所以该小城的周长为4(EF＋GF)≥8＝8，当且仅当EF＝GF＝时等号成立．故选D. 12．(多选)(2024·福建南平市高一上期末)已知a>0，b>0，a2＋b2－ab＝2，则下列不等式恒成立的是(　　) A.＋≤ B．ab≤2 C．a＋b≤2 D．a2＋b2≥4 答案：BC 解析：对于A，B，由a>0，b>0，利用不等式a2＋b2≥2ab，可得ab＋2≥2ab，解得ab≤2，又＋≥(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，而ab≤2，所以≥，所以＋≥，故B正确，A错误；对于C，由a>0，b>0，利用不等式ab≤，变形a2＋b2－ab＝2得(a＋b)2－2＝3ab≤(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，解得(a＋b)2≤8，即a＋b≤2，故C正确；对于D，由a>0，b>0，利用不等式ab≤，化简a2＋b2－ab＝2，得a2＋b2－2＝ab≤(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，解得a2＋b2≤4，故D错误．故选BC. 13．设a>b>c，且＋≥恒成立，则m的取值范围为________． 答案：{m|m≤4} 解析：由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.因此，原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m的取值范围为{m|m≤4}． 14．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 证明：(1)＋＋＝＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8. (2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴≥9. 证法二：＝1＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 15．中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 解：(1)设甲工程队的总造价为y元， 则y＝3＋7200＝900＋7200(2≤x≤6)，900＋7200≥900×2＋7200＝14400， 当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立， 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为14400元． (2)由题意可得，当2≤x≤6时，900＋7200>恒成立， 即>， ∴a<＝(x＋1)＋＋6， 又x＋1＋＋6≥2＋6＝12， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立． ∴a的取值范围为{a|0<a<12}． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$