2.1 第1课时 不等关系与不等式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第1课时　不等关系与不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质.2.理解不等式的概念． 教学重点：1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两个实数的大小． 教学难点：不等关系的实际应用． 核心素养：通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小，发展数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　不等关系与不等式 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式． [点拨]　不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不少于，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 知识点二　实数大小比较的基本事实 (1)a>b⇔a－b>0． (2)a＝b⇔a－b＝0. (3)a<b⇔a－b<0. [点拨]　要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 知识点三　重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．(用不等式表示不等关系)大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 答案：C 2．(作差法比较大小)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系为________． 答案：m≥n 题型一　用不等式(组)表示不等关系 　(1)(2024·辽宁葫芦岛协作校高一上第一次考试)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A．80＋20n≥300 B.80＋20n≤300 C．80＋20(n－1)≤300 D.80＋20(n－1)≥300 [解析]　∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万，∴80＋20(n－1)≥300.故选D. [答案]　D (2)某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？ [解]　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意： ①截得两种钢管的总长度不超过4000 mm； ②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍； ③截得两种钢管的数量都为自然数． 所以可以用下面的不等式组来表示： 【感悟提升】用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意：列不等式(组)时要正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 【跟踪训练】 1．(1)中国“神舟十八号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为________． 答案：7.9≤v<11.2 解析：“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2. (2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 解：设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆， 则 题型二　作差法比较大小 　设x，y，z∈R，比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2. [解]　(1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝＋≥>0，∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝，且z＝1时取等号． 【感悟提升】 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2．如果两个实数同号，也可采用作商法，比较商与1的大小． 【跟踪训练】 2．(2024·北京第十四中学高一上期中)已知a>0，b>0，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)， ∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 题型三　比较大小在实际问题中的应用 　某单位包车参加活动．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． [解]　设该单位的人数为n(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元． 由题意，得y1＝x＋x(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 所以，当单位的人数为5时，两车队收费相同；大于5时，选甲车队更优惠；小于5时，选乙车队更优惠． 【感悟提升】现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将要解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题． 【跟踪训练】 3．(2024·广东梅州高一上期中)甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲饭馆的老板每次购进100千克大米，而乙饭馆的老板每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？ 解：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a>0，b>0，a≠b)， 则甲饭馆的老板两次购买大米的平均价格(元/千克)是＝， 乙饭馆的老板两次购买大米的平均价格(元/千克)是＝＝. 因为－＝＝>0，所以>. 所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算． 1．实数x大于，用不等式表示为(　　) A．x< B．x≤ C．x> D．x≥ 答案：C 解析：“大于”对应符号“>”．故选C. 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应该满足的不等式为(　　) A．4×2x≥100 B．4×2x≤100 C．4×2x>100 D．4×2x<100 答案：C 解析：当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100. 3．设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P<Q D．P≤Q 答案：A 解析：∵P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q. 4．(2024·山东淄博实验中学高一上月考)已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”“>”或“＝”)． 答案：< 解析：两式作差，得ab－a2－b2＝－－b2<0，所以ab－a2<b2. 5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，用不等式(组)将题中的不等关系表示出来为________． 答案： 解析：据题意可得 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 用不等式表示数学问题中的不等关系 用不等式表示不等关系 用不等式组表示生活中的不等关系 作差法比较大小——因式法 作差法比较大小——配方法 用不等式表示不等关系 用不等式表示数学问题中的不等关系 作差法比较大小——分式型 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 用不等式组表示生活中的不等关系 作差法比较大小——因式法、配方法、分式型 作差法比较大小；重要不等式 用含绝对值的不等式表示生活中的不等关系　 用不等式表示生活中的不等关系 作差法比较大小——配方法 比较大小在实际问题中的应用 1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　) A．a＋b<0 B．a＋b>0 C．a＋b≤0 D．a＋b≥0 答案：C 解析：a与b的和是非正数，即a＋b≤0. 2．下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y” C．变量x不小于a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y≥a” 答案：C 解析：对于A，x应满足x≤2000，故A错误；对于B，x，y应满足x<y，故B错误；对于C，x与a的关系可表示为“x≥a”，故C正确；对于D，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误． 3．某校对高一美术生划定录取分数线，要求专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：“不低于”对应符号“≥”，“高于”对应符号“>”，“超过”对应符号“>”．故选D. 4．(2024·河北顺平县中学高一上阶段测试)已知a1<1，a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 答案：B 解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，∵a1<1，a2<1，∴a1－1<0，a2－1<0，∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N. 5．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q 答案：A 解析：P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，又a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q.故选A. 6．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的是(　　) A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0” B．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c，b＋c>a且a＋c>b” C．若某天的温度为t，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃” D．完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20000元，设木工x人，瓦工y人，则上述问题用数学表达式可表示为400x＋500y≤20000 答案：BCD 解析：对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，所以A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以B正确；对于C，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，所以C正确；对于D，请木工需支付400x元，请瓦工需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元，又工人工资预算不超过20000元，故400x＋500y≤20000，所以D正确．故选BCD. 7．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为________． 答案：2≤d≤2 解析：最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2.故2≤d≤2. 8．(2024·吉林长春外国语学校高一上月考)若x∈R，则与的大小关系为________． 答案：≤ 解析：∵－＝＝≤0，∴≤. 9．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐5 t，硝酸盐14 t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐2 t，硝酸盐13 t，现库存磷酸盐20 t，硝酸盐60 t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式． 解：设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足条件 10．若a∈R，p＝a2－a＋1，q＝，比较p与q的大小． 解：p－q＝a2－a＋1－＝ ＝， 由于＋≥>0，a2＋1>0，a2≥0， 故p－q≥0，即p≥q，当且仅当a＝0时，等号成立． 11．(多选)下列不等式正确的是(　　) A．(x－1)2>x(x－2)(x∈R) B.＋≥ C．a2＋b2≥2(a－b－1) D．a2＋b2≥2ab 答案：ACD 解析：对于A，(x－1)2－x(x－2)＝x2－2x＋1－x2＋2x＝1>0，∴(x－1)2>x(x－2)；对于B，＋－＝，a2b2>0，但a2＋b2－1的符号不能确定，∴B不一定正确；对于C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)；对于D，a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab. 12．某商品的包装上标有质量(500±1)克，若用x表示商品的质量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为________． 答案：|x－500|≤1 解析：∵某商品的包装上标有质量(500±1)克，若用x表示商品的质量，则－1≤x－500≤1，∴|x－500|≤1. 13．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2200 km，写出不等式为____________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________． 答案：8(x＋19)>2200　9<<10 解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2200 km，则8(x＋19)>2200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即9<<10. 14．已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小． 解：∵b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0， ∴b≥c. 由题意得方程组 解得 ∴c－a＝a2－a＋1＝＋>0， ∴c>a，∴b≥c>a. 15．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？ 解：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2， 则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝， t1－t2＝＋－＝s＝·s＝>0， ∴甲用时多． ∴乙先到达教室． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$