1.3 第1课时 并集与交集-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 必修 第一册 RJA 第1课时　并集与交集 (教师独具内容) 课程标准：1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.并集与交集的含义.2.求两个集合的并集与交集． 教学难点：1.正确理解“或”和“且”的含义.2.并集与交集的运算性质及综合应用． 核心素养：1.借助Venn图培养直观想象素养.2.通过并集与交集的运算提升数学运算素养． 知识点一　并集 [点拨]　(1)符号语言“x∈A或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”“x∈B但x∉A”“x∈A且x∈B”，如下图所示： (2)A∪B仍是一个集合．对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． [想一想]　集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和． 知识点二　交集 [点拨]　(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． (2)A∩B仍是一个集合，若两个集合没有公共元素，则二者的交集为∅. 知识点三　并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝A A∩∅＝∅ [拓展]　 1．并集的运算性质 (1)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，A⊆A∪B，B⊆A∪B. (2)A⊆B⇔A∪B＝B；A∪B＝∅⇔A＝B＝∅. 2．交集的运算性质 (1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)A⊆B⇔A∩B＝A；A∩B＝A∪B⇔A＝B. (3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)． 3．集合中元素个数的确定方法 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．(定义法求并集)设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝(　　) A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 答案：D 2．(并集、交集的运算)下列关系：Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．(数形结合法求并集)若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________． 答案：{x|x>－3} 4．(已知交集求参数)设集合A＝{7，a}，B＝{－1}，A∩B＝B，则a＝________． 答案：－1 题型一　并集的概念及简单应用　 　(1)(2024·山东菏泽高一上期中)已知集合A＝{x|x2＝3x}，B＝{－1，1，2，3}，则A∪B＝(　　) A．{3} B.{－1，0，1，2} C．{－1，0，1，2，3} D.{－1，1，2，3} [解析]　∵集合A＝{x|x2＝3x}＝{0，3}，B＝{－1，1，2，3}，∴A∪B＝{－1，0，1，2，3}．故选C. [答案]　C (2)已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B＝(　　) A．{x|2<x<3} B．{x|－1≤x≤5} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5} [解析]　在数轴上表示集合A，B，如图所示．结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}． [答案]　B 【感悟提升】　求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·辽宁六校协作体高一上期中)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 答案：C 解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C. (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5，或x>5}，则M∪N＝________． 答案：{x|x<－5，或x>－3} 解析：结合数轴分析可知，M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}． 题型二　交集的概念及简单应用　 　(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} [解析]　A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．由x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2，所以B＝{－3，2}，阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}． [答案]　A (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} [解析]　在数轴上表示出集合A和B，如图所示．由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}． [答案]　A 【感悟提升】　求集合交集的两种方法 (1)定义法：对于元素个数有限的集合，挑出两个集合的所有公共元素即可． (2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 【跟踪训练】 2．(1)(2024·江苏宜兴中学、泰兴中学、泰州中学高一上联合质量检测)设集合M＝{x|－2<x<6}，N＝{0，2，4，6}，则M∩N的子集个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 答案：D 解析：依题意，M∩N＝{0，2，4}，共3个元素，所以M∩N的子集个数为23＝8.故选D. (2)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　) A．{x|x>－1} B．{x|x<2} C．{x|－1<x<2} D．∅ 答案：C 解析：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x|－1<x<2}． 题型三　已知集合的交集、并集求参数　 　(1)(2024·河北保定定州高一上期中)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值． [解]　∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0， 解得a＝－1或4. 当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去； 当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意． ∴a＝4. (2)已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若A∪B＝B，求实数m的取值范围． [解]　因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以解得－4≤m≤－， 故实数m的取值范围为. [条件探究1]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m≤－9，或m≥1} 解析：因为A∩B＝∅，所以2m＋1≥m＋7或或所以m≥6或m≤－9或1≤m<6.故实数m的取值范围为{m|m≤－9，或m≥1}． [条件探究2]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝B”，求实数m的取值范围． 解：因为A∩B＝B，所以B⊆A. 当B＝∅时，2m＋1≥m＋7， 所以m≥6，满足A∩B＝B； 当B≠∅时，有无解． 故实数m的取值范围是{m|m≥6}． 【感悟提升】　已知集合的运算结果求参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集的范围问题． (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围． 注意：(1)求解后要对结果进行检验，以满足集合中元素的特性，尤其是互异性． (2)对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，要注意考虑空集的情况． 【跟踪训练】 3．(2024·重庆部分重点中学高一下2月月度质量检测)设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2－2x－3＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值； (2)若A∩B≠∅且A∩C＝∅，求实数a的值． 解：(1)由题可得B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 由A∩B＝A∪B，得A＝B. 从而2，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根， 即解得a＝5. (2)因为B＝{2，3}，C＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}． 因为A∩B≠∅，又A∩C＝∅，所以2∈A， 所以4－2a＋a2－19＝0，即a2－2a－15＝0， 解得a＝5或a＝－3. 当a＝5时，A＝{2，3}， 则A∩C≠∅，不符合题意； 当a＝－3时，A＝{－5，2}， 则A∩B＝{2}且A∩C＝∅， 故a＝－3符合题意． 综上，实数a的值为－3. 1．(2024·天津高考)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 答案：B 解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}．故选B. 2.已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{0，1} B．{0} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 答案：D 解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，所以M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故选D. 3．(2024·天津宁河区高一上期末)设集合A＝{0，1，2，5}，B＝{1，3，4}，C＝{x|1≤x≤4}，则(A∩C)∪B＝(　　) A．{1} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 答案：D 解析：A∩C＝{1，2}，∴(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D. 4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 答案：{(3，1)} 解析：由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4，且x－y＝2}＝，解 得故A∩B＝{(3，1)}． 5．(2024·江苏南京一中高一上质量检测)已知集合A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝{x|a－2x≥0}． (1)当a＝6时，A∩B＝________； (2)当A∪B＝R时，实数a的取值范围为________． 答案：(1){x|x<－2}　(2){a|a≥6} 解析：(1)当a＝6时，B＝{x|x≤3}，所以A∩B＝{x|x<－2}． (2)B＝，因为A∪B＝R，所以≥3，解得a≥6. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 Venn图表示集合的交集 并集的概念及简单应用 列举法求集合的并集、交集；元素与集合的关系 已知交集求参数值 并集、交集的运算及应用 求并集、交集；元素与集合的关系 已知交集求参数值 数轴法解决已知交集求参数范围问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 已知交集求参数值及并集 已知交集、并集求参数值 已知交集求并集 Venn图在实际中的应用 交集、并集的运算及应用 利用交集、并集运算求新定义的集合及子集个数 与集合并集有关的新定义问题 1.如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2} C．{x|0≤x≤1，或x≥2} D．{x|0≤x≤1，或x>2} 答案：B 解析：由题图可知，阴影部分表示的集合是A∩B，因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．故选B. 2．点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：由题意得，A∪B是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限． 3．(2024·重庆八中高一上期中)已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，记集合P＝A∪B，Q＝A∩B，则(　　) A．1∈P B．4∉P C．5∈Q D．3∉Q 答案：A 解析：由题意，P＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，Q＝A∩B＝{2，3}，故1∈P，4∈P，5∉Q，3∈Q.故选A. 4．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则(　　) A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3 答案：B 解析：∵A∩B＝{(2，5)}，∴解得故选B. 5．集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C⊆(A∪B)，②C⊇(A∩B)，则满足条件的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：设A＝{a，b}，B＝{b，c}，由①知C⊆{a，b，c}，由②知{b}⊆C，所以C中必有元素b，故集合C的个数为22＝4. 6．(多选)(2024·湖南益阳六校高一上联考)已知集合A＝{x∈Z|x<4}，B⊆N，则下列说法正确的是(　　) A．集合B∪N＝N B．集合A∩B可能是{1，2，3} C．集合A∩B可能是{－1，1} D．0可能属于B 答案：ABD 解析：∵B⊆N，∴B∪N＝N，A正确；∵集合A表示小于4的所有整数的集合，B是自然数集的子集，∴集合A∩B可能是{1，2，3}，B正确；∵－1∉B，∴集合A∩B不可能是{－1，1}，C错误；0可能属于B，D正确．故选ABD. 7．设集合A＝{1，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a可能取的值有________个． 答案：3 解析：由A∩B＝B，知B⊆A，所以a2＝2，a＝±或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以实数a可能取的值为±，0，共3个． 8．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________． 答案：{a|a>－1} 解析：利用数轴分析可知a>－1. 9．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B. 解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}， C＝{－1，7}，且A∩B＝C得7∈A，7∈B且－1∈B， 所以在集合A中， 有x2－x＋1＝7，解得x＝－2或x＝3. 当x＝－2时，在集合B中，有x＋4＝2， 又2∈A，故2∈A∩B，不符合题意，舍去． 当x＝3时，在集合B中，有x＋4＝7. 故有2y＝－1，解得y＝－， 经检验满足A∩B＝C. 综上可知，x＝3，y＝－. 此时，A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}． 故A∪B＝{－4，－1，2，7}． 10．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3，4}，求实数a，b，c的值． 解：由A∩B＝{－3}，得－3∈A. ∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1. ∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3，4}． 又A∪B＝{－3，4}，A≠B，A∩B＝{－3}， ∴B中只有一个元素－3， ∴解得 ∴a＝－1，b＝6，c＝9. 11．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则A∪B＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由A∩B＝，知∈A，∈B，所以⇒所以A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝，B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝，所以A∪B＝.故选A. 12．(2024·重庆乌江新高考协作体高一下开学学业质量联合调研抽测)有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其他股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 答案：A 解析：由题意，设只持有A股票的人数为X，则持有A股票还持有其他股票的人数为X－1(图中d＋e＋f部分)，∵只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，∴只持有了B和C股票的人数和为X(图中b＋c部分)．假设只同时持有了B和C股票的人数为a，∴X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是9，8，7，6，5，4，3，2，1，与之对应的a值为2，5，8，11，14，17，20，23，26，∵没持有A股票的股民中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，∴a＋b＝2(a＋c)，即X－a＝3c，∴X＝8，a＝5时满足题意，此时c＝1，b＝7，∴只持有B股票的股民人数是7.故选A. 13．(多选)(2024·辽宁沈阳二中高一上月考)已知集合A＝{x|(x－2)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－3)＝0}，记card(A)表示有限集A中的元素的个数，则下列说法正确的是(　　) A．若card(A)＝2，则card(A∪B)＝4 B．若card(A)＝1，则card(A∪B)＝3 C．若card(A∪B)＝3，则A∩B＝∅ D．若card(A∪B)＝4，则A∩B＝∅ 答案：BD 解析：集合A＝{x|(x－2)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1，3}，对于A，若card(A)＝2，则card(A∪B)的可能取值为3或4，故A错误；对于B，若card(A)＝1，则A＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以card(A∪B)＝3，故B正确；对于C，若card(A∪B)＝3，则A∩B可能为∅，{1}，{3}，故C错误；对于D，若card(A∪B)＝4，则A＝{2，a}，且a的值不是1和3，所以A∩B＝∅，故D正确．故选BD. 14．设集合A＝{－1，0}，B＝{x∈N|0≤x<a}，若B中恰有2个元素，且定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B的子集个数是________． 答案：8 解析：因为集合B＝{x∈N|0≤x<a}且B中恰有2个元素，则1<a≤2，所以B＝{0，1}．又A＝{－1，0}，所以A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0，1}．又A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，所以A*B＝{(0，－1)，(0，0)，(0，1)}，所以A*B的子集有23＝8个． 15．集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a，b，c}的不同分拆种数为多少？ 解：当A1＝∅时，A2＝A，此时只有1种分拆； 当A1为单元素集时，如A1＝{a}，A2＝{b，c}或{a，b，c}，此时A1有3种情况，故有6种分拆； 当A1为双元素集时，如A1＝{a，b}，A2＝{c}或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}，此时A1有3种情况，故有12种分拆； 当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故有8种分拆． 综上，共27种分拆． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$