5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第五章　三角函数 5. 6　函数y＝Asin(ωx＋φ) 5.6.1　匀速圆周运动的数学模型 5.6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (教师独具内容) 课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数变化对函数图象的影响． 教学重点：1.能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象． 教学难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的综合变换． 核心素养：通过函数图象的变换，培养直观想象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 左 右 知识点一　参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 核心概念掌握 5 缩短 伸长 (2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 核心概念掌握 6 伸长 缩短 (3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 核心概念掌握 7 知识点二　由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种主要途径：“_______________”与“_______________”． 先平移后伸缩 先伸缩后平移 y＝sin(ωx＋φ) 核心概念掌握 8 y＝sin(ωx＋φ) 核心概念掌握 9 答案 核心概念掌握 10 答案 核心概念掌握 11 答案 y＝cos4x 核心概念掌握 12 核心素养形成 题型一　三角函数图象的平移变换 解析　将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到y＝sin(x－π)＝－sinx的图象．故选B. (1)将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝sinx B．y＝－sinx C．y＝cosx D．y＝－cosx 答案 解析 核心素养形成 14 答案 解析 核心素养形成 15 核心素养形成 16 答案 解析 核心素养形成 17 答案 解析 (2)将函数y＝5＋sin2x的图象向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式的最大值为_____，最小值为_____． 解析：将函数y＝5＋sin2x的图象向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝2＋sin2x，故最大值为3，最小值为1. 3 1 核心素养形成 18 题型二　三角函数图象的伸缩变换 答案 解析 核心素养形成 19 答案 解析 y＝sin2x 核心素养形成 20 核心素养形成 21 答案 解析 核心素养形成 22 答案 解析 y＝sinx 核心素养形成 23 题型三　三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 【感悟提升】 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表； 第二步：在同一坐标系中描出各点； 第三步：用光滑的曲线连接这些点，形成图象． 核心素养形成 27 解 核心素养形成 28 解 核心素养形成 29 解 核心素养形成 30 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 答案 解析 伸长 3 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 由三角函数图象伸缩变换求参数值 三角函数图象的平移变换 由三角函数图象平移、伸缩变换判断函数图象 三角函数图象的平移、伸缩变换求函数值 三角函数图象的平移、伸缩变换求参数值 三角恒等变换与三角函数图象平移变换的综合 由三角函数图象的平移变换求函数解析式 三角函数图象平移变换求参数值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 三角函数图象的平移、伸缩变换的途径 “五点法”作图与三角函数图象变换的综合 三角函数图象平移变换中的新定义问题 三角函数图象的平移变换与直线交点问题的综合 辅助角公式；三角函数图象的平移、伸缩变换的途径 由三角函数图象平移、伸缩变换求参数最值 “五点法”作图与三角函数图象变换的综合 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 答案 解析： 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cosx＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象．故选A. 解析 3．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 答案 解析 6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 　　　　　　　　　　　　　 R (1)先平移后伸缩 y＝sinx的图象eq \o(――――――――――→,\s\up17(向左（φ＞0）或向右（φ＜0）),\s\do15(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)的图象 _____________的图象eq \o(――――――――→,\s\up17(纵坐标变为原来的A倍),\s\do15(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)先伸缩后平移 y＝sinx的图象________________的图象eq \o(―――――――――――――――→,\s\up17(向左（φ＞0）或向右（φ＜0）),\s\do15(平移_____个单位长度)) y＝sin(ωx＋φ)的图象eq \o(――――――――――→,\s\up17(纵坐标变为原来的A倍),\s\do15(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图象． [提醒]　(1)两种变换中平移的长度不同，分别是|φ|和eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，但平移方向是一致的． (2)平移的长度是对于自变量“x”而言的． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))) 1．(平移变换求解析式)将函数y＝cosx的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，所得图象的解析式是(　　) A．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) B．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) C．y＝cosx－eq \f(π,6) D．y＝cosx＋eq \f(π,6) 2．(伸缩变换的过程)为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，x∈R的图象，只需将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，x∈R的图象上的所有点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，横坐标不变 3．(伸缩变换求解析式)将函数y＝cosx图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,4)(纵坐标不变)，所得图象的解析式为________． 4．(平移变换求平移长度)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象，则φ＝________． eq \f(11π,6) (2)为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝cos2x的图象(　　) A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 B.向右平移eq \f(π,3)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 D.向左平移eq \f(π,3)个单位长度 解析　函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2x))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))，所以只需将函数y＝cos2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，可得函数y＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))的图象．故选B. 【感悟提升】三角函数图象的平移变换 (1)左右平移 ①观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数； ②观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的方向和长度； ③方向遵循“左加右减”的规律，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位长度． (2)上下平移 平移规律为“上加下减”，即：若将函数y＝sinx的图象沿y轴向上(下)平移k(k>0)个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sinx＋k(y＝sinx－k)． 【跟踪训练】 1．(1)要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的图象(　　) A．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 C．向右平移eq \f(π,2)个单位长度 D．向左平移eq \f(π,2)个单位长度 解析：因为y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度． A．y＝3sin2x B．y＝2sin3x C．y＝3sineq \f(1,2)x D．y＝eq \f(1,3)sineq \f(1,2)x 解析　将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sineq \f(1,2)x的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sineq \f(1,2)x的图象．故选C. (2)将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，所得到的函数图象的解析式为________． 解析　将函数y＝sinx图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，所得到的函数图象的解析式为y＝sin2x. 【感悟提升】三角函数图象的伸缩变换 (1)横向伸缩 已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝sinωx. (2)纵向伸缩 已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到的函数图象的解析式为y＝Asinx. 【跟踪训练】 2．(1)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) B．y＝cos2x C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,8))) 解析：将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到的函数图象的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))). (2)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位长度，所得函数图象的解析式为________． 解析：将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象，再沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)－\f(π,6)))＝sinx的图象． (π,3)INCLUDEPICTURE"例3灰.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\赵娜\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMATINET 　将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标伸长到原来的2倍，再沿x轴向左平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)用“五点法”画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象． 解　(1)将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y＝3sinx＋3的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝3sineq \f(x,2)＋3的图象，最后沿x轴向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋3的图象，即函数y＝f(x)的解析式为y＝f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋3. (2)列表： eq \f(x,2)＋eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(π,3) eq \f(2π,3) eq \f(5π,3) eq \f(8π,3) eq \f(11π,3) y＝f(x) 3 6 3 0 3 描点，画出图象如图． ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(φ,ω) eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(π,ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(2π,ω)－eq \f(φ,ω) f(x) 0 A 0 －A 0 【跟踪训练】 3．作出函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在一个周期内的图象，并说明它与y＝sinx的图象之间的关系． 解：列表： 2x＋eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) 3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 0 3 0 －3 0 描点、画图，如图： 从图可以看出，y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象是用下面方法得到的． 解法一eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x→x＋\f(π,3)→2x＋\f(π,3)))： y＝sinx的图象y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \o(――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\do15(纵坐标伸长到原来的3倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象． 解法二eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x→2x→2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2x＋\f(π,3)))： y＝sinx的图象y＝sin2x的图象y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \o(―――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\do15(纵坐标伸长为原来的3倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象． 1．要得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,8)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,8)个单位长度 解析：由y＝3sin[2(x＋φ)]＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，得2φ＝eq \f(π,4)，φ＝eq \f(π,8).故向左平移eq \f(π,8)个单位长度． 2．将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,20))) 解析：将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))).故选C. 3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图1所示，则图2的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2))) B.y＝f(2x＋1) C．y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,2))) D.y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1)) 解析：观察图象可知，题图2的图象是由题图1的图象向左平移1个单位长度后得y＝f(x＋1)的图象，再把y＝f(x＋1)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)得到的，所以题图2的图象对应的函数解析式为y＝f(2x＋1)．故选B. 4．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))图象上所有点的纵坐标_______(填“伸长”或“缩短”)为原来的_____倍，横坐标保持不变，得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象． 解析：由三角函数图象的伸缩规律可知，将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标保持不变，得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,15)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,30)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,5)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,30)，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,15)，0)) 5．利用“五点法”作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,5)))的图象时，所取的五个点的坐标为 ________________________________________________． 解析：令3x－eq \f(π,5)＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π得x＝eq \f(π,15)，eq \f(7π,30)，eq \f(2π,5)，eq \f(17π,30)，eq \f(11π,15)，故五个点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,15)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,30)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,5)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,30)，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,15)，0)). 1．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为(　　) A．2 B.eq \f(1,2) C．4 D.eq \f(1,4) 解析：由题意可知得到图象的解析式为y＝coseq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2). 2．要得到函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象，可将函数y＝sin2x的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 解析：y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))))，所以要得到函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象，可将函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度． 4．(2024·湖南岳阳高一上期末教学质量监测)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(π,4)))的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(　　) A.eq \f(1,2) B．0 C.eq \f(\r(3),2) D．1 解析：函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(π,4)))的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，再向右平移eq \f(π,8)个单位长度得到图象的解析式为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))＋\f(π,4)))＝sin2x，即f(x)＝sin2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sinπ＝0.故选B. 5．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　) A．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) B．ω＝2，φ＝－eq \f(π,3) C．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝－eq \f(π,3) 解析：将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin2x，再将此函数图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度可得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))的图象，即y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，所以ω＝2，φ＝－eq \f(π,3). 6．(多选)为了得到函数y＝2sin2x的图象，下列变换正确的是(　　) A．将函数y＝(sinx＋cosx)2的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度 B．将函数y＝1－cos2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度 C．将函数y＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度 D．将函数y＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度 解析：将函数y＝(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝1＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故A正确；将函数y＝1－cos2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝1－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝1＋sin2x的图象，故B错误；将函数y＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝1－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝1－coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故C正确，D错误．故选AC. y＝－eq \r(2)cos2x－3 7．将函数y＝eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为__________________． 解析：将y＝eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝ eq \r(2)coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq \r(2)cos(2x＋π)＝－eq \r(2)cos2x的图象，再向下平移3个单位长度得到y＝－eq \r(2)cos2x－3的图象． 8．若将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(0<ω<7)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后恰与f(x)的图象重合，则ω的值是______． 解析：函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(0<ω<7)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，得到g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,3)＋\f(π,6)))的图象恰与f(x)的图象重合，故eq \f(ωπ,3)＝2kπ(k∈Z)，解得ω＝6k(k∈Z)，由于0<ω<7，所以ω＝6. 9．将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象？ 解：解法一(先伸缩法)：①将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度，得到y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象． 解法二(先平移法)：①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象；③将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象． 10．已知f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，画出f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象． 解：∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,4)，\f(3π,4))). 列表如下： 2x－eq \f(π,4) －eq \f(5π,4) －π －eq \f(π,2) 0 eq \f(π,2) eq \f(3π,4) x －eq \f(π,2) －eq \f(3π,8) －eq \f(π,8) eq \f(π,8) eq \f(3π,8) eq \f(π,2) f(x) 1 0 －eq \r(2) 0 eq \r(2) 1 描点、连线，得f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象如图所示． 11．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互为生成”函数，给出下列函数： ①f(x)＝sinx；②f(x)＝sinx－cosx；③f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))；④f(x)＝eq \r(3)sinx－2cos2eq \f(x,2). 其中是“互为生成”函数的是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 解析：∵①f(x)＝sinx；②f(x)＝sinx－cosx＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))；③f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,12)))；④f(x)＝eq \r(3)sinx－2cos2eq \f(x,2)＝eq \r(3)sinx－2×eq \f(1＋cosx,2)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－1，故把③中的函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,12)))的图象向右平移eq \f(3π,4)个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得④中的函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－1的图象，故③④为“互为生成”函数． 12．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数y＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x的图象，所以f(x)＝－sin2x，而直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)显然过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))与(1，0)两点，作出y＝f(x)与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的部分图象如图，所以由图可知，y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为3.故选C. 13．(多选)如果由函数y＝sinx＋eq \r(3)cosx的图象变换得到函数y＝eq \r(3)cos2x－sin2x的图象，那么下列变换正确的是(　　) A．纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 B．纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半 C．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变 D．将横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度 解析：函数y＝sinx＋eq \r(3)cosx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，函数y＝eq \r(3)cos2x－sin2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象，故A错误；将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象，故B错误；将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))的图象，故C正确；将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))的图象，故D正确．故选CD. 14．(2024·重庆南开中学高一上月考)把函数f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，则m的最小值是________． eq \f(17π,24) 解析：把函数f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到g(x)＝2coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（x＋m）－\f(π,4)))＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2m－\f(π,4)))的图象，又g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝2coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))，所以2m－eq \f(π,4)＝－eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，得m＝－eq \f(7π,24)＋kπ，k∈Z，因为m>0，所以当k＝1时，m最小，此时m＝π－eq \f(7π,24)＝eq \f(17π,24). 15．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R. (1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(9π,2)))上的简图； (2)先把f(x)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式． 解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图． eq \f(1,2)x－eq \f(π,4) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(π,2) eq \f(3π,2) eq \f(5π,2) eq \f(7π,2) eq \f(9π,2) f(x) 0 3 0 －3 0 (2)把f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度得到f1(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－\f(π,4)))＝3sineq \f(1,2)x的图象．把f1(x)＝3sineq \f(1,2)x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象．把f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(横坐标不变)得到g(x)＝sineq \f(1,4)x的图象．所以g(x)＝sineq \f(1,4)x. $$