5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质第1课时　周期性与奇偶性 (教师独具内容) 课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性． 教学重点：1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.2.判断简单三角函数的奇偶性． 教学难点：1.函数最小正周期的意义.2.函数周期性与奇偶性的意义． 核心素养：1.通过函数周期性的研究，培养逻辑推理素养.2.借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个____________，使得对每一个x∈D都有_________，且_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数.___________叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的______，那么这个最小______就叫做f(x)的___________． 非零常数T x＋T∈D f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 正数 正数 最小正周期 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 函数 y＝sinx y＝cosx 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 ______ _____ 奇偶性 _______ ________ 2π 2π 奇函数 知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 偶函数 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 答案 核心概念掌握 9 3．(周期函数的判断)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) 4．(周期函数的应用)若函数y＝f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝3，则f(5)＝________． －3 答案 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　函数周期性的判断 核心素养形成 12 解 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 题型二　函数奇偶性的判断 解 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 【感悟提升】判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面 ①函数的定义域是否关于原点对称； ②f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则． 核心素养形成 21 解 解：(1)f(x)＝xsin(π－x)＝xsinx的定义域为R.由于f(－x)＝－xsin(－x)＝－x·(－sinx)＝xsinx＝f(x)，故函数f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域为R， 由已知可得f(x)＝sinxcosx. 因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (3)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1. 从而x＝2kπ，k∈Z.此时f(x)＝0. 故函数f(x)既是奇函数又是偶函数． 核心素养形成 22 题型三　三角函数周期性与奇偶性的综合 答案 解析 核心素养形成 23 【感悟提升】三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值和求解析式的问题． 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 4．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f(x)是偶函数； ③存在φ，使f(x)是奇函数； ④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中说法错误的是________(填序号)． 答案 解析 ①④ 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 答案 解析 6 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 正、余弦型函数周期性与奇偶性的判断 由正弦函数的奇偶性识别函数图象 正、余弦型函数的最小正周期和对称轴的求法 正弦型函数周期性的应用——求参数值 正、余弦函数周期性的应用——求分段函数值 正弦型函数最小正周期、对称轴及对称中心的求法、奇偶性的判断 含绝对值的正弦型函数最小正周期的求法 正弦型函数周期性的应用——求参数值及三角函数值 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 含绝对值的正弦型函数图象的画法及其周期性判断 与正、余弦函数有关的复合函数奇偶性的判断 余弦型复合函数奇偶性的判断 正弦型函数周期性、奇偶性、对称性的综合 正弦型函数奇偶性的应用——求参数值 抽象函数周期的求法及应用 余弦型函数周期性的应用——求参数值 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 2．函数y＝xsinx的部分图象是(　　) 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 答案 解析 2π 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 答案 解析 4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 答案 解析 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 解析 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 　　　　　　　　　　　　　 R [提醒]　(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中的每一个值都成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如f(x)＝C(C为常数，x∈R)是周期函数，但没有最小正周期． (4)自变量x本身加的常数才是函数的周期，如f(2x＋T)＝f(2x)中T不是函数的周期，eq \f(T,2)才是函数的周期，因为f(2x＋T)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))))＝f(2x)． [拓展]　正弦函数、余弦函数的对称性 函数 y＝sinx y＝cosx 对称中心 点(kπ，0)(k∈Z) 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z) 对称轴 直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 直线x＝kπ(k∈Z) 1．(正、余弦函数的周期性)下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是(　　) A．y＝sineq \f(x,4) B．y＝sin2x C．y＝coseq \f(x,2) D．y＝cos4x 2．(正、余弦函数的周期性与奇偶性)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))是(　　) A．T＝2π的奇函数 B．T＝2π的偶函数 C．T＝π的奇函数 D．T＝π的偶函数 (1)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))； (2)y＝|cosx|； (3)y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))； (4)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))). 解　(1)解法一：y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3＋2π)) ＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)（x＋4）＋3))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))， 令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)， ∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))的周期为4. 解法二：ω＝eq \f(π,2)，∴T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4. (2)y＝|cosx|的图象如下图所示． ∴周期T＝π. (3)解法一：y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))). ∵3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)＋2π))＝3coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))－\f(π,6))) ＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))， 令y＝f(x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))＝f(x)， ∴y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))的周期为eq \f(2π,3). 解法二：∵|ω|＝3，∴T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,3). (4)解法一：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)＋2π)) ＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（x＋π）－\f(π,4)))， 令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)， ∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的周期为π. 解法二：∵ω＝2，∴T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π. 【感悟提升】求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝eq \f(2π,|ω|). (3)图象法：画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法． 【跟踪训练】 1．求下列三角函数的周期： (1)y＝4sinx，x∈R； (2)y＝eq \f(1,2)cos2x，x∈R； (3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，x∈R. 解：(1)因为4sinx＝4sin(x＋2π)，由周期函数的定义知，y＝4sinx的周期为2π. (2)因为eq \f(1,2)cos2x＝eq \f(1,2)cos(2x＋2π)＝eq \f(1,2)cos2(x＋π)，由周期函数的定义知，y＝eq \f(1,2)cos2x的周期为π. (3)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x＋6π）－\f(π,4)))，由周期函数的定义知，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4)))的周期为6π. (1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))； (2)f(x)＝lg (1－sinx)－lg (1＋sinx)； (3)f(x)＝eq \f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx). 解　(1)显然x∈R，f(x)＝coseq \f(1,2)x， ∵f(－x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x))＝coseq \f(1,2)x＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－sinx>0，,1＋sinx>0，))得－1<sinx<1， 解得函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称． 又f(x)＝lg (1－sinx)－lg (1＋sinx)， ∴f(－x)＝lg [1－sin(－x)]－lg [1＋sin(－x)] ＝lg (1＋sinx)－lg (1－sinx)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数． 【跟踪训练】 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xsin(π－x)； (2)f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))； (3)f(x)＝eq \r(1－cosx)＋eq \r(cosx－1). \lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·黑龙江绥化市部分学校高一上期末)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析　feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2). 【跟踪训练】 3．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx.求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))时，f(x)的解析式． 解：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))时，3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx， 所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx. 又f(x)是以π为周期的偶函数， 所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， 所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))时，f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx. 1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(3π,2)))的最小正周期是(　　) A．2π B．π C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4) 解析：所求函数的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2). 2．定义在R上的周期函数f(x)的周期为π，且是奇函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,4)))的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析：由已知，得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,4)－3π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－1. 3．(多选)(2024·河北邢台第一中学高一上第四次月考)已知函数f(x)＝sineq \f(x,2)，则以下结论恒成立的是(　　) A．f(－x)＝－f(x) B.f(－x)＝f(x) C．f(2π－x)＝f(x) D.f(π＋x)＝f(π－x) 解析：对于A，B，f(－x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))＝－sineq \f(x,2)＝－f(x)，所以A正确，B错误；对于C，f(2π－x)＝sineq \f(2π－x,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(x,2)))＝sineq \f(x,2)＝f(x)，所以C正确；对于D，因为f(π＋x)＝sineq \f(π＋x,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(x,2)))＝coseq \f(x,2)，f(π－x)＝sineq \f(π－x,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(x,2)))＝coseq \f(x,2)，所以f(π＋x)＝f(π－x)，所以D正确．故选ACD. 解析：当φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数；当φ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝cosx，是偶函数． eq \f(\r(2),2) 5．已知函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期是eq \f(π,3)，则ω的值为________，f(π)＝________． 解析：由eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,3)，得ω＝6.所以f(π)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(π,4)))＝coseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). 1．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是(　　) A．y＝|cos2x| B．y＝sin2x C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) D．y＝coseq \f(1,2)x 解析：对于A，画出图象可知，最小正周期为eq \f(π,2)，故A不符合题意；对于B，y＝sin2x为奇函数，故B不符合题意；对于C，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x为偶函数，最小正周期为π，故C符合题意；对于D，y＝coseq \f(1,2)x的最小正周期为4π，故D不符合题意．故选C. 解析：由f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，得f(x)＝xsinx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x＝eq \f(π,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq \f(π,2)·sineq \f(π,2)＝eq \f(π,2)>0，排除C.故选A. 3．(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x)) B．f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x)) C．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x)) D．f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x)) 解析：f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))，最小正周期为eq \f(2π,\f(π,2))＝4，因为f(2)＝sinπ＝0，所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))，最小正周期为eq \f(2π,\f(π,2))＝4，因为f(2)＝cosπ＝－1，所以函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))的图象关于直线x＝2对称，故B符合题意；函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x))和f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x))的最小正周期均为eq \f(2π,\f(π,4))＝8，均不符合题意，故排除C，D.故选B. 4．(2024·北京高考)设函数f(x)＝sinωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，又ω>0，所以ω＝eq \f(2π,T)＝2.故选B. 5．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(π,2)≤x≤0，,sinx，0<x≤π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))的值为(　　) A．1 B.eq \f(\r(2),2) C．0 D．－eq \f(\r(2),2) 解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)×（－3）＋\f(3π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2). 6．(多选)(2024·河南郑州一中高一上月考)已知函数f(x)＝－sinx(x∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3π,2)对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称 解析：函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＝－sineq \f(3π,2)＝1，故B正确；函数f(x)＝－sinx满足f(－x)＝－sin(－x)＝－(－sinx)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，C错误；因为f(2π)＝－sin2π＝0，故D正确．故选BD. 7．函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))的最小正周期是________． 解析：∵y＝sineq \f(x,2)的最小正周期为T＝4π，而y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))的图象是把y＝sineq \f(x,2)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))的最小正周期为T＝2π. ±eq \f(4,5) 8．设函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，ω>0，x∈R，且以eq \f(π,2)为最小正周期．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝eq \f(9,5)，则ω＝________，sinα＝________． 解析：因为f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，ω>0，所以ω＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)＋\f(π,6)))＝3cosα＝eq \f(9,5)，所以cosα＝eq \f(3,5).所以sinα＝±eq \r(1－cos2α)＝±eq \f(4,5). 9．已知函数y＝eq \f(1,2)sinx＋eq \f(1,2)|sinx|. (1)画出函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，求出其最小正周期． 解：(1)y＝eq \f(1,2)sinx＋eq \f(1,2)|sinx| ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，,0，x∈（2kπ－π，2kπ），k∈Z，))图象如下． (2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π. 10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xcos(π＋x)； (2)f(x)＝lg (sinx＋eq \r(sin2x＋1))． 解：(1)∵x∈R且f(x)＝－xcosx， ∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)∵x∈R且f(－x)＋f(x)＝lg [sin(－x)＋eq \r(sin2（－x）＋1)]＋lg (sinx＋eq \r(sin2x＋1))＝lg (sin2x＋1－sin2x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 11．函数y＝1＋eq \r(lg cosx)在定义域内是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 解析：由lg cosx≥0得cosx≥1，又cosx≤1，所以cosx＝1，即x＝2kπ，k∈Z，从而函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，此时y＝1＋eq \r(lg cosx)＝1，所以该函数是偶函数． 12．(多选)(2024·江苏淮安一中高一上月考)下列关于函数f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)的命题正确的是(　　) A．y＝f(x)的表达式可改写为y＝4coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) B．y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 C．函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))是奇函数 D．y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的图象关于y轴对称 解析：f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝4coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))))＝4coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝4coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，A正确；函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，B错误；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝4sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝4sin2x，是奇函数，C正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝4sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,3)))＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝4cos2x，图象关于y轴对称，D正确．故选ACD. 13．(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________． 解析：因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx为偶函数，定义域为R，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)－eq \f(π,2)a＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)＋eq \f(π,2)a＋coseq \f(π,2)，则πa＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1)) eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1)) eq \s\up12(2)＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. eq \f(1,5) 14．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)(f(x)≠0)．若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为________． 解析：∵f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，∴f(x＋4)＝－eq \f(1,f（x＋2）)＝－eq \f(1,－\f(1,f（x）))＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝ f(－1)＝eq \f(－1,f（－1＋2）)＝eq \f(－1,f（1）)＝eq \f(1,5). 15．已知函数y＝5coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（2k＋1）π,3)x－\f(π,6)))(其中k∈N)，对于任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值eq \f(5,4)出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值． 解：由5coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（2k＋1）π,3)x－\f(π,6)))＝eq \f(5,4)， 得coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（2k＋1）π,3)x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4). ∴为了使长度为3的区间内出现函数值eq \f(1,4)不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且小于4个周期长度． 即2×eq \f(2π,\f(（2k＋1）π,3))≤3且4×eq \f(2π,\f(（2k＋1）π,3))>3， 解得eq \f(3,2)≤k<eq \f(7,2). ∵k∈N，故k的值为2或3. $$