5.3 第2课时 诱导公式五、六-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.3　诱导公式 第2课时　诱导公式五、六 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用． 教学难点：诱导公式五、六的推导过程及公式的灵活应用． 核心素养：1.通过诱导公式求值，提升数学运算素养.2.借助诱导公式进行化简和证明，培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 cosα sinα 知识点　　诱导公式五、六 cosα -sinα 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 1 答案 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　利用诱导公式化简、求值 答案 解析 核心素养形成 9 解 核心素养形成 10 解 核心素养形成 11 解 核心素养形成 12 核心素养形成 13 答案 解析 1 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 题型二　利用诱导公式证明恒等式 证明 核心素养形成 17 【感悟提升】三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 核心素养形成 18 证明 核心素养形成 19 题型三　诱导公式在三角形中的应用 解 核心素养形成 20 核心素养形成 21 答案 核心素养形成 22 解析 核心素养形成 23 题型四　诱导公式的综合应用 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 【感悟提升】诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 核心素养形成 26 核心素养形成 27 解 核心素养形成 28 解 核心素养形成 29 解 核心素养形成 30 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 给值求值——公式六 给值求值——公式四、六；同角三角函数的基本关系 变换角求值——公式一、三、五 给值求值——公式一、二、五、六 弦切互化求值——公式二、四、五、六 同角三角函数的基本关系；公式二、五的应用 三角函数式的化简——公式二、六 给值求值——公式四、五 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 化简求值——公式二、四、六；三角函数的概念 诱导公式的应用——证明三角恒等式 三角函数求值——同角三角函数的基本关系、公式五 三角函数式的化简——公式一、二、四、五 诱导公式的应用——在平面几何图形中的应用 给值求值——公式五、同角三角函数的基本关系 诱导公式的综合应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 解析：原式＝(－sinα)sinα＋cosα(－cosα)＝－sin2α－cos2α＝－1. 答案 解析 －1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 解 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 　　　　　　　　　　　　　 R [点拨]　(1)诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq \f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”． ①“变”与“不变”是指函数名． ②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq \f(π,2)±α中的整数k来讲的． ③“象限”指k·eq \f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq \f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． (2)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式： sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα， sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα. －eq \f(1,3) eq \f(2,3) 1．(诱导公式二、五、六)下列各项与sinθ的值相等的是(　　) A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)) C．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)) D．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)) 2．(诱导公式六)已知sinθ＝eq \f(1,3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝________． 3．(诱导公式一、二、五)若cos(α＋π)＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))＝________． 4．(诱导公式六、同角三角函数基本关系)sin2113°＋sin223°＝________． eq \f(1,3) \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知sin＝eq \f(1,3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝________． 解析　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3). (2)化简：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－1,4)π－α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋1,4)π－α))(k∈Z)． 解　当k为奇数时， 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)－α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)－α)) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝0； 当k为偶数时， 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝0. 综上，原式＝0. [条件探究]　本例(1)中条件变为“已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10π,3)－α))＝eq \f(1,3)”，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值． 解：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10π,3)－α))＝eq \f(1,3)， 得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＝eq \f(1,3). ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(3π,2)， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α)))) ＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－α))＝－eq \f(1,3). 【感悟提升】解决化简、求值问题的策略 (1)遵循诱导公式先行的原则，将三角函数式化简，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)将角看成整体，观察要求的角与已知角的和、差关系，是否具有互余、互补等特殊关系，再利用诱导公式转化求值．常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)－α与eq \f(π,4)＋α等；常见的互补的角：eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)－α等． 【跟踪训练】 1．(1)(2024·湖北宜昌一中高一上期末)化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin（π＋α）tan（3π＋α）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))sin（－α）)＝________． 解析：原式＝eq \f(cosα（－sinα）tanα,sinα（－sinα）)＝eq \f(cosαtanα,sinα)＝eq \f(cosα·\f(sinα,cosα),sinα)＝1. (2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＝eq \f(3,5)，求sin3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))的值． 解：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)) ＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋sinθ＝cosθ＋sinθ＝eq \f(3,5)， ∴sinθcosθ＝eq \f(1,2)[(sinθ＋cosθ)2－1] ＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)－1))＝－eq \f(8,25). ∴sin3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cos3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)) ＝cos3θ＋cos3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝cos3θ＋sin3θ ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ) ＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,25)))))＝eq \f(99,125). (tan（－α）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))cos（－α）,（－tanα）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　求证： ＝1. 证明　∵左边＝eq \f(（－tanα）（－sinα）cosα,（－tanα）（－cosα）sinα)＝1＝右边， ∴原式成立． 【跟踪训练】 2．求证：eq \f(cos（π－θ）,cosθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cos（2π－θ）,cos（π＋θ）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq \f(2,sin2θ). 证明：∵左边＝eq \f(－cosθ,cosθ（－cosθ－1）)＋eq \f(cosθ,－cosθcosθ＋cosθ) ＝eq \f(1,1＋cosθ)＋eq \f(1,1－cosθ)＝eq \f(1－cosθ＋1＋cosθ,（1＋cosθ）（1－cosθ）)＝eq \f(2,1－cos2θ) ＝eq \f(2,sin2θ)＝右边， ∴原等式成立． (A＋B－C,2) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，已知sin＝sineq \f(A－B＋C,2)，试判断△ABC的形状． 解　∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)， ∴sineq \f(π－2C,2)＝sineq \f(π－2B,2)， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))， ∴cosC＝cosB， 又B，C为△ABC的内角，∴C＝B， ∴△ABC为等腰三角形． 【感悟提升】诱导公式在三角形中的应用 (1)解决此类题目时注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，eq \f(A＋B＋C,2)＝eq \f(π,2). (2)在△ABC中，常用的结论有sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq \f(A＋B,2)＝coseq \f(C,2)，coseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2). 【跟踪训练】 3．(多选)(2024·河南焦作第四中学高一下月考)在△ABC中，A＝eq \f(π,2)，cosB＝eq \f(3,5)，下列结论正确的是(　　) A．sin(π－C)＝eq \f(3,5) B．cos(π＋C)＝－eq \f(4,5) C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋C))＝－eq \f(3,5) D．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－C))＝－eq \f(4,5) 解析：在△ABC中，A＝eq \f(π,2)，cosB＝eq \f(3,5)，故B＋C＝eq \f(π,2)，则sinC＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB＝eq \f(3,5)，cosC＝eq \f(4,5)，而sin(π－C)＝sinC＝eq \f(3,5)，故A正确；因为cos(π＋C)＝－cosC＝－eq \f(4,5)，故B正确；因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋C))＝cosC＝eq \f(4,5)，故C错误；因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－C))＝－sinC＝－eq \f(3,5)，故D错误．故选AB. (sin（π－α）cos（3π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin（π＋α）) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·广东湛江一中高一上期末)已知f(α)＝. (1)若α＝－eq \f(13π,3)，求f(α)的值； (2)若α为第二象限角，且coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝eq \f(3,5)，求f(α)的值． 解　(1)∵f(α)＝eq \f(sin（π－α）cos（3π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin（π＋α）) ＝eq \f(sinα（－cosα）（－sinα）,（－sinα）（－sinα）)＝cosα， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2). (2)∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝eq \f(3,5)，∴sinα＝eq \f(3,5). ∵α为第二象限角， ∴f(α)＝cosα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5). 【跟踪训练】 4．(2024·山东德州一中高一上期末)已知f(α)＝eq \f(sin（2π－α）tan（π＋α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))tan（3π－α）). (1)若α∈(0，2π)，且f(α)＝－eq \f(1,2)，求α的值； (2)若f(α)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，求tanα的值． 解：(1)f(α)＝eq \f(sin（2π－α）tan（π＋α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))tan（3π－α）) ＝eq \f(－sinαtanα（－cosα）,－cosα（－tanα）)＝sinα. 因为α∈(0，2π)，f(α)＝sinα＝－eq \f(1,2)， 所以α＝eq \f(7π,6)或α＝eq \f(11π,6). (2)由(1)知，f(α)＝sinα， 所以f(α)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)) ＝sinα＋cosα＝eq \f(1,5)， 即sinα＋cosα＝eq \f(1,5)，所以sinα＝eq \f(1,5)－cosα， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－cosα)) eq \s\up12(2)＋cos2α＝1， 即(5cosα－4)(5cosα＋3)＝0， 可得cosα＝eq \f(4,5)或cosα＝－eq \f(3,5). 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则cosα＝－eq \f(3,5)， 所以sinα＝eq \f(1,5)－cosα＝eq \f(1,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq \f(4,5). 所以tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq \f(4,3). 1．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))>0，且coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))<0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ>0，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθ<0，所以θ是第四象限角．故选D. 2．已知sinθ＝eq \f(2,3)，则cos(450°＋θ)的值是(　　) A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C．－eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(5),3) 解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－eq \f(2,3). 3．(2024·河北衡水中学高一上月考)化简：eq \f(sin（α－π）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tan（－α－π）,sin（5π＋α）tan2（－α－2π）)＝(　　) A．sinα B．cosα C．－sinα D．－cosα 解析：原式＝eq \f(－sinαsinα（－tanα）,－sinαtan2α)＝－eq \f(sinα,tanα)＝－eq \f(sinα,\f(sinα,cosα))＝－cosα.故选D. eq \f(2\r(6),5) 4．已知cosα＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________． 解析：因为cosα＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，所以sinα＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq \f(2\r(6),5). －eq \f(4,3) 5．(2024·福建福州一中高一上期末)已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________． 解析：因为θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，所以θ＋eq \f(π,4)为第一象限角，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝－eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝－eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝－eq \f(4,3). 1．(2024·江苏南京航空航天大学附属中学高一上月考)若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,12)))＝eq \f(\r(5),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝(　　) A.eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(5),5) 解析：令θ＝α－eq \f(5π,12)，则α＝θ＋eq \f(5π,12)，且cosθ＝eq \f(\r(5),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＝cosθ＝eq \f(\r(5),3).故选A. 2．若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(4,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan(π－α)＝(　　) A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3) 解析：∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq \f(4,5)，∴sinα＝eq \f(4,5)，∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，∴tan(π－α)＝－tanα＝－eq \f(sinα,cosα)＝eq \f(4,3). 3．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　　) A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 解析：f(cosx)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.故选C. 4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　) A．－eq \f(2a,3) B．－eq \f(3a,2) C.eq \f(2a,3) D.eq \f(3a,2) 解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝eq \f(a,2)，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq \f(3a,2). 5．已知tanθ＝4，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cos（π＋θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin（π－θ）)＝(　　) A．－1 B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(2,3) 解析：∵tanθ＝4，∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cos（π＋θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin（π－θ）)＝eq \f(－cosθ－2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq \f(3cosθ,sinθ－cosθ)＝eq \f(3,tanθ－1)＝1. 6．(多选)(2024·河南郑州一中高一上月考)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝eq \r(1－sinαcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))，则角α的终边可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．x轴的非正半轴上 解析：原等式可化为－cosα＝eq \r(1－sin2α)，∴－cosα＝eq \r(cos2α)，即－cosα＝|cosα|，∴cosα≤0，∴角α的终边可能在第二或第三象限或x轴的非正半轴上．故选BCD. 7．化简sin(π＋α)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cos(π＋α)＝________． eq \f(5,9) 8．已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＋cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝________． 解析：原式＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋1－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,3)＋1－cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(5,9). 9.(2024·湖南岳阳一中高一上月考)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB. (1)求eq \f(sin（π＋α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)),cos（π－β）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)))的值； (2)若点A的横坐标为eq \f(3,5)，求2sinαcosβ的值． 解：(1)∵β＝eq \f(π,2)＋α， ∴sinβ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，cosβ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα， ∴eq \f(sin（π＋α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)),cos（π－β）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)))＝eq \f(sinαsinβ,cosβcosα) ＝－eq \f(sinαcosα,sinαcosα)＝－1. (2)∵点A的横坐标为eq \f(3,5)， ∴cosα＝eq \f(3,5)，sinα＝eq \f(4,5)， cosβ＝－sinα＝－eq \f(4,5)， ∴2sinαcosβ＝2×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq \f(32,25). 10．求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan（9π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1). 证明：因为左边＝eq \f(－2cosθsinθ－1,sin2θ＋cos2θ－2sin2θ) ＝eq \f(－（sinθ＋cosθ）2,（cosθ＋sinθ）（cosθ－sinθ）)＝eq \f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)， 右边＝eq \f(tan（8π＋π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1)＝eq \f(tan（π＋θ）＋1,tan（π＋θ）－1) ＝eq \f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq \f(\f(sinθ,cosθ)＋1,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq \f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)， 左边＝右边，所以等式成立． 11．tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝(　　) A．1 B．－1 C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2) 解析：原式＝eq \f(sin（45°＋θ）,cos（45°＋θ）)·eq \f(sin（45°－θ）,cos（45°－θ）) ＝eq \f(sin（45°＋θ）,cos（45°＋θ）)·eq \f(sin[90°－（45°＋θ）],cos[90°－（45°＋θ）]) ＝eq \f(sin（45°＋θ）,cos（45°＋θ）)·eq \f(cos（45°＋θ）,sin（45°＋θ）)＝1. 12．(多选)(2024·江苏常州一中高一上质检)已知n∈Z，则下列三角函数中，与sineq \f(π,3)数值相同的是(　　) A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(nπ＋\f(4π,3))) B．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,6))) C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,3))) D．coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2n＋1）π－\f(π,6))) 解析：对于A，当n＝2k，k∈Z时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(nπ＋\f(4π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(4π,3)))＝sineq \f(4π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)，所以A错误；对于B，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,6)))＝coseq \f(π,6)＝sineq \f(π,3)，所以B正确；对于C，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)，所以C正确；对于D，coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2n＋1）π－\f(π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋π－\f(π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq \f(π,6)＝－sineq \f(π,3)，所以D错误．故选BC. 13．(多选)已知A，B，C，D为圆内接四边形ABCD的四个内角，则下列结论一定正确的是(　　) A．cos(A＋C)＝cos(B＋D) B．cos(A＋B)＝cos(C＋D) C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋D))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)－D)) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋B))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)＋D)) 解析：在圆内接四边形ABCD中，A＋B＋C＋D＝2π，A＋C＝B＋D＝π.对于A，显然成立；对于B，∵A＋B＝2π－(C＋D)，∴cos(A＋B)＝cos[2π－(C＋D)]＝cos(C＋D)，B正确；对于C，∵A＋C＝π，∴eq \f(A,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，∴eq \f(A,2)＋D＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)＋D＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)－D))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋D))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)－D))))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)－D))，C正确；对于D，令A＝60°，B＝90°，C＝120°，D＝90°，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋B))＝sin120°，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)＋D))＝sin150°，显然sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋B))≠sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2)＋D))，D错误．故选ABC. －eq \f(2\r(2),3) 14．已知cos(60°＋α)＝eq \f(1,3)，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为_______． 解析：由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝eq \f(1,3)>0，所以－90°<60°＋α<－30°，则sin(60°＋α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－eq \r(1－cos2（60°＋α）)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3). 15．已知函数 f(α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tan（2π－α）,tan（α＋π）sin（α＋π）). (1)化简f(α)； (2)若f(α)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，求f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))的值； (3)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝2f(α)，求f(α)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))的值． 解：(1)f(α)＝eq \f(－cosαsinα（－tanα）,tanα（－sinα）)＝－cosα. (2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝sinα， 因为f(α)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,8)，所以cosαsinα＝eq \f(1,8)， 所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（α）＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))) eq \s\up12(2)＝(sinα－cosα)2＝eq \f(3,4)， 又由eq \f(5π,4)≤α≤eq \f(3π,2)，得cosα≥sinα， 所以f(α)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝sinα－cosα＝－eq \f(\r(3),2). (3)由(2)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝2f(α)， 即sinα＝－2cosα，与sin2α＋cos2α＝1联立， 解得cos2α＝eq \f(1,5)， 所以f(α)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinαcosα＝2cos2α＝eq \f(2,5). $$