5.2.2 同角三角函数的基本关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.2　三角函数的概念 5.2.2　同角三角函数的基本关系 (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 ________________ 同一个角α的正弦、余弦的________等于1 商数关系 __________________________ 同一个角α的正弦、余弦的___等于角α的正切 sin2α＋cos2α＝1 平方和 商 知识点　　同角三角函数的基本关系 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 答案 核心概念掌握 7 cosθ 答案 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　三角函数求值 解 核心素养形成 10 【感悟提升】求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 核心素养形成 11 答案 解析 － 核心素养形成 12 解 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 【感悟提升】关于sinα，cosα的齐次式的求值方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 核心素养形成 15 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 题型二　sinα±cosα，sinαcosα的应用 解 核心素养形成 18 【感悟提升】sinα±cosα，sinαcosα三者的关系 (1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”． (2)sinθ±cosθ的符号的判定方法 sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示． 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 题型三　利用同角三角函数关系式化简与证明 角度 化简三角函数式 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 【感悟提升】化简三角函数式的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 核心素养形成 24 答案 解析 【跟踪训练】 4．(1)化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝________． 解析：原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1. 1 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 证明 核心素养形成 27 证明 核心素养形成 28 核心素养形成 29 证明 核心素养形成 30 证明 核心素养形成 31 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 利用商数关系、平方关系化简三角函数式 利用sinα，cosα的齐次式求正切值 利用平方关系求三角函数式的值 已知正切值，求隐形齐次式的值 利用平方关系、商数关系求三角函数值 一元二次方程根与系数的关系和sinα＋cosα，sinαcosα关系的综合应用 利用商数关系求sinα，cosα齐次式的值 利用平方关系求参数值；利用商数关系求正切值 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 证明三角恒等式 sinα＋cosα，sinαcosα关系的应用；利用隐形的齐次式求正切值 利用商数关系、平方关系判断等式是否成立 同角三角函数关系的应用；sinα±cosα，sinαcosα关系的应用 利用商数关系、平方关系求三角函数式的值 sinα±cosα，sinαcosα关系在平面几何中的应用 一元二次方程根与系数的关系，商数关系，平方关系的综合应用及由三角函数值的符号确定角所在的象限 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 6．(多选)(2024·河北正定中学高一上质检)已知角α是锐角，若sinα，cosα是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是(　　) A．m2－2n－1＝0 B．mn>0 C．m＋n＋1>0 D．m2－4n<0 解析：由题意知，0<sinα<1，0<cosα<1，sinα＋cosα＝－m，sinαcosα＝n.对于A，m2－2n－1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα－1＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα－2sinαcosα－1＝0，A正确；对于B，－m>0，m<0，n>0，∴mn<0，B错误；对于C，m＋n＋1＝－(sinα＋cosα)＋sinαcosα＋1＝sinα(cosα－1)－(cosα－1)＝(sinα－1)(cosα－1)>0，C正确；对于D，m2－4n＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝(sinα－cosα)2≥0，D错误．故选AC. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 11．(多选)(2024·重庆八中高一上期末)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是(　　) A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 答案 解析 0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 解析 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 　　　　　　　　　　　　　 R 课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq \f(sinα,cosα)＝tanα. 教学重点：同角三角函数关系式的推导及应用． 教学难点：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式的证明． 核心素养：1.借助同角三角函数的基本关系式进行运算，培养数学运算素养.2.利用同角三角函数关系式证明恒等式，培养逻辑推理素养． eq \f(sinα,cosα)＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) [提醒]　(1)“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，不能将sin2α写成sinα2. [拓展]　公式变形 sin2α＋cos2α＝1⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.)) tanα＝eq \f(sinα,cosα)⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)). eq \f(4,3) 1．(利用平方关系求值)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＝eq \f(3,5)，则cosα＝(　　) A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．－eq \f(1,7) D.eq \f(3,5) 2．(利用平方关系、商数关系求值)若cosα＝eq \f(3,5)，且α为第一象限角，则tanα＝________． 3．(利用商数关系化简)化简eq \f(sinθ－cosθ,tanθ－1)＝________． 4．(利用平方关系化简)化简eq \r(1－sin2\f(2π,5))的结果是________． coseq \f(2π,5) 角度 (4,5) 　已知cosα＝－，求sinα和tanα. 解　sin2α＝1－cos2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(9,25)， 因为cosα＝－eq \f(4,5)<0，所以α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sinα＝eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝－eq \f(3,4)； 当α是第三象限角时，sinα＝－eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝eq \f(3,4). －eq \f(\r(5),5) 【跟踪训练】 1．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则cosα＝________． 解析：由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2　　　　　①，,sin2α＋cos2α＝1　 ②，))由①，得sinα＝2cosα，代入②，得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq \f(1,5).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα<0，所以cosα＝－eq \f(\r(5),5). 角度 (4sinα－cosα,3sinα＋5cosα) 　已知tanα＝3，求的值． 解　解法一：原式＝eq \f(4tanα－1,3tanα＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14). 解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα. ∴原式＝eq \f(4×3cosα－cosα,3×3cosα＋5cosα)＝eq \f(11cosα,14cosα)＝eq \f(11,14). 解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴sinα＝eq \f(3\r(10),10)，cosα＝eq \f(\r(10),10)，或sinα＝－eq \f(3\r(10),10)，cosα＝－eq \f(\r(10),10)， ∴原式＝eq \f(11,14). [结论探究]　在本例条件不变的情况下，求eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cos2α的值． 解：原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq \f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq \f(29,40). 【跟踪训练】 2．已知eq \f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值： (1)eq \f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1. 解：由eq \f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简，得sinα＝3cosα， 所以tanα＝3. (1)解法一(换元)：原式＝eq \f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq \f(8cosα,9cosα)＝eq \f(8,9). 解法二(弦化切)：原式＝eq \f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq \f(3×3－1,2×3＋3)＝eq \f(8,9). (2)原式＝eq \f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq \f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq \f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq \f(13,10). (1,3) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例3灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知sinα＋cosα＝－，0<α<π. (1)求sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值． 解　(1)由sinα＋cosα＝－eq \f(1,3)，得(sinα＋cosα)2＝eq \f(1,9)， 即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝eq \f(1,9)， 所以sinαcosα＝－eq \f(4,9). (2)因为0<α<π，sinα＋cosα<0， 所以sinα>0，cosα<0，所以sinα－cosα>0. 所以sinα－cosα＝eq \r(（sinα－cosα）2) ＝eq \r(1－2sinαcosα)＝eq \f(\r(17),3). 【跟踪训练】 3．已知0<α<π，sinα－cosα＝eq \f(1,2)，求tanα的值． 解：解法一：由题意，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα－cosα＝\f(1,2)，,sin2α＋cos2α＝1，)) 解得cosα＝eq \f(±\r(7)－1,4)， 故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝\f(\r(7)－1,4)，,sinα＝\f(\r(7)＋1,4)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝\f(－\r(7)－1,4)，,sinα＝\f(1－\r(7),4).)) 因为0<α<π，所以sinα>0， 所以第二组解舍去，于是tanα＝eq \f(4＋\r(7),3). 解法二：将sinα－cosα＝eq \f(1,2)两边平方， 得1－2sinαcosα＝eq \f(1,4)，2sinαcosα＝eq \f(3,4)， 则1＋2sinαcosα＝eq \f(7,4)＝(sinα＋cosα)2， 由2sinαcosα＝eq \f(3,4)>0， 可知0<α<eq \f(π,2)，则sinα＋cosα＝eq \f(\r(7),2)， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(\r(7),2)，,sinα－cosα＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(1＋\r(7),4)，,cosα＝\f(\r(7)－1,4)，)) 所以tanα＝eq \f(4＋\r(7),3). (sinα,1－cosα) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例4灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　化简·eq \r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα))(其中α是第三象限角)． 解　原式＝eq \f(sinα,1－cosα)·eq \r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα)) ＝eq \f(sinα,1－cosα)·eq \r(\f(1－cosα,1＋cosα)) ＝eq \f(sinα,1－cosα)·eq \r(\f(（1－cosα）2,1－cos2α)) ＝eq \f(sinα,1－cosα)·eq \f(1－cosα,|sinα|). 因为α是第三象限角，所以sinα<0. 所以原式＝eq \f(sinα,1－cosα)·eq \f(1－cosα,－sinα)＝－1. (2)化简eq \r(sin2α－sin4α)，其中α是第二象限角． 解：因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0， 所以sinαcosα<0， 所以eq \r(sin2α－sin4α)＝eq \r(sin2α（1－sin2α）) ＝eq \r(sin2αcos2α)＝－sinαcosα. 角度 (1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α) 　求证：＝eq \f(tanα＋1,tanα－1). 证明　证法一： 左边＝eq \f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq \f(（sinα＋cosα）2,sin2α－cos2α) ＝eq \f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝右边． 所以等式成立． 证法二：右边＝eq \f(\f(sinα,cosα)＋1,\f(sinα,cosα)－1)＝eq \f(sinα＋cosα,sinα－cosα) ＝eq \f(（sinα＋cosα）2,（sinα－cosα）（sinα＋cosα）)＝eq \f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α) ＝左边． 所以等式成立． 【感悟提升】证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”． 【跟踪训练】 5．(1)求证：1＋tan2α＝eq \f(1,cos2α). 证明：1＋tan2α＝1＋eq \f(sin2α,cos2α)＝eq \f(cos2α＋sin2α,cos2α)＝eq \f(1,cos2α). (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2β＋2. 所以eq \f(sin2α,cos2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2β,cos2β)＋1))， 通分可得eq \f(1,cos2α)＝eq \f(2,cos2β)， 即cos2β＝2cos2α， 所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. 1．已知α是第二象限角，cosα＝－eq \f(12,13)，则sinα＝(　　) A.eq \f(5,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12) 解析：由题意，知sinα＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))\s\up12(2))＝eq \f(5,13). 2．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)<α<π，则tanα＝(　　) A．－2 B．2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：因为eq \f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝－eq \f(1,2). －eq \f(\r(5),5) 3．(2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq \f(1,2)，则sinθ－cosθ＝________． 解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝eq \f(sinθ,cosθ)＝eq \f(1,2)，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq \f(\r(5),5)或sinθ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq \f(\r(5),5). eq \f(2,9) 4．(2024·山东枣庄滕州高一上期末)已知tanx＝2，则eq \f(2sinxcosx,cos2x＋3sin2x＋1)的值为________． 解析：eq \f(2sinxcosx,cos2x＋3sin2x＋1) ＝eq \f(2sinxcosx,cos2x＋3sin2x＋cos2x＋sin2x) ＝eq \f(\f(2sinxcosx,cos2x),\f(2cos2x＋4sin2x,cos2x))＝eq \f(2tanx,2＋4tan2x)＝eq \f(4,18)＝eq \f(2,9). eq \f(1,2) 5．(2024·上海中学高一上期末)化简：eq \f(sin4θcos2θ＋sin2θcos4θ,1－sin4θ－cos4θ)＝________． 解析：eq \f(sin4θcos2θ＋sin2θcos4θ,1－sin4θ－cos4θ) ＝eq \f(cos2θsin2θ（sin2θ＋cos2θ）,1－（sin2θ＋cos2θ）2＋2sin2θcos2θ) ＝eq \f(cos2θsin2θ,2sin2θcos2θ)＝eq \f(1,2). 1．(2024·湖南湘潭一中高一上阶段检测)化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanx＋\f(cosx,sinx)))cos2x的结果是(　　) A．tanx B.sinx C．cosx D.eq \f(cosx,sinx) 解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanx＋\f(cosx,sinx)))cos2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)＋\f(cosx,sinx)))cos2x＝eq \f(sin2x＋cos2x,sinxcosx)·cos2x＝eq \f(cosx,sinx).故选D. 2．已知eq \f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则tanα的值为(　　) A．25 B．2 C．－2 D．－25 解析：由eq \f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝eq \f(tanα＋3,3－tanα)＝5，得15－5tanα＝tanα＋3，解得tanα＝2. 3．若α为第三象限角，则eq \f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析：∵α为第三象限角，∴原式＝eq \f(cosα,－cosα)＋eq \f(2sinα,－sinα)＝－3. 4．若tanα＝2，则2sinαcosα＝(　　) A．±eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 解析：2sinαcosα＝eq \f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq \f(2tanα,tan2α＋1)＝eq \f(4,5). 5．(2024·广东茂名五校联盟第一次联考)已知A是△ABC的内角，且sinA＋2cosA＝－1，则tanA＝(　　) A．－eq \f(3,4) B．－eq \f(4,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3) 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＋2cosA＝－1，,sin2A＋cos2A＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5)，,cosA＝－\f(4,5)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＝－1，,cosA＝0.))∵A是△ABC的内角，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5)，,cosA＝－\f(4,5)，))则tanA＝－eq \f(3,4). eq \f(1,7) 7．(2024·广东普宁第二中学高一上第二次月考)已知函数f(x)＝ax－3＋x(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则eq \f(sinθ－cosθ,sinθ＋cosθ)＝________． 解析：令x－3＝0⇒x＝3，则f(3)＝1＋3＝4，故A(3，4)，∵A在θ的终边上，∴tanθ＝eq \f(4,3)，∴eq \f(sinθ－cosθ,sinθ＋cosθ)＝eq \f(tanθ－1,tanθ＋1)＝eq \f(\f(4,3)－1,\f(4,3)＋1)＝eq \f(1,7). －eq \f(3,4) 8．(2024·湖北荆州石首市第一中学高一上月考)已知sinx＝eq \f(m－3,m＋5)，cosx＝eq \f(4－2m,m＋5)，且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则tanx＝________． 解析：由sin2x＋cos2x＝1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－3,m＋5))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2m,m＋5))) eq \s\up12(2)＝1，得m＝0或m＝8.又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sinx<0，cosx>0，∴当m＝0时，sinx＝－eq \f(3,5)，cosx＝eq \f(4,5)，此时tanx＝－eq \f(3,4)；当m＝8时，sinx＝eq \f(5,13)，cosx＝－eq \f(12,13)，不符合题意．综上知，tanx＝－eq \f(3,4). 9．求证：eq \f(cosα,1＋sinα)－eq \f(sinα,1＋cosα)＝eq \f(2（cosα－sinα）,1＋sinα＋cosα). 证明：左边＝eq \f(cosα（1＋cosα）－sinα（1＋sinα）,（1＋sinα）（1＋cosα）) ＝eq \f(cos2α－sin2α＋cosα－sinα,1＋sinα＋cosα＋sinαcosα) ＝eq \f(（cosα－sinα）（cosα＋sinα＋1）,\f(1,2)（cosα＋sinα）2＋sinα＋cosα＋\f(1,2)) ＝eq \f(2（cosα－sinα）（cosα＋sinα＋1）,（sinα＋cosα＋1）2) ＝eq \f(2（cosα－sinα）,1＋sinα＋cosα)＝右边． ∴原式成立． 10．已知sinθ＋cosθ＝－eq \f(\r(10),5)， 求：(1)eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,cosθ)的值； (2)tanθ的值． 解：(1)因为sinθ＋cosθ＝－eq \f(\r(10),5)， 所以1＋2sinθcosθ＝eq \f(2,5)，即sinθcosθ＝－eq \f(3,10)， 所以eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,cosθ)＝eq \f(cosθ＋sinθ,sinθcosθ)＝eq \f(2\r(10),3). (2)由(1)，得eq \f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝－eq \f(10,3)， 所以eq \f(tan2θ＋1,tanθ)＝－eq \f(10,3)， 即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0， 所以tanθ＝－3或tanθ＝－eq \f(1,3). 解析：∵tan2x－2tan2y－1＝0，∴eq \f(sin2x,cos2x)－2·eq \f(sin2y,cos2y)－1＝0，即sin2x·cos2y－2sin2y·cos2x＝cos2x·cos2y，∴(1－cos2x)(1－sin2y)－sin2y·cos2x＝(cos2y＋sin2y)·cos2x，即1－cos2x－sin2y＋sin2y·cos2x－sin2y·cos2x＝cos2x，∴sin2y＝1－2cos2x＝1－2(1－sin2x)＝2sin2x－1，故A，B错误，C，D正确．故选CD. 12．(多选)(2024·山东德州一中高一上期末)已知θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝eq \f(7,5)，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq \f(3,5) C．tanθ＝－eq \f(3,4) D.eq \f(tanθ,1＋tan2θ)＝－eq \f(12,25) 解析：由θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝eq \f(7,5)>1，得sinθ>0，cosθ<0，则θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A正确．由sinθ－cosθ＝eq \f(7,5)，两边平方得，1－2sinθcosθ＝eq \f(49,25)，则2sinθcosθ＝－eq \f(24,25).又sinθ＋ cosθ＝±eq \r(（sinθ＋cosθ）2)＝±eq \r(1＋2sinθcosθ)＝±eq \r(1－\f(24,25))＝±eq \f(1,5)，当sinθ＋cosθ＝eq \f(1,5)时，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(1,5)，,sinθ－cosθ＝\f(7,5)，))解得sinθ＝eq \f(4,5)，cosθ＝－eq \f(3,5)，∴tanθ＝eq \f(sinθ,cosθ)＝－eq \f(4,3)，eq \f(tanθ,1＋tan2θ)＝eq \f(－\f(4,3),1＋\f(16,9))＝ －eq \f(12,25)；当sinθ＋cosθ＝－eq \f(1,5)时，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝－\f(1,5)，,sinθ－cosθ＝\f(7,5)，))解得sinθ＝eq \f(3,5)，cosθ＝－eq \f(4,5)，∴tanθ＝eq \f(sinθ,cosθ)＝－eq \f(3,4)，eq \f(tanθ,1＋tan2θ)＝eq \f(－\f(3,4),1＋\f(9,16))＝－eq \f(12,25).故B，C错误，D正确．故选AD. 13．(2024·湖北武汉第十四中学高一上月考)已知α是第二象限角，则 cosαeq \r(1＋tan2α)＋sinαeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝_____． 解析：∵α为第二象限角，则cosα<0，sinα>0，∴cosα·eq \r(1＋tan2α)＋sinαeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝cosα·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,cosα)))＋sinα·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)))＝cosα·eq \f(1,－cosα)＋sinα·eq \f(1,sinα)＝－1＋1＝0. －eq \f(7,25) 14.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是eq \f(1,25)，则sin2θ－cos2θ的值为________． 解析：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长为cosθ，短直角边长为sinθ，小正方形的边长为cosθ－sinθ，∵小正方形的面积是eq \f(1,25)，∴(cosθ－sinθ)2＝eq \f(1,25)，又由图可知，cosθ>sinθ，∴cosθ－sinθ＝eq \f(1,5).又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq \f(1,25)，∴2sinθcosθ＝eq \f(24,25)，∴1＋2sinθcosθ＝eq \f(49,25)，即(cosθ＋sinθ)2＝eq \f(49,25)，∴cosθ＋sinθ＝eq \f(7,5)，∴sin2θ－cos2θ＝(cosθ＋sinθ)·(sinθ－cosθ)＝eq \f(7,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝－eq \f(7,25). 15．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求： (1)eq \f(sinθ,1－\f(1,tanθ))＋eq \f(cosθ,1－tanθ)的值； (2)m的值； (3)方程的两根及θ的值． 解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sinθcosθ＝\f(m,2)，)) 所以eq \f(sinθ,1－\f(1,tanθ))＋eq \f(cosθ,1－tanθ) ＝eq \f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq \f(cos2θ,cosθ－sinθ) ＝eq \f(sin2θ－cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ＝eq \f(\r(3)＋1,2). (2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝eq \f(\r(3)＋1,2)， 将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝eq \f(2＋\r(3),2)， 所以sinθcosθ＝eq \f(\r(3),4)， 由(1)，知eq \f(m,2)＝eq \f(\r(3),4)，所以m＝eq \f(\r(3),2). (3)由(2)可知原方程为2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0， 解得x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝eq \f(1,2). 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,cosθ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2).)) 又θ∈(0，2π)，所以θ＝eq \f(π,3)或eq \f(π,6). $$