5.2.1 三角函数的概念-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 教学重点：1.三角函数的定义.2.三角函数在各象限内的符号． 教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程． 核心素养：1.通过三角函数的概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过公式一的应用，提升数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 纵 y sinα y＝sinα 横 x 纵 横 核心概念掌握 5 三角函数 定义域 y＝sinx x∈_____ y＝cosx x∈_____ y＝tanx x∈__________________________ (2)三角函数的定义域 R R 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 知识点二　三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 核心概念掌握 8 知识点三　公式一 [点拨]　(1)公式一的实质：角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α. 名称 符号语言 文字语言 公式一 sin(α＋k·2π)＝______(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝______(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝______(k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数的值______ sinα cosα tanα 相等 核心概念掌握 9 答案 核心概念掌握 10 3．(三角函数值符号的判断)已知sinα>0，cosα<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　三角函数的定义及应用 解 核心素养形成 13 解 (2)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值． 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 核心素养形成 16 答案 解析 核心素养形成 17 解 (2)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值． 核心素养形成 18 题型二　判断三角函数值的符号 解　(1)∵2023°＝5×360°＋223°，2024°＝5×360°＋224°，2025°＝5×360°＋225°， ∴它们都是第三象限角， ∴sin2023°<0，cos2024°<0，tan2025°>0， ∴sin2023°cos2024°tan2025°>0. 判断下列各式的符号： (1)sin2023°cos2024°tan2025°； (2)tan191°－cos191°； (3)sin2cos3tan4. 解 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 【感悟提升】 1．判断三角函数值符号的步骤 (1)定象限：根据题目给出条件，确定角所在的象限； (2)定符号：根据角所在象限，利用三角函数的定义，最终确定符号． 2．由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． 核心素养形成 21 解 【跟踪训练】 2．(1)判断下列各式的符号： ①sin145°cos(－210°)； ②sin3cos4tan5. 核心素养形成 22 解 (2)(2024·山东济南一中高一上月考)已知sin2θ<0，且|sinθ|＝－sinθ，判断点P(tanθ，cosθ)在第几象限． 核心素养形成 23 题型三　公式一的应用 解 核心素养形成 24 【感悟提升】公式一的应用策略 (1)公式一可以统一写成f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式． (2)利用它可以把任意角的三角函数值转化为0到2π角的三角函数值，即可把负角的三角函数化为0到2π角的三角函数，亦可以把大于2π角的三角函数化为0到2π角的三角函数，即对角实现负化正、大化小的转化． 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 4．已知sinθtanθ<0，那么角θ是第___________象限角． 解析：因为sinθtanθ<0，所以sinθ<0，tanθ>0或sinθ>0，tanθ<0.若sinθ>0，tanθ<0，则θ在第二象限．若sinθ<0，tanθ>0，则θ在第三象限．所以角θ是第二或第三象限角． 答案 解析 二或第三 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 5．计算：sin810°＋cos360°－tan1125°＝________． 解析：sin810°＋cos360°－tan1125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1. 答案 解析 1 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 用公式一求三角函数值 正切函数的概念 已知三角函数值的符号，判断角所在的象限 正弦函数、余弦函数的概念 三角函数值的符号的应用 根据角终边上某点的坐标判断三角函数式的符号 利用三角函数的概念求值 利用正弦函数、正切函数的概念求值 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用公式一求三角函数式的值 已知角的大小(所在象限)判断三角函数式的符号 与三角函数概念有关的新定义问题 已知角的终边所在的直线，求三角函数式的值 由三角函数值的符号求角的范围 扇形的弧长公式、三角函数的概念与公式一的综合 由三角函数值的符号求角的范围；确定角终边所在的象限；判断三角函数式的符号 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 3．已知点P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由点P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限可得sinθ<0，sinθcosθ>0，可得sinθ<0，cosθ<0，∴角θ的终边所在的象限是第三象限． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 解： (1)因为α是第三象限角， 所以sinα<0，cosα<0，所以sinαcosα>0. (2)因为385°是第一象限角，所以sin385°>0， 因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0， 因为225°是第三象限角， 所以tan225°>0， 所以sin385°cos(－105°)tan225°<0. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 13．(2024·安徽合肥八中高一上月考)设0≤θ<2π，若sinθ<0且cos2θ<0，则θ的取值范围是____________． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　三角函数的概念 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的_____坐标___叫做α的正弦函数，记作_______，即_________ 余弦函数 把点P的_____坐标_____叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα 正切函数 把点P的_____坐标与____坐标的比值____叫做α的正切，记作tanα，即eq \f(y,x)＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数 三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 eq \f(y,x) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ（k∈Z）)))) [拓展]　三角函数的等价定义 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sinα＝eq \f(y,r)，cosα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)． [点拨]　对三角函数的定义的理解 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合的对应． (2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 1．(正切函数的定义)已知角α的终边过点P(4，－4)，则tanα的值为(　　) A．1 B．－1 C.eq \r(2) D．－eq \r(2) 2．(公式一的应用)sin(－675°)的值是(　　) A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2) 4．(正弦函数、余弦函数的定义)已知角α的终边与单位圆的交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，则sinα＋cosα＝________． －eq \f(\r(5),5) (5π,4) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(2024·广东中山一中高一上月考)求的正弦、余弦和正切值． 解　如图，在Rt△OMP中，∠MOP＝eq \f(π,4)⇒|OM|＝|MP|＝eq \f(\r(2),2)⇒Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))⇒sineq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，coseq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，所以taneq \f(5π,4)＝1. 解　当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，得sinα＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，cosα＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，tanα＝eq \f(2,1)＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)， 由r＝|OQ|＝eq \r(（－1）2＋（－2）2)＝eq \r(5)，得 sinα＝eq \f(－2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，cosα＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)， tanα＝eq \f(－2,－1)＝2. 解　因为r＝eq \r(x2＋9)，cosθ＝eq \f(x,r)，所以eq \f(\r(10),10)x＝eq \f(x,\r(x2＋9)).又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq \r(10).又y＝3>0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝eq \f(3\r(10),10)，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝eq \f(3\r(10)＋30,10)；当θ为第二象限角时，sinθ＝eq \f(3\r(10),10)，tanθ＝－3，则sinθ＋tanθ＝eq \f(3\r(10)－30,10). (3)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝eq \f(\r(10),10)x，求sinθ＋tanθ的值． 【感悟提升】利用三角函数的定义求值的策略 (1)若已知角，则只需确定出该角与单位圆的交点坐标，然后利用三角函数的定义即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq \f(y,x). (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝eq \r(x2＋y2)，再求sinα＝eq \f(y,r)，cosα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x). (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． eq \f(1,2) －eq \f(\r(3),2) －eq \f(\r(3),3) 【跟踪训练】 1．(1)如果角α的终边经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________． 解析：由题意知r＝|OP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝1，所以sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(\f(1,2),1)＝eq \f(1,2)，cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－\f(\r(3),2),1)＝－eq \f(\r(3),2)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2),－\f(\r(3),2))＝－eq \f(\r(3),3). 解：r＝eq \r(（－4a）2＋（3a）2)＝5|a|， 若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5)，cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4a,5a)＝－eq \f(4,5)， tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(3a,－4a)＝－eq \f(3,4)； 若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sinα＝－eq \f(3,5)，cosα＝eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4). (2)∵191°角是第三象限角， ∴tan191°>0，cos191°<0， ∴tan191°－cos191°>0. (3)∵eq \f(π,2)<2<π，eq \f(π,2)<3<π，π<4<eq \f(3π,2)， ∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2cos3tan4<0. 解：①∵145°角是第二象限角，∴sin145°>0. ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°角是第二象限角， ∴cos(－210°)<0，∴sin145°cos(－210°)<0. ②∵eq \f(π,2)<3<π，π<4<eq \f(3π,2)，eq \f(3π,2)<5<2π， ∴sin3>0，cos4<0，tan5<0， ∴sin3cos4tan5>0. 解：∵sin2θ<0，∴π＋2kπ<2θ<2π＋2kπ(k∈Z)， ∴eq \f(π,2)＋kπ<θ<π＋kπ，即θ为第二或第四象限角． 又|sinθ|＝－sinθ，sinθ≤0， ∴θ是第四象限角，tanθ<0，cosθ>0， ∴点P(tanθ，cosθ)在第二象限． (1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2ab·cos(－1080°)； (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq \f(12π,5)tan4π. 解　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2. (2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq \f(π,6)＋coseq \f(2π,5)tan0＝sineq \f(π,6)＋coseq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2). 【跟踪训练】 3．求下列各式的值： (1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°； (2)sineq \f(7π,3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq \f(13π,3). 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4). (2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)coseq \f(π,6)＋taneq \f(π,4)coseq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4). 1．已知角α的终边经过点P(3，－1)，则2sinα＋cosα＝(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(\r(10),10) D.eq \f(\r(10),2) 解析：因为角α的终边经过点P(3，－1)，r＝eq \r(32＋（－1）2)＝eq \r(10)，所以2sinα＋cosα＝2×eq \f(－1,\r(10))＋eq \f(3,\r(10))＝eq \f(\r(10),10).故选C. 2．若点P(x，y)是330°角终边上异于原点的一点，则eq \f(y,x)的值为(　　) A.eq \r(3) B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3) 解析：330°角终边与单位圆的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则eq \f(y,x)＝tan330°＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq \f(\r(3),3). 3．(多选)下列函数值中符号为正的是(　　) A．tan485°·sin(－447°) B．sineq \f(5π,4)·coseq \f(4π,5)·taneq \f(11π,6) C.eq \f(tan188°,cos（－55°）) D.eq \f(cos\f(29π,6)·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,6))),sin\f(2π,3)) 解析：因为485°＝360°＋125°，即485°是第二象限角，所以tan485°<0.因为－447°＝－360°－87°，即－447°是第四象限角，所以sin(－447°)<0，所以tan485°·sin(－447°)>0，故A符合题意； 因为eq \f(5π,4)是第三象限角，所以sineq \f(5π,4)<0.因为eq \f(4π,5)是第二象限角，所以coseq \f(4π,5)<0.因为eq \f(11π,6)是第四象限角，所以taneq \f(11π,6)<0，所以sineq \f(5π,4)·coseq \f(4π,5)·taneq \f(11π,6)<0，故B不符合题意；因为188°是第三象限角，所以tan188°>0.因为－55°是第四象限角，所以 cos(－55°)>0，所以eq \f(tan188°,cos（－55°）)>0，故C符合题意；因为eq \f(29π,6)＝4π＋eq \f(5π,6)，即eq \f(29π,6)是第二象限角，所以coseq \f(29π,6)<0.因为－eq \f(13π,6)＝－2π－eq \f(π,6)，即－eq \f(13π,6)是第四象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,6)))<0.因为eq \f(2π,3)是第二象限角，所以sineq \f(2π,3)>0，所以eq \f(cos\f(29π,6)·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,6))),sin\f(2π,3))>0，故D符合题意．故选ACD. 1．sin(－1380°)的值为(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：sin(－1380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin60°＝eq \f(\r(3),2). 2．(2024·湖北部分重点高中高一上期末)若点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2sin\f(π,6)))在角α的终边上，则tanα的值为(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \r(3) D．－eq \r(3) 解析：由三角函数的定义可知tanα＝eq \f(2sin\f(π,6),－3)＝－eq \f(1,3).故选B. 4．已知角α的终边经过点(－eq \r(5)，m)(m≠0)，且sinα＝eq \f(2,5)m，则cosα的值为(　　) A．－eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),10) C．－eq \f(2\r(5),5) D．±eq \f(2\r(5),5) 解析：∵角α的终边上一点P(－eq \r(5)，m)(m≠0)，且sinα＝eq \f(2,5)m＝eq \f(m,\r(5＋m2))，∴m2＝eq \f(5,4)，∴cosα＝eq \f(－\r(5),\r(5＋\f(5,4)))＝－eq \f(2\r(5),5). 5．已知角α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq \f(sinθ,|sinθ|)＋eq \f(cosθ,|cosθ|)＋eq \f(tanθ,|tanθ|)的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：由α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，得角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0，所以y＝－1＋1－1＝－1. 6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A.eq \f(sinα,tanα) B．cosα－sinα C．sinαcosα D．sinα＋cosα 解析：由题意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0.对于A，eq \f(sinα,tanα)＞0；对于B，cosα－sinα＞0；对于C，sinαcosα＜0；对于D，sinα＋cosα符号不确定． －eq \f(7,13) 7．已知角α的终边经过点P(5，a)，且tanα＝－eq \f(12,5)，则sinα＋cosα＝________． 解析：∵tanα＝eq \f(a,5)＝－eq \f(12,5)，∴a＝－12，∴r＝eq \r(25＋a2)＝13，∴sinα＝－eq \f(12,13)，cosα＝eq \f(5,13).∴sinα＋cosα＝－eq \f(7,13). －eq \f(16,13) 8．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)，\f(12,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sinαtanβ＝________． 解析：由任意角的正弦、正切函数的定义知，sinα＝eq \f(12,13)，tanβ＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3)，所以sinαtanβ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－eq \f(16,13). 9．计算： (1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°； (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)))＋tanπ－2cos0＋taneq \f(9π,4)－sineq \f(7π,3). 解：(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋3×1－(－1)＝5. (2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,2)))＋tanπ－2cos0＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,4)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,2)＋tanπ－2cos0＋taneq \f(π,4)－sineq \f(π,3)＝1＋0－2＋1－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),2). 10．判断下列各式的符号： (1)sinαcosα(其中α是第三象限角)； (2)sin385°cos(－105°)tan225°； (3)sin1cos2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))). (3)因为0＜1＜eq \f(π,2)，eq \f(π,2)＜2＜π， 所以sin1>0，cos2<0. 因为－eq \f(23π,4)＝－6π＋eq \f(π,4)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))>0， 所以sin1cos2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))<0. 11．平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值eq \f(y－x,r)叫做α的正余混弦，记作schα.若schα＝eq \f(1,5)(0<α<π)，则tanα＝(　　) A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3) 解析：由题意得schα＝eq \f(1,5)＝eq \f(y－x,r)＝eq \f(y－x,\r(x2＋y2))(0<α<π)，所以25(y－x)2＝x2＋y2，且y>x，即12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x))) eq \s\up12(2)－25·eq \f(y,x)＋12＝0，且y>x，解得eq \f(y,x)＝eq \f(4,3)，故tanα＝eq \f(4,3). 12．(多选)(2024·广东清远高一期末)已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝－eq \r(3)x上，则4cosα－sin2α的值可能是(　　) A．－eq \f(11,4) B．－eq \f(5,4) C.eq \f(5,4) D.eq \f(11,4) 解析：若终边与射线y＝－eq \r(3)x(x≥0)重合，取终边上一点P(1，－eq \r(3))，则|OP|＝2，故cosα＝eq \f(1,2)，sinα＝－eq \f(\r(3),2)，故4cosα－sin2α＝2－eq \f(3,4)＝eq \f(5,4)；若终边与射线y＝－eq \r(3)x(x≤0)重合，取终边上一点Q(－1，eq \r(3))，则|OQ|＝2，故cosα＝－eq \f(1,2)，sinα＝eq \f(\r(3),2)，故4cosα－sin2α＝－2－eq \f(3,4)＝－eq \f(11,4).故选AC. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(7π,4))) 解析：因为0≤θ<2π且sinθ<0，所以π<θ<2π.又因为cos2θ<0，所以 2kπ＋eq \f(π,2)<2θ<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，所以kπ＋eq \f(π,4)<θ<kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z.因为π<θ <2π，所以k＝1，所以θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(7π,4))). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) 14．点P从点(1，0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标为________． 解析：点P从点(1，0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动eq \f(26π,3)弧长到达点Q，所以点Q是角eq \f(26π,3)与单位圆的交点，所以点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(26π,3)，sin\f(26π,3)))，又coseq \f(26π,3)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(2π,3)))＝coseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，sineq \f(26π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(2π,3)))＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). 15．已知sinθ<0，tanθ>0. (1)求角θ的集合； (2)求角eq \f(θ,2)的终边所在的象限； (3)试判断sineq \f(θ,2)coseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)的符号． 解：(1)因为sinθ<0，所以角θ的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上，因为tanθ>0，所以θ的终边在第一、三象限，所以θ的终边在第三象限，所以角θ的集合为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π<θ<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))). (2)由(1)可得，kπ＋eq \f(π,2)<eq \f(θ,2)<kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z. 当k是偶数时，角eq \f(θ,2)的终边在第二象限； 当k是奇数时，角eq \f(θ,2)的终边在第四象限． (3)由(2)可得， 当k是偶数时，sineq \f(θ,2)>0，coseq \f(θ,2)<0，taneq \f(θ,2)<0， 所以sineq \f(θ,2)coseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)>0； 当k是奇数时，sineq \f(θ,2)<0，coseq \f(θ,2)>0，taneq \f(θ,2)<0， 所以sineq \f(θ,2)coseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)>0. 综上，sineq \f(θ,2)coseq \f(θ,2)taneq \f(θ,2)>0. $$