5.1.2 弧度制-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制 5.1.2　弧度制 (教师独具内容) 课程标准：1.了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.体会引入弧度制的必要性． 教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：角度与弧度的互化及扇形面积公式的运用． 核心素养：1.通过弧度制概念的学习，培养数学抽象素养.2.借助弧度制与角度制的互化，提升数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用______作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的______为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以______作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作________． 度 弧度 半径长 1 rad 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 知识点二　弧度数的计算及弧度与角度互化 (1)弧度数的计算 正数 负数 0 核心概念掌握 7 (2)弧度与角度的互化 2π 2π π π 0.01745 57.30° 核心概念掌握 8 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 ____ ____ ____ ____ ____ π (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 核心概念掌握 9 知识点三　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝_____． (2)扇形面积公式：S＝_______＝_______． [提醒]　在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”． αR 核心概念掌握 10 答案 252° 2 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　角度与弧度的互化 答案 解析 105° －396° 核心素养形成 13 答案 解析 (2)把－157°30′化成弧度为________． 核心素养形成 14 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 题型二　利用弧度制表示角 (1)在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________(用弧度表示)． 答案 解析 核心素养形成 17 解 (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)． 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 【感悟提升】用弧度制表示角的关注点 (1)在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． (2)用弧度制表示区域角时，可以先写出一周的范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z. 核心素养形成 20 答案 解析 核心素养形成 21 解 (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． 核心素养形成 22 题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用 已知扇形的周长为8 cm. (1)若该扇形的圆心角为0.5 rad，求该扇形的面积； (2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角． 解 核心素养形成 23 解 [条件探究]　在本例的条件中，若“周长为8 cm”改为“面积为8 cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长． 核心素养形成 24 核心素养形成 25 【跟踪训练】 3．已知扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 核心素养形成 26 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 2．已知α＝－3 rad，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析： ∵α＝－3 rad≈－3×57.30°＝－171.9°，∴角α的终边在第三象限．故选C. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式，则α＝________． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 2 2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 角度化为弧度 弧度制下终边相同的角的表示 弧度制中区域角的表示 弧度制下确定n分角的终边的位置 角的度量制；扇形的弧长公式 扇形的弧长、周长、面积公式的应用 特殊位置角的弧度表示；用弧度制表示区域角 弧度与角度的互化；角的大小比较 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 角度化为弧度；弧度制下求与已知角终边相同的角 扇形的圆心角、弧长、面积公式的应用 弧长的求法 数学文化中扇形面积的计算 角度、弧度的转化；扇形的弧长、面积公式 扇形的弧长与面积公式在实际中的应用 实际问题中与扇形的圆心角、弧长、面积有关的最值问题 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 7．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为_________________________． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 答案 解析 α＜β＜γ＜θ＝φ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 9．已知α＝1690°， (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，弦AB所对的圆心角为α. (1)求α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 12．(2024·山西运城高一上期末)《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝)，书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形 的圆心角大小为5(单位：弧度)，则该“环田”的面积为(　　) A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 14．如图所示，已知一长为，宽为1的长方形木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程为___________，走过的弧所对应的扇形的总面积为________． 解 析 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 15.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环 面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直 线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所 在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y取得最大值？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(1,360) [提醒]　(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以省略不写． (3)角度制和弧度制表示角时不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq \f(π,4)，k∈Z，都不正确． (4)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． eq \f(l,r) eq \f(π,180) （eq \f(180,π)）° eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) eq \f(π,2) eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(2π,3) eq \f(1,2)lR eq \f(1,2)αR2 eq \f(3π,2) 1．(弧度化角度)eq \f(7π,5)化为角度是________． 2．(角度化弧度)75°化为弧度是________． 3．(扇形面积公式的应用)半径为3，圆心角为60°的扇形的面积为________． 4．(弧长公式的应用)若圆的半径为r，则该圆上长为2r的弧所对的圆心角为___． eq \f(5π,12) eq \f(π,9) －eq \f(π,12) ①20°＝________；②－15°＝________； ③eq \f(7π,12)＝________；④－eq \f(11π,5)＝________． 解析　①20°＝20×eq \f(π,180)＝eq \f(π,9).②－15°＝－15×eq \f(π,180)＝－eq \f(π,12).③eq \f(7π,12)＝eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.④－eq \f(11π,5)＝－eq \f(11π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°. －eq \f(7π,8) 解析　－157°30′＝－157.5°＝－eq \f(315,2)×eq \f(π,180)＝－eq \f(7π,8). 【感悟提升】弧度与角度互化的策略 (1)牢记π rad＝180°. (2)度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数． (3)将角度转化为弧度时，要先把带有分、秒的部分化为度，再化成弧度． (4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数． 【跟踪训练】 1．(2024·湖南长沙一中高一上月考)将下列各角度与弧度互化： (1)67.5°；(2)112°30′；(3)eq \f(9π,4)；(4)3. 解：(1)67.5°＝67.5×eq \f(π,180)＝eq \f(3π,8). (2)112°30′＝112.5°＝112.5×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,8). (3)eq \f(9π,4)＝eq \f(9π,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝405°. (4)3＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈3×57.30°＝171.90°. eq \f(2π,5)，eq \f(12π,5) 解析　因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z), 当k＝0时，θ＝72°＝eq \f(2π,5)；当k＝1时，θ＝432°＝eq \f(12π,5)，所以在[0，4π]中与72°角终边相同的角有eq \f(2π,5)，eq \f(12π,5). 解　①以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)． ∴终边落在阴影部分内的角的集合为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))). ②以OA为终边的角为eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．不妨设终边落在右边阴影部分内的角的集合为M1，终边落在左边阴影部分内的角的集合为M2， 则M1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ<α<\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))))， M2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)))). ∴终边落在阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ<α<\f(π,3)＋2kπ，或\f(2π,3)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)))). eq \f(2π,5)，eq \f(9π,10)，eq \f(7π,5)，eq \f(19π,10) 【跟踪训练】 2．(1)若角θ的终边与角eq \f(8π,5)的终边相同，则在[0，2π]内与角eq \f(θ,4)的终边相同的角是____________________． 解析：∵θ＝eq \f(8π,5)＋2kπ，k∈Z，∴eq \f(θ,4)＝eq \f(2π,5)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.由eq \f(θ,4)∈[0，2π]，得k＝0，1，2，3，即eq \f(θ,4)＝eq \f(2π,5)，eq \f(9π,10)，eq \f(7π,5)，eq \f(19π,10). 解：由题意可知，30°＝eq \f(π,6)，210°＝eq \f(7π,6)，则终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.又终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))). 解　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，扇形的面积为S. (1)由题意，得2r＋l＝8，l＝0.5r， 解得r＝3.2 cm，l＝1.6 cm， 所以S＝eq \f(1,2)lr＝2.56(cm2)． (2)由2r＋l＝8，得l＝8－2r，r∈(0，4)， 则S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2 cm时，Smax＝4 cm2，此时l＝4 cm，圆心角α＝eq \f(l,r)＝2. 解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， 则由S＝eq \f(1,2)αr2，得8＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×r2. 所以r＝4eq \r(2) cm. 所以l＝αr＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)＝2eq \r(2)(cm)． 【感悟提升】扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧长公式l＝αr，面积公式S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：在研究与扇形弧长、面积有关的最值问题时，往往转化为二次函数的最值问题． 解：(1)因为α＝75°＝eq \f(5π,12)，所以l＝αR＝12×eq \f(5π,12)＝5π(cm)，S＝eq \f(1,2)lR＝30π(cm2)． (2)由已知，得l＋2R＝20， 则l＝20－2R，0<R<10. 所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25. 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 1．将eq \f(2,3)弧度化为角度的结果为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,π)))° B．120° C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,270)))° D．270° 解析：∵1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，∴eq \f(2,3) rad＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,π)))°. 3.(2024·江苏南京航空航天大学附属中学高一上月考)工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式．某同学想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为20 cm，内圆半径为10 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为(　　) A.eq \f(100π,3) cm2 B.100π cm2 C．400π cm2 D.eq \f(400π,3) cm2 解析：扇形的圆心角为120°＝eq \f(2π,3)，大扇形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×202＝eq \f(400π,3)，小扇形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×102＝eq \f(100π,3)，所以制作这样一面扇面需要的布料为eq \f(400π,3)－eq \f(100π,3)＝100π cm2.故选B. eq \f(5π,6) 解析：因为－570°＝－eq \f(19π,6)＝－4π＋eq \f(5π,6)，所以α＝eq \f(5π,6). 5．(2024·湖南湘潭一中高一上月考)若弧长为1，圆心角为2弧度的扇形，其面积为S，则eq \f(1,\r(S))＝________，扇形的周长为________． 解析：设扇形的半径为R，弧长为l.因为扇形的半径R＝eq \f(l,α)＝eq \f(1,2)，所以扇形的面积S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).所以eq \f(1,\r(S))＝eq \f(1,\r(\f(1,4)))＝eq \f(1,\f(1,2))＝2，扇形的周长为l＋2R＝1＋2×eq \f(1,2)＝2. 1．600°化为弧度为(　　) A.eq \f(10π,3) B.eq \f(11π,3) C.eq \f(5π,3) D.eq \f(13π,6) 解析：600°＝600×eq \f(π,180)＝eq \f(10π,3).故选A. 2．在[0，2π)范围内，与角－eq \f(2π,3)终边相同的角是(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(4π,3) 解析：与角－eq \f(2π,3)终边相同的角是2kπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))，k∈Z，令k＝1可得与角－eq \f(2π,3)终边相同的角是eq \f(4π,3).故选D. 3．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中角的终边所在的范围(阴影部分)是(　　) 解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq \f(π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq \f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(3π,2)，m∈Z.故选C. 4．若eq \f(α,3)＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，则eq \f(α,2)的终边在(　　) A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 解析：∵eq \f(α,3)＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴eq \f(α,2)＝3kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．当k为奇数时，eq \f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，eq \f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上．综上，eq \f(α,2)的终边在y轴上．故选D. 5．(2024·陕西咸阳实验中学高一上月考)角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位.1密位等于周角的eq \f(1,6000)，即2π弧度＝360°＝6000密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0－03，123密位写成1－23.设圆的半径为1，那么10－00密位的圆心角所对的弧长为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2) 解析：由题意知，10－00密位的圆心角为eq \f(1000,6000)×2π＝eq \f(π,3)，所以弧长为eq \f(π,3)×1＝eq \f(π,3).故选C. 6．(多选)小夏同学在学习了“任意角和弧度制”后，对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中， ∠AOB＝eq \f(π,3)，OB＝OA＝2，则(　　) A．∠AOB＝30° B.eq \o(AB,\s\up15(︵))的长度为eq \f(2π,3) C．扇形OAB的周长为eq \f(2π,3)＋4 D．扇形OAB的面积为eq \f(4π,3) 解析：因为∠AOB＝eq \f(π,3)＝60°，所以A错误；eq \o(AB,\s\up15(︵))的长度为l＝αr＝eq \f(π,3)×2＝eq \f(2π,3)，所以B正确；扇形OAB的周长为eq \f(2π,3)＋4，所以C正确；扇形OAB的面积为S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×2＝eq \f(2π,3)，所以D错误．故选BC. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))) 解析：因为y轴对应的角可用－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)表示，所以y轴右侧角的集合为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ<θ<\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))). 8．已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12)，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为______________________． 解析：解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq \f(π,180)＝eq \f(π,12)，θ＝105°＝105×eq \f(π,180)＝eq \f(7π,12).显然eq \f(π,12)＜eq \f(π,10)＜1＜eq \f(7π,12)，故α＜β＜γ＜θ＝φ. 解法二(化为角度)：β＝eq \f(π,10)＝eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜γ＜θ＝φ. 解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq \f(25π,18). (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq \f(25π,18)(k∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq \f(25π,18)<4π(k∈Z)， 解得－eq \f(97,36)<k<eq \f(47,36)(k∈Z)， ∴k＝－2，－1，0，1. ∴θ是－eq \f(47π,18)，－eq \f(11π,18)，eq \f(25π,18)，eq \f(61π,18). 解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形． ∴α＝∠AOB＝60°＝eq \f(π,3) rad. (2)由(1)可知α＝eq \f(π,3) rad，r＝10，∴弧长l＝αr＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)， ∴S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3)， 而S△AOB＝eq \f(1,2)AB·eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝25eq \r(3)， ∴S＝S扇形－S△AOB＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3))). 11.(2024·广西河池八校高一上第二次联考)如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则eq \o(BF,\s\up15(︵))的长为(　　) A.eq \f(4π,5) B.eq \f(4π,3) C.eq \f(3π,5) D．π 解析：如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠FCD＝eq \f(π,3)，又∠BCD＝eq \f(（5－2）π,5)＝eq \f(3π,5)，所以∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝eq \f(3π,5)－eq \f(π,3)＝eq \f(4π,15)，所以eq \o(BF,\s\up15(︵))＝eq \f(4π,15)×3＝eq \f(4π,5).故选A. 解析：设中周的半径是R1，外周的半径是R2，圆心角为α＝5，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(αR1＝5R1＝95，,αR2＝5R2＝125，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R1＝19，,R2＝25，))则该“环田”的面积为S＝eq \f(1,2)αReq \o\al(2,2)－eq \f(1,2)αReq \o\al(2,1)＝eq \f(1,2)×5×(252－192)＝660平方步．故选C. 13.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　) A．1 s时，∠BOA的弧度数为eq \f(π,3)＋3 B.eq \f(π,12) s时，扇形AOB的弧长为eq \f(7π,12) C.eq \f(π,6) s时，扇形AOB的面积为eq \f(π,3) D.eq \f(5,9) s时，A，B在单位圆上第一次相遇 解析：经过1 s后，A运动的角度为1，B运动的角度为－2，∴∠BOA的弧度数为eq \f(π,3)＋3，故A正确；当经过eq \f(π,12) s时，扇形AOB的弧长为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,12)×1＋\f(π,12)×2))×1＝eq \f(7π,12)，故B正确；当经过eq \f(π,6) s时，∠BOA＝eq \f(π,6)×1＋eq \f(π,6)×2＋eq \f(π,3)＝eq \f(5π,6)，∴扇形AOB的面积为eq \f(1,2)×eq \f(5π,6)×12＝eq \f(5π,12)，故C错误；设A，B第一次相遇时所用的时间是t，则3t＋eq \f(π,3)＝2π，∴t＝eq \f(5π,9)(s)，即第一次相遇的时间为eq \f(5π,9) s，故D错误．故选AB. eq \f(7π,4) 解析：eq \o(AA1,\s\up15(︵))所在的圆的半径是2，所对的圆心角为eq \f(π,2)，eq \o(A1A2,\s\up15(︵))所在的圆的半径是1，所对的圆心角为eq \f(π,2)，eq \o(A2A3,\s\up15(︵))所在的圆的半径是eq \r(3)，所对的圆心角是eq \f(π,3).点A走过的路程是3段弧长之和，即2×eq \f(π,2)＋1×eq \f(π,2)＋eq \r(3)×eq \f(π,3)＝eq \f(（9＋2\r(3)）π,6).3段弧所对应的扇形的总面积为eq \f(1,2)×2×π＋eq \f(1,2)×1×eq \f(π,2)＋eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(\r(3)π,3)＝eq \f(7π,4). eq \f(（9＋2\r(3)）π,6) 解：(1)由题意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)， ∴θ＝eq \f(10＋2x,10＋x)(0<x<10)． (2)花坛的面积为eq \f(1,2)θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)． 装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x， ∴花坛的面积与装饰总费用的比y＝eq \f(－x2＋5x＋50,170＋10x)， 令t＝17＋x(17<t<27)， 则y＝eq \f(39,10)－eq \f(1,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(324,t)))≤eq \f(39,10)－eq \f(2,10) eq \r(t·\f(324,t))＝eq \f(3,10)， 当且仅当t＝eq \f(324,t)，即t＝18时，y取得最大值eq \f(3,10)，此时x＝1，θ＝eq \f(12,11). 故当x＝1时，y取得最大值eq \f(3,10). $$