2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 ２.3　二次函数与一元二次 方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 (教师独具内容) 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 教学重点：1.三个“二次”之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：三个“二次”之间的关系． 核心素养：1.通过了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.2.通过解一元二次不等式，培养数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有________未知数，并且未知数的_____________的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的_______． [提醒]　零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． 一个 最高次数是2 零点 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 核心概念掌握 7 [点拨]　(1)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集是空集． 核心概念掌握 8 1．(二次函数的零点)二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案 核心概念掌握 9 答案 核心概念掌握 10 3．(不含参数的一元二次不等式的求解)不等式3＋5x－2x2≤0的解集为____________________． 答案 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0； (3)－2x2＋x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0. 解 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 【感悟提升】解不含参数的一元二次不等式的步骤 核心素养形成 15 【跟踪训练】 1．求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6. 解 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 (2024·吉林长春第二十中学高一上第一次质量检测)解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 解 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 【感悟提升】解含参数的一元二次不等式的步骤 核心素养形成 21 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知， ①当a<0或a>1时，a2>a， 解原不等式得x>a2或x<a； 解 【跟踪训练】 2．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 核心素养形成 22 解 ②当0<a<1时，a2<a， 解原不等式得x>a或x<a2； ③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0； ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0， ∴x≠1. 综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 核心素养形成 23 题型三　三个“二次”之间的关系 解 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 解 [结论探究]　若本例中的已知条件不变，如何求不等式cx2－bx＋a<0的解集？ 核心素养形成 26 【感悟提升】　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 核心素养形成 27 解 核心素养形成 28 解 核心素养形成 29 随堂水平达标 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4≤x≤7} B．{x|－4≤x<－2，或3<x≤7} C．{x|－2<x≤7} D．{x|－4≤x<－3，或2<x≤7} 解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2，或x>3}，∴M∩N＝{x|－4≤x<－2，或3<x≤7}． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 5．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解集为________________． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 不含参数的一元二次不等式的求解 已知一元二次不等式的解集求参数值 含参数的一元二次不等式的求解 已知一元二次不等式的解集求参数值 一元二次不等式与二次函数的关系及应用 含参数的一元二次不等式的求解 不含参数的一元二次不等式的求解 二次函数的零点问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★ ★★ ★★★ ★ ★★★ ★★ 对点 不含参数的一元二次不等式的求解 不含参数的一元二次不等式的求解；三个“二次”之间的关系 三个“二次”之间的关系 一元二次不等式与一元二次方程的关系；一元二次方程根的分布问题 新定义背景下不含参数的一元二次不等式的求解 利用三个“二次”之间的关系求参数范围 分类讨论思想求解含参数的一元二次不等式的解集 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 1．不等式(x－1)2<x＋5的解集为(　　) A．{x|1<x<4} B．{x|－1<x<4} C．{x|－4<x<1} D．{x|－1<x<3} 解析：不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0，即(x－4)(x＋1)<0，解得－1< x<4，所以不等式的解集为{x|－1<x<4}． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 2．若不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋2c－1的值为(　　) A．2 B．－1 C．0 D．1 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 4．(2024·山东莱西第一中学高一阶段练习)不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x<－2，或x>3}，则m＋n的值是(　　) A．14 B．0 C．－10 D．－14 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 5．已知y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且不等式y<0的解集是{y|α<y<β}(α<β)，则α，β，a，b的大小关系是(　　) A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 解析：设y1＝(x－a)(x－b)，则函数y1的图象向上平移2个单位长度得到y的图象，由图易知a<α<β<b.故选A. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 7．(2024·甘肃天水一中高一上第二次段考)不等式2≤x2－2x<8的解集是___________________________________． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 8．已知关于x的二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2，则实数k的取值范围为______________． 解析：由题意得，二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4的图象开口向上，又一个零点大于2，一个零点小于2，所以22＋2k＋k2＋k－4<0，整理，得k2＋3k<0，解得－3<k<0.所以实数k的取值范围为{k|－3<k<0}． 答案 解析 {k|－3<k<0} 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 10．已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集． 解：(1)由x2＋x－6<0，得－3<x<2， ∴A＝{x|－3<x<2}． 由x2－2x－3<0，得－1<x<3， ∴B＝{x|－1<x<3}． ∴A∩B＝{x|－1<x<2}． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 12．(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 13．(2024·江苏南京一中高一上月考)对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为_____________． 答案 解析 {x|2≤x<8} 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围是________________． 解析 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 15．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ___________________ ________________ ________ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ___________________ ________ ________ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) 2．(三个“二次”之间的关系)(2024·重庆万州第二中学高一下开学考试)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|x<－2，或x>－1}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>\f(1,2))))) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1<x<－\f(1,2))))) D.{x|x<－2，或x>1} eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(1<x<a＋\f(1,a))))) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)，或x≥3)))) 4．(含参数的一元二次不等式的求解)关于x的不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋1))x＋a＋eq \f(1,a)<0(a>0)的解集为______________． 解 (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，或x>2)))). （2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}. （3）原不等式可化为2x2－x＋3>0， ∵Δ<0，方程2x2－x＋3＝0无解， ∴不等式－2x2＋x－3<0的解集为R. （4）原不等式可化为3x2－5x＋2<0， ∵Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq \f(2,3)，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3) < x<1)))). 解：(1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0， ∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6， ∴不等式x2－5x>6的解集为{x|x<－1，或x>6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， 方程(2x－1)2＝0的根为x＝eq \f(1,2). ∴不等式4x2－4x＋1≤0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2))))). (3)由－x2＋7x>6得x2－7x＋6<0. 而x2－7x＋6＝0的两根是x＝1或6， ∴不等式－x2＋7x>6的解集为{x|1<x<6}． 解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R； ②当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝eq \f(1,4)(－a－eq \r(a2－16))，x2＝eq \f(1,4)(－a＋eq \r(a2－16))，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,4)（－a－\r(a2－16)），或x>\f(1,4)（－a＋\r(a2－16)）)))). ③当Δ＝0，即a＝4或－4时，方程2x2＋ax＋2＝0有两个相等的实数根， 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}， 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． (2)若a＝0，原不等式为－x＋1<0， 解得x>1； 若a<0，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0， 解得x<eq \f(1,a)或x>1； 若a>0，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，(*) 其解的情况应由eq \f(1,a)与1的大小关系决定，故 ①当a＝1时，由(*)式可得x∈∅， ②当a>1时，由(*)式可得eq \f(1,a)<x<1， ③当0<a<1时，由(*)式可得1<x<eq \f(1,a). 综上所述，当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)，或x>1))))；当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))). \lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2)))) 　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解 由ax2＋bx＋c≥0的解集是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))，知a<0. 又－eq \f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，eq \f(c,a)＝－eq \f(2,3)， ∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a. ∴所求不等式变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又a<0， ∴2x2＋5x－3<0，解得－3<x<eq \f(1,2)， ∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3<x<\f(1,2))))). 解：由例3，知a<0， 又－eq \f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，eq \f(c,a)＝－eq \f(2,3)， ∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a. ∴所求不等式变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0， 即2ax2－5ax－3a>0. 又a<0，∴2x2－5x－3<0，解得－eq \f(1,2)<x<3， ∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<3)))). 【跟踪训练】 3．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2))))). (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为eq \f(1,3)和eq \f(1,2)， 由根与系数的关系，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(5,a)＝\f(1,3)＋\f(1,2)，,\f(c,a)＝\f(1,2)×\f(1,3)，)) 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0， 解得eq \f(1,3)≤x≤1， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤1)))). 1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<1)))) C．∅ D．R 3．(多选)(2024·重庆沙坪坝区校级段考)下列不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋2x＋1<0 B．－x2＋2x－eq \r(5)≤0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 解析：对于A，当x＝1时，不等式不成立，∴A不正确；对于B，∵－x2＋2x－eq \r(5)≤0，∴x2－2x＋eq \r(5)≥0，∵Δ＝4－4eq \r(5)<0，∴B正确；对于C，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∴C正确；对于D，当x＝0时，不等式不成立，∴D不正确．故选BC. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>－\f(1,a))))) 4．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))<0的解集为__________________． 解析：因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))>0，方程(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＝0的两根为－1，－eq \f(1,a)，显然－eq \f(1,a)>0>－1，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>－\f(1,a))))). eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))) 解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.))代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0，又a<0，所以6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)，所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))). 解析：由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，由根与系数的关系，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,－1)＝－2＋1，,\f(c,－1)＝－2×1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝2，))所以b＋2c－1＝－1＋2×2－1＝2. 3．若0<t<1，则不等式(x－t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<t，或x>\f(1,t))))) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)，或x>t)))) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t))))) 解析：∵0<t<1，∴t<eq \f(1,t)，∴原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t))))). 解析：∵不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x<－2，或x>3}，∴一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的两个根为－2，3.由根与系数的关系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－\f(m,2)，,－2×3＝\f(n,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝－12，))所以m＋n＝－14.故选D. 6．(多选)(2024·广东深圳中学高一上月考)解关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>4，或x<－\f(2,a))))) C．当a＝－eq \f(1,2)时，不等式的解集为R D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4} 解析：不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>4，或x<－\f(2,a)))))，故B正确；当a＝－eq \f(1,2)时，不等式为eq \f(1,2)x2－4x＋8<0，Δ＝(－4)2－4×eq \f(1,2)×8＝0，不等式的解集为∅，故C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，不等式的解集为{x|2<x<4}，故D正确．故选ABD. {x|－2<x≤1－eq \r(3)，或1＋eq \r(3)≤x<4} 解析：原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－2≥0，,x2－2x－8<0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1－\r(3)或x≥1＋\r(3)，,－2<x<4，))∴原不等式的解集为{x|－2<x≤1－eq \r(3)，或1＋eq \r(3)≤x<4}． 9．求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0. 解：(1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq \f(1,2). 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－3，或x>－\f(1,2))))). (2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－eq \r(13)，x2＝4＋eq \r(13). 又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－eq \r(13)<x<4＋eq \r(13)}． (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． (4)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2))) eq \s\up12(2)≤0， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,4))))). (2)由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＋b＝0，,4＋2a＋b＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.)) ∴－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1. ∴不等式的解集为{x|x<－3，或x>1}． 11．(2024·吉林四校高一下期初联考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，则下列结论错误的是(　　) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．a＋b＋c>0 解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，所以相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－eq \f(1,2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有eq \f(c,a)＝－1<0，－eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)>0，又a<0，故b>0，c>0，故B，C正确；由二次函数的图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故D正确． 解析：∵关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两根．∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1－3a,a)＝eq \f(1,a)－3<－3，x2－x1＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(4－4×\f(1－3a,a))＝2eq \r(4－\f(1,a))>4.由x2－x1>4和x1＋x2＝2可得x1<－1<3<x2.故选ABC. 解析：由题意解得eq \f(3,2)<[x]<eq \f(15,2)，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，则2≤x<8，故不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为{x|2≤x<8}． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1<a≤\f(11,5))))) 解：设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2；若A≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4（a＋2）≥0，,12－2a＋a＋2≥0，,32－3×2a＋a＋2≥0，,1≤a≤3，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－1或a≥2，,a≤3，,a≤\f(11,5)，,1≤a≤3，))所以2≤a≤eq \f(11,5).综上，a的取值范围是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1<a≤\f(11,5))))). 解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 则eq \f(a＋1,2)，3－2a分别为方程(2x－a－1)(x＋2a－3)＝0的两根． 由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0， 所以a<－1，或a>eq \f(3,2). 若a<－1，则3－2a－eq \f(a＋1,2)＝eq \f(5,2)(－a＋1)>5， 所以3－2a>eq \f(a＋1,2)， 此时不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)<x<3－2a))))； 若a>eq \f(3,2)， 由3－2a－eq \f(a＋1,2)＝eq \f(5,2)(－a＋1)<－eq \f(5,4)， 所以3－2a<eq \f(a＋1,2)， 此时不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3－2a<x<\f(a＋1,2))))). 综上，实数a的取值范围为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<－1，或a>\f(3,2))))). 当a<－1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)<x<3－2a))))；当a>eq \f(3,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(3－2a<x<\f(a＋1,2))))). $$