第12讲 平行线分线段成比例（1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第12讲 平行线分线段成比例（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 题型强化 题型一．平行线分线段成比例 1．（2023秋•建邺区期末）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•通州区校级月考）如图，点、是边、上的点，，连接、，交点为，，那么的值是 　　． 3．（2023秋•赣榆区校级月考）已知，如图，若，，，求的长． 题型二、由平行截线求相关线段的长或比值 4．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为 ． 6．（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)求证：四边形是正方形． (2)求的值． 分层练习 一、单选题 1．如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，那么EF等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，AB∥CD∥EF，若＝，BD＝9，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（    ）． A． B． C．50 D．30 4．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图．，直线，与平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，中，，平分交边于点，过点作的平行线交于点．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B．垂直平分 C． D． 7．如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在形状和大小都确定的中，点D为中点，用直尺和圆规作图得到线段，点E在边上，点P是边上一动点（不与端点重合），连接，对于下列各值：①线段的长；②的大小；③的周长；④四边形的面积．其中会随点P的移动而变化的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①④ 10．如图，直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，如果 ，那么DE∥AB．（填一个正确的比例式即可） 12．已知：如图，DE∥BC，AE=5，AD=6，DB=8，则EC= . 13．如图，直线，，，则是 ． 14．如图，直线，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、若，，，则DF的长为 ． 15．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝4，则DF的长为 ． 16．如图，在梯形中，，点E、F分别在边、上，且满足，如果，，那么 ．    17．如图，已知AB∥CD∥EF，且BC＝2EC，则AF：AD＝ ． 18．如图4，在Rt△ACB 中，∠C=90°，BC=4，△DEF 是等腰直角三角形，∠DEF=90°，A，E 分别是DE，AC 的中点，点F 在AB 边上，则AB= . 三、解答题 19．如图，在中，，，，求证：． 20．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    21．（1）解不等式． （2）如图，在中，D、E在边上，，，，，求的长度． 22．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点． (1)用无刻度的直尺作直线； (2)用无刻度的直尺作出一个矩形． 23．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 24．（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD=DE=EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．（不写作法，保留作图痕迹） 25．如图，中，D，E两点分别在边，上，点F在上，连接，，，已知，，．    (1)求证：； (2)连接AF，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的值（用含k的代数式来表示）． 26．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 平行线分线段成比例（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 题型强化 题型一．平行线分线段成比例 1．（2023秋•建邺区期末）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：直线， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键． 2．（2023秋•通州区校级月考）如图，点、是边、上的点，，连接、，交点为，，那么的值是 　　． 【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值． 【解答】解：如图所示，过作，交于， 则，即：，， ，即：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（2023秋•赣榆区校级月考）已知，如图，若，，，求的长． 【分析】由可得，从而得到，进行计算即可得出答案． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得：， 的长为9． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 题型二、由平行截线求相关线段的长或比值 4．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例判断即可． 【详解】解：∵直线，，， ∴，故A正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知，a与b的距离为3，b与c的距离为5，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E，则垂直于直线b，再由题意可得，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：如图所示，过点A作直线c的垂线，垂足为D，设与直线b交于E， ∵，垂直于直线c， ∴垂直于直线b， ∵a与b的距离为3，b与c的距离为5， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)求证：四边形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形、根据正方形的性质与判定证明、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考査正方形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识点． (1)由结合可得四边形是矩形，再由即可得证； (2)由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是正方形； （2）解：由(1)知四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ． 分层练习 一、单选题 1．如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，那么EF等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，然后再代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， 故选：C． 2．如图，AB∥CD∥EF，若＝，BD＝9，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ， ，， ， 解得：DF＝6， 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，利用平行条件，找到线段比例式，代入对应边长求解，这是解决本题的主要思路． 3．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（    ）． A． B． C．50 D．30 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】解：， ， 即， ， 的长是． 故选：D． 4．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A.AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； B.AO与CO，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； C. 能判定CD∥AB，故错误； D.能判定CD∥AB，正确； 故选D. 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据图形进行分别判断. 5．如图．，直线，与平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】因为和，设，，再根据平行线分线段成比例的性质，进行逐项分析即可． 【详解】解：因为，可设，， ∴， ∵， ∴，， A、由已知条件，，无法得到的值，故该选项不正确； B、因为，故该选项正确； C、因为，故该选项不正确； D、因为，故该选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．如图，中，，平分交边于点，过点作的平行线交于点．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、角平分线性质定理及证明 【分析】由角平分线性质结合平行线的性质，解得DE=BE, 再根据平行线定理，得到成比例线段，由成比例线段的性质依次对四个选项进行判断解题即可． 【详解】平分 故A错误； 又，， ， 故选项B错误，选项C错误，选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查由平行判断成比例的线段，其中涉及平行线的性质、成比例线段的性质，角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【详解】由DE∥BC，DF∥AC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案，注意排除法的应用． 解：∵DE∥BC， ∴=，故A错误； ∴=， ∵DF∥AC， ∴=， ∴=，故B正确； ∴=，故C错误； ∵=，=， ∴≠，故D错误． 故选B． 9．如图，在形状和大小都确定的中，点D为中点，用直尺和圆规作图得到线段，点E在边上，点P是边上一动点（不与端点重合），连接，对于下列各值：①线段的长；②的大小；③的周长；④四边形的面积．其中会随点P的移动而变化的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①④ 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、与三角形中位线有关的证明、尺规作一个角等于已知角 【分析】由作图知，，可证E为中点，，线段的长不变，故①错误；的大小随点P的移动而变化，故②正确；的长度随点P的移动而变化，故③正确；点P到的距离不随点P的移动而变化，可推知四边形的面积不变，故④错误． 【详解】在中，点D为中点，由作图痕迹可知， ∴， ∴ ∴E为中点， ∴，线段的长不变，故①错误； 的大小随点P的移动而变化，故②正确； 的长度随点P的移动而变化， ∴的周长会随点P的移动而变化，故③正确； 点P到的距离不随点P的移动而变化，故的面积不变，四边形的面积的面积的面积，所以不变，故④错误． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②③． 故选：C． 【点睛】考查尺规作图作一个角等于已知角，平行线的性质，中位线，三角形的周长、面积的计算；掌握中位线性质是解题的关键． 10．如图，直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】∵， ∴， ∵a∥b∥c， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 二、填空题 11．在△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，如果 ，那么DE∥AB．（填一个正确的比例式即可） 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：如图，当时，DE∥AB， 故答案为. 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12．已知：如图，DE∥BC，AE=5，AD=6，DB=8，则EC= . 【答案】. 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】试题分析：△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答． 试题解析：∵△ABC中，DE∥BC， ∴ ∵AD=6，DB=8，AE=5， ∴，解得EC= 考点: 平行线分线段成比例． 13．如图，直线，，，则是 ． 【答案】2：1 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】∵直线l1//l2，AF：FB=2：3，∴AG:BD=2:3，∵BC：CD=2：1，∴BD:CD=3:1，∴AG:CD="2:1," ∵直线l1//l2，∴AE：EC= AG:CD=2:1.故答案是：2：1. 14．如图，直线，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、若，，，则DF的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论． 【详解】， ， 即， ， 故答案为 【点睛】考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键． 15．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝4，则DF的长为 ． 【答案】10 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴， ∴， ∴EF=6， ∴DF=EF+DE=6+4=10； 故答案为10. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．如图，在梯形中，，点E、F分别在边、上，且满足，如果，，那么 ．    【答案】6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据梯形的性质可得，，可得出，再根据，即可得出的长度，则的长即可求得． 【详解】解：梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 则． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．熟记定理是解题的关键． 17．如图，已知AB∥CD∥EF，且BC＝2EC，则AF：AD＝ ． 【答案】3：2． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】∵AB∥CD∥EF，BC＝2EC， ∴＝2， ∴， 故答案为3：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．解题时，一定要找准对应线段，以防解答错误． 18．如图4，在Rt△ACB 中，∠C=90°，BC=4，△DEF 是等腰直角三角形，∠DEF=90°，A，E 分别是DE，AC 的中点，点F 在AB 边上，则AB= . 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】由题意易证，即得出，再根据BC=4，E是AC 的中点，即可求出EF的长，最后利用等腰三角形的定义和勾股定理即可求出AB的长． 【详解】∵∠C=∠DEF=90°， ∴， ∴． ∵BC=4，E是AC 的中点， ∴， 解得：． ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴DE=EF=2． ∵A是DE 的中点， ∴AE=CE=1， ∴AC=2， ∴AB=． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的定义以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 三、解答题 19．如图，在中，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 21．（1）解不等式． （2）如图，在中，D、E在边上，，，，，求的长度． 【答案】（1）． （2） 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、求一元一次不等式的解集 【分析】(1)按照解不等式的基本步骤解答即可． (2)根据三角形相似的判定和性质，列出比例式计算即可．本题考查了解不等式，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】(1) ， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ． (2)∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得, 故的长度是． 22．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点． (1)用无刻度的直尺作直线； (2)用无刻度的直尺作出一个矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】由平行判断成比例的线段、利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查作图-复杂作图、菱形的性质、矩形的判定，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定是解答本题的关键； （1）连接交于点，则点是的中点（菱形的对角线相互平分）；连接交于点M，则即为所求直线； （2）连接，交于点，分别延长，，相交于点，连接，，相交于点，则四边形即为所求； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接交于点，则点是的中点（菱形的对角线相互平分）； 因为四边形是菱形， 所以 所以 因为 所以 所以为的中位线 所以 则所在直线即为所求直线； （2）解：如图，四边形即为所求； 证明：连接，交于点，分别延长，，相交于点，连接，，相交于点， 根据菱形性质可得：， ，， 四边形是菱形， ， ∴ 四边形为矩形； 23．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 【答案】桶内所装液体的体积为立方米． 【知识点】 圆柱的体积、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 24．（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD=DE=EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段、过直线外一点作这条直线的平行、作线段(尺规作图) 【详解】试题分析：（1）连结FH，分别过点E、F作FH的平行线交OH于N、M，根据平行线分线段成比例定理可得到OM=MN=NH； （2）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC与M，交AB与N，然后利用（1）的作法作MN的三等份点即可得到O点． 解：（1）如图1，点M、N为所作； （2）如图2，点O为所作． 考点：作图—复杂作图；平行线分线段成比例． 25．如图，中，D，E两点分别在边，上，点F在上，连接，，，已知，，．    (1)求证：； (2)连接AF，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的值（用含k的代数式来表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、根据等边对等角证明、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再结合可得，最后结合即可证明结论； （2）先证可得，进而证得，即，然后根据等边对等角即可证明结论； （3）如图：过点F作交于点G，则，，即；再证可得，进而得到；再根据平行线等分线段定理可得，最后结合进行计算即可解答． 【详解】（1）∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）在和中， ，，， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． （3）如图：过点F作交于点G，    ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 26．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】由平行判断成比例的线段、用勾股定理解三角形、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理． （1）如图2，过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长． 【详解】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于， ，，， ， ， ， ； （2）解：如图3，，，， ， 平分， ，即， ， ， 的周长． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$