第12讲 正多边形（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第12讲 正多边形（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2023秋•瑞安市期中）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为．图中阴影部分面积，则的值为　　 A． B． C． D． 2．（2024•莲都区二模）如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，，为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是 　　． 3．如图1，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图，请根据下列信息解决问题． （1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； （2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图3中边长的数据为近似值，供选用） 题型二、求正多边形的中心角 4．（九年级上·浙江杭州·期中）如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ． 5．（21-22九年级上·浙江温州·期末）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（　　） A．1 B． C． D． 题型三、正多边形和圆的综合 6．（2024·浙江·模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形内接于圆，，点P在圆上且满足，，则点A到的距离为 ． 8．（九年级上·浙江·课后作业）如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． (1)求图1中∠APN的度数； (2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________． (3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 分层练习 一、单选题 1．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 2．如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，A、B、C、D是一个外角为的正多边形的顶点，若O为正多边形内一点，且到各顶点的距离相等，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，要将一个底面半径为的圆柱体改成一个四棱柱，先把圆柱体展开，做成四棱柱的底，把展开的侧面围成四棱柱的四个面，则围成侧面时多出的长度约为（　　） A． B． C． D． 5．下列命题是假命题的是（    ） A．半径为R的圆内接正方形的边长等于 B．正六边形的每个中心角都等于60° C．正八边形是轴对称图形 D．正七边形是中心对称图形 6．正六边形的外接圆半径为，则它的内切圆半径为（ ） A． B． C．2 D．1 7．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 8．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则这个正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正五边形和等边内接于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是 ． 12．已知正六边形的边长为，点为六边形内任一点，则点到各边距离之和为 ． 13．如图，四边形是的内接正方形，E是的中点，交于点F，则 度． 14．如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 15．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB．BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ． 16．小明用一张直径为的圆形纸片，剪出一个面积最大的正六边形，这个正六边形的周长是 ，面积是 ． 三、解答题 17．如图，点、、、都在上，，． (1)求的度数； (2)求的度数； 18．用等分圆周的方法画出下列图案： 19．（1）计算：（2﹣π）0﹣×+（）﹣1 （2）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，求∠1的度数． 20．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图所示的圆，把⊙O�分成相等的6�段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形． 22．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 正多边形（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2023秋•瑞安市期中）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为．图中阴影部分面积，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设交于点，交于点，作于点，则，可证明，，则，设阴影部分的正八边形的边长为，则，，由勾股定理得，所以，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：设交于点，交于点，作于点，则， ，， ， ，， ， 设阴影部分的正八边形的边长为，则，， ， ， ， ， ， 两个正八边形相似， ， 故选：． 【点评】此题重点考查正多边形的性质、多边形的内角和、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求出两个正八边形的边长的平方的比是解题的关键． 2．（2024•莲都区二模）如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，，为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是 　　． 【分析】根据正多边形的性质确定出中心角，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：正九边形的一个中心角的度数为， 圆面直径为， 圆面半径为， 的长是， 故答案为：， 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，扇形的弧长公式，熟练掌握正多边形的性质，扇形弧长公式是解答本题的关键． 3．如图1，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图，请根据下列信息解决问题． （1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； （2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图3中边长的数据为近似值，供选用） 【分析】（1）求出正八边形的外角，可得结论； （2）求出正八边形的边心距，可得结论． 【解答】解：（1）正八边形的外角， 正八边形的内角． （2）如图2中，连接，，过点作于点． ，， ，， 由题意， ， ， 这个托盘不适用于此八角花盆． 【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型二、求正多边形的中心角 4．（九年级上·浙江杭州·期中）如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ． 【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【详解】连接，，，， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴，， ∵恰好是⊙的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴的度数为84°. 5．（21-22九年级上·浙江温州·期末）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正多边形的中心角、正多边形和圆的综合 【分析】根据题意，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，则每一等分的圆弧都相等，每一等分的圆弧所对的圆心角相等，根据题意求得，继而求得，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求得，进而根据对称性可得则阴影部分面积为，根据三角形的面积公式计算即可求得 【详解】添加字母如图， 根据题意，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 则每一等分的圆弧都相等，每一等分的圆弧所对的圆心角相等 , 根据对称性可得 则是等腰直角三角形 同理可得是等腰直角三角形 则阴影部分面积为 故选C 【点睛】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的旋转对称性，理解阴影部分的面积为是解题的关键． 题型三、正多边形和圆的综合 6．（2024·浙江·模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，要使整个草坪都喷到水，必须计算出正方形的外接圆的面积是解题的关键．根据已知可计算得到每个喷水龙头的喷洒面积，及正方形的外接圆的面积，则此时就不难求得需安装这种喷水龙头的个数． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的外接圆的半径是，则其外接圆的面积是， ∵每个喷水龙头喷洒的面积是， 则． 故选：B． 7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形内接于圆，，点P在圆上且满足，，则点A到的距离为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 分两种情况讨论，当点在上方时，设与相交于点O，连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于，由勾股定理可求，的长，由“”可证，可得，，可求，当点在上方时，同理可求的值． 【详解】解：如图，当点在上方时， 设与相交于点O， 连接，过点A作，交延长的延长线于E，过点A作于， ∵四边形是正方形， ，， 又∵， ， 又，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 当点P在的下方时， 同理可求， 故答案为：或． 8．（九年级上·浙江·课后作业）如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． (1)求图1中∠APN的度数； (2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________． (3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 【答案】（1）60°；（2）90°，108°；（3）. 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可． 【详解】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴∠BAM＝∠CBN， 又∵∠APN＝∠BPM， ∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°； （2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°． （2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，． 【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数． 分层练习 一、单选题 1．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得，根据正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴ ∴正方形的半径是 故选：C． 2．如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形的外接圆圆心角及圆周角，根据正多边形外接圆得到，根据圆周角等圆圆心角一半求解即可得到答案； 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图所示，A、B、C、D是一个外角为的正多边形的顶点，若O为正多边形内一点，且到各顶点的距离相等，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据多边形外角和定理求出这个正多边形的边数，再由题意可得O为正多边形的外接圆圆心，据此求出，再由等边对等角，结合三角形内角和定理得到． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数为， ∵O为正多边形内一点，且到各顶点的距离相等， ∴O为正多边形的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，三角形内角和定理，求出该正多边形的边数是解题的关键． 4．如图，要将一个底面半径为的圆柱体改成一个四棱柱，先把圆柱体展开，做成四棱柱的底，把展开的侧面围成四棱柱的四个面，则围成侧面时多出的长度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、几何体展开图的认识 【分析】本题考查正多边形和圆，展开图折叠成几何体，掌握圆柱体、四棱柱的形体特征是正确解答的关键．求出圆柱体侧面展开图的长，再求出四棱柱的底面周长即可． 【详解】解：由于圆柱的底面半径为， 则圆柱侧面展开图的长为， ∵正方形是圆的内接四边形， ∴， ∴， 把圆柱体的侧面围成四棱柱的四个侧面，则围成侧面时多出的长度约为， 故选：D． 5．下列命题是假命题的是（    ） A．半径为R的圆内接正方形的边长等于 B．正六边形的每个中心角都等于60° C．正八边形是轴对称图形 D．正七边形是中心对称图形 【答案】D 【分析】利用正多边形的对称性、角度计算、线段长度计算，分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、半径为R的圆内接正方形的边长等于，正确，是真命题； B、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题； C、正八边形是轴对称图形，正确，是真命题； D、正七边形I不是中心对称图形，故错误，是假命题； 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正多边形的外角和、正多边形的计算及正多边形的外角和等知识，难度不大． 6．正六边形的外接圆半径为，则它的内切圆半径为（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可． 【详解】如图,连接OA、OB,OG; ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB=60°， ∴OG=OA⋅sin60°=2×=， ∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为. 故答案选A. 【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题的关键是利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可. 7．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合 【详解】试题分析：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD； 在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：3， 所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D． 考点：正多边形和圆． 8．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合 【分析】先求出正五边形的内角，再根据面积计算公式计算即可； 【详解】∵正五边形的内角和为， ∴每一个内角为：， 图中阴影部分的圆心角为：， ∴； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质和扇形面积计算公式，准确计算是解题的关键． 9．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则这个正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】根据正六边形的性质，可得，，根据等腰三角形的性质，可得的长，根据勾股定理计算，可得答案． 【详解】解：如图：作于， 由正六边形，得 ，， ． 由，得． ∴， 这个正六边形的面积， 故选C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质和勾股定理． 10．如图，正五边形和等边内接于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图（见解析），先根据正五边形的内角和定理与性质可得，，再根据三角形的内角和定理、等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据等边三角形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】如图，连接BD， 五边形是正五边形， ，， ， ， 由圆周角定理得：， 又是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正五边形的内角和与性质、等腰三角形和等边三角形的性质、圆周角定理等知识点，通过作辅助线，利用到圆周角定理是解题关键． 二、填空题 11．有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是 ． 【答案】2 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形,这个圆形纸片的边缘即为其外接圆,根据正方形的对角线的长度与其外接圆半径的关系即可求出. 【详解】正方形的边长是4, 则正方形的对角线的长为 这个圆形纸片的最小半径是 . 故答案为: 【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识.注意正方形的外接圆半径与的关系,这是一个需要熟记的内容. 12．已知正六边形的边长为，点为六边形内任一点，则点到各边距离之和为 ． 【答案】18 【分析】过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可知AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，故HK⊥DE，过C作CG⊥BD，由等腰三角形的性质及正六边形的内角和定理可知，DB⊥AB⊥DE，再由锐角三角函数的定义可求出BG的长，进而可求出BD的长，由正六边形的性质可知点P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为BD的长，故可得出结论． 【详解】解：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长， ∵BC＝CD，∠BCD＝∠ABC＝∠CDE＝120°， ∴∠CBD＝∠BDC＝30°， ∴BD∥HK，且BD＝HK， ∵CG⊥BD， ∴BD＝2BG＝2×BC×cos∠CBD＝2×2＝6， ∴点P到各边距离之和为3BD＝3×6＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合求解时是解答此题的关键． 13．如图，四边形是的内接正方形，E是的中点，交于点F，则 度． 【答案】67.5 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理、正方形性质理解 【分析】根据四边形是的内接正方形，得，根据，得，即可求出的度数． 【详解】解：∵边形是的内接正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴ ∴， ∴． 故答案为：67.5． 【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出，，进而得出，即可得出n的值． 【详解】解：如图所示，连接AO，BO，CO． ∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出是解题关键． 15．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB．BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ． 【答案】72°． 【知识点】正多边形和圆的综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【详解】解：连接OA、OB、OC， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠AOB=∠BOC=72°， ∵OA=OB，OB=OC， ∴∠OBA=∠OCB=54°， 在△OBP和△OCQ中， ∵OB=OC，∠OBP=∠OCP，BP=CQ， ∴△OBP≌△OCQ， ∴∠BOP=∠COQ， ∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC， ∴∠BOP=∠QOC， ∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC， ∴∠POQ=∠BOC=72°． 故答案为72°． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键． 16．小明用一张直径为的圆形纸片，剪出一个面积最大的正六边形，这个正六边形的周长是 ，面积是 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】根据题意画出图形，连接，得出是等边三角形，求得边长，即可求得正六边形的周长，作于，求得，继而求得，根据即可求解． 【详解】解：根据题意画出图形，连接， ∵六边形是内接正六边形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴正六边形的周长 作于，则， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角的性质与判定，勾股定理解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题 17．如图，点、、、都在上，，． (1)求的度数； (2)求的度数； 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数: （2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果． 【详解】（1）∵点、、、都在上， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为 （2）连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键． 18．用等分圆周的方法画出下列图案： 【答案】见解析 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】把圆分成六等分，再根据弧与半径的关系特点，以r为半径画弧可得图案； 把圆分成六等分，再根据弧与半径的关系特点，以r为直径画弧可得图案； 把圆分成五等分，再根据弧与半径的关系特点，以r为半径画弧可得图案． 【详解】如图1，把圆分成六等分，分别以点B，D，F为圆心，AB为半径画弧可得图案； 如图2，把圆分成六等分，分别以线段AB，BC，CD，DE，EF，AF为直径，画弧可得图案； 如图3中把圆五等分，分别以五等分点A、B、C、D、E为圆心都以AB为半径画弧即可得到图案． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用圆画出正六边形，正五边形是本题的关键． 19．（1）计算：（2﹣π）0﹣×+（）﹣1 （2）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，求∠1的度数． 【答案】(1)0；(2)36°. 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【详解】试题分析：（1）根据零指数幂的定义、二次根式的乘法法则、负整数指数幂的定义计算，即可得出结果；（2）首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案． 试题解析：（1）根据任何不是0的零指数幂都是1，二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，能化简要化成最简根式或整式，负整数指数幂意义：，原式：（2﹣π）0﹣×+（）﹣1=1﹣+3=1﹣4+3=0；（2）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE=（180°-108°）÷2=36°，∵l∥BE，∴∠1=∠AEB=36°． 考点：1.多边形内角与外角；2.零指数幂；3.负整数指数幂；4.二次根式的乘除法；5.平行线的性质． 20．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【知识点】尺规作图——正多边形、作垂线(尺规作图) 【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 21．如图所示的圆，把⊙O�分成相等的6�段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形． 【答案】见解析 【知识点】正多边形和圆的综合 【详解】试题分析：只要证明6条边相等，6个内角都是120°即可． 试题解析：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF. ∵=====. ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA, ∵OA=OB=OC=OD=OE=OF， ∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形， 同理可以证明： ∴六边形ABCDEF是的内接正六边形. 22．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）欲证明，只要证明即可． （2）连接，过点D作交的延长线于F．证明，推出，得到，推出，再利用等腰三角形的性质构建方程求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，过点D作交的延长线于F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$