第三单元倍数与因数·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 17 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 29 日 2 / 17 目 录 【课内精选一】因数和倍数（一） ........................................................................................ 4 【课内精选二】因数和倍数（二） ........................................................................................ 4 【课内精选三】2、5 和 3 的倍数特征（一） ...................................................................... 5 【课内精选四】2、5 和 3 的倍数特征（二） ...................................................................... 6 【课内精选五】奇数和偶数 .................................................................................................... 6 【课内精选六】质数和合数 .................................................................................................... 6 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一） ................................................................................ 8 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二） ................................................................................ 8 【奥数拓展三】2、5 和 3 的倍数特征拓展（一） .............................................................. 9 【奥数拓展四】2、5 和 3 的倍数特征拓展（二） ............................................................ 10 【奥数拓展五】数的整除应用（一） .................................................................................. 11 【奥数拓展六】数的整除应用（二） .................................................................................. 12 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一） .............................................................................. 12 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二） .............................................................................. 13 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一） .................................................................. 14 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二） .................................................................. 14 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三） .............................................................. 15 3 / 17 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四） .............................................................. 16 【奥数拓展十三】质数和合数拓展 ...................................................................................... 17 4 / 17 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】因数和倍数（一）。 求 80和 144的因数各有多少个? 【专项训练】 1. 求 60和 90的因数各有多少个? 2. 求 196的因数有多少个? 3. 面积是 165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形共有多少种? 【课内精选二】因数和倍数（二）。 一只盒内共有 96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出 的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同的拿法? 5 / 17 【专项训练】 1. 一只筐内共有 120个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次 拿的个数要相等，最后一次正好拿完.那么,共有多少种不同的拿法? 2. 自然数 a≥3，b≥3，a×b=195，那么，a和 b的值可能是多少? 【课内精选三】2、5 和 3 的倍数特征（一）。 下面的这些数中，哪些数既是 2的倍数又是 5的倍数? 46 63 80 39 105 120 77 2310 【专项训练】 1. 下面的这些数中，哪些数既是 2的倍数又是 5的倍数? 30 88 93 200 51 104 1070 9650 2. 判断下面各数哪些是 4的倍数? 326 1278 25684 100 3. 判断下面各数哪些是 8的倍数? 126 5312 39048 解析：5312和 39048是 8的倍数。 6 / 17 【课内精选四】2、5 和 3 的倍数特征（二）。 既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数的最大两位数是多少? 【专项训练】 1. 既是 2的倍数、又是 3的倍数的最小三位数是多少? 2. 既是 2和 5的倍数、又是 3的倍数的最大三位数是多少? 3. 既是 3的倍数、又是 5的倍数的最小四位数是多少? 【课内精选五】奇数和偶数。 35、64、13、5、7、16、89、77、19、0、100、566、1025，以上这些数中奇数 有( )个，偶数有( )个。 【专项训练】 1．在 1、2、15、8、17、0.43、 47 中，( )是奇数，( )是偶数。 2．在 1－100的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 3．同时开下面的 4把锁的万能钥匙的号码是( )。 （1）是一个奇数。 （2）是 3的倍数。 （3）是一个两位数。 （4）所有因数和是 32。 【课内精选六】质数和合数。 在 1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合 7 / 17 数的有( )；既是 2的倍数，又是 3的倍数的有( )。 【专项训练】 1．1—10的自然数中，质数有( )个，合数有( )个。 2．在括号内填上适当的质数。 16＝( )＋( ) 24＝( )＋( ) 3．德国数学家哥德巴赫提出：任何大于 2的偶数都可以表示为两个质数的和。 如 8＝3＋5，16＝( )＋( )。 8 / 17 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一）。 29÷( )=( )……5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种不 同的填法? 【专项训练】 1. 37÷( )=( )……5，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少种 不同的填法? 2. 59÷( )=( )……9，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少 种不同的填法? 3. 面积是 210平方分米且边长为自然数的长方形中，周长最小的是多少分米? 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二）。 把 271表示成两个数的和，使其中一个数是 19的倍数，另一个数是 17的倍数， 求这两个数。 9 / 17 【专项训练】 1. 把 316表示成两个数的和，使其中一个是 13的倍数，另一个是 11的倍数， 求这两个数。 2. 和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条 130日元；竹荚鱼，每条 170日 元；沙丁鱼，每条 78日元；秋刀鱼，每条 104日元.每种鱼都多于 1条，正好花 了 3600日元，请问：和子买了几条竹荚鱼?(注：100日元约相当于 6元人民币) 3. 把自然数 A的所有因数两两求和，得到若干个自然数，在这些自然数中，最 小的数是 4，最大的数是 324，则 A是多少? 【奥数拓展三】2、5 和 3 的倍数特征拓展（一）。 在 865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 5和 8的倍数，符合这 些条件的六位数中，最小的一个是多少? 【专项训练】 1. 在 257后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 4和 125的倍数， 符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 10 / 17 2. 在 318后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 2和 25的倍数，符 合这些条件的六位数中，最大的一个是多少? 3. 一个五位数，数字和是 18，且是 18 的倍数，又出现过相邻两位上的数字是 18，那么这个五位数最小是多少? 【奥数拓展四】2、5 和 3 的倍数特征拓展（二）。 在 865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是 3、4和 5的倍数，符 合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 【专项训练】 1. 五位数 7aa12能被 9整除，那么，a为多少? 2. 在 973后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5整除， 且使这个数尽量小，这个六位数是多少? 3. 已知四位数 2ab8，不管 b如何取值，四位数都不是 11的倍数，那么 a是多少? 11 / 17 【奥数拓展五】数的整除应用（一）。 芸芸在文具店买了 2本笔记本、2支钢笔、3支自动铅笔和 3块橡皮.已知笔记本 每本 3元，钢笔每支 15元，自动铅笔和橡皮的价格芸芸记不清了.售货员要芸芸 付 46元，芸芸马上说售货员把账算错了，你知道这是为什么吗? 【专项训练】 1. 黄蓉买了 5 支铅笔、8 本笔记本和 3 块橡皮。她只知道铅笔的价格是每支 1 元，笔记本的价格是每本 3元，橡皮的价格倒不太清楚，但知道是整数元，售货 员阿姨要黄蓉付 34元，黄蓉马上说售货员阿姨算错了，你知道黄蓉是怎么判断 的吗? 2. 小天在文具店买了 6本练习本、2支圆珠笔、4支自动铅笔和 8块橡皮，已知 练习本每本 1元，圆珠笔每支 2元，其余的价格小天记不清了，售货员要小天付 20元 5角，售货员把账算错了没有，为什么? 3. “六一”儿童节快到了，四(2)班的同学们分成 4个小组做绸花，每个小组做的绸 花一样多，马大哈统计了一下说：“还是人多力量大，大家一共做了 246朵绸花。” 马大哈统计对了吗?为什么? 12 / 17 【奥数拓展六】数的整除应用（二）。 “太平洋冷饮”批发一号冷库有 8种冷饮，每种分别有 9箱、26箱、25箱、27箱、 30箱、34箱、45箱、46箱，甲、乙两家商店买走了其中的 7种，并且乙商店买 的箱数是甲的 4倍，那么，甲、乙两商店分别买走了哪几种? 【专项训练】 1. 建筑工地有 5堆建筑废料，分别是 5吨、6 吨、7吨、10吨、16吨，两天时 间内运掉了 4堆，并且第二天运的质量是第一天运的 2倍，剩下 1堆是多少吨? 2. 沃尔玛超级购物中心二号仓库里有 6 箱货物，分别重 15 千克、16 千克、18 千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的 5箱，已知一个顾客 买的货物质量是另一个顾客的 2倍，那么，超市剩下的一箱货物质量是多少千克? 3. 将 39、41、44、45、47、52、55这七个数重新排成一列，使得其中任意相邻 的三个数的和都为 3的倍数，在所有这样的排列中，第四个数的最大值是多少? 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一）。 三个连续偶数的和是 24，它们分别是多少? 13 / 17 【专项训练】 1. 三个连续奇数的和是 27，它们分别是多少? 2. 五个连续奇数的和是 65，它们分别是多少? 3. 四个连续偶数的和是 52，它们分别是多少? 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二）。 三个连续奇数的和是 15，它们的积是多少? 【专项训练】 1. 三个连续偶数的和是 18，它们的积是多少? 2. 五个连续奇数的和是 35，这五个奇数中最大的一个是多少? 14 / 17 3. 将 120拆成若干个(至少 2个)连续非零自然数之和，共有多少种拆法? 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一）。 1+2+3+4+…+2020+2021的和是奇数还是偶数? 【专项训练】 1. 1+2+3+4+5十…+499+500的和是奇数还是偶数? 2. 1×2+2×3+3×4+…+18×19+19×20的结果是奇数还是偶数? 3. 2000+2001+2002+2003+…+2020的和是奇数还是偶数? 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二）。 9只杯子全部杯口朝上放着，每次翻动其中的 4只杯子，能否经过若干次的翻动， 使 9只杯子的杯口全部朝下? 15 / 17 【专项训练】 1. 8只杯口朝下的杯子，每次翻动 6只杯子，能否经过若干次的翻动，使杯口 全部朝上? 2. 桌子上有 7只茶杯，全部是杯口朝上，请你每次翻动 4只茶杯，称为“一次翻 动”，能否经过若干次翻动，使这 7只茶杯的杯口全部朝下? 3. 桌子上放着 10枚正面朝下的硬币，每次翻动其中的 9枚硬币，能否经过若干 次翻动，使硬币正面全部朝上? 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三）。 有 12张卡片，其中 3张卡片上面写着 1,3张卡片上面写着 3，3张卡片上面写 着 5，3张卡片上面写着 7，能否从中选出 5张卡片，使它们上面的数字之和等 于 20?为什么? 【专项训练】 1. 如图所示，在五角星上的圆圈内共填有 10个数，如果从中选出 5个数，要使 它们的和等于 10，你能做到吗?为什么? 16 / 17 2. 在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样 继续操作下去，最后得到 4、6、10，那么，原来写的三个数能否为 1、3、5? 3. 50张卡片上写着 50个各不相同的正整数，每张写一个数，它们的总和是 2020， 那么，这些数各是多少?请给出一组结果。 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四）。 A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时都是暗的，一个调皮的小 朋友按 A到 G，再从 A到 G 的顺序不停地按开关，一共按了 2021次，问：这 个时候哪几盏灯是亮的? 【专项训练】 1. 甲、乙、丙、丁四盏灯各自装有开关，开始时都是亮的，一个调皮的小朋友 从甲按到丁，再从甲到丁的顺序不停地按开关，一共按了 1234次，问：这个时 候哪几盏灯是暗的? 2. A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时只有 A是亮的，一个 调皮的小朋友从 A 按到 G，再从 A 到 G 的顺序不停地按开关，一共按了 2000 次，问：此时哪几盏灯是亮的? 17 / 17 3. 对于任意两个相邻的正整数，如果它们各自的因数个数可以整除另一个数， 我们就称这两个数为一组“友好数”，例如：3 的因数个数能整除 4；4 的因数个 数能整除 3，因此 3和 4就是最小的一组“友好数”，那么，第二小的一组“友好数” 两数的乘积是多少? 【奥数拓展十三】质数和合数拓展。 a、b均为质数，3a+5b=41，则 a+b的值是多少? 【专项训练】 1. 有三个质数的和是 50，则这三个质数的积最大是多少? 2. 七个连续质数，从大到小排列为 a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数， 那么，c是多少? 3. 一个质数的 3倍与另一个质数的 2倍之和等于 2000，那么，这两个质数的和 是多少? 1 / 18 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 29 日 2 / 18 目 录 【课内精选一】因数和倍数（一） ........................................................................................ 4 【课内精选二】因数和倍数（二） ........................................................................................ 4 【课内精选三】2、5 和 3 的倍数特征（一） ...................................................................... 5 【课内精选四】2、5 和 3 的倍数特征（二） ...................................................................... 5 【课内精选五】奇数和偶数 .................................................................................................... 6 【课内精选六】质数和合数 .................................................................................................... 7 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一） ................................................................................ 9 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二） ................................................................................ 9 【奥数拓展三】2、5 和 3 的倍数特征拓展（一） ............................................................ 10 【奥数拓展四】2、5 和 3 的倍数特征拓展（二） ............................................................ 11 【奥数拓展五】数的整除应用（一） .................................................................................. 12 【奥数拓展六】数的整除应用（二） .................................................................................. 13 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一） .............................................................................. 14 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二） .............................................................................. 14 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一） .................................................................. 14 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二） .................................................................. 15 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三） .............................................................. 16 3 / 18 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四） .............................................................. 17 【奥数拓展十三】质数和合数拓展 ...................................................................................... 18 4 / 18 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】因数和倍数（一）。 求 80和 144的因数各有多少个? 解析：10个；15个。 【专项训练】 1. 求 60和 90的因数各有多少个? 解析：12个；12个。 2. 求 196的因数有多少个? 解析：9个。 3. 面积是 165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形共有多少种? 解析：4种。 【课内精选二】因数和倍数（二）。 一只盒内共有 96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出 的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同的拿法? 解析： 根据题意可以知道，96等于每次拿的个数与拿的次数的乘积。 96=1×96=2×48=3×32=4×24=6×16=8×12。 因为“不一次拿出，也不一个一个地拿出”，所以，1×96应该去掉，其余的每个 算式都可以看作两种拿法，所以，一共有 2×5=10(种)拿法。 【专项训练】 1. 一只筐内共有 120个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次 拿的个数要相等，最后一次正好拿完.那么,共有多少种不同的拿法? 解析：14种。 5 / 18 2. 自然数 a≥3，b≥3，a×b=195，那么，a和 b的值可能是多少? 解析：6种。 【课内精选三】2、5 和 3 的倍数特征（一）。 下面的这些数中，哪些数既是 2的倍数又是 5的倍数? 46 63 80 39 105 120 77 2310 解析： 因为“一个数既是 2的倍数又是 5的倍数，那么它的个位数字必须是 0”，所以， 只有个位上是 0的那些数才既是 2的倍数又是 5的倍数，所以，这些数中，只 有 80、120、2310既是 2的倍数又是 5的倍数。 【专项训练】 1. 下面的这些数中，哪些数既是 2的倍数又是 5的倍数? 30 88 93 200 51 104 1070 9650 解析：30、200、1070、9650既是 2的倍数又是 5的倍数。 2. 判断下面各数哪些是 4的倍数? 326 1278 25684 100 解析：100和 25684是 4的倍数。 3. 判断下面各数哪些是 8的倍数? 126 5312 39048 解析：5312和 39048是 8的倍数。 【课内精选四】2、5 和 3 的倍数特征（二）。 既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数的最大两位数是多少? 解析； 首先，一个数既是 2的倍数又是 5的倍数，那么，它的个位数字必须是 0，因此， 我们只能在 90，80，…中选择，结合 3的倍数的特征，90就是 3的倍数，所以， 既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数的最大两位数是 90。 【专项训练】 1. 既是 2的倍数、又是 3的倍数的最小三位数是多少? 解析：102。 6 / 18 2. 既是 2和 5的倍数、又是 3的倍数的最大三位数是多少? 解析：990 3. 既是 3的倍数、又是 5的倍数的最小四位数是多少? 解析：1005 【课内精选五】奇数和偶数。 35、64、13、5、7、16、89、77、19、0、100、566、1025，以上这些数中奇数 有( )个，偶数有( )个。 【答案】 8 5 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫作偶数；不是 2的倍数的数叫作奇数；据此 解答。 【详解】35、64、13、5、7、16、89、77、19、0、100、566、1025，以上这些 数中奇数有 35、13、5、7、89、77、19、1025，一共 8个，偶数有 64、16、0、 100、566，一共 5个。 所以这些数中奇数有 8个，偶数有 5个。 【专项训练】 1．在 1、2、15、8、17、0.43、 47 中，( )是奇数，( )是偶数。 【答案】 1、15、17 2、8 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫偶数，不是 2的倍数的数叫奇数。 【详解】在 1、2、15、8、17、0.43、 47 中，1、15、17是奇数，2、8是偶数。 2．在 1－100的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 【答案】 50 50 【分析】本题考查偶数和奇数。能被 2整除的数是偶数，不能被 2整除的数是奇 数。据此解答即可。 【详解】根据偶数奇数的定义，在 1－100的自然数中，偶数有 50个，奇数有 50个。 3．同时开下面的 4把锁的万能钥匙的号码是( )。 （1）是一个奇数。 （2）是 3的倍数。 7 / 18 （3）是一个两位数。 （4）所有因数和是 32。 【答案】21 【分析】所有因数和是 32，根据一个数的因数一定包含 1和它本身，所以这个 数小于 32。小于 32的两位数，同时满足是 3的倍数的数有：12，15，18，21， 24，27，30；其中的奇数有：15，21，27。15的因数有：1，3，5，15；1 3 5 15 24    ； 21的因数有：1，3，7，21；1 3 7 21 32    ；27的因数有：1，3，9，27；1 3 9 27 40    ； 所以符合条件的数只有 21，据此解答。 【详解】由分析可知，同时开 4把锁的万能钥匙的号码是 21。 【课内精选六】质数和合数。 在 1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合 数的有( )；既是 2的倍数，又是 3的倍数的有( )。 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 1 6 【分析】一个数只有 1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了 1和它 本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合 数时一般不包括 0）。在 1～10的自然数中找出所有的质数：2，3，5，7，找出 所有的合数：4，6，8，9，10；既是 2的倍数，又是 3的倍数说明是 6的倍数， 据此可知 1～10只有 6符合。 【详解】在 1～10各数中，质数有 2、3、5、7；合数有 4、6、8、9、10；既不 是质数也不是合数的有 1；既是 2的倍数，又是 3的倍数的有 6。 【专项训练】 1．1—10的自然数中，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 4 5 【分析】一个数，如果只有 1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数， 除了 1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。据此写出 1—10的自然数中 的质数与合数即可解答。 【详解】1—10的自然数中，质数有 2、3、5、7共 4个；合数有 4、6、8、9、 10共 5个。 所以质数有 4个，合数用 5个。 8 / 18 2．在括号内填上适当的质数。 16＝( )＋( ) 24＝( )＋( ) 【答案】 3/5 13/11 5/7/11 19/17/13 【分析】质数是指只能被 1和它本身整除的数，在 24以内的质数有：2、3、5、 7、11、13、17、19、23。据此可计算得出答案。 【详解】16＝3＋13，16＝5＋11；24＝5＋19，24＝7＋17，24＝11＋13。 3．德国数学家哥德巴赫提出：任何大于 2的偶数都可以表示为两个质数的和。 如 8＝3＋5，16＝( )＋( )。 【答案】 3 13 【分析】20以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19。根据猜想找到 16由哪 两个质数组成，据此解答。 【详解】16 3 13  ，16 5 11  。 故这两个质数可能是 3和 13，或者是 5和 11。 9 / 18 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一）。 29÷( )=( )……5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种不 同的填法? 解析： 根据有余数除法各部分之间的关系，可以知道除数与商的积是 29－5=24，两个 自然数相乘的积是 24的有四种情况：1×24，2×12，3×8，4×6，再根据“除数比 余数大”可以知道，除数只能是 24、12、8、6，所以，共有 4种不同的填法。 【专项训练】 1. 37÷( )=( )……5，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少种 不同的填法? 解析： 除数与商的积是 37—5=32,两个自然数相乘的积是 32的有三种情况：1×32，2×16， 4×8，因此，除数只能是 32、16、8。所以，共有 3种不同的填法。 2. 59÷( )=( )……9，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少 种不同的填法? 解析： 因为 59－9=50，50=1×50=2×25=5×10，所以可以用 50、25、10做除数，共有 3 种不同的填法。 3. 面积是 210平方分米且边长为自然数的长方形中，周长最小的是多少分米? 解析： 由 “ 两 个 数 的 积 不 变 ， 这 两 个 数 越 接 近 ， 则 它 们 的 和 越 小 ” ， 210=1×210=2×105=3×70=5×42=6×35=7×30=10×21=14×15，易知当长为 15分米、 宽为 14分米时周长最小，(15+14)×2=58(分米)，所以，周长最小的是 58分米。 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二）。 把 271表示成两个数的和，使其中一个数是 19的倍数，另一个数是 17的倍数， 求这两个数。 10 / 18 解析： 我们先计算 271是 17的多少倍，这样的话一般来说会有余数，然后将余数除以 2(19－17)，这样就相当于把 17的几倍调整为 19的几倍，因此 271÷17=15……16， 271=17×15+16， 16÷(19－17)=8(个)， 271=17×(15－8)+(17+2)×8， 271=17×7+19×8， 271=119+152。 所以，这两个数是 119和 152。 【专项训练】 1. 把 316表示成两个数的和，使其中一个是 13的倍数，另一个是 11的倍数， 求这两个数。 解析：这两个数是 264与 52或 121与 195。 2. 和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条 130日元；竹荚鱼，每条 170日 元；沙丁鱼，每条 78日元；秋刀鱼，每条 104日元.每种鱼都多于 1条，正好花 了 3600日元，请问：和子买了几条竹荚鱼?(注：100日元约相当于 6元人民币) 解析： 可以发现，四种鱼的单价中 78、104、130都是 13的倍数，只有 170除以 13的 余数是 1，也就是说，去掉竹荚鱼以外的其他鱼的总价是 13的倍数，每买 1条 竹荚鱼可余 1日元，3600除以 13余 12，所以，竹荚鱼有 12条。 3. 把自然数 A的所有因数两两求和，得到若干个自然数，在这些自然数中，最 小的数是 4，最大的数是 324，则 A是多少? 解析： 一个自然数的最小因数是 1，最大因数是本身，根据题意，自然数 A的第二小因 数是 3，不妨设自然数 A 的第二大因数为 B，有 1×A=3×B，即 A=3B，那么， 3B+B=324，解得 B=81，所以，A=81×3=243。 【奥数拓展三】2、5 和 3 的倍数特征拓展（一）。 在 865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 5和 8的倍数，符合这 11 / 18 些条件的六位数中，最小的一个是多少? 解析： 末三位数字组成的三位数是 8的倍数，个位数字能被 5整除，此时百位、十位、 个位数字都选 0，就可以，所以，符合这些条件的六位数中，最小的一个是 865000。 【专项训练】 1. 在 257后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 4和 125的倍数， 符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 解析：最小的一个是 257000。 2. 在 318后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是 2和 25的倍数，符 合这些条件的六位数中，最大的一个是多少? 解析：最大的一个是 318950。 3. 一个五位数，数字和是 18，且是 18 的倍数，又出现过相邻两位上的数字是 18，那么这个五位数最小是多少? 解析：有相邻两个数位上是 18，另外三个数位上数字和是 9，三位数最小是 108， 满足条件，两者组合为 10188。 【奥数拓展四】2、5 和 3 的倍数特征拓展（二）。 在 865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是 3、4和 5的倍数，符 合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 解析： 由于 5的倍数的特征比较简单，我们应从先满足“5”的倍数考虑，并且要使这个 数尽可能地小，因此，百位上的数和个位上的数都应选“0”，这样的话，这个六 位数的五个数位上的数之和是 8+6+5+0+0=19，要使这个数是 3的倍数，必须这 个数的各个数位上的数字之和是 3的倍数才行，因此，十位上可以填“2”、“5”、 “8”，最后，我们还要结合 4的倍数的特征，很明显，十位上填“5”是不合适的， 只能填“2”或是“8”，又要尽量小，只有十位上选择“2”，所以，符合这些条件的 六位数中，最小的一个是 865020。 【专项训练】 1. 五位数 7aa12能被 9整除，那么，a为多少? 12 / 18 解析：4。 2. 在 973后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5整除， 且使这个数尽量小，这个六位数是多少? 解析：973202。 3. 已知四位数 2ab8，不管 b如何取值，四位数都不是 11的倍数，那么 a是多少? 解析：(8+a)－(b+2)=6+a－b，当 a=4 时，不管 b如何取值，四位数都不是 11的 倍数。 【奥数拓展五】数的整除应用（一）。 芸芸在文具店买了 2本笔记本、2支钢笔、3支自动铅笔和 3块橡皮.已知笔记本 每本 3元，钢笔每支 15元，自动铅笔和橡皮的价格芸芸记不清了.售货员要芸芸 付 46元，芸芸马上说售货员把账算错了，你知道这是为什么吗? 解析： 先算出买自动铅笔和橡皮的总价是 46－2×3－15×2=10(元)，不管自动铅笔和橡 皮的单价各是多少，因为买了 3支自动铅笔，那么，3支自动铅笔的总价一定能 被 3整除；又买了 3块橡皮，3块橡皮的总价也能被 3整除，根据“整除性质”， 自动铅笔和橡皮的总价一定能被 3整除，可是，10元钱不能被 3整除，所以， 芸芸说售货员把账算错了。 【专项训练】 1. 黄蓉买了 5 支铅笔、8 本笔记本和 3 块橡皮。她只知道铅笔的价格是每支 1 元，笔记本的价格是每本 3元，橡皮的价格倒不太清楚，但知道是整数元，售货 员阿姨要黄蓉付 34元，黄蓉马上说售货员阿姨算错了，你知道黄蓉是怎么判断 的吗? 解析： 5支铅笔和 8本笔记本的总价是 29元，34－29=5(元)，5不是 3的倍数，所以， 黄蓉断定售货员算错了。 2. 小天在文具店买了 6本练习本、2支圆珠笔、4支自动铅笔和 8块橡皮，已知 练习本每本 1元，圆珠笔每支 2元，其余的价格小天记不清了，售货员要小天付 20元 5角，售货员把账算错了没有，为什么? 解析： 13 / 18 首先算出买练习本和圆珠笔的总价钱是 6×1+2×2=10(元)，不管自动铅笔和橡皮 的单价各是多少，因为买了 4支自动铅笔，那么 4支自动铅笔的总价一定能被 4 整除；买了 8块橡皮，8能被 4整除，8块橡皮的总价也能被 4整除，根据整除 性质，自动铅笔和橡皮的总价一定能被 4整除，可是 10元 5角不能被 4整除， 所以，售货员把账算错了。 3. “六一”儿童节快到了，四(2)班的同学们分成 4个小组做绸花，每个小组做的绸 花一样多，马大哈统计了一下说：“还是人多力量大，大家一共做了 246朵绸花。” 马大哈统计对了吗?为什么? 解析：不对，因为 246不能被 4整除。 【奥数拓展六】数的整除应用（二）。 “太平洋冷饮”批发一号冷库有 8种冷饮，每种分别有 9箱、26箱、25箱、27箱、 30箱、34箱、45箱、46箱，甲、乙两家商店买走了其中的 7种，并且乙商店买 的箱数是甲的 4倍，那么，甲、乙两商店分别买走了哪几种? 解析： 根据甲、乙的购买信息，我们发现乙购买的是甲的 4倍，也就是说两家商店一共 购买的箱数是 5的倍数，因此 (9+26+25+27+30+34+45+46)÷(4+1)=242÷5=48(箱)……2(箱) 那么，剩下那种应该是除以 5余 2的，即 27箱。 买走的 7 种共有 9+26+25+30+34+45+46=215(箱)，甲买走 215÷5=43(箱)，即 9 箱和 34箱这两种，所以，乙买走 26箱、25箱、30箱、45箱、46箱这五种。 【专项训练】 1. 建筑工地有 5堆建筑废料，分别是 5吨、6 吨、7吨、10吨、16吨，两天时 间内运掉了 4堆，并且第二天运的质量是第一天运的 2倍，剩下 1堆是多少吨? 解析：5吨。 2. 沃尔玛超级购物中心二号仓库里有 6 箱货物，分别重 15 千克、16 千克、18 千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的 5箱，已知一个顾客 买的货物质量是另一个顾客的 2倍，那么，超市剩下的一箱货物质量是多少千克? 解析：20千克。 3. 将 39、41、44、45、47、52、55这七个数重新排成一列，使得其中任意相邻 14 / 18 的三个数的和都为 3的倍数，在所有这样的排列中，第四个数的最大值是多少? 解析：47。 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一）。 三个连续偶数的和是 24，它们分别是多少? 解析：6、8、10 【专项训练】 1. 三个连续奇数的和是 27，它们分别是多少? 解析：7、9、11 2. 五个连续奇数的和是 65，它们分别是多少? 解析：9、11、13、15、17 3. 四个连续偶数的和是 52，它们分别是多少? 解析：10、12、14、16 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二）。 三个连续奇数的和是 15，它们的积是多少? 解析：3×5×7=105。 【专项训练】 1. 三个连续偶数的和是 18，它们的积是多少? 解析：192。 2. 五个连续奇数的和是 35，这五个奇数中最大的一个是多少? 解析：11。 3. 将 120拆成若干个(至少 2个)连续非零自然数之和，共有多少种拆法? 解析：3种。 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一）。 1+2+3+4+…+2020+2021的和是奇数还是偶数? 解析： 根据奇数和偶数运算性质：连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的，因此，在 1～2021这 2021个数中，2021÷2=1010(组)……1(个).有 1011个奇数，1010个偶 数，1011个奇数的和是奇数，1010个偶数的和还是偶数，奇数加偶数的和是奇 15 / 18 数，所以，1+2+3+4+…+2020+2021的和是奇数。 【专项训练】 1. 1+2+3+4+5十…+499+500的和是奇数还是偶数? 解析：偶数。 2. 1×2+2×3+3×4+…+18×19+19×20的结果是奇数还是偶数? 解析：偶数。 3. 2000+2001+2002+2003+…+2020的和是奇数还是偶数? 解析：偶数。 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二）。 9只杯子全部杯口朝上放着，每次翻动其中的 4只杯子，能否经过若干次的翻动， 使 9只杯子的杯口全部朝下? 解析： 我们先拿一只杯子做实验，看看有什么发现，第一次翻动：朝下；第二次翻动： 朝上；第三次翻动：朝下；第四次翻动：朝上……可以看出：要使一只杯子的杯 口朝下，必须将杯口翻动奇数次，要使 9只杯子的杯口都朝下，翻动的总次数应 该是 9个奇数次的和，9个奇数的和仍是奇数，也就是说：只有经过奇数次翻动， 才能使 9只杯口都朝下，而每次只能同时翻动 4个杯子，无论是奇数个 4还是偶 数个 4，结果都是偶数，因此，翻动的总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，这 与前面的分析有矛盾，所以，无论怎么翻动，都不能使 9只杯子的杯口全部朝下。 【专项训练】 1. 8只杯口朝下的杯子，每次翻动 6只杯子，能否经过若干次的翻动，使杯口 全部朝上? 解析：能，4次。 2. 桌子上有 7只茶杯，全部是杯口朝上，请你每次翻动 4只茶杯，称为“一次翻 动”，能否经过若干次翻动，使这 7只茶杯的杯口全部朝下? 解析：不能。 3. 桌子上放着 10枚正面朝下的硬币，每次翻动其中的 9枚硬币，能否经过若干 次翻动，使硬币正面全部朝上? 16 / 18 解析：能。 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三）。 有 12张卡片，其中 3张卡片上面写着 1,3张卡片上面写着 3，3张卡片上面写 着 5，3张卡片上面写着 7，能否从中选出 5张卡片，使它们上面的数字之和等 于 20?为什么? 解析： 不能，因为无论选出哪 5张卡片，上面的数字都是 5个奇数，由“奇数个奇数相 加是奇数”，那么，5个奇数的和一定是奇数，所以，5张卡片上的数字和不可能 等于偶数 20。 【专项训练】 1. 如图所示，在五角星上的圆圈内共填有 10个数，如果从中选出 5个数，要使 它们的和等于 10，你能做到吗?为什么? 解析：不能，因为奇数个奇数相加是奇数。 2. 在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样 继续操作下去，最后得到 4、6、10，那么，原来写的三个数能否为 1、3、5? 解析： 原来写的三个数不可能为 1、3、5，因为用 1、3、5进行操作，每次得到的三个 数一定是 1个偶数和 2个奇数。 3. 50张卡片上写着 50个各不相同的正整数，每张写一个数，它们的总和是 2020， 那么，这些数各是多少?请给出一组结果。 解析： 最小的 49个正整数的和为 1+2+3+…+49=(1+49)×49÷2=1225，2020－1225=795， 所以，当这 50个数为 1，2，3，4，5，6，7，8，…，47，48，49，795时，就 是满足要求的一组数。(不唯一) 17 / 18 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四）。 A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时都是暗的，一个调皮的小 朋友按 A到 G，再从 A到 G 的顺序不停地按开关，一共按了 2021次，问：这 个时候哪几盏灯是亮的? 解析： 跟翻杯子一样，如果按一次，电灯变亮；按两次，电灯变暗；按三次，电灯又变 亮……因此，如果按的次数是奇数，那么,该盏灯就会改变原有状态；如果按的 是偶数次，那么，该盏灯就会保持原有状态，接下来，我们先看看每盏灯各按了 多少次，2021÷7=288……5，A、B、C、D、E五盏灯的开关各被按了 289次，F、 G灯的开关被按了 288次，所以，最后亮着的灯是 A、B、C、D、E。 【专项训练】 1. 甲、乙、丙、丁四盏灯各自装有开关，开始时都是亮的，一个调皮的小朋友 从甲按到丁，再从甲到丁的顺序不停地按开关，一共按了 1234次，问：这个时 候哪几盏灯是暗的? 解析：因为 1234÷4=308……2，甲、乙两盏灯的开关各被按了 309次，丙、丁两 盏灯的开关被按了 308次，所以，最后暗着的灯是甲、乙。 2. A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时只有 A是亮的，一个 调皮的小朋友从 A 按到 G，再从 A 到 G 的顺序不停地按开关，一共按了 2000 次，问：此时哪几盏灯是亮的? 解析： 因为 2000÷7=285……5，所以，A、B、C、D、E五盏灯的开关各被按了 286次， 而 F、G两盏灯的开关被按了 285次，如果按的是奇数次，那么,该盏灯就会改变 原有状态；如果按的是偶数次，那么,该盏灯就会保持原有状态，所以，最后亮 着的灯是 A、F、G。 3. 对于任意两个相邻的正整数，如果它们各自的因数个数可以整除另一个数， 我们就称这两个数为一组“友好数”，例如：3 的因数个数能整除 4；4 的因数个 数能整除 3，因此 3和 4就是最小的一组“友好数”，那么，第二小的一组“友好数” 两数的乘积是多少? 解析： 18 / 18 因为相邻两数必为一奇一偶，则说明每组“友好数”的因数个数必为一奇一偶，而 因数为奇数个时，该数为完全平方数，所以每组“友好数”中必有一个为完全平方 数，下面按完全平方数从小到大验证即可。 (1)4和 5，4的因数有 3个，而 3不能整除 5，所以 4和 5不是“友好数”； (2)8和 9，8的因数有 4个，而 4不能整除 9，所以 8和 9不是“友好数”； (3)9和 10，9的因数有 3个，而 3不能整除 10，所以 9和 10不是“友好数”； (4)15和 16，15的因数有 4个，4能整除 16，且 16的因数有 5个，5能整除 15， 所以 15和 16是第二小的一组“友好数”，15×16=240。 【奥数拓展十三】质数和合数拓展。 a、b均为质数，3a+5b=41，则 a+b的值是多少? 解析：a=2，b=7，所以 a+b=9。 【专项训练】 1. 有三个质数的和是 50，则这三个质数的积最大是多少? 解析：三个质数的和是 50，其中必有 2，50=2+19+29，2×19×29=1102。 2. 七个连续质数，从大到小排列为 a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数， 那么，c是多少? 解析：和是偶数，最小质数一定为 2，排列顺序为 17、13、11、7、5、3、2，所 以，c=11。 3. 一个质数的 3倍与另一个质数的 2倍之和等于 2000，那么，这两个质数的和 是多少? 解析：设这两个质数分别是 a、b,则 3a+2b=2000，由 2b和 2000都是偶数，那么 3a一定是偶数，但是 3是奇数，因此 a为偶数，即 a=2,b=997，a+b=2+997=999。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 目 录 【课内精选一】因数和倍数（一） 4 【课内精选二】因数和倍数（二） 4 【课内精选三】2、5和3的倍数特征（一） 5 【课内精选四】2、5和3的倍数特征（二） 6 【课内精选五】奇数和偶数 6 【课内精选六】质数和合数 6 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一） 8 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二） 8 【奥数拓展三】2、5和3的倍数特征拓展（一） 9 【奥数拓展四】2、5和3的倍数特征拓展（二） 10 【奥数拓展五】数的整除应用（一） 11 【奥数拓展六】数的整除应用（二） 12 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一） 12 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二） 13 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一） 14 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二） 14 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三） 15 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四） 16 【奥数拓展十三】质数和合数拓展 17 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】因数和倍数（一）。 求80和144的因数各有多少个? 【专项训练】 1. 求60和90的因数各有多少个? 2. 求196的因数有多少个? 3. 面积是165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形共有多少种? 【课内精选二】因数和倍数（二）。 一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同的拿法? 【专项训练】 1. 一只筐内共有120个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿的个数要相等，最后一次正好拿完.那么,共有多少种不同的拿法? 2. 自然数a≥3，b≥3，a×b=195，那么，a和b的值可能是多少? 【课内精选三】2、5和3的倍数特征（一）。 下面的这些数中，哪些数既是2的倍数又是5的倍数? 46 63 80 39 105 120 77 2310 【专项训练】 1. 下面的这些数中，哪些数既是2的倍数又是5的倍数? 30 88 93 200 51 104 1070 9650 2. 判断下面各数哪些是4的倍数? 326 1278 25684 100 3. 判断下面各数哪些是8的倍数? 126 5312 39048 解析：5312和39048是8的倍数。 【课内精选四】2、5和3的倍数特征（二）。 既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是多少? 【专项训练】 1. 既是2的倍数、又是3的倍数的最小三位数是多少? 2. 既是2和5的倍数、又是3的倍数的最大三位数是多少? 3. 既是3的倍数、又是5的倍数的最小四位数是多少? 【课内精选五】奇数和偶数。 35、64、13、5、7、16、89、77、19、0、100、566、1025，以上这些数中奇数有( )个，偶数有( )个。 【专项训练】 1．在1、2、15、8、17、0.43、中，( )是奇数，( )是偶数。 2．在1－100的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 3．同时开下面的4把锁的万能钥匙的号码是( )。 （1）是一个奇数。 （2）是3的倍数。 （3）是一个两位数。 （4）所有因数和是32。 【课内精选六】质数和合数。 在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【专项训练】 1．1—10的自然数中，质数有( )个，合数有( )个。 2．在括号内填上适当的质数。 16＝( )＋( )              24＝( )＋( ) 3．德国数学家哥德巴赫提出：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。如8＝3＋5，16＝( )＋( )。 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一）。 29÷( )=( )……5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法? 【专项训练】 1. 37÷( )=( )……5，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少种不同的填法? 2. 59÷( )=( )……9，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少种不同的填法? 3. 面积是210平方分米且边长为自然数的长方形中，周长最小的是多少分米? 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二）。 把271表示成两个数的和，使其中一个数是19的倍数，另一个数是17的倍数，求这两个数。 【专项训练】 1. 把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。 2. 和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78日元；秋刀鱼，每条104日元.每种鱼都多于1条，正好花了3600日元，请问：和子买了几条竹荚鱼?(注：100日元约相当于6元人民币) 3. 把自然数A的所有因数两两求和，得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的数是4，最大的数是324，则A是多少? 【奥数拓展三】2、5和3的倍数特征拓展（一）。 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是5和8的倍数，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 【专项训练】 1. 在257后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是4和125的倍数，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 2. 在318后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是2和25的倍数，符合这些条件的六位数中，最大的一个是多少? 3. 一个五位数，数字和是18，且是18的倍数，又出现过相邻两位上的数字是18，那么这个五位数最小是多少? 【奥数拓展四】2、5和3的倍数特征拓展（二）。 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是3、4和5的倍数，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 【专项训练】 1. 五位数7aa12能被9整除，那么，a为多少? 2. 在973后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽量小，这个六位数是多少? 3. 已知四位数2ab8，不管b如何取值，四位数都不是11的倍数，那么a是多少? 【奥数拓展五】数的整除应用（一）。 芸芸在文具店买了2本笔记本、2支钢笔、3支自动铅笔和3块橡皮.已知笔记本每本3元，钢笔每支15元，自动铅笔和橡皮的价格芸芸记不清了.售货员要芸芸付46元，芸芸马上说售货员把账算错了，你知道这是为什么吗? 【专项训练】 1. 黄蓉买了5支铅笔、8本笔记本和3块橡皮。她只知道铅笔的价格是每支1元，笔记本的价格是每本3元，橡皮的价格倒不太清楚，但知道是整数元，售货员阿姨要黄蓉付34元，黄蓉马上说售货员阿姨算错了，你知道黄蓉是怎么判断的吗? 2. 小天在文具店买了6本练习本、2支圆珠笔、4支自动铅笔和8块橡皮，已知练习本每本1元，圆珠笔每支2元，其余的价格小天记不清了，售货员要小天付20元5角，售货员把账算错了没有，为什么? 3. “六一”儿童节快到了，四(2)班的同学们分成4个小组做绸花，每个小组做的绸花一样多，马大哈统计了一下说：“还是人多力量大，大家一共做了246朵绸花。”马大哈统计对了吗?为什么? 【奥数拓展六】数的整除应用（二）。 “太平洋冷饮”批发一号冷库有8种冷饮，每种分别有9箱、26箱、25箱、27箱、30箱、34箱、45箱、46箱，甲、乙两家商店买走了其中的7种，并且乙商店买的箱数是甲的4倍，那么，甲、乙两商店分别买走了哪几种? 【专项训练】 1. 建筑工地有5堆建筑废料，分别是5吨、6吨、7吨、10吨、16吨，两天时间内运掉了4堆，并且第二天运的质量是第一天运的2倍，剩下1堆是多少吨? 2. 沃尔玛超级购物中心二号仓库里有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，已知一个顾客买的货物质量是另一个顾客的2倍，那么，超市剩下的一箱货物质量是多少千克? 3. 将39、41、44、45、47、52、55这七个数重新排成一列，使得其中任意相邻的三个数的和都为3的倍数，在所有这样的排列中，第四个数的最大值是多少? 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一）。 三个连续偶数的和是24，它们分别是多少? 【专项训练】 1. 三个连续奇数的和是27，它们分别是多少? 2. 五个连续奇数的和是65，它们分别是多少? 3. 四个连续偶数的和是52，它们分别是多少? 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二）。 三个连续奇数的和是15，它们的积是多少? 【专项训练】 1. 三个连续偶数的和是18，它们的积是多少? 2. 五个连续奇数的和是35，这五个奇数中最大的一个是多少? 3. 将120拆成若干个(至少2个)连续非零自然数之和，共有多少种拆法? 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一）。 1+2+3+4+…+2020+2021的和是奇数还是偶数? 【专项训练】 1. 1+2+3+4+5十…+499+500的和是奇数还是偶数? 2. 1×2+2×3+3×4+…+18×19+19×20的结果是奇数还是偶数? 3. 2000+2001+2002+2003+…+2020的和是奇数还是偶数? 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二）。 9只杯子全部杯口朝上放着，每次翻动其中的4只杯子，能否经过若干次的翻动，使9只杯子的杯口全部朝下? 【专项训练】 1. 8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次的翻动，使杯口全部朝上? 2. 桌子上有7只茶杯，全部是杯口朝上，请你每次翻动4只茶杯，称为“一次翻动”，能否经过若干次翻动，使这7只茶杯的杯口全部朝下? 3. 桌子上放着10枚正面朝下的硬币，每次翻动其中的9枚硬币，能否经过若干次翻动，使硬币正面全部朝上? 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三）。 有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3，3张卡片上面写 着5，3张卡片上面写着7，能否从中选出5张卡片，使它们上面的数字之和等于20?为什么? 【专项训练】 1. 如图所示，在五角星上的圆圈内共填有10个数，如果从中选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗?为什么? 2. 在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到4、6、10，那么，原来写的三个数能否为1、3、5? 3. 50张卡片上写着50个各不相同的正整数，每张写一个数，它们的总和是2020，那么，这些数各是多少?请给出一组结果。 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四）。 A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时都是暗的，一个调皮的小朋友按A到G，再从A到G的顺序不停地按开关，一共按了2021次，问：这个时候哪几盏灯是亮的? 【专项训练】 1. 甲、乙、丙、丁四盏灯各自装有开关，开始时都是亮的，一个调皮的小朋友从甲按到丁，再从甲到丁的顺序不停地按开关，一共按了1234次，问：这个时候哪几盏灯是暗的? 2. A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时只有A是亮的，一个调皮的小朋友从A按到G，再从A到G的顺序不停地按开关，一共按了2000次，问：此时哪几盏灯是亮的? 3. 对于任意两个相邻的正整数，如果它们各自的因数个数可以整除另一个数，我们就称这两个数为一组“友好数”，例如：3的因数个数能整除4；4的因数个数能整除3，因此3和4就是最小的一组“友好数”，那么，第二小的一组“友好数”两数的乘积是多少? 【奥数拓展十三】质数和合数拓展。 a、b均为质数，3a+5b=41，则a+b的值是多少? 【专项训练】 1. 有三个质数的和是50，则这三个质数的积最大是多少? 2. 七个连续质数，从大到小排列为a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么，c是多少? 3. 一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么，这两个质数的和是多少? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月29日 目 录 【课内精选一】因数和倍数（一） 4 【课内精选二】因数和倍数（二） 4 【课内精选三】2、5和3的倍数特征（一） 5 【课内精选四】2、5和3的倍数特征（二） 5 【课内精选五】奇数和偶数 6 【课内精选六】质数和合数 7 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一） 9 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二） 9 【奥数拓展三】2、5和3的倍数特征拓展（一） 10 【奥数拓展四】2、5和3的倍数特征拓展（二） 11 【奥数拓展五】数的整除应用（一） 12 【奥数拓展六】数的整除应用（二） 13 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一） 14 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二） 14 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一） 14 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二） 15 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三） 16 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四） 17 【奥数拓展十三】质数和合数拓展 18 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第三单元倍数与因数·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】因数和倍数（一）。 求80和144的因数各有多少个? 解析：10个；15个。 【专项训练】 1. 求60和90的因数各有多少个? 解析：12个；12个。 2. 求196的因数有多少个? 解析：9个。 3. 面积是165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形共有多少种? 解析：4种。 【课内精选二】因数和倍数（二）。 一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同的拿法? 解析： 根据题意可以知道，96等于每次拿的个数与拿的次数的乘积。 96=1×96=2×48=3×32=4×24=6×16=8×12。 因为“不一次拿出，也不一个一个地拿出”，所以，1×96应该去掉，其余的每个算式都可以看作两种拿法，所以，一共有2×5=10(种)拿法。 【专项训练】 1. 一只筐内共有120个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿的个数要相等，最后一次正好拿完.那么,共有多少种不同的拿法? 解析：14种。 2. 自然数a≥3，b≥3，a×b=195，那么，a和b的值可能是多少? 解析：6种。 【课内精选三】2、5和3的倍数特征（一）。 下面的这些数中，哪些数既是2的倍数又是5的倍数? 46 63 80 39 105 120 77 2310 解析： 因为“一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么它的个位数字必须是0”，所以，只有个位上是0的那些数才既是2的倍数又是5的倍数，所以，这些数中，只 有80、120、2310既是2的倍数又是5的倍数。 【专项训练】 1. 下面的这些数中，哪些数既是2的倍数又是5的倍数? 30 88 93 200 51 104 1070 9650 解析：30、200、1070、9650既是2的倍数又是5的倍数。 2. 判断下面各数哪些是4的倍数? 326 1278 25684 100 解析：100和25684是4的倍数。 3. 判断下面各数哪些是8的倍数? 126 5312 39048 解析：5312和39048是8的倍数。 【课内精选四】2、5和3的倍数特征（二）。 既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是多少? 解析； 首先，一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么，它的个位数字必须是0，因此，我们只能在90，80，…中选择，结合3的倍数的特征，90就是3的倍数，所以，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是90。 【专项训练】 1. 既是2的倍数、又是3的倍数的最小三位数是多少? 解析：102。 2. 既是2和5的倍数、又是3的倍数的最大三位数是多少? 解析：990 3. 既是3的倍数、又是5的倍数的最小四位数是多少? 解析：1005 【课内精选五】奇数和偶数。 35、64、13、5、7、16、89、77、19、0、100、566、1025，以上这些数中奇数有( )个，偶数有( )个。 【答案】 8 5 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；据此解答。 【详解】35、64、13、5、7、16、89、77、19、0、100、566、1025，以上这些数中奇数有35、13、5、7、89、77、19、1025，一共8个，偶数有64、16、0、100、566，一共5个。 所以这些数中奇数有8个，偶数有5个。 【专项训练】 1．在1、2、15、8、17、0.43、中，( )是奇数，( )是偶数。 【答案】 1、15、17 2、8 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】在1、2、15、8、17、0.43、中，1、15、17是奇数，2、8是偶数。 2．在1－100的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 【答案】 50 50 【分析】本题考查偶数和奇数。能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。据此解答即可。 【详解】根据偶数奇数的定义，在1－100的自然数中，偶数有50个，奇数有50个。 3．同时开下面的4把锁的万能钥匙的号码是( )。 （1）是一个奇数。 （2）是3的倍数。 （3）是一个两位数。 （4）所有因数和是32。 【答案】21 【分析】所有因数和是32，根据一个数的因数一定包含1和它本身，所以这个数小于32。小于32的两位数，同时满足是3的倍数的数有：12，15，18，21，24，27，30；其中的奇数有：15，21，27。15的因数有：1，3，5，15；；21的因数有：1，3，7，21；；27的因数有：1，3，9，27；；所以符合条件的数只有21，据此解答。 【详解】由分析可知，同时开4把锁的万能钥匙的号码是21。 【课内精选六】质数和合数。 在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 1 6 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。在1～10的自然数中找出所有的质数：2，3，5，7，找出所有的合数：4，6，8，9，10；既是2的倍数，又是3的倍数说明是6的倍数，据此可知1～10只有6符合。 【详解】在1～10各数中，质数有2、3、5、7；合数有4、6、8、9、10；既不是质数也不是合数的有1；既是2的倍数，又是3的倍数的有6。 【专项训练】 1．1—10的自然数中，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 4 5 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。据此写出1—10的自然数中的质数与合数即可解答。 【详解】1—10的自然数中，质数有2、3、5、7共4个；合数有4、6、8、9、10共5个。 所以质数有4个，合数用5个。 2．在括号内填上适当的质数。 16＝( )＋( )              24＝( )＋( ) 【答案】 3/5 13/11 5/7/11 19/17/13 【分析】质数是指只能被1和它本身整除的数，在24以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23。据此可计算得出答案。 【详解】16＝3＋13，16＝5＋11；24＝5＋19，24＝7＋17，24＝11＋13。 3．德国数学家哥德巴赫提出：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。如8＝3＋5，16＝( )＋( )。 【答案】 3 13 【分析】20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。根据猜想找到16由哪两个质数组成，据此解答。 【详解】，。 故这两个质数可能是3和13，或者是5和11。 【奥数拓展一】因数和倍数拓展（一）。 29÷( )=( )……5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法? 解析： 根据有余数除法各部分之间的关系，可以知道除数与商的积是29－5=24，两个自然数相乘的积是24的有四种情况：1×24，2×12，3×8，4×6，再根据“除数比余数大”可以知道，除数只能是24、12、8、6，所以，共有4种不同的填法。 【专项训练】 1. 37÷( )=( )……5，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少种不同的填法? 解析： 除数与商的积是37—5=32,两个自然数相乘的积是32的有三种情况：1×32，2×16，4×8，因此，除数只能是32、16、8。所以，共有3种不同的填法。 2. 59÷( )=( )……9，在括号内填上合适的数，使等式成立，共有多少种不同的填法? 解析： 因为59－9=50，50=1×50=2×25=5×10，所以可以用50、25、10做除数，共有3种不同的填法。 3. 面积是210平方分米且边长为自然数的长方形中，周长最小的是多少分米? 解析： 由“两个数的积不变，这两个数越接近，则它们的和越小”，210=1×210=2×105=3×70=5×42=6×35=7×30=10×21=14×15，易知当长为15分米、宽为14分米时周长最小，(15+14)×2=58(分米)，所以，周长最小的是58分米。 【奥数拓展二】因数和倍数拓展（二）。 把271表示成两个数的和，使其中一个数是19的倍数，另一个数是17的倍数，求这两个数。 解析： 我们先计算271是17的多少倍，这样的话一般来说会有余数，然后将余数除以2(19－17)，这样就相当于把17的几倍调整为19的几倍，因此 271÷17=15……16， 271=17×15+16， 16÷(19－17)=8(个)， 271=17×(15－8)+(17+2)×8， 271=17×7+19×8， 271=119+152。 所以，这两个数是119和152。 【专项训练】 1. 把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。 解析：这两个数是264与52或121与195。 2. 和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78日元；秋刀鱼，每条104日元.每种鱼都多于1条，正好花了3600日元，请问：和子买了几条竹荚鱼?(注：100日元约相当于6元人民币) 解析： 可以发现，四种鱼的单价中78、104、130都是13的倍数，只有170除以13的余数是1，也就是说，去掉竹荚鱼以外的其他鱼的总价是13的倍数，每买1条竹荚鱼可余1日元，3600除以13余12，所以，竹荚鱼有12条。 3. 把自然数A的所有因数两两求和，得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的数是4，最大的数是324，则A是多少? 解析： 一个自然数的最小因数是1，最大因数是本身，根据题意，自然数A的第二小因数是3，不妨设自然数A的第二大因数为B，有1×A=3×B，即A=3B，那么，3B+B=324，解得B=81，所以，A=81×3=243。 【奥数拓展三】2、5和3的倍数特征拓展（一）。 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是5和8的倍数，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 解析： 末三位数字组成的三位数是8的倍数，个位数字能被5整除，此时百位、十位、个位数字都选0，就可以，所以，符合这些条件的六位数中，最小的一个是865000。 【专项训练】 1. 在257后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是4和125的倍数，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 解析：最小的一个是257000。 2. 在318后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是2和25的倍数，符合这些条件的六位数中，最大的一个是多少? 解析：最大的一个是318950。 3. 一个五位数，数字和是18，且是18的倍数，又出现过相邻两位上的数字是18，那么这个五位数最小是多少? 解析：有相邻两个数位上是18，另外三个数位上数字和是9，三位数最小是108，满足条件，两者组合为10188。 【奥数拓展四】2、5和3的倍数特征拓展（二）。 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是3、4和5的倍数，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少? 解析： 由于5的倍数的特征比较简单，我们应从先满足“5”的倍数考虑，并且要使这个数尽可能地小，因此，百位上的数和个位上的数都应选“0”，这样的话，这个六位数的五个数位上的数之和是8+6+5+0+0=19，要使这个数是3的倍数，必须这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数才行，因此，十位上可以填“2”、“5”、“8”，最后，我们还要结合4的倍数的特征，很明显，十位上填“5”是不合适的，只能填“2”或是“8”，又要尽量小，只有十位上选择“2”，所以，符合这些条件的六位数中，最小的一个是865020。 【专项训练】 1. 五位数7aa12能被9整除，那么，a为多少? 解析：4。 2. 在973后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽量小，这个六位数是多少? 解析：973202。 3. 已知四位数2ab8，不管b如何取值，四位数都不是11的倍数，那么a是多少? 解析：(8+a)－(b+2)=6+a－b，当a=4时，不管b如何取值，四位数都不是11的倍数。 【奥数拓展五】数的整除应用（一）。 芸芸在文具店买了2本笔记本、2支钢笔、3支自动铅笔和3块橡皮.已知笔记本每本3元，钢笔每支15元，自动铅笔和橡皮的价格芸芸记不清了.售货员要芸芸付46元，芸芸马上说售货员把账算错了，你知道这是为什么吗? 解析： 先算出买自动铅笔和橡皮的总价是46－2×3－15×2=10(元)，不管自动铅笔和橡皮的单价各是多少，因为买了3支自动铅笔，那么，3支自动铅笔的总价一定能被3整除；又买了3块橡皮，3块橡皮的总价也能被3整除，根据“整除性质”，自动铅笔和橡皮的总价一定能被3整除，可是，10元钱不能被3整除，所以，芸芸说售货员把账算错了。 【专项训练】 1. 黄蓉买了5支铅笔、8本笔记本和3块橡皮。她只知道铅笔的价格是每支1元，笔记本的价格是每本3元，橡皮的价格倒不太清楚，但知道是整数元，售货员阿姨要黄蓉付34元，黄蓉马上说售货员阿姨算错了，你知道黄蓉是怎么判断的吗? 解析： 5支铅笔和8本笔记本的总价是29元，34－29=5(元)，5不是3的倍数，所以，黄蓉断定售货员算错了。 2. 小天在文具店买了6本练习本、2支圆珠笔、4支自动铅笔和8块橡皮，已知练习本每本1元，圆珠笔每支2元，其余的价格小天记不清了，售货员要小天付20元5角，售货员把账算错了没有，为什么? 解析： 首先算出买练习本和圆珠笔的总价钱是6×1+2×2=10(元)，不管自动铅笔和橡皮的单价各是多少，因为买了4支自动铅笔，那么4支自动铅笔的总价一定能被4整除；买了8块橡皮，8能被4整除，8块橡皮的总价也能被4整除，根据整除性质，自动铅笔和橡皮的总价一定能被4整除，可是10元5角不能被4整除，所以，售货员把账算错了。 3. “六一”儿童节快到了，四(2)班的同学们分成4个小组做绸花，每个小组做的绸花一样多，马大哈统计了一下说：“还是人多力量大，大家一共做了246朵绸花。”马大哈统计对了吗?为什么? 解析：不对，因为246不能被4整除。 【奥数拓展六】数的整除应用（二）。 “太平洋冷饮”批发一号冷库有8种冷饮，每种分别有9箱、26箱、25箱、27箱、30箱、34箱、45箱、46箱，甲、乙两家商店买走了其中的7种，并且乙商店买的箱数是甲的4倍，那么，甲、乙两商店分别买走了哪几种? 解析： 根据甲、乙的购买信息，我们发现乙购买的是甲的4倍，也就是说两家商店一共购买的箱数是5的倍数，因此 (9+26+25+27+30+34+45+46)÷(4+1)=242÷5=48(箱)……2(箱) 那么，剩下那种应该是除以5余2的，即27箱。 买走的7种共有9+26+25+30+34+45+46=215(箱)，甲买走215÷5=43(箱)，即9箱和34箱这两种，所以，乙买走26箱、25箱、30箱、45箱、46箱这五种。 【专项训练】 1. 建筑工地有5堆建筑废料，分别是5吨、6吨、7吨、10吨、16吨，两天时间内运掉了4堆，并且第二天运的质量是第一天运的2倍，剩下1堆是多少吨? 解析：5吨。 2. 沃尔玛超级购物中心二号仓库里有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，已知一个顾客买的货物质量是另一个顾客的2倍，那么，超市剩下的一箱货物质量是多少千克? 解析：20千克。 3. 将39、41、44、45、47、52、55这七个数重新排成一列，使得其中任意相邻的三个数的和都为3的倍数，在所有这样的排列中，第四个数的最大值是多少? 解析：47。 【奥数拓展七】奇数和偶数拓展（一）。 三个连续偶数的和是24，它们分别是多少? 解析：6、8、10 【专项训练】 1. 三个连续奇数的和是27，它们分别是多少? 解析：7、9、11 2. 五个连续奇数的和是65，它们分别是多少? 解析：9、11、13、15、17 3. 四个连续偶数的和是52，它们分别是多少? 解析：10、12、14、16 【奥数拓展八】奇数和偶数拓展（二）。 三个连续奇数的和是15，它们的积是多少? 解析：3×5×7=105。 【专项训练】 1. 三个连续偶数的和是18，它们的积是多少? 解析：192。 2. 五个连续奇数的和是35，这五个奇数中最大的一个是多少? 解析：11。 3. 将120拆成若干个(至少2个)连续非零自然数之和，共有多少种拆法? 解析：3种。 【奥数拓展九】奇数和偶数的运算性质（一）。 1+2+3+4+…+2020+2021的和是奇数还是偶数? 解析： 根据奇数和偶数运算性质：连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的，因此，在1～2021这2021个数中，2021÷2=1010(组)……1(个).有1011个奇数，1010个偶数，1011个奇数的和是奇数，1010个偶数的和还是偶数，奇数加偶数的和是奇数，所以，1+2+3+4+…+2020+2021的和是奇数。 【专项训练】 1. 1+2+3+4+5十…+499+500的和是奇数还是偶数? 解析：偶数。 2. 1×2+2×3+3×4+…+18×19+19×20的结果是奇数还是偶数? 解析：偶数。 3. 2000+2001+2002+2003+…+2020的和是奇数还是偶数? 解析：偶数。 【奥数拓展十】奇数和偶数的运算性质（二）。 9只杯子全部杯口朝上放着，每次翻动其中的4只杯子，能否经过若干次的翻动，使9只杯子的杯口全部朝下? 解析： 我们先拿一只杯子做实验，看看有什么发现，第一次翻动：朝下；第二次翻动：朝上；第三次翻动：朝下；第四次翻动：朝上……可以看出：要使一只杯子的杯口朝下，必须将杯口翻动奇数次，要使9只杯子的杯口都朝下，翻动的总次数应该是9个奇数次的和，9个奇数的和仍是奇数，也就是说：只有经过奇数次翻动，才能使9只杯口都朝下，而每次只能同时翻动4个杯子，无论是奇数个4还是偶数个4，结果都是偶数，因此，翻动的总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，这与前面的分析有矛盾，所以，无论怎么翻动，都不能使9只杯子的杯口全部朝下。 【专项训练】 1. 8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次的翻动，使杯口全部朝上? 解析：能，4次。 2. 桌子上有7只茶杯，全部是杯口朝上，请你每次翻动4只茶杯，称为“一次翻动”，能否经过若干次翻动，使这7只茶杯的杯口全部朝下? 解析：不能。 3. 桌子上放着10枚正面朝下的硬币，每次翻动其中的9枚硬币，能否经过若干次翻动，使硬币正面全部朝上? 解析：能。 【奥数拓展十一】奇数和偶数的运算性质（三）。 有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3，3张卡片上面写 着5，3张卡片上面写着7，能否从中选出5张卡片，使它们上面的数字之和等于20?为什么? 解析： 不能，因为无论选出哪5张卡片，上面的数字都是5个奇数，由“奇数个奇数相加是奇数”，那么，5个奇数的和一定是奇数，所以，5张卡片上的数字和不可能等于偶数20。 【专项训练】 1. 如图所示，在五角星上的圆圈内共填有10个数，如果从中选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗?为什么? 解析：不能，因为奇数个奇数相加是奇数。 2. 在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到4、6、10，那么，原来写的三个数能否为1、3、5? 解析： 原来写的三个数不可能为1、3、5，因为用1、3、5进行操作，每次得到的三个数一定是1个偶数和2个奇数。 3. 50张卡片上写着50个各不相同的正整数，每张写一个数，它们的总和是2020，那么，这些数各是多少?请给出一组结果。 解析： 最小的49个正整数的和为1+2+3+…+49=(1+49)×49÷2=1225，2020－1225=795，所以，当这50个数为1，2，3，4，5，6，7，8，…，47，48，49，795时，就是满足要求的一组数。(不唯一) 【奥数拓展十二】奇数和偶数的运算性质（四）。 A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时都是暗的，一个调皮的小朋友按A到G，再从A到G的顺序不停地按开关，一共按了2021次，问：这个时候哪几盏灯是亮的? 解析： 跟翻杯子一样，如果按一次，电灯变亮；按两次，电灯变暗；按三次，电灯又变亮……因此，如果按的次数是奇数，那么,该盏灯就会改变原有状态；如果按的是偶数次，那么，该盏灯就会保持原有状态，接下来，我们先看看每盏灯各按了多少次，2021÷7=288……5，A、B、C、D、E五盏灯的开关各被按了289次，F、G灯的开关被按了288次，所以，最后亮着的灯是A、B、C、D、E。 【专项训练】 1. 甲、乙、丙、丁四盏灯各自装有开关，开始时都是亮的，一个调皮的小朋友从甲按到丁，再从甲到丁的顺序不停地按开关，一共按了1234次，问：这个时候哪几盏灯是暗的? 解析：因为1234÷4=308……2，甲、乙两盏灯的开关各被按了309次，丙、丁两盏灯的开关被按了308次，所以，最后暗着的灯是甲、乙。 2. A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有开关，开始时只有A是亮的，一个调皮的小朋友从A按到G，再从A到G的顺序不停地按开关，一共按了2000次，问：此时哪几盏灯是亮的? 解析： 因为2000÷7=285……5，所以，A、B、C、D、E五盏灯的开关各被按了286次，而F、G两盏灯的开关被按了285次，如果按的是奇数次，那么,该盏灯就会改变原有状态；如果按的是偶数次，那么,该盏灯就会保持原有状态，所以，最后亮着的灯是A、F、G。 3. 对于任意两个相邻的正整数，如果它们各自的因数个数可以整除另一个数，我们就称这两个数为一组“友好数”，例如：3的因数个数能整除4；4的因数个数能整除3，因此3和4就是最小的一组“友好数”，那么，第二小的一组“友好数”两数的乘积是多少? 解析： 因为相邻两数必为一奇一偶，则说明每组“友好数”的因数个数必为一奇一偶，而因数为奇数个时，该数为完全平方数，所以每组“友好数”中必有一个为完全平方数，下面按完全平方数从小到大验证即可。 (1)4和5，4的因数有3个，而3不能整除5，所以4和5不是“友好数”； (2)8和9，8的因数有4个，而4不能整除9，所以8和9不是“友好数”； (3)9和10，9的因数有3个，而3不能整除10，所以9和10不是“友好数”； (4)15和16，15的因数有4个，4能整除16，且16的因数有5个，5能整除15，所以15和16是第二小的一组“友好数”，15×16=240。 【奥数拓展十三】质数和合数拓展。 a、b均为质数，3a+5b=41，则a+b的值是多少? 解析：a=2，b=7，所以a+b=9。 【专项训练】 1. 有三个质数的和是50，则这三个质数的积最大是多少? 解析：三个质数的和是50，其中必有2，50=2+19+29，2×19×29=1102。 2. 七个连续质数，从大到小排列为a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么，c是多少? 解析：和是偶数，最小质数一定为2，排列顺序为17、13、11、7、5、3、2，所以，c=11。 3. 一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么，这两个质数的和是多少? 解析：设这两个质数分别是a、b,则3a+2b=2000，由2b和2000都是偶数，那么3a一定是偶数，但是3是奇数，因此a为偶数，即a=2,b=997，a+b=2+997=999。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$