专题02 相似形（考点清单+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

清单02 相似形（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相似图形、相似多边形、相似比 1、相似图形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 2、相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形. 3、相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 【清单02】成比例线段 1、两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或. 2、成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比，等于另外两条线段的比，即(或a:b=c:d),那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.这时,线段a, b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b， c叫做比例内项. 3、比例中项：如果作为比例内项的两条直线是相等的，即线段a、b、c之间有a：b=b：c，那么线段b叫做线段a、b的比例中项. 【清单03】比例的性质 1、合比性质：如果，那么（） 2、等比性质：如果，且,那么 【清单04】黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数.一条线段的黄金分割点有两个. 【清单05】平行线分线段成比例 1、基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2、基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【清单06】相似三角形 1、相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线与另两边相交，所截三角形与原三角形相似； （2）两组对应角相等，两个三角形相似； （3）两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似； （4）三边对应成比例，两个三角形相似； （5）两直角三角形，一组斜边和一组直角边对应成比例，两个三角形相似. 2、相似三角形的性质： （1）对应角相等，对应边的比等于相似比； （2）对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (3) 对应周长的比等于相似比； （4）对应面积的比等于相似比的平方. 【考点题型一】相似多边形 【例1】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【变式1-1】. （2024九年级下·河南周口·专题练习）下面四个命题中是真命题的是（    ） A．两组锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．所有的矩形都相似，且所有的菱形也都相似 【变式1-2】. （24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【变式1-3】. （22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【考点题型二】成比例线段 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 【变式2-1】. （24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 【变式2-2】. （23-24九年级上·全国·单元测试）在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【变式2-3】. （2023九年级上·全国·专题练习）已知有三条线段的长分别为cm，cm，cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度． 【考点题型三】比例的性质 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，且，求的值． 【变式3-1】. （23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【变式3-2】. （23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【变式3-3】. （23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【考点题型四】黄金分割 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【变式4-1】. （23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 【变式4-2】. （2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ． 【变式4-3】. （23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是线段的黄金分割点，以为一边作矩形，使；以为边作正方形，则 ．（填＞，＜或＝） 【考点题型五】平行线分线段成比例 【例5】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【变式5-1】. （23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【变式5-2】. （24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 【变式5-3】. （23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，是线段上的一点，且，连接并延长交于点．    (1)求的值； (2)若，求的长． 【考点题型六】相似三角形及平行线截相似三角形 【例6】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（    ）    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式6-1】. （23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】. （21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 对． 【变式6-3】. （21-22九年级下·全国·课前预习）（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 ． （2）三边成比例的两个三角形 ． （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形 （4）两角分别相等的两个三角形 ． （5）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形 ． 【考点题型七】相似三角形的判定 【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，中，，点H在上，且线段于D，的延长线与的延长线交于点E，求证：． 【变式7-1】. （2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【变式7-2】. （23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式7-3】. （23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形中，，连接，过点A作交的延长线于点E，求证：．    （2）如图2，在四边形中，，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是的中点，连接，．    ①求证：﹔ ②求证：． 【考点题型八】相似三角形对应线段的性质 【例8】（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【变式8-1】. （2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【变式8-2】. （24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【变式3-3】. （23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【考点题型九】相似三角形周长、面积的性质 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，且，则四边形与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】. （23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】. （24-25九年级上·全国·课后作业）已知． （1）若，，则 ； （2）若和的相似比为，则这两个三角形对应中线的比为 ，与的面积比为 ； （3）若与的周长比为，则这两个三角形对应边的比是 ． 【变式9-3】. （23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在中，于H，正方形内接于，点D、E分别在边，点G、F在边上．如果，那么，正方形的面积为 ． 【考点题型十】图形的位似变换 【例10】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． (1)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； (2)直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 【变式10-1】. （2024·贵州六盘水·二模）已知一次函数的图象与坐标轴交于A，B 两点． (1)求A，B 两点的坐标； (2)以坐标原点O 为位似中心画一个，使它与位似，且相似比为2． 【变式10-2】. （23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为． (1)若点A的坐标为，求点的坐标； (2)若的面积为m，则的面积为　　　　． 【变式10-3】. （2024·宁夏银川·模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图： (1)作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）； (2)以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）． 【考点题型十一】相似三角形的实际应用 【例11】（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【变式11-1】. （2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）． 【变式11-2】. （22-23九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【变式11-3】. （24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 相似形（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相似图形、相似多边形、相似比 1、相似图形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 2、相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形. 3、相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 【清单02】成比例线段 1、两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或. 2、成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比，等于另外两条线段的比，即(或a:b=c:d),那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.这时,线段a, b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b， c叫做比例内项. 3、比例中项：如果作为比例内项的两条直线是相等的，即线段a、b、c之间有a：b=b：c，那么线段b叫做线段a、b的比例中项. 【清单03】比例的性质 1、合比性质：如果，那么（） 2、等比性质：如果，且,那么 【清单04】黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数.一条线段的黄金分割点有两个. 【清单05】平行线分线段成比例 1、基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2、基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【清单06】相似三角形 1、相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线与另两边相交，所截三角形与原三角形相似； （2）两组对应角相等，两个三角形相似； （3）两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似； （4）三边对应成比例，两个三角形相似； （5）两直角三角形，一组斜边和一组直角边对应成比例，两个三角形相似. 2、相似三角形的性质： （1）对应角相等，对应边的比等于相似比； （2）对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (3) 对应周长的比等于相似比； （4）对应面积的比等于相似比的平方. 【考点题型一】相似多边形 【例1】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 【变式1-1】. （2024九年级下·河南周口·专题练习）下面四个命题中是真命题的是（    ） A．两组锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．所有的矩形都相似，且所有的菱形也都相似 【答案】C 【分析】本题考查了命题，熟记相关数学结论是解题关键． 【详解】解：两组锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，再加上对应边相等的条件才可判定全等，故A是假命题； 两组对边分别平行或两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故B是假命题； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是真命题； 所有的矩形不一定都相似，所有的菱形不一定相似，故D是假命题； 故选：C ． 【变式1-2】. （24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】. （22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点题型二】成比例线段 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． （1）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可； （2）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵， ，， ∴， 即． ∴． 【变式2-1】. （24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1)； (2) (3)是和的比例中项，理由见解析 【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键． （1）根据；，，即可求得的值，的值； （2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长； （3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项． 【详解】（1）解：，， ； ，， ； （2）解：线段、、、是成比例线段， ， ， ； （3）解：，， ， 是和的比例中项． 【变式2-2】. （23-24九年级上·全国·单元测试）在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【答案】(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 【变式2-3】. （2023九年级上·全国·专题练习）已知有三条线段的长分别为cm，cm，cm的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度． 【答案】cm或cm或cm 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【详解】解：设添加的线段长度为，根据比例的基本性质有： （1）对应的外项是时，； （2）对应的外项是时，； （3）对应的外项是时，． 【点睛】此题考查了线段成比例，解题的关键是熟练掌握线段成比例性质并分类讨论． 【考点题型三】比例的性质 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的知识，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，结合可求得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得 ， ∴． 【变式3-1】. （23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【答案】（1）；（2）1或 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，k的值为1或． 【变式3-2】. （23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出可以使计算更加简便． （1）设，然后用k表示出，再代入求解得到k，即可得到的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， 所以， 解得， 所以，，； （2）解：∵线段， ∴． ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴， ∴线段（，故舍去） 【变式3-3】. （23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 【考点题型四】黄金分割 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【变式4-1】. （23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 【答案】 【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ． 因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 【变式4-2】. （2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解此题的关键．根据“较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值为”，进行计算即可． 【详解】.解：支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】. （23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是线段的黄金分割点，以为一边作矩形，使；以为边作正方形，则 ．（填＞，＜或＝） 【答案】＝ 【分析】根据是线段的黄金分割点，推出，又因为表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则，，得出．本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 【详解】解：是线段的黄金分割点，且， ∴， 又∵表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积， ∴，， ∴． 故答案为：． 【考点题型五】平行线分线段成比例 【例5】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式5-1】. （23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【答案】, 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【变式5-2】. （24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键． 【详解】解： 如图，连接、， 则， ，，， ，，，， ． 【变式5-3】. （23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，是线段上的一点，且，连接并延长交于点．    (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，得出，即可得到答案； （2）过作交于点，则，由是的中线可得，从而得到，由平行线分线段成比例可得的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作交于点， ， ∴， ∵是的中线， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、线段之间的数量关系，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【考点题型六】相似三角形及平行线截相似三角形 【例6】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（    ）    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而即可得到，，，由此得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ， 共3对， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【变式6-1】. （23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，， ∴．故A正确； ∵，， ∴．故B正确； ∵，， ∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误． 故选：C 【变式6-2】. （21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 对． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB∥DC ∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC， ∴共6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型． 【变式6-3】. （21-22九年级下·全国·课前预习）（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 ． （2）三边成比例的两个三角形 ． （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形 （4）两角分别相等的两个三角形 ． （5）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形 ． 【答案】 相似 相似 相似 相似 相似 【解析】略 【考点题型七】相似三角形的判定 【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，中，，点H在上，且线段于D，的延长线与的延长线交于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 首先由垂直得到的角，得，再证，从而得出结论． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】. （2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【变式7-2】. （23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 【变式7-3】. （23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形中，，连接，过点A作交的延长线于点E，求证：．    （2）如图2，在四边形中，，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是的中点，连接，．    ①求证：﹔ ②求证：． 【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②证明见详解 【分析】（1）由，通过角的转换即可证明； （2）①证即可证明； ②由①中结论可得，则 ，进而可证明； 本题主要考查三角形的全等判定及性质，相似三角形的证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】证明（1）∵， ∴， ∴． （2）①∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型八】相似三角形对应线段的性质 【例8】（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 【变式8-1】. （2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 【变式8-2】. （24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可； （2）证明，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使，连接， ∵为边的中线 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】. （23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键． （1）证明，，即可解决问题． （2）由（1）知，，求得，，即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ， ， ， ． 【考点题型九】相似三角形周长、面积的性质 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，且，则四边形与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由可得，，进而得到，，设，则，，分别求出四边形与四边形的面积，求出比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴，， ∴， 故选：． 【变式9-1】. （23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由，求证，，根据相似三角形性质得到，进而由相似三角形的性质即可解决问题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：过作，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【变式9-2】. （24-25九年级上·全国·课后作业）已知． （1）若，，则 ； （2）若和的相似比为，则这两个三角形对应中线的比为 ，与的面积比为 ； （3）若与的周长比为，则这两个三角形对应边的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． （1）根据相似三角形的性质即可解答； （2）根据相似三角形的性质即可解答； （3）根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）， ， ，， ， 故答案为：； （2），且和的相似比为， 这两个三角形对应中线的比为，与的面积比为， 故答案为：，； （3）与的周长比为，， 和的相似比为， 这两个三角形对应边的比是， 故答案为：． 【变式9-3】. （23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在中，于H，正方形内接于，点D、E分别在边，点G、F在边上．如果，那么，正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，根据正方形的性质确定平行线，继而确定相似三角形，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算，计算面积即可． 【详解】∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【考点题型十】图形的位似变换 【例10】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． (1)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； (2)直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：由图可得：， 点在线段上，点D对应点的坐标为． 【变式10-1】. （2024·贵州六盘水·二模）已知一次函数的图象与坐标轴交于A，B 两点． (1)求A，B 两点的坐标； (2)以坐标原点O 为位似中心画一个，使它与位似，且相似比为2． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，坐标与位似： （1）根据函数解析式，求出A，B 两点的坐标即可； （2）根据题意，求出的坐标，作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴； （2）由题意，得：或，画图如下： 【变式10-2】. （23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为． (1)若点A的坐标为，求点的坐标； (2)若的面积为m，则的面积为　　　　． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出位似比是解题的关键． （1）首先得到和的位似比为，进而求解即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为，点的坐标为． ∴位似比为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为； （2）∵，且相似比为，的面积为m， ∴的面积为． 【变式10-3】. （2024·宁夏银川·模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图： (1)作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）； (2)以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了位似变换以及中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于原点对称图形的性质得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求． 【考点题型十一】相似三角形的实际应用 【例11】（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【答案】12.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得的长度即可． 【详解】如图所示，设线段与线段交于点G． ∵， ∴，四边形、是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 答：醒狮雕塑的高度为． 【变式11-1】. （2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质及圆柱体积计算，先证明，求出枯井的深，进而求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得， ∴圆柱形枯井的体积为， ∴填平这口井需要的泥土的体积大约是． 【变式11-2】. （22-23九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 【变式11-3】. （24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$