专题02 一次函数（考题猜想，易错必刷30题12种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

专题02 一次函数（易错必刷40题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 认识函数 · 函数的三种表示方法 · 认识一次函数 · 正比例函数定义 · 正比例函数的图象 · 正比例函数的性质 · 一次函数的图象 · 一次函数的性质 · 确定一次函数的表达式 · 一次函数与方程 · 一次函数与不等式 · 一次函数的实际应用 一．认识函数（共4小题） 1．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）下列等式中，①，②，③，④其中函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义， 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．关键是掌握函数的定义． 【详解】解：①，是函数， ②，是函数， ③，是函数， ④，是函数， 综上①②②④是函数， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了函数的定义，本题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A中、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B中、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C中、不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故C符合题意； D中、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下列变量间的关系不是函数关系的是（    ） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．圆柱的底面半径与体积 D．圆的周长与半径 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量． 根据函数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、长方形的宽一定，其长与面积成正比，所以其长与面积是函数关系，所以A选项是函数，不符合题意； B、正方形的面积与它的周长为二次函数关系，所以B选项是函数，不符合题意； C、圆柱的底面半径与体积不是函数关系，因为圆柱体的体积与底面半径、圆柱体的高有关，即，有三个变量，与函数的定义不符，所以C选项不是函数，符合题意； D、圆的周长与半径成正比，所以它们为函数关系，所以D选项是函数，不符合题意； 故选：C． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是（    ） A．2 B．半径 C． D．周长 【答案】B 【分析】可得周长是半径的函数，周长随着半径的变化而变化，周长是因变量，半径为自变量，即可求解． 【详解】解：由题意得 周长是半径的函数， 周长随着半径为的变化而变化， 半径为是自变量； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的定义，理解定义是解题的关键． 二．函数的三种表示方法（共3小题） 5．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方式以及用函数关系式表示两个量之间的关系，根据题意可知关系应该分为两部分，购买10本及10本以下、购买10本以上2部分分析求解． 【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 6．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 7．（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 三．认识一次函数（共4小题） 8．（23-24八年级下·全国·期末）下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的一般形式是，即可求解． 【详解】解：A．该函数属于一次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B．该函数的次数是，不是1，因此该函数不是正比例函数，故本选项不符合题意； C．该函数中自变量的次数是2，因此不是正比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数符合正比例函数的定义，是正比例函数，故本选项符合题意． 故选：D． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③ ；④．其中是一次函数的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：一般的，形如（，为常数）的函数叫一次函数，据此即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数的定义可得①②是一次函数，③④不是一次函数， ∴一次函数有个， 故选：． 10．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）若函数为一次函数，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，平方根的应用，掌握一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1是解题关键．根据一次函数的定义，列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值即可． 【详解】解：函数为一次函数， ，， ， 故选：B 11．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 四．正比例函数定义（共3小题） 12．（22-23八年级上·上海·单元测试）下列各关系中成正比例的有（    ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数关系，根据成正比例则比值固定解决此题． 【详解】①设圆的半径为，周长为，则固定不变，那么圆的周长与半径是正比例关系； ②，则速度一定，路程与时间是正比例关系； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高乘积固定，不是比值固定，不成正比例． ④长方形的面积一定时，长与宽乘积固定，不是比值固定，不成正比例． 故符合条件的有：①②， 故选：C． 13．（22-23八年级上·广西贺州·期末）如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数是解题的关键． 根据正比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， 且， 解得． 故选：C． 14．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）张奶奶在超市买了2千克橘子，每千克橘子元，一共花了元，买橘子的总价与质量之间的关系是（    ） A．正比例关系 B．反比例关系 C．不成比例 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例关系的概念，熟练掌握正比例关系的定义是解题的关键．根据买橘子的总价质量单价即可得到答案． 【详解】解：根据买橘子的总价质量单价， 买橘子的总价与质量之间的关系是正比例关系． 故选A． 五．正比例函数的图象（共3小题） 15．（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题与物理知识相结合，考查正比例函数图像，然后根据函数的图象性质进行判断． 根据物理知识，直接求出函数关系式，再根据函数图象选择正确答案． 【详解】解：，， ， ， ， 属于正比例函数． 故选：D． 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）如果一个正比例函数的图象经过点，那么这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正比例函数表达式，设正比例函数表达式为，由正比例函数的图象经过点，则，解出k的值即可得出答案． 【详解】解：设正比例函数表达式为， ∵正比例函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴正比例函数表达式为， 故选：A． 17．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象．根据题意得到函数的图象经过原点、第一、三象限，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴函数的图象经过原点、第一、三象限， 如图， ． 故选：A 六．正比例函数的性质（共4小题） 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 【答案】 / 【分析】根据函数图象所在象限可判断出，，再根据直线上升的快慢可得，进而可得答案． 【详解】解：由图像可知，正比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵的图象比的图象上升得快， ∴， ∵的图象在二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（23-24八年级上·全国·单元测试）函数中，值随值的增大而增大，则图象经过第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题主要考查了正比例函数的图像和性质，由已知条件了得出，且函数经过点，结合正比例函数的图像和性质即可得出答案． 【详解】解：∵函数中，值随值的增大而增大， ∴，且函数经过点， ∴图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 20．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知是的正比例函数，并且当时，，如果是它图象上的一点，求的值． 【答案】 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求正比例函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 正比例函数的解析式为． 点是正比例函数图象上的点， ， 解得：． 21．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）已知正比例函数图象过点且点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据函数值求自变量值． 将代入正比例函数解析式求函数解析式，然后将代入解析式即可得到a的值． 【详解】解：设该函数的解析式为， 将代入可得，解得， 与x之间的函数关系式为； ∴把代入中，得：，解得， ∴a的值为9． 七．一次函数的图象（共3小题） 22．（2023九年级·贵州遵义·学业考试）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在一次函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在一次函数的图象上的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，画出函数图象，找出不在图象上的点是解题的关键．连接，可找出点在直线上，点不在直线上，此题得解． 【详解】解：如图，连接， 观察图形可知：可得出点在直线上，点不在直线上， ∴这四个点中不在函数的图象上的点是点， 故选：C． 23．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 八．一次函数的性质（共4小题） 25．（23-24八年级下·全国·期末）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的函数解析式为  （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，根据平移不改变的值可设，然后将点代入即可得出直线的函数解析式．解题的关键是掌握：求一次函数平移后的解析式时要注意平移时的值不变． 【详解】解：设平移后的函数表达式是， ∵它经过点， ∴， 解得：， ∴平移后的函数解析式为． 故选：C． 26．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，根据图象判断增减性和所过的象限，判断①和②，图象法判断③和④． 【详解】解：由图象可知，直线， y随x的增大而增大；直线经过一，二，四象限，故①正确；②错误； ∵两直线交点的横坐标为，且当时，直线在直线的上方， ∴，不等式的解集是； ∴，不等式的解集是； 故③，④正确； 故选B． 27．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 由，可得出与同号，进而可得出随的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵，且， ∴与同号， 又∵，是一次函数即图象上不同的两个点， ∴随的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D． 28．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知一次函数，求: (1)当为何值时，y的值随x的增加而增加； (2)当、n为何值时，此一次函数也是正比例函数； (3)若求直线与x轴和y轴的交点坐标． 【答案】(1)当时，y的值随x的增加而增加 (2)当时，此一次函数也是正比例函数 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象的性质与解析式的系数的关系，图象的画法及性质． （1）的值随的增加而增加时，，求解即可； （2）一次函数为正比例函数时，，求解即可； （3）若，时，可确定一次函数解析式，再求函数图象与轴、轴的交点． 【详解】（1）由题意得：，解得，   当时，y的值随x的增加而增加； （2）由题意得：且， 解得 当时，此一次函数也是正比例函数； （3） 若，，一次函数解析式为：， 令，得，令，得， 故函数图象与轴、轴的交点为； 九．确定一次函数的表达式（共3小题） 29．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数，当时，；当时，， (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组是解题的关键． （1）将已知两对与的值代入一次函数解析式即可求出与的值，从而求得解析式． （2）把代入解析式即可求得． 【详解】（1）解：将，；，分别代入一次函数解析式得：， 解得， ∴这个一次函数解析式为； （2）解：把代入得，． 30．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 【答案】(1) (2)，不在 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要： （1）根据与成正比例，则，将时，代入计算即可； （2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线对应的函数表达式，进行验证即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 当时，, 所以, 解得，， ∴ ∴， 故y与x之间的函数关系式：； （2）解：由（1）知：， 所以将图象向上平移5个单位后得到直线， ∴直线对应的函数解析式为，即， 当时，故点不在直线上． 31．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，A、B分别是y轴上位于原点两侧的两点，点在第二象限内，直线交x轴于点，直线交x轴于点D，且． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求直线的解析式． 【答案】(1)的坐标是， (2) 【分析】本题考查了三角形的面积与一次函数，待定系数求函数解析式的综合应用，正确求得A的坐标是关键． （1）已知P的纵坐标，即可知道的边上的高，利用三角形的面积公式即可求得的面积，进而求得的面积，即可求得A的坐标，利用即可求得m的值； （2）根据，可以得到，则A的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得的解析式； 【详解】（1）， ， 的纵坐标是4， ， ， ， ，即， ， 的坐标是 ， ， 点在第二象限内， （2）， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， 直线的解析式为 一十．一次函数与方程（共3小题） 32．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为，则线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．将题中二次函数化为顶点式是解题的关键． 设顶点式，再解方程得，，然后把B ，A两点的横坐标相减得到的长度． 【详解】解：设抛物线解析式为， 当时，， 解得，， 所以，， 所以， 故答案为：6． 33．（23-24八年级下·全国·期中）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两一次函数的交点的横纵坐标是两一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 一十一．一次函数与不等式（共2小题） 35．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．利用函数图象，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 【详解】解：直线与直线分别交x轴于点、， ∵， ∴一个正数和一个负数的积为负数， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 一十二．一次函数的实际应用（共4小题） 37．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； (2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，利用数量总价单价，结合“用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台”，可列出关于的分式方程，解之检验后，可得出品牌电脑的单价，再将其代入即可求出品牌电脑的单价； （2）设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，根据买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些电脑需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 38．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了迎接中秋节的到来，河西某商场计划购进一批甲、乙两种月饼，已知一盒甲种月饼的进价与一盒乙种月饼的进价的和为180元，用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同． (1)求每盒甲种、乙种月饼的进价分别是多少元； (2)商场用不超过4600元的资金购进甲、乙两种月饼共50盒，其中甲种月饼的盒数不超过乙种月饼的盒数，甲种月饼售价190元，乙种月饼售价200元，为了回馈顾客，每卖一盒甲种月饼就返利顾客m元，当月饼售完后，要使利润最大，对甲种、乙种月饼应该怎样进货？ 【答案】(1)甲种月饼进价80元/盒，乙种月饼进价为100元/盒； (2)购进甲种月饼20盒，购进乙种月饼30盒利润最大． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设甲种月饼进价为a元/盒，则乙种月饼进价为元/盒，根据“用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同”列出方程，即可求解， （2）设购进甲种月饼x盒，则购进乙种月饼盒，根据“进货的总资金不超过4600元”列出不等式组，求出x的范围，列出总利润关于进货量的一次函数关系式，即可求解， 【详解】（1）解：设甲种月饼进价为a元/盒，则乙种月饼进价为元/盒， 根据题意得，， 解得． 经检验，是原方程的解并满足题意，所以， 答：甲种月饼进价80元/盒，乙种月饼进价为100元/盒； （2）解：设购进甲种月饼x盒，则购进乙种月饼盒， 根据题意得，， 解得， 设总利润为W元，根据题意可得． ， ∵， ∴， ∴W随x的增大而减小，则当时，W达到最大， 即购进甲种月饼20盒，购进乙种月饼30盒利润最大． 39．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 【答案】(1)25，10 (2)10；1.5 (3) (4)或 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （3）利用待定系数法分段求函数关系式； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； （2）解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； （3）解：当时，设， 代入得，， 解得 ∴； 甲乙第一次相遇时，， 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ． 综上，与的关系式为 （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 故答案为：或． 40．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动，试解决下列问题： (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积是的面积的，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设直线的解析式是，把A、C的坐标代入求出k、b即可； （2）直接利用三角形面积公式求解即可； （3）利用待定系数法求出的解析式，然后利用题中面积的关系求出M的横坐标，再分别代入直线、的解析式即可求解． 【详解】（1）解∶设直线的解析式是． 根据题意，得解得 则直线的解析式是； （2）解：； （3）解：设的解析式是，则，解得 则直线的解析式是 ∵的面积是的面积的 ∴M到y轴的距离是， ∴点M的横坐标为1或． 当M在线段上时， 在中，当时，，则M的坐标是； 当M在射线上时， 在中，当时，，则M的坐标是； 在中，当时，，则M的坐标是． 综上所述，M的坐标是或或． $$专题02 一次函数（易错必刷40题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 认识函数 · 函数的三种表示方法 · 认识一次函数 · 正比例函数定义 · 正比例函数的图象 · 正比例函数的性质 · 一次函数的图象 · 一次函数的性质 · 确定一次函数的表达式 · 一次函数与方程 · 一次函数与不等式 · 一次函数的实际应用 一．认识函数（共4小题） 1．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）下列等式中，①，②，③，④其中函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下列变量间的关系不是函数关系的是（    ） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．圆柱的底面半径与体积 D．圆的周长与半径 4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是（    ） A．2 B．半径 C． D．周长 二．函数的三种表示方法（共3小题） 5．（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 三．认识一次函数（共4小题） 8．（23-24八年级下·全国·期末）下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③ ；④．其中是一次函数的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）若函数为一次函数，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 11．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A．B．C． D． 四．正比例函数定义（共3小题） 12．（22-23八年级上·上海·单元测试）下列各关系中成正比例的有（    ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A．个 B．个 C．个 D．个 13．（22-23八年级上·广西贺州·期末）如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 14．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）张奶奶在超市买了2千克橘子，每千克橘子元，一共花了元，买橘子的总价与质量之间的关系是（    ） A．正比例关系 B．反比例关系 C．不成比例 D．不能确定 五．正比例函数的图象（共3小题） 15．（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图象是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）如果一个正比例函数的图象经过点，那么这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 六．正比例函数的性质（共4小题） 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 19．（23-24八年级上·全国·单元测试）函数中，值随值的增大而增大，则图象经过第 象限． 20．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知是的正比例函数，并且当时，，如果是它图象上的一点，求的值． 21．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）已知正比例函数图象过点且点在这个函数的图象上，求a的值． 七．一次函数的图象（共3小题） 22．（2023九年级·贵州遵义·学业考试）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在一次函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在一次函数的图象上的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 23．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 八．一次函数的性质（共4小题） 25．（23-24八年级下·全国·期末）一次函数的图象平移后经过点，则平移后的函数解析式为  （     ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 27．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知一次函数，求: (1)当为何值时，y的值随x的增加而增加； (2)当、n为何值时，此一次函数也是正比例函数； (3)若求直线与x轴和y轴的交点坐标． 九．确定一次函数的表达式（共3小题） 29．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数，当时，；当时，， (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 30．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 31．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，A、B分别是y轴上位于原点两侧的两点，点在第二象限内，直线交x轴于点，直线交x轴于点D，且． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求直线的解析式． 一十．一次函数与方程（共3小题） 32．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为，则线段的长度为 ． 33．（23-24八年级下·全国·期中）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 34．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是 ． 一十一．一次函数与不等式（共2小题） 35．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），则关于x的不等式的解集为 ． 36．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 一十二．一次函数的实际应用（共4小题） 37．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 38．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了迎接中秋节的到来，河西某商场计划购进一批甲、乙两种月饼，已知一盒甲种月饼的进价与一盒乙种月饼的进价的和为180元，用4000元购进甲种月饼的盒数与用5000元购进乙种月饼的盒数相同． (1)求每盒甲种、乙种月饼的进价分别是多少元； (2)商场用不超过4600元的资金购进甲、乙两种月饼共50盒，其中甲种月饼的盒数不超过乙种月饼的盒数，甲种月饼售价190元，乙种月饼售价200元，为了回馈顾客，每卖一盒甲种月饼就返利顾客m元，当月饼售完后，要使利润最大，对甲种、乙种月饼应该怎样进货？ 39．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 40．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动，试解决下列问题： (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积是的面积的，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． $$