专题02 一次函数（考点清单+14个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

清单02 一次函数（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】常量与变量 1、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 2、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 【清单02】函数 1、定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的没一个确定的值，y都有唯一确 2、函数值：如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 3、函数的三种表盘是方法 （1）列表法：列出有限的对应数值； （2）解析法：将两个变量之间的数量关系用一个式子表示出来； （3）图像法：将每对对应值作为一个点的坐标在平面直角坐标系中标出； 【清单03】一次函数 1、定义：一般地，形如（）的函数，叫做一次函数； 当时，（）叫做正比函数. 2、一次函数的图象与性质 【清单04】用待定系数法确定一次函数解析式的步骤： 1、设：设出含有待定系数的函数表达式； 2、代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出方程（组）； 3、解：解方程（组），求出待定的系数； 4、将所求的待定系数的值代回所设的表达式. 【考点题型一】常量与变量 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 【变式1-1】. （23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 【答案】B 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解． 【详解】解：A、是自变量，故A选项错误，不符合题意； B、是常量，故B选项正确，符合题意； C、是因变量，故C选项错误，不符合题意； D、是常量，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】. （23-24八年级下·河北石家庄·期中）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题主要考查了常量与变量的定义，汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着数量的变化而变化，因此金额和数量是变量． 【详解】解：∵在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量， ∴其中的常量是单价． 故选：B． 【变式1-3】. （23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　） A．C是变量，π，d是常量 B．π是变量，C，d是常量 C．C，d是变量，π是常量 D．C，d，π是变量 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，常量，变量的定义．根据常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量解答即可． 【详解】解：在圆的周长公式中， C，d是变量，π是常量， 故选：C． 【考点题型二】自变量与因变量 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：下列说法错误的是（　　） 温度/ 0 10 20 30 声速/ 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．在一定范围内，当温度每升高，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【分析】此题考查了自变量、因变量的含义，以及用表格表示变量之间的关系，要熟练掌握．根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A．∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A说法正确； B．∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢， ∴选项B说法正确； C．∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加， ∴选项C说法正确； D．∵， ∴当空气温度为时，声音可以传播， ∴选项D说法错误． 故选：D． 【变式2-1】. （23-24七年级下·山东青岛·期中）用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法： ①长方形的长和宽是两个变量； ②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量； ③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量； ④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量； ⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量． 其中正确的说法有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量．根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：①长方形的周长一定，长和宽均可改变，是两个变量， ①正确； ②铁丝的长度一定，即长方形的周长一定，是常量， ②不正确； ③长方形的周长一定，它的宽会随长的改变而改变， ③正确； ④长方形的周长一定，它的长会随宽的改变而改变， ④正确； ⑤长方形的周长一定，当它的长改变时，宽也随之改变，故它的面积也会随之改， ⑤正确． 综上，正确的说法有4个，分别是①③④⑤． 故选：C． 【变式2-2】. （23-24七年级下·广东河源·期中）利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　） A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量． 【详解】解：根据题意可知水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量， 故选：A． 【变式2-3】. （23-24七年级下·山东济南·期中）研究表明，雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是（    ） A．雾霾的程度 B．城市中心 C．雾霾 D．城市中心区立体绿化面积 【答案】D 【分析】本题考查了函数的概念，根据自变量的定义即可求解，熟练掌握函数的关系是解题的关键． 【详解】解：研究表明，雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是城市中心区立体绿化面积， 故选D． 【考点题型三】函数的三种表示方法 【例3】（2021·重庆·三模）小军根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行探究．下表是该函数与自变量的几组对应值，请解答下列问题： -2 0 1 2 3 4 2 4 2 （1）求该函数的解析式，并写出自变量的取值范围． （2）表中的值为______________，的值为______________． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质； ____________________． （4）若关于的方程无解，则的取值范围是__________． 【答案】（1），x可取任意实数；（2）；（3）图像见解析，函数的性质：（任选一条）①函数关于直线对称，②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，③当x=1时，函数有最大值，最大值为4；（4）或 【分析】（1）在表中选取两个点的坐标代入即可求出解析式，x取值范围根据分母不为零确定； （2）根据表格中的数据可以得出函数关于直线x=1对称，由对称性即可求出答案； （3）根据表格中的坐标，描点连线即可，再由图像即可分析出函数的性质； （4）将方程无解转化为两个函数没有交点，即可求出k的取值范围． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 故函数解析式为， ∵， ∴x可取任意实数； （2）观察表格可知，函数关于直线对称， 故由对称性可知，， 故答案为：； （3）如图所示： 函数的性质：（任选一条） ①函数关于直线对称， ②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ③当x=1时，函数有最大值，最大值为4； （4）∵关于的方程无解， ∴直线与函数没有交点， 即或 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握函数的解析式求法，函数图像与性质的联系，函数与不等式之间的转化关系． 【变式3-1】. （23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【变式3-2】. （23-24七年级下·全国·单元测试）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)这一变化过程中， 是变量， 是常量； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1)邮箱里剩下的油量和行驶的时间，每小时耗油的油量 (2) (3)这辆汽车最多能行驶16小时 【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，属于基础题，关键是掌握函数的基础知识． （1）可以取不同的数值的量是变量，数值不变的量是常量，据此判定即可； （2）根据（1）中的基本关系求解即可； （3）当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可． 【详解】（1）这一变化过程中，变量有：油箱里剩下的油量和行驶的时间，常量有：每小时耗油的油量； 故答案为：油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量 （2）由题意，得： （3）当时，有， 解得： 即这辆汽车最多能行驶16小时． 【变式3-3】. （23-24七年级下·全国·单元测试）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况(如图所示)． (1)图象表示了哪两个变量的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)10时和13时，他分别离家多远? (3)他到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? (4)11时到12 时他行驶了多少千米? (5)他可能在哪段时间内休息，并吃午餐? (6)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少? 【答案】(1)图象表示的两个变量是时间和离家的距离；时间是自变量，离家的距离是因变量 (2)10时他离家，13时他离家 (3)12时到达离家最远的地方，离家 (4) (5)12时到13时休息并吃午餐 (6) 【分析】此题考查了函数的图象，解题关键在于看懂图中数据表示的实际意义． （1）根据图象的横轴和纵轴即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）由函数图象可以看出10时的时候他离家的距离是，13时的时候他离家； （3）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的地方是什么时间，离家多远； （4）根据图象首先找到时间为11时和12时离家的距离，然后作差即可； （5）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐； （6）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度． 【详解】（1）解：图象表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变量，离家的距离是因变量； （2）解：由纵坐标看出10时他离家，13时他离家． （3）解：他到达离家最远的地方是12时，由纵坐标看出此时离家． （4）解：由纵坐标看出11时离家，12时离家，11时到12时他行驶了． （5）解：由纵坐标看出12时到13时距离没变且时间较长，可知12时到13时休息并吃午餐． （6）解：由横坐标看出回家用了，由纵坐标看出路程是，回家的平均速度是． 【考点题型四】利用一次函数求值 【例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．将自变量代入该函数解析式进行计算求解． 【详解】解：当自变量时， 因变量， 故选：D． 【变式4-1】. （2024·湖北武汉·模拟预测）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，根据题意当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解． 【详解】解：根据题意，当尺码增加，则衣长增加， 到，增加了个尺码， ∴， ∴他的衣长可能是； 故选：B． 【变式4-2】. （2024·山东烟台·二模）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 【答案】C 【分析】此题考查了求函数值．根据所示的程序，输入，由，则把代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意得，当时，， 故选：C． 【变式4-3】. （23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若函数的函数值为0，则自变量的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，求函数自变量的值掌握分式方程的解法是解题的关键．根据函数的函数值为0，得出，解方程即可． 【详解】解：由题意得， ∴ 解得：， 检验：当时，， ∴自变量的值为， 故选：C． 【考点题型五】正比例函数的图象与性质 【例5】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点和，利用纵坐标的大小列出不等式，即可判断选项C、D． 【详解】解：由图像可知，随的增大而减小，随的增大而减小， 所以，故选项A、B错误，不符合题意； 如下图，在两个图像上分别取横坐标为的两个点和（）， 则，， ∵，即 ∴， 又∵， ∴，，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意． 故选：D 【变式5-1】. （23-24八年级下·全国·期末）已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，由得出y随x增大而减小是解题关键，根据正比例函数增减性直接判断即可． 【详解】解：正比例函数中，， y随x增大而减小， ， ， ， 故选：C． 【变式5-2】. （24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 【变式5-3】. （23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，故该选项不符合题意； B、当时，，图象不经过点，故该选项不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，故该选项符合题意； D、，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 故选：C． 【考点题型六】利用正比例关系求关系式 【例6】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比，且时． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，正比例函数的定义： （1）设，然后利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求关系式中求出x的值即可. 【详解】（1）解；设， ∵当时， ∴， 解得， ∴，即； （2）解：在中，当时，. 【变式6-1】. （23-24七年级下·全国·单元测试）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是函数关系式， （1）设与的函数关系式为，再把当时，代入求出的值即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可； 掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）由（1）知，与的函数关系式为， ∴当时，． ∴当时的函数值为． 【变式6-2】. （23-24八年级下·全国·期中）如果与成正比例，且时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)求当时，求的值； (3)求当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把，代入，求出值即可得答案； （2）把代入（1）中所求关系式，求出值即可； （3）时，，解不等式即可得答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设与之间的函数关系式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． （2）∵， ∴当时，． （3）当时，， 解得：． 【变式6-3】. （23-24八年级下·河南安阳·期中）已知是正比例函数． (1)求k的值和函数解析式； (2)当时，x应满足的条件． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的概念、正比例函数的性质等知识点，根据正比例函数的概念求得函数解析式成为解题的关键． 应用正比例函数的概念确定函数的解析式即可． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， ∴， ∴函数解析式为． （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当时，x应满足的条件为． 【考点题型七】一次函数的图象 【例7】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式7-1】. （24-25九年级上·广东广州·开学考试）一次函数的图象不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．一次函数中，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，当时，图象交y轴正半轴，当时，图象交y轴负半轴． 根据判断直线经过经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】∵中，， ∴直线经过第二、四象限， 又∵， ∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【变式7-2】. （2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，结合一次函数的图象性质对各个选项逐个判断即可求解，掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，所以图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选不符合题意； B、图象与轴交于点，与轴交于点，所以图象与两坐标轴围成的三角形面积是：，故选不符合题意； C、，所以y随x的增大而增大，故选项符合题意； D、当时，，正确，故选不符合题意； 故选：C． 【变式7-3】. （24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移是解题的关键． 由，可得，，则图象过第二、三、四象限，不过第一象限，可判断A的正误；当时，，即图象与y轴的交点坐标为，可判断B的正误；图象可由直线向下平移2个单位长度得到，可判断C的正误；随着的增大而减小，由，可得，可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求； 当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求； 图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求； 随着的增大而减小， ∵， ∴，D错误，故符合要求； 故选：D． 【考点题型八】一次函数的性质 【例8】（23-24八年级下·浙江台州·期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象性质以及应用，根据当时，则；当，则，作图，运用数形结合思想得出的图象是分段函数，判断①，当时，y随着x的增大而减小．当时，y随着x的增大而增大，判断②③，结合图象，即可判断④，进行作答． 【详解】解： 当时，则； 当时，则； 如图： ∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得． 故①是错误的； 结合图象，当时，y随着x的增大而减小． 当时，y随着x的增大而增大． 故②是错误的， 故③是正确的； 结合图象，函数有最小值． 故④是正确的； 故选：D． 【变式8-1】. （23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数，若y的值随x的值的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出的取值范围．牢记“，随x的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：∵的值随的值的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 故选：A． 【变式8-2】. （23-24八年级下·全国·单元测试）已知点在一次函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数的性质，关键是掌握求出函数解析式． 根据点在一次函数的图像上求出，将点代入求出，再比较即可． 【详解】解：∵在一次函数的图像上， ∴，解得． ∴函数解析式为． ∵点在一次函数的图像上， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【变式3-3】. （23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意； B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意． 故选：D． 【考点题型九】利用一次函数的图像与性质求值或取值范围 【例9】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 【变式9-1】. （23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数（为正整数）的函数随的增大而减小，当时，的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，先根据一次函数的增减性和为正整数求出的值，然后求出与轴的交点即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数（为正整数）的函数随的增大而减小， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵随的增大而减小， ∴当时，的取值范围为， 故选：． 【变式9-2】. （24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点坐标的求解及整式的化简，熟练掌握一次函数点的求法及整式的计算法则是解决本题的关键．根据题意将A，B两点代入一次函数解析式化简得到的关系式即可得解． 【详解】解：将点代入得： ， 解得：， 则即， 故选：A． 【变式9-3】. （24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）已知两个一次函数和， (1)若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． (2)直线经过的定点坐标是________． (3)当时，，求的取值范围．直接写出结果． (4)若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)且 【分析】本题考查了一次函数的交点坐标，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得m的值，再将坐标代入，求得k的值； （2）在中，令，得，即可求解； （3）将代入得，，得直线过点，将代入得，，得，再通过数形结合即可求解； （4）联立方程组求解，再列出不等式组求解即可． 【详解】（1）将代入得，，解得：， 将代入得，，解得：， （2）在中，令，得， 所以直线经过的定点坐标是， 故答案为：； （3）将代入得，， 所以直线过点， 将代入得，，得， 所以当时，，则的取值范围是且； （4）联立方程组得：， 解得：， 两个一次函数的图像交点在第一象限内， ， 解得：且， 【考点题型十】确定一次函数的表达式 【例10】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数图像经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了一次函数的解析式和一次函数图像与坐标轴的交点问题． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出一次函数图像与x轴的交点，得到三角形两直角边的长，即可求出答案． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数图像经过点、， ∴， 解得：， 所以，这个一次函数的解析式为， （2）设一次函数图像与x轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-1】. （24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系内有三点、、． (1)求图象经过点的正比例函数解析式； (2)求经过点，的直线的函数解析式； (3)判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不在；理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，是基础知识，难度适中． （1）设图象经过点的正比例函数解析式为，将点代入，利用待定系数法即可求出该正比例函数的解析式； （2）设两点所在直线的函数解析式为，利用待定系数法即可求出函数的解析式； （3）当时，，即可判断． 【详解】（1）设图象经过点的正比例函数解析式为， ， 图象经过点的正比例函数的解析式为； （2）设两点所在直线的函数解析式为， 解得 经过点的直线的函数解析式为； （3）不在，理由如下：当时，， 点不在直线上． 【变式10-2】. （23-24八年级上·全国·单元测试）已知正比例函数和一次函数． (1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k； (2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识， （1）先根据一次函数求出m的值，再将点坐标代入求出k的值即可； （2）当两条直线不平行时必定相交，根据交点在第一象限得出正比例函数必须经过第一象限，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数和正比例函数的图象交于点， ∴， ∴； （2）解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， 当时，两直线一定有交点， 若两个函数的图象的交点一定在第一象限， 则函数的图像一定需要经过一象限， ∴． 【变式10-3】. （22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）一次函数（为常数，且） (1)若点在此函数的图像上，求这个函数的解析式． (2)当时，函数最大值为2，求出的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式； （2）分两种情况讨论：当时，随的增大而增大，则当时，有最大值2，将代入函数关系式即可求得的值；当时，随的增大而减小，则当时，有最大值2，将代入函数关系式即可求得的值； 【详解】（1）∵一次函数，点在此函数的图像上， ∴将代入得，， ∴， ∴ ∴一次函数的解析式为：． （2）①当时，随的增大而增大，则当时，有最大值2， ∴， ∴， ②当时，随的增大而减小，则当时，有最大值2， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【考点题型十一】一次函数与方程 【例11】（2023·广东广州·一模）如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查两直线与二元一次方程组的解，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标求得结论即可． 【详解】解：∵经过， ∴， 解得， ∴ ∴一次函数与的图像相交于点， ∴可有方程组的解为， 故答案为：． 【变式11-1】. （2018·湖南邵阳·中考真题）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 ． 【答案】x=2 【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解． 【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0）， ∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2， 故答案为x=2． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【变式11-2】. （21-22八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可． 【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A， ∴点A坐标（－1，2）， ∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点， ∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）． ∴， 解得 故答案为或． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键． 【变式11-3】. （22-23九年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】先根据点P的坐标，求得参数m、k的值，然后解二元一次方程组即可． 【详解】由题意可知， ， 解得：， 所以原方程组为， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数求参数与解二元一次方程组，根据P点求得参数的值并掌握解二元一次方程组的方法是关键． 【考点题型十二】一次函数与不等式 【例12】（23-24八年级下·安徽宿州·单元测试）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据直线与直线交于点，点A的横坐标为3，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据直线与直线交于点，点A的横坐标为3， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式12-1】. （23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．利用函数图象，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为，直线中随的增大而减小， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式12-2】. （2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练运用了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：；；． 【变式12-3】. （23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为，则不等式组 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直线与不等式，求出两直线的交点是解题的关键．先求出两直线的交点为，代入，求出，及直线与的交点坐标，结合函数图象可得结论． 【详解】解：直线与直线的交点的横坐标为， ， 直线与直线的交点坐标为， ， 解得，， ， 当时，， 与轴的交点坐标为， 不等式组 的解集为， 故答案为：． 【考点题型十三】一次函数的实际应用 【例13】（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 【答案】(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元 (2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析 【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元． 由题意得，，解得， 答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元． （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元， 由题意得，， 由题意得，解得， 因为随的增大而增大，所以当时取得最小值． 答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． 【变式13-1】. （2023·江苏扬州·中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． (2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解； （2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=． 【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ， 答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． （2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w, 则，解得，故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 【变式13-2】. （2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】(1) (2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 (3)两地间的距离为600米 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵， ∴所在直线的表达式为． （2）设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 【变式13-3】. （2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样． (1)求甲乙两种类型笔记本的单价． (2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少? 【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元 (2)最低费用为1101元 【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答； （2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元． 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意． ∴乙类型的笔记本单价为：（元）． 答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元． （2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件． 由题意得：． ∴． ． ∵， ∴当a越大时w越小． ∴当时，w最小，最小值为（元）． 答：最低费用为1101元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键． 【考点题型十四】一次函数的综合 【例14】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与x轴、轴分别交于A，B两点，且，x轴上一点C的坐标为，P是直线上一点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接和，当点P的横坐标为2时，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据可得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据直线的解析式求出点的纵坐标，从而可得的边上的高，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：， ， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （2）解：是直线上一点，点的横坐标为2， ∴点的纵坐标为， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式14-1】. （2022·重庆铜梁·模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点． (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)2 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， 得， 解得， 一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ，，； （2）解：把点一次函数，得，解得， ， 当时，，即． ， ； （3）解：点是轴上的一个动点，设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，掌握一次函数的性质是解题关键． 【变式14-2】. （2024·陕西·模拟预测）2024年4月23 日是世界第29个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某学校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进数量x（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．      (1)当时，求y与x 之间的函数关系式； (2)学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】(1)当时，y与x之间的函数关系式是 (2)当购买甲种图书300本，乙种图书100本时，总费用最少，最少总费用是 8500元 【分析】本题考查了一次函数图像，一次函数的实际应用，解本题的关键在利用待定系数法求解析式和熟练掌握一次函数的性质． （1）根据图像，再利用待定系数法求解析式，即可得出函数关系式； （2）设购进甲种图书本，购进乙种图书本，总费用为，根据（1）中的关系式和总费用购进甲种图书的费用购进乙种图书的费用，列出关系式，再根据一次函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的函数关系式是，根据题意： 得 ， 解得 即当时，y与x之间的函数关系式是； （2）解：设总费用为w元，设购买x本甲种图书，则购买本乙种图书， 依题意得：， ∵两种图书均不少于100本， 则 解得：， ∵，w随x的增大而减小， ∴当时，w最小，最小值为， ∴当购买甲种图书300本，乙种图书100本时，总费用最少，最少总费用是 8500元． 【变式14-3】. （2024·河南商丘·二模）“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市书吧规定每次去书吧阅读的费用为元．现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下． 方案一：办理会员卡（会员卡花费元），每次阅读的费用按六折优惠． 方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠． (1)分别写出这两种方案中阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式． (2)这两种方案中阅读的费用与阅读的次数的关系图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义． (3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少． 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)，，点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元 (3)选择方案一花费更少 【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数与二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）按照题意分别列出关系式即可 （2）点在轴上，故将，代入解析式可得，即可求出点坐标，再联列两个关系式，即可形成二元一次方程组，解答即可求出的点坐标，结合题意说明点所表示的实际意义即可． （3）将分别代入两个关系式，即可求出两个方案的花费，对比大小即可． 【详解】（1）方案一：办理会员卡的花费是元，之后每次阅读的费用打六折， ∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：． 方案二：每次阅读的费用打六折： ∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：． （2）∵，当时，得， ∴点． 由，解得， ∴点． 点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元． （3）选择方案一花费更少． 理由：当时，（元）， （元）． ∵， ∴小东同学选择方案一花费更少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一次函数（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】常量与变量 1、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 2、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 【清单02】函数 1、定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的没一个确定的值，y都有唯一确 2、函数值：如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 3、函数的三种表盘是方法 （1）列表法：列出有限的对应数值； （2）解析法：将两个变量之间的数量关系用一个式子表示出来； （3）图像法：将每对对应值作为一个点的坐标在平面直角坐标系中标出； 【清单03】一次函数 1、定义：一般地，形如（）的函数，叫做一次函数； 当时，（）叫做正比函数. 2、一次函数的图象与性质 【清单04】用待定系数法确定一次函数解析式的步骤： 1、设：设出含有待定系数的函数表达式； 2、代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出方程（组）； 3、解：解方程（组），求出待定的系数； 4、将所求的待定系数的值代回所设的表达式. 【考点题型一】常量与变量 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【变式1-1】. （23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量 【变式1-2】. （23-24八年级下·河北石家庄·期中）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【变式1-3】. （23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　） A．C是变量，π，d是常量 B．π是变量，C，d是常量 C．C，d是变量，π是常量 D．C，d，π是变量 【考点题型二】自变量与因变量 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：下列说法错误的是（　　） 温度/ 0 10 20 30 声速/ 318 324 330 336 342 348 A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．在一定范围内，当温度每升高，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【变式2-1】. （23-24七年级下·山东青岛·期中）用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法： ①长方形的长和宽是两个变量； ②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量； ③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量； ④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量； ⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量． 其中正确的说法有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-2】. （23-24七年级下·广东河源·期中）利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　） A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 【变式2-3】. （23-24七年级下·山东济南·期中）研究表明，雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是（    ） A．雾霾的程度 B．城市中心 C．雾霾 D．城市中心区立体绿化面积 【考点题型三】函数的三种表示方法 【例3】（2021·重庆·三模）小军根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行探究．下表是该函数与自变量的几组对应值，请解答下列问题： -2 0 1 2 3 4 2 4 2 （1）求该函数的解析式，并写出自变量的取值范围． （2）表中的值为______________，的值为______________． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质； ____________________． （4）若关于的方程无解，则的取值范围是__________． 【变式3-1】. （23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【变式3-2】. （23-24七年级下·全国·单元测试）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)这一变化过程中， 是变量， 是常量； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【变式3-3】. （23-24七年级下·全国·单元测试）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况(如图所示)． (1)图象表示了哪两个变量的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)10时和13时，他分别离家多远? (3)他到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? (4)11时到12 时他行驶了多少千米? (5)他可能在哪段时间内休息，并吃午餐? (6)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少? 【考点题型四】利用一次函数求值 【例4】（23-24七年级下·全国·单元测试）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【变式4-1】. （2024·湖北武汉·模拟预测）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】. （2024·山东烟台·二模）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（   ） A．3 B．1 C． D．3或 【变式4-3】. （23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若函数的函数值为0，则自变量的值是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】正比例函数的图象与性质 【例5】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】. （23-24八年级下·全国·期末）已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】. （24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【变式5-3】. （23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【考点题型六】利用正比例关系求关系式 【例6】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比，且时． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【变式6-1】. （23-24七年级下·全国·单元测试）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值． 【变式6-2】. （23-24八年级下·全国·期中）如果与成正比例，且时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)求当时，求的值； (3)求当时，求的取值范围． 【变式6-3】. （23-24八年级下·河南安阳·期中）已知是正比例函数． (1)求k的值和函数解析式； (2)当时，x应满足的条件． 【考点题型七】一次函数的图象 【例7】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式7-1】. （24-25九年级上·广东广州·开学考试）一次函数的图象不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式7-2】. （2024·湖南岳阳·模拟预测）已知一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是4 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【变式7-3】. （24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【考点题型八】一次函数的性质 【例8】（23-24八年级下·浙江台州·期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【变式8-1】. （23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数，若y的值随x的值的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】. （23-24八年级下·全国·单元测试）已知点在一次函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】. （23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【考点题型九】利用一次函数的图像与性质求值或取值范围 【例9】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】. （23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数（为正整数）的函数随的增大而减小，当时，的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】. （24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】. （24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）已知两个一次函数和， (1)若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． (2)直线经过的定点坐标是________． (3)当时，，求的取值范围．直接写出结果． (4)若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 【考点题型十】确定一次函数的表达式 【例10】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一次函数图像经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积． 【变式10-1】. （24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系内有三点、、． (1)求图象经过点的正比例函数解析式； (2)求经过点，的直线的函数解析式； (3)判断点是否在直线上，并说明理由． 【变式10-2】. （23-24八年级上·全国·单元测试）已知正比例函数和一次函数． (1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k； (2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？ 【变式10-3】. （22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）一次函数（为常数，且） (1)若点在此函数的图像上，求这个函数的解析式． (2)当时，函数最大值为2，求出的值． 【考点题型十一】一次函数与方程 【例11】（2023·广东广州·一模）如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ． 【变式11-1】. （2018·湖南邵阳·中考真题）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 ． 【变式11-2】. （21-22八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为 ． 【变式11-3】. （22-23九年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【考点题型十二】一次函数与不等式 【例12】（23-24八年级下·安徽宿州·单元测试）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式12-1】. （23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式12-2】. （2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 【变式12-3】. （23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为，则不等式组 的解集为 ． 【考点题型十三】一次函数的实际应用 【例13】（2022·山东济南·中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由． 【变式13-1】. （2023·江苏扬州·中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【变式13-2】. （2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【变式13-3】. （2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样． (1)求甲乙两种类型笔记本的单价． (2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少? 【考点题型十四】一次函数的综合 【例14】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线与x轴、轴分别交于A，B两点，且，x轴上一点C的坐标为，P是直线上一点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接和，当点P的横坐标为2时，求的面积． 【变式14-1】. （2022·重庆铜梁·模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点． (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【变式14-2】. （2024·陕西·模拟预测）2024年4月23 日是世界第29个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某学校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进数量x（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．      (1)当时，求y与x 之间的函数关系式； (2)学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 【变式14-3】. （2024·河南商丘·二模）“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市书吧规定每次去书吧阅读的费用为元．现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下． 方案一：办理会员卡（会员卡花费元），每次阅读的费用按六折优惠． 方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠． (1)分别写出这两种方案中阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式． (2)这两种方案中阅读的费用与阅读的次数的关系图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义． (3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$