专题01 有理数（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版2024）

七年级新人教版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲01 有理数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 1、正整数、0和负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为 有理数. 2、数轴是研究数学的一个工具，数轴的三要素:原点、正方向、单位长度.在数轴上可以将所有的有理数都表示出来; 在数轴上,表示一个数的点与原点的距离叫作这个数的绝对值; 在数轴上,位于原点的两侧，并且到原点的距离相等的两个点表示的数是一对相反数; 利用数轴可以比较几个有理数的大小. 3、只有符号不同的两个数互为相反数. 4、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 5、有理数的加法法则和乘法法则可以借助数轴进行探究，而减法法则和除法法则是通过转化为加法法则和乘法法则进行计算的. 6、有理数的混合运算顺序先算乘方，再算乘除,最后算加减，有括号的，先算括号内的运算，再算括号外的运算. 7、科学记数法是把一个绝对值大于10的数表示成的形式,其中1≤a<10,n为正整数. 8、与实际数值非常接近的数为近似数,在实际生活中,我们常会遇到和用到近似数. 题型剖析 题型一 有理数的基本概念 例1 下列说法正确的有（     ）个 ①符号相反的两个数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④当时，0； ⑤任何数都不等于它的相反数；⑥互为相反数的两个数的同一偶次方相等； ⑦如果那么a的倒数小于b的倒数． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【详解】解：∵符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数，∴①错误；∵绝对值的定义是数轴上点到原点的距离，∴③正确，②错误；当时，总是大于0， ∵0的相反数是0， ∴⑤错误； ∵互为相反数的两个数的同一偶次方相等，∴⑥正确； ∵当时， a的倒数大于b的倒数， ∴⑦错误；综上，正确的有③④⑥，共3个． A 题型剖析 题型一 有理数的基本概念 【举一反三】 1、下列说法中正确的个数有（     ） （1）有理数的绝对值一定是正数；（2）任何一个数都有它的相反数；（3）若，则与互为相反数；（4）绝对值等于本身的数是0；（5）互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 2、实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 题型剖析 题型二 有理数的运算 例2 计算 【详解】（1）解： = + - =-12-20+14=-18 【举一反三】 （1） （2） 【详解】（1）解： （2）． 题型剖析 题型三 非负数的性质 例3 已知在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，∴，∴，∴． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，所以，所以 . 【举一反三】 1、已知a，b都是有理数，若，则 ． 2、计算计算： ， ， ． 【详解】解：，，，故答案为：，4，． 题型剖析 题型四 化简绝对值 例4 有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（    ） ；； ； ． A． B． C． D． 【详解】解：由题意可知，，且，，故不正确；，，故不正确；，故正确；，故正确；因此，正确的是，有个 【举一反三】 1、如果，那么的值是（     ）． A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 2、若a、b、c都为整数，满足，则 ． B B 0 题型剖析 题型五 有理数比较大小 例5 将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接． 【答案】 【举一反三】 1、比较下列各组数的大小：(1)与； (2)与． 【答案】(1)(2) 2、根据以下信息，完成相应的任务．a是最大的负整数；b是最小的正整数； c是负数，且数轴上表示c的点到原点的距离为2；d的相反数是其本身．任务：求出有理数a，b，c，d的值，并用“”将值连接起来． 【答案】，，，， 题型剖析 题型六 分类讨论思想 例6 如果，，比较a，b的大小． 【详解】解：∵，，∴或6，或8， 当时，；当时，；当时，；当时，． 【举一反三】 1、求下列各式中m的值．(1)(2) 【答案】(1) (2)或6 2、若|x|＝2，|y|＝5，且x＜0，则求x+y的值． 【答案】当x＝-2，y＝5时，x+y＝-2+5＝3， 当x＝-2，y＝-5时，x+y＝-2-5＝-7． 题型剖析 题型七 数形结合思想 例7 已知数轴上有A、B、C，它们所表示的有理数分别是6，，x.（提示：先画图）． (1)求A、B两点间的距离；(2)求线段的中点D表示的数；(3)已知，求x． 【举一反三】 1、点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度、4个单位长度，它们运动的时间为． (1)如果点P，Q都向左运动，当点Q追上点P时，求点P对应的数； (2)如果点P，Q在点A，B之间相向运动，当时，求点P对应的数． 【答案】(1)(2)或0． 【答案】（1）如图 由图可知： （2）由（1）知：∵线段的中点为D ∴D到点A的距离为7∴D表示的数为； （3）∵∴当C在A的左侧，当C在A的右侧，或 题型剖析 题型七 数形结合思想 【举一反三】 2、 结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为k，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或；(2)；(3)当时，的值不变． 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 题型剖析 题型八 有理数混合运算——巧算 例8 仔细阅读下面的材料，计算 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】． 题型剖析 题型八 有理数混合运算——巧算 【举一反三】 1、计算 【答案】解：原式 ． 2、 【答案】解： ． 易错易混 易错一 对“0”的含义理解不准确 例1、下列关于0的说法不正确的是（    ） A．0的相反数是0 B．0既不是正数，也不是负数 C．0的绝对值是0 D．0是最小的数 【针对训练】 1、下面关于0的说法，说法正确的是（      ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 2、下列说法中正确的是　（   　） A．0是最小的有理数 B．0没有相反数 C．0不是正数也不是负数 D．0不是整数也不是分数 D C C 易错易混 易错二 化简多重符号时出现错误 例2、 ， ． 【针对训练】 1、的相反数为 ；的绝对值是 ；绝对值是2的数是 ． 2、化简下列各数，其中负数有几个？ （1） （2） （3） （4） 6 3.5 -9 5 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）． ∴负数有3个 易错易混 易错三 运用运算律出现错误 例3、； 【针对训练】 (1)； (2)； （3）． （4）． 【答案】 【答案】（1） ；（2）46 ； （3） ； （4）1 易错易混 易错四 不能正确理解乘方 例4、计算：(1) (2) (3) 【针对训练】 (1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)． 【答案】（1）； （2）； （3）； 【答案】(1) (2)32 (3) (4) (5) (6) 易错易混 易错五 不取近似数时四舍五入出现错误 例5、按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56（精确到十分位）；(2)0.0040783（精确到0.0001）；(3)8.973（精确到0.1）； 【针对训练】 按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)692547（精确到十位）；(2)48378（精确到千位）；(3)（精确到千位） 【答案】（1）解：（精确到十分位）； （2）解：（精确到0.0001）； （3）解：（精确到0.1）； 【答案（1）解：（精确到十位）； （2）解：（精确到千位）； （3）解：（精确到千位）． 押题预测 1、能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 2、若x与y互为相反数，m与n互为倒数，，求的值． 3、某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 押题预测 4、每年的4月7日是世界卫生日——（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）： (1)求跑步结束时小明距离家多远？ (2)在第几次记录时小明距离家最远？ (3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量? 押题预测 5、同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1) ________； (2)找出所有符合条件的整数x，使得； (3)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (4)若时，求x的值． 押题预测 【答案】1、(1)5.4 (2)3.7 (3)2500 (4)24 2、0 3、(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重克 (2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80% 4、(1) (2)第五次 (3)246千卡 5、(1)10 (2) (3)最小值为3 (4)或7 $$