专题02 全等三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题02 全等三角形 【考点1】全等图形的定义 【考点2】全等三角形的性质 【考点3】全等三角形的判定 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【考点5】全等三角形的应用 【考点6】角平分线的性质 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【考点8】角平分线与中线巧算面积 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 5 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点6 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 【考点1】全等图形的定义 【典例1】如图所示各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C．D． 【变式1-1】下列图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图案中，属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C． D． 【考点2】全等三角形的性质 【典例2】如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知与全等，其中点D在边上，，，，，则的长是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【变式2-2】如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【变式2-3】如图，，，，，则 【考点3】全等三角形的判定 【典例3】如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，．求证：． 【变式3-1】如图，与的边与在同一条直线上，且．若需要证明，则可以增加条件（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【典例4】如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，分别交，于点M，F．求证： (1)； (2)． 【变式4-1】如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式4-2】如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式4-3】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【考点5】全等三角形的应用 【典例5】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则A，B两端的距离为（　　）    A． B． C． D． 【变式5-1】如图所示，为了测量出河两岸A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定点D，使，连接，此时可以证明，所以只要测量出的长度也就得到了A、B两点之间的距离，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）     A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【考点6】角平分线的性质 【典例6】如图，的外角的平分线与相交于点，若点到的距离为3，则点到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【变式6-2】如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 【变式6-3】如图，在中，是的平分线，，垂足是E，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-4】如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【典例7】如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【变式7-1】如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【变式7-2】如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式7-3】如图，于，于，若、． (1)求证：． (2)与有什么数量关系？请写出结论并说明理由． (3)请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【考点8】角平分线与中线巧算面积 【典例8】如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【变式8-2】如图，的面积为，平分，，则的面积为 ． 一、单选题 1．下列各组图形、是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A． B． C． D． 5．在中，，若，平分交于点，且，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 7．中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 8．如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为（    ）°    A． B． C． D． 9．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　）    A．1cm B．2cm或 C．2cm D．1cm或 10．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 ． 12．如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 13．如图，已知，，请在空格上添加一个适当的条件，使得，则添加的这个条件是 ． 14．在中，是边上的中线，则的取值范围是 ． 15．如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 三、解答题 16．如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．如图， 在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)若，，求的长及的面积． 18．如图，在中，点D为的中点， ，，． (1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动． ①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ； ②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使； (2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？ 19．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 【考点1】全等图形的定义 【考点2】全等三角形的性质 【考点3】全等三角形的判定 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【考点5】全等三角形的应用 【考点6】角平分线的性质 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【考点8】角平分线与中线巧算面积 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 5 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点6 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 【考点1】全等图形的定义 【典例1】如图所示各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等的定义．熟练掌握“能够完全重合的图形时全等图形”是解题的关键． 根据全等的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，B选项是全等形，符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，根据全等形的定义对各图形进行判断即可．掌握全等的性质是解题的关键． 【详解】解：A．两个图形不全等，故此选项不合题意； B．两个图形不全等，故此选项不符合题意； C．两个图形不全等，故此选项不合题意； D．两个图形全等，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列图案中，属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形，熟知概念是关键． 能够完全重合的图形叫做全等图形，根据定义解答即可． 【详解】解：观察各选项：只有选项中的两个图案能够完全重合，选项、、中的两个图案不能够完全重合； 故选：A． 【变式1-3】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B ． 【考点2】全等三角形的性质 【典例2】如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2-1】如图，已知与全等，其中点D在边上，，，，，则的长是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】D 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．根据全等三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：， ， 与全等， ，，， ， 故选：D． 【变式2-2】如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，求三角形的面积．由全等三角形面积相等、对应边相等，可得，，进而可得． 【详解】解： ，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选B． 【变式2-3】如图，，，，，则 【答案】/度 【分析】此题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质等知识，根据三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得到，作差即可求出. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点3】全等三角形的判定 【典例3】如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可 【详解】证明：∵， ∴和均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴． 【变式3-1】如图，与的边与在同一条直线上，且．若需要证明，则可以增加条件（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．由，可得，增加条件，即可依据SSS即可得到． 【详解】解：由，可得， 又∵， ∴当时，可得， 而增加或或，均不能证明， 故选：D． 【变式3-2】用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：作一个角等于已知角．利用基本作图得到，则根据全等三角形的判定方法可根据“”可判断，然后根据全等三角形的性质得到． 【详解】由作法可得， 所以根据“”可判断， 所以． 故选：C． 【变式3-3】已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【典例4】如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，分别交，于点M，F．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据，结合三角形内角和得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键． （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴ 【变式4-2】如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴，， 在中，， ∵,， ∴的长为． 【变式4-3】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 【考点5】全等三角形的应用 【典例5】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则A，B两端的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据证明，则，由的周长为，可得，即，求出的长，进而可得结果． 【详解】解：∵ ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-1】如图所示，为了测量出河两岸A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定点D，使，连接，此时可以证明，所以只要测量出的长度也就得到了A、B两点之间的距离，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据垂直得，结合已知即可利用证明． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， 故选：B． 【变式5-2】如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 【变式5-3】小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）     A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 根据三角形全等的条件进行判断即可． 【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃， 应带③去． 故选：C． 【考点6】角平分线的性质 【典例6】如图，的外角的平分线与相交于点，若点到的距离为3，则点到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质．过点作于，于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ，， ． 故选：C． 【变式6-1】如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：A． 【变式6-2】如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】B 【分析】解：本题考查了角平分线性质，作辅助线灵活运用角平分线性质；过点D作，垂足为E，根据角平分线性质得到，再用三角形面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为E，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6-3】如图，在中，是的平分线，，垂足是E，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”．根据角平分线的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6-4】如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出、间的距离的线段是解题的关键． 过点作，交于，交于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为、间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，， ， 是的平分线，，， ， 是的平分线， ，， ， 点到的距离与到的距离之和为． 故选：C． 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【典例7】如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 【变式7-1】如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【变式7-2】如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，证明，得出，再由角平分线的判定定理即可得证； （2）由（1）可得：，证明得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，于，于，若、． (1)求证：． (2)与有什么数量关系？请写出结论并说明理由． (3)请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和角平分线的性质， （1）根据题意得，即可证明，有成立； （2）由（1）知，，则平分，那么，，即有； （3）由（1）知，，可证明，有，则，即有． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中 ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，且， 平分， ∴， 即． （3）解：，理由如下： 由（1）知，， ∵，， ， 在与中 ， ∴， ∴， 即． 【考点8】角平分线与中线巧算面积 【典例8】如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点D，   ， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式8-1】如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式8-2】如图，的面积为，平分，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：5． 一、单选题 1．下列各组图形、是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据全等图形能够完全重合解答即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； 故选：D． 2．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据（一组斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等）判断即可．本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是理解的意义，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， 当时，． 故选：A． 3．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，能求出和是解题的关键． 根据角平分线定义和性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出的周长即可解答． 【详解】解：∵、平分交于点 D， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴的周长为． 故选：D． 4．如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据三角形看清楚部分的特点，结合三角形全等的判定定理解答即可． 【详解】解：根据三角形看清楚部分的特点是角，边，角， 结合所学三角形全等的判定定理有， 故选：D． 5．在中，，若，平分交于点，且，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是求出的长度．先求出的长度，根据角平分线的性质即可求出答案． 【详解】解： ，， ，， 平分，，， ， 故选：B． 6．如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 7．中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，再证明即可求解． 【详解】在上截取，连接，如图 ∵为角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴，，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 8．如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为（    ）°    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得与的和为. 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故选：C；    9．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　）    A．1cm B．2cm或 C．2cm D．1cm或 【答案】D 【分析】本题主要考查了有关动点问题的全等三角形应用，掌握和两种全等情况是解本题的关键． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可． 【详解】解：①若，则，，可得：，， 解得：，； ②若，则，，可得：，， 解得：， 的长度为1cm或． 故选：D． 10．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相全等三角形的判定是解题关键． 利用“”证明，由全等三角形的性质证明，即可判断结论①；作于点于点，设交于点证明，即判断结论②；利用三角面积公式证明，由角平分线的判定定理即可判断结论④；题目中条件无法证明结论③正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，故①正确； 如图，作于点，于点，设交于点， 在和中， ，， ， ，故②正确； ，，， ， ， ， ， 平分， ，故④正确； 若③成立，则， ， ，推出， 由题意知，不一定等于， 不一定平分，故③错误； 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个， 故选：C. 11．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，过点D作于E，根据角平分线性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 即点D到的距离为． 故答案为：3． 12．如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知，，请在空格上添加一个适当的条件，使得，则添加的这个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加条件，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．在中，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法的应用，延长到点，使，连接，证明，推出，根据三角形三边关系可得结论，正确掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【点睛】解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； 15．如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过作于点， 平分，于点， ， 的面积， 故答案为：15． 三、解答题 16．如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：如图： ， ∵， ∴， ∴． 17．如图， 在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)若，，求的长及的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）过点作，由角平分线的性质得到，等积法求出的长，三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴． 18．如图，在中，点D为的中点， ，，． (1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动． ①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ； ②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使； (2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？ 【答案】(1)① 见解析；② (2)经过10s，点 Q第一次在 边上追上点 P 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用路程=速度时间公式，能够分析出追及相遇的问题中得路程关系． （1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边长，根据判定两个三角形全等即可； ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度即可； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个腰长即可． 【详解】（1）① ∵，， ∴ ． ∵点 D 为 的中点， ∴ ∵， ∴． 在和 中， ， ∴． ② 设点 Q 的运动时间为t ，运动速度为 ． ∵， ∴，． ∴ ∴ （2）设经过x 后，点Q第一次追上点P． 由题意，得． 解得． ∴点 P 运动的路程为． ∵， ∴此时点 P 在边上， ∴经过10 ，点 Q第一次在边上追上点 P． 19．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论：仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是海里． 【分析】（1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2） 延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：（1）理由如下： 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵； 故答案为：； （2） 结论：仍然成立，理由如下： 延长到点G，使，连结，如图， 在和中， ， ， 在和 中， ， ； （3）如图， 连接，延长相交于点C， ，， 又∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论：成立， 即海里． ∴此时两舰艇之间的距离是海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$