专题01 三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题01 三角形 【考点01：三角形的三边关系】 【考点02：三角形的性质】 【考点03：三角形中线与面积问题】 【考点04：三角形中线与周长问题】 【考点05：根据三角形的三边关系化简】 【考点06：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【考点07：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【考点08：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【考点09：三角形角内外角平分线的综合】 【考点10：多边形的对角线】 【考点11：截角问题】 【考点12：多边形内角运算】 【考点13：多边形外角运算】 【考点14：多边形内角和外角综合运算】 【考点15：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点7 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点 9 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点10 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点11 多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点12截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点13 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 【考点01：三角形的三边关系】 【典例1】下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（    ） A．5，5，8 B．5，8，13 C．2，5，8 D．2，5，7 【变式1-1】下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6 【变式1-2】已知三角形两边的长分别是3和7，则第三边的长可能是（    ） A．3 B．6 C．11 D．12 【考点02：三角形的性质】 【典例2】如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【变式2-1】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【变式2-2】埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（    ） A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【变式2-3】如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A． B． C． D． 【考点03：三角形中线与面积问题】 【典例2】如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【变式2-1】如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-2】如图，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【变式2-3】如图，在中，点G是边上任意一点，点分别是的中点．若的面积为4，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【考点04：三角形中线与周长问题】 【典例4】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【变式4-2】如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．20 D．19 【考点05：根据三角形的三边关系化简】 【典例5】已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【变式5-1】已知，，是的三边长． (1)若 ，，为偶数，求的长； (2)化简∶． 【变式5-2】已知a、b、c是三角形的三边长 (1)化简． (2)若．求（1）中式子的值． 【变式5-3】已知的三边长分别为，，． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值； 【考点06：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【典例6】如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式6-1】如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数． 【变式6-2】如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式6-3】如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 【考点07：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【典例7】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图将一个长方形纸片沿着折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【考点08：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【典例8】我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【变式8-1】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．问题1：如图1，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接．    (1)如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ (2)①问题1：如图1，若，则是“和谐三角形”吗？为什么？ ②问题2：如图2，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 【变式8-2】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角” 例如：在中，如果，为“开心三角形” 问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接 (1)如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？ (2)若是“开心三角形”，直接写出的度数 【变式8-3】定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”． (1)如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”； (2)若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形； (3)如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数． 【考点09：三角形角内外角平分线的综合】 【典例9】如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【变式9-1】【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 【变式9-2】（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【考点10：多边形的对角线】 【典例10】某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【变式10-1】从多边形的一个顶点出发可以引出条对角线，这个多边形的边数为（　　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式10-2】过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式10-3】若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【考点11：截角问题】 【典例11】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式11-1】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【变式11-2】一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【变式11-3】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【考点12：多边形内角运算】 【典例12】正八边形的每个内角等于（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】若从某多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则该多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】n边形的内角和等于，则 ． 【考点13：多边形外角运算】 【典例 13】如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 【变式13-1】正七边形的每个外角等于 度． 【变式13-2】已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为 ． 【考点14：多边形内角和外角综合运算】 【典例 14】已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻外角的倍多． (1)求这个多边形的边数； (2)从这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引________条． 【变式14-1】一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是 ． 【变式14-2】若一个边形的内角和的比它的外角和少，求的值． 【变式14-3】已知一个多边形的内角和与外角和的总和为，则这个多边形的边数是 ． 【考点15：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 【典例15】创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式15-1】如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了 ． 【变式15-2】如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    【变式15-2】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 一、单选题 1．四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（    ） A．5，12，13 B．5，7，7 C．1，2，3 D．30，40，50 3．如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 4．若一个多边形的内角和度数为外角和的4倍，则这个多边形的边数为（     ） A．12 B．10 C．9 D．8 5．一个零件的形状如图所示，按规定应为，应分别为，则为多少度时，这个零件合格（   ） A． B． C． D． 6． 如图，在中，平分交于点，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 7．以下线段能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．连接两边中点的线段 8．如图，是的中线，是的中线，若，则是（    ） A． B． C． D． 9．四边形截去一个角后，剩下的图形内角和是度（　　） A． B． C． D．或或 10．如图，在四边形内部，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是 ． 12．已知三角形的三边长为，化简： ． 13．如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 14．一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为 ． 15．如图，在七边形中，，的延长线交于点O．若与，，，相邻的四个外角的和为，则的度数为 ． 三、解答题 16．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 17．综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． (1)如图1，如果，那么______°； (2)如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 【考点01：三角形的三边关系】 【考点02：三角形的性质】 【考点03：三角形中线与面积问题】 【考点04：三角形中线与周长问题】 【考点05：根据三角形的三边关系化简】 【考点06：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【考点07：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【考点08：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【考点09：三角形角内外角平分线的综合】 【考点10：多边形的对角线】 【考点11：截角问题】 【考点12：多边形内角运算】 【考点13：多边形外角运算】 【考点14：多边形内角和外角综合运算】 【考点15：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点7 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点 9 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点10 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点11 多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点12截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点13 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 【考点01：三角形的三边关系】 【典例1】下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（    ） A．5，5，8 B．5，8，13 C．2，5，8 D．2，5，7 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、∵，∴三根小木棒的长度为5，5，8，能摆成三角形，故此选项符合题意； B、∵，∴三根小木棒的长度为5，8，13，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴三根小木棒的长度为2，5，8，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴三根小木棒的长度为2，5，7，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据任意两边之和大于第三边逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故4，6，10不能组成三角形，不符合题意； B、，故3，6，7能组成三角形，符合题意； C、，故5，6，11不能组成三角形，不符合题意； D、，故2，3，6不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】已知三角形两边的长分别是3和7，则第三边的长可能是（    ） A．3 B．6 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：设第三边的长度为x， 由题意得：， 即：， ∴B符合题意； 故选：B． 【考点02：三角形的性质】 【典例2】如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性． 故选A． 【变式2-1】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，所用的几何原理是三角形具有稳定性； 故选D． 【变式2-2】埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（    ） A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故选：B． 【变式2-3】如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可． 【详解】解：如图，他至少还要再钉上根木条． 故选：B． 【考点03：三角形中线与面积问题】 【典例2】如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 【变式2-1】如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案．本题考查三角形面积问题，掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：点为的中点，， ， 点为的中点， ． 故选：C． 【变式2-2】如图，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线性质，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．先利用点是的中点，可得，然后再利用点是的中点，可得，即可解答． 【详解】解：，点是的中点， ， 点是的中点， ， 故选：B． 【变式2-3】如图，在中，点G是边上任意一点，点分别是的中点．若的面积为4，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，， ， ∴， ． 故选：A． 【考点04：三角形中线与周长问题】 【典例4】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式4-1】在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解： 的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 【变式4-2】如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．20 D．19 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义得到，根据的周长为18，求出的长，再利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选D． 【考点05：根据三角形的三边关系化简】 【典例5】已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理、绝对值的性质、代数式求值等知识点，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去绝对值再化简即可； （2）将代入，，代入（1）化简的代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴． （2）解：把，，，代入（1）中式子可得： 原式． 【变式5-1】已知，，是的三边长． (1)若 ，，为偶数，求的长； (2)化简∶． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系， （1）根据三角形的三边关系可得，进而根据为偶数，即可求解； （2）根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：， 为偶数 （2）， ， 【变式5-2】已知a、b、c是三角形的三边长 (1)化简． (2)若．求（1）中式子的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再根据绝对值的性质化简； （2）将代入（1）化简的结果即可． 【详解】（1）∵a、b、c是三角形的三边长， ∴， ； （2）当时， 原式= 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，化简绝对值，整式的加减，求代数式的值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 【变式5-3】已知的三边长分别为，，． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值； 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：，，是的三边长， ，，， 原式； （2），， ， 即， 三角形的周长为偶数， ． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． 【考点06：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【典例6】如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，根据角的和差即可解答； （2）同（1）思路即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高、三角形的面积等.（1）求出，根据三角形的面积求出，再求出结果即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求，根据角平分线求出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵点F是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴, ∵为的角平分线， ∴， ∴. 【变式6-2】如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线， ， 在中，， ， ； （2）在中，是高，， ，， 是的角平分线，     ， ， ． 【变式6-3】如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)． 【分析】（1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答． （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴. 【考点07：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【典例7】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题．根据三角形的内角和定理，可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理，可得的度数，从而得到，再由折叠的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故选：C 【变式7-1】如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角问题，先求出的度数，根据折叠的性质，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选B． 【变式7-2】如图将一个长方形纸片沿着折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质．求出，由折叠的性质得到，由平行线的性质推出，得到． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ∵， ， ． 故选：A． 【考点08：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【典例8】我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2)平行，理由见解析 (3)的度数是 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出； （3）根据得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 【变式8-1】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．问题1：如图1，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接．    (1)如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ (2)①问题1：如图1，若，则是“和谐三角形”吗？为什么？ ②问题2：如图2，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 【答案】(1)是“和谐三角形”，见解析 (2)①是“和谐三角形”，见解析；②或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用“和谐三角形”的定义解答即可； （2）①利用三角形内角和定理求得，再利用“和谐三角形”的定义解答即可；②利用分类讨论的方法，根据“和谐三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：是“和谐三角形”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； （2）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴为和谐三角形”； 在中， ∵， ∴， ∴为和谐三角形”； ②∵是“和谐三角形”， 点D是线段上一点， ∴或． 当时，； 当时， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【变式8-2】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角” 例如：在中，如果，为“开心三角形” 问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接 (1)如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？ (2)若是“开心三角形”，直接写出的度数 【答案】(1)是“开心三角形”，理由见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质和三角形内角和定理求得，再利用“开心三角形”的定义解答即可； （2）利用分类讨论的方法，根据“开心三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：是“开心三角形”， 理由如下： ， ， ， ， 在中，， ， 为开心三角形”， 在中，， ， 为开心三角形”； （2）解：若是“开心三角形”，由于点是线段上一点（不与，重合）， 则或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的度数为或或． 【变式8-3】定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”． (1)如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”； (2)若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形； (3)如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)80°或100° 【分析】（1）根据角平分线的定义，可得∠ABC＝2∠ABD，由∠ACB＝80°，根据三角形内角和定理可得∠A＋∠ABC＝100°．进而可得∠A＋2∠ABD＝100°，结合新定义即可得证； （2）根据新定义可得只能∠C＋2∠B＝100°（∠C＋2∠A＝100°），则得出∠B＝10°（∠A＝10°），进而得出∠C＋∠B＝90°（∠C＋∠A＝90°），从而得证； （3）方法同（2）分2种情形条件即可求解． 【详解】（1）（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∵∠ACB＝80°， ∴∠A＋∠ABC＝100°． ∴∠A＋2∠ABD＝100°． ∴为“奇妙三角形”． （2）证明：∵∠C＝80°， ∴∠A＋∠B＝100°， ∵为“奇妙三角形”， ∴只能∠C＋2∠B＝100°（∠C＋2∠A＝100°）． ∴∠B＝10°（∠A＝10°）． ∴∠C＋∠B＝90°（∠C＋∠A＝90°）， ∴是直角三角形． （3）∵∠A＝40°， ∴∠C＋∠ABC＝140°， BD平分∠ABC， 为“奇妙三角形”，则只有以下两种情形， ①若 ②若 综上所述，∠C的度数为：80°或100°． 【点睛】本题考查了新定义三角形，三角形内角和定理的应用，三角形角平分线的意义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【考点09：三角形角内外角平分线的综合】 【典例9】如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解答过程； (3)或或或． 【分析】（）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （）先求出，根据得，然后分四种情况讨论即可； 此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 【变式9-1】【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）；证明见解析；（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理求解； （3）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （4）结合（3）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵、分别是和的平分线，， ， ． （2）∵分别是和的平分线， ， ， ， ； （3）；理由如下： ∵分别是和的平分线， ， ； （4）． 如图，延长，交于点， 由（3）知，， ， ， ， ， 即． 【变式9-2】（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析； 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）根据外角的性质，可得，结合角平分线的定义可得，，，然后由求解即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，由三角形内角和定理可得，即有，然后结合，即可证明结论． 【详解】如图所示： 解：（1）根据外角的性质得， 平分，平分， ，， ， ； （2）、是两外角的平分线， ，， 而，， ，， ， ， 即， ， ． 【考点10：多边形的对角线】 【典例10】某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析； (2)， (3)场 【分析】本题主要考查了列代数式，总结图形规律，有理数的混合运算，正确理解题意，总结图形规律是解题的关键． （1）根据所给材料作图即可； （2）先总结规律，进而即可得解； （3）把代入计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场） ∴总共要比赛场． 【变式10-1】从多边形的一个顶点出发可以引出条对角线，这个多边形的边数为（　　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ∴， 解得，， ∴这个多边形的边数为9， 故选：B ． 【变式10-2】过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从一个顶点出发可以做条对角线即可求得答案． 【详解】解：∵过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线， ∴这个多边形的边数为， 故选：D． 【变式10-3】若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数，再求出此多边形的对角线的条数即可，解题的关键是熟悉边形对角线的条数的规律． 【详解】解：由题意得：， ∴对角线总条数为（条）， 故选：． 【考点11：截角问题】 【典例11】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 【变式11-1】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 【变式11-2】一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 【变式11-3】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 【考点12：多边形内角运算】 【典例12】正八边形的每个内角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形内角和，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．根据多边形的内角和公式：求出八边形的内角和，除以8即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 【变式12-1】若从某多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则该多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形对角线问题及多边形内角和，熟练掌握多边形对角线条数公式是解题的关键；由题意易得，然后根据多边形内角和公式可进行求解． 【详解】解：设多边形是n边形， 由题意得：， ∴， ∴； 故选D． 【变式12-2】若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，求正多边形的边数通常用外角和除以每一个外角的度数．根据正多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数先求出边数，然后再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：多边形的每一个外角等于，， 这个多边形是12边形； 其内角和． 故选：C． 【变式12-3】n边形的内角和等于，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的内角和，根据n边形的内角和等于，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵n边形的内角和等于， ∴， 解得：． 故答案为：5． 【考点13：多边形外角运算】 【典例 13】如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 【答案】五 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，先求出这个多边形的每一个外角都是，再根据多项式外角和为360度即可求出答案． 【详解】解：∵一个多边形的每一个内角都是， ∴这个多边形的每一个外角都是， ∴这个多边形的边数是， ∴这个多边形是五边形， 故答案为：五． 【变式13-1】正七边形的每个外角等于 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据正多边形外角和为360度，结合正七边形有7个外角即可得到答案． 【详解】解：∵正七边形的外角和等于， ∴每个外角的度数为度， 故答案为：． 【变式13-2】已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的性质，熟练掌握多边形的外角和及正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质可知正多边形的外角都相等，根据多边形的外角和为，即可求得答案． 【详解】正多边形的内角都相等， 正多边形的外角都相等， 又多边形的外角和为， 这个正多边形的边数为． 故答案为：12． 【考点14：多边形内角和外角综合运算】 【典例 14】已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻外角的倍多． (1)求这个多边形的边数； (2)从这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引________条． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题意可判断该多边形为正多边形，设该多边形的每一个外角为，根据题意列出一元一次方程并求解得到该正多边形每一个外角的度数，根据多边形外角和公式即可求得该正多边形的边数； （）再根据多边形对角线条数公式即可求出该正多边形的对角线条数； 本题考查多边形的外角，多边形的对角线条数，熟练掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】（1）解：∵多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的倍多， ∴该多边形为正多边形， 设该多边形的每一个外角为，则该多边形的每一个内角是， 根据题意可得， 解得， ∴该正多边形的边数为； （2）由（）得：该正多边形的边数为， ∴这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引（条）， 故答案为：． 【变式14-1】一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了多边形内角和及外角和、一元一次方程的应用等知识，理解并掌握多边形内角和公式是解题关键．设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据题意， 可得， 解得． 故答案为：7． 【变式14-2】若一个边形的内角和的比它的外角和少，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的外角和是，可以推出这个多边形的内角和，再根据内角和为，从而解得答案． 【详解】解：一个边形的内角和的比它的外角和少 故答案为：11． 【变式14-3】已知一个多边形的内角和与外角和的总和为，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】考查了多边形的外角和内角，依题意，多边形的内角与外角和为，多边形的外角和为，根据内角和公式求出多边形的边数． 【详解】设多边形的边数为， 根据题意列方程得，， ∴， 解得． 故这个多边形的边数为8． 故答案为：8． 【考点15：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 【典例15】创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C． 【变式15-1】如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了 ． 【答案】米 【分析】本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是．根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为的多边形的周长，求出多边形的周长即可． 【详解】解：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为的多边形的周长， 该多边形的边数为：， 第一次回到点总共行驶了：（米）， 故答案为：米． 【变式15-2】如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等． 由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：蚂蚁从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了（厘米）． 故答案为：30． 【变式15-2】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 一、单选题 1．四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角和的性质，根据多边形的外角和为即可求解． 【详解】解：任意多边形的外角和均为， 故选：A ． 2．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（    ） A．5，12，13 B．5，7，7 C．1，2，3 D．30，40，50 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可． 【详解】解：A． 由于，故 5，12，13是一个三角形的边长； B．由于，故5，7，7是一个三角形的边长； C．由于，故1，2，3不是一个三角形的边长； D．由于，故30，40，50是一个三角形的边长． 故选C． 3．如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形有关的线段，根据三角形的高和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：B． 4．若一个多边形的内角和度数为外角和的4倍，则这个多边形的边数为（     ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为，根据内角和公式和外角和公式，列出方程求解即可．本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ， 解得， 故选：B． 5．一个零件的形状如图所示，按规定应为，应分别为，则为多少度时，这个零件合格（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，延长交于E，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和先求出，再同理可得． 【详解】解；如图所示，延长交于E， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 6． 如图，在中，平分交于点，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题关键．由，，利用外角的性质求出，再利用平分，求出，再利用三角形的内角和，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 7．以下线段能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．连接两边中点的线段 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案. 【详解】解：能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的中线， 故选：A 8．如图，是的中线，是的中线，若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线与三角形的面积关系，关键是掌握三角形中线把三角形面积平分．根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， 同理可得：， ， ， 故选：A． 9．四边形截去一个角后，剩下的图形内角和是度（　　） A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形， ∴内角和可能是，或，或． 故选：D． 10．如图，在四边形内部，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形和四边形内角和，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据四边形内角和求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是 ． 【答案】六 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和为，可得多边形的边数，计算即可求解． 【详解】解：这个正多边形的边数：． 故答案为：六． 12．已知三角形的三边长为，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 14．一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板的角度运用以及三角形的外角性质，先根据三角板的摆放位置得出，，结合三角形的外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵一副直角三角板与按如图所示位置摆放 ∴， ∴ ∴ 故答案为： 15．如图，在七边形中，，的延长线交于点O．若与，，，相邻的四个外角的和为，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解． 【详解】解： ，，，的外角和等于， ， 五边形的内角和为， ． 故答案为：． 三、解答题 16．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）根据题意得到，由，利用三角形内角和定理即可解答； （3）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 的面积为6，是边的中线， 的面积为； （2）解： 是的高， ， ， ； （3）解： ，， ， 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高，角平分线的性质．熟练掌握知识点是解题的关键． 17．综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． (1)如图1，如果，那么______°； (2)如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （3）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ； 故答案为：； （2）解：； 理由如下： 同理， 与的平分线交于点， ，， ； （3）解：， 的外角，的平分线交于点， ，． ， ， ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$