专题03 轴对称图形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题03 轴对称图形 【考点01】轴对称图形的相关概念 【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【考点03】利用轴对称的性质 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点08】等腰三角形的性质 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【考点11】等边三角形的性质 【考点12】等边三角形的判定 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【考点14】将军饮马-最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点7： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点8 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点11：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点12：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点01】轴对称图形的相关概念 【典例1】下列四个垃圾分类标识中，其文字上方的图案属于轴对称图形的是 (    ) A． B． C． D． 【变式1-1】下列图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．  B．   C．   D．   【变式1-3】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．    B．   C．   D．     【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【典例2】一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码 ． 【变式2-1】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【变式2-2】小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ． 【考点03】利用轴对称的性质 【典例3】如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，和关于直线l对称，l交于点，若，，，则五边形的周长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式3-2】如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【变式3-3】与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【典例4】点关于轴对称的点坐标是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-1】已知点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【变式4-2】若点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【变式4-3】已知点与点关于某直线对称，这条直线是 ． 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【典例5】如图，已知的三个顶点的坐标分别为：、、． (1)将沿轴翻折，画出翻折后的，点的对应点的坐标是 ． (2)关于轴对称的图形，直接写出点A2的坐标 ． (3)若与全等（点与点重合除外），请直接写出满足条件点的坐标． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)试在平面直角坐标系中，画出并求出的面积； (2)若与关于x轴对称，写出的坐标，并画出． 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)写出的坐标． 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【典例6】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式6-1】如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【变式6-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 【变式6-3】如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分， (1)当时，求的值； (2)当，时，求的长度． 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【典例7】如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 【变式7-1】尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-2】（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______cm． 【变式7-3】如图，已知△ABC． （1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）连接CE，如果△ABC的周长为32，DC的长为6，求△BCE的周长． 【考点08】等腰三角形的性质 【典例8-1】等腰中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例8-3】等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 【变式8-1】有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（　　） A．或 B． C． D． 【变式8-2】等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【变式8-3】一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．13或17 D．17 【变式8-4】如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【典例10】如图，在中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【变式10-1】已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式10-2】 如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与B、C重合），连结，作，交线段于点E． (1)当时，求； (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数．若不可以，请说明理由． 【变式10-3】如图①，，，，相交于点M，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并加以证明． 【考点11】等边三角形的性质 【典例11】如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【变式11-2】如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【考点12】等边三角形的判定 【典例12】已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【变式12-1】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【变式12-2】如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【变式12-3】如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【典例 13】如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，中，，于点D，若，则的长度为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式13-2】如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为（   ） A．8m B．4m C．2m D．6m 【考点14】将军饮马-最短路径问题 【典例14】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【变式14-1】如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 一、单选题 1．等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 2．下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，某公园的三个出口A、B、C构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口的距离都相等，则公共厕所应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 5．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 6．已知点与关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A． B． C．3，4 D． 7．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 12．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 14．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 15．如图，，点在上，且，按下列要求画图： 以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；此时，，；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；则的度数为 ；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 ． 三、解答题 16．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 17．如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 18．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 19．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称图形 【考点01】轴对称图形的相关概念 【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【考点03】利用轴对称的性质 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【考点08】等腰三角形的性质 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【考点11】等边三角形的性质 【考点12】等边三角形的判定 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【考点14】将军饮马-最短路径问题 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为. 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点5 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点7： 等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点8 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2） 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10 含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点11：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 知识点12：将军饮马-最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【考点01】轴对称图形的相关概念 【典例1】下列四个垃圾分类标识中，其文字上方的图案属于轴对称图形的是 (    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，不符合题意． C．图形是轴对称图形，符合题意； D．图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 【变式1-1】下列图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此判定即可． 【详解】A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C． 不是轴对称图形，不符合题意； D． 不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．    B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 【考点02】轴对称在镜面对称中的应用 【典例2】一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码 ． 【答案】 【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 【变式2-1】如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【详解】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 【变式2-2】小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ． 【答案】12：01 【分析】根据镜面对称原理，左右颠倒，上下不变即可解题． 【详解】据镜面对称原理物体的像与物体本身上下不变，左右颠倒可知， 10:51对称之后为12:01， 故答案为12:01．　 【点睛】本题考查了镜面对称，属于简单题，熟悉镜面对称的原理是解题关键． 【考点03】利用轴对称的性质 【典例3】如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵和关于直线l 对称， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3-1】如图，和关于直线l对称，l交于点，若，，，则五边形的周长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的形状，根据轴对称图形的性质得到，再根据五边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称，l交于点， ∴， ∴五边形的周长为， 故选：B． 【变式3-2】如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的两个图形，对应线段相等即可解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， 故选：A． 【变式3-3】与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，直接利用轴对称的性质可得的面积． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴与互相重合， ∵的面积是， ∴的面积是， 故选B 【考点04】关于坐标轴对称的点的坐标性质 【典例4】点关于轴对称的点坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点坐标是， 故选： ． 【变式4-1】已知点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【变式4-2】若点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，涉及平面直角坐标系中对称点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为： 【变式4-3】已知点与点关于某直线对称，这条直线是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据点的横坐标判断出对称轴平行于轴，再根据轴对称列式计算即可得出答案． 【详解】解：∵点与点的横坐标都是， ∴对称轴平行于轴， ∵， ∴这条直线是， 故答案为：． 【考点05】 再格点中作轴对称图形 【典例5】如图，已知的三个顶点的坐标分别为：、、． (1)将沿轴翻折，画出翻折后的，点的对应点的坐标是 ． (2)关于轴对称的图形，直接写出点A2的坐标 ． (3)若与全等（点与点重合除外），请直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)或或 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置； （2）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置； （3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【详解】（1）解：如图所示，翻折后点的对应点的坐标是：； 故答案为：； （2）解：如图所示：即为所求，； （3）解：如图所示：或或． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)试在平面直角坐标系中，画出并求出的面积； (2)若与关于x轴对称，写出的坐标，并画出． 【答案】(1)图见详解，5 (2)、、，图见详解 【分析】本题考查了坐标与图形，画已知图形的轴对称图形，求图形的面积等知识， （1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置并连接即可；以为底，则点C到得距离即是底边的高，结合坐标系可得出高为点C的纵坐标的绝对值加上点B的纵坐标的绝对值，从而根据三角形的面积公式计算即可． （2）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出的坐标；在坐标系中描出这三个点，依次连接这三个点即可得到所画的图形． 【详解】（1）解：如图， 由图形可得：边上的高， ∴的面积． （2）∵，，，与关于x轴对称， ∴、、． 所画如图所示： 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质． 现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案． 由p为x轴正半轴上一点，的面积为1，可得，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵、、， 如图所示： 、、， ∴三角形面积为． 故答案为：4． （2）解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：． （3）解：∵p为x轴上一点，的面积为1，即， ∴， ∴， ∵，点p的横坐标为：． 故点p坐标为：或． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点． （1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，，顺次连接、、，即得到关于y轴对称的； （2）观察图形即可得出点的坐标． 【详解】（1）所作图形如下所示： （2）点的坐标分别为：． 【考点06】线段垂直平分线的性质及应用 【典例6】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、、，   垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解： 垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 【变式6-1】如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中． （1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出，进而计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ∵， ； （2）解：周长，， ， ∵， ∴，即， ． 【变式6-3】如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分， (1)当时，求的值； (2)当，时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、勾股定理： （1）先由垂直平分，得，再结合角平分线的定义，得，根据三角形的内角和180°列式计算，即可作答． （2）先由垂直平分，角平分线的定义，，得，，运用所对的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理列式，即可作答． 【详解】（1）解：∵垂直平分，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， 在，， 则， 则． 【考点07】线段垂直平分线和角平分线的作图 【典例7】如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等． （1）由可得点D在的垂直平分线，运用尺规作图——作垂直平分线的方法作出的垂直平分线，与的交点D即为所求； （2）由（1）可得，从而，根据等角的余角相等得到，从而，根据即可解答． 【详解】（1）解：如图，点D为所求． （2）解： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，到两个村庄C，D的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P的位置． 【变式7-2】（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______cm． 【答案】（1）作图见解析；（2）8． 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求； （2）由作图可知， 的周长， 故答案为：8． 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式7-3】如图，已知△ABC． （1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）连接CE，如果△ABC的周长为32，DC的长为6，求△BCE的周长． 【答案】（1）见解析；（2）△BEC的周长为20． 【分析】（1）分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧分别交于两点，过这两点的直线分别交AB于E，交AC于D即可； （2）根据垂直平分线的性质可得DA=DC，EA=EC，然后根据三角形的周长即可求出AB+BC，然后利用等量代换即可求出△BCE的周长． 【详解】解：(1)分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧分别交于两点，过这两点的直线分别交AB于E，交AC于D． 如图所示：DE即为所求． （2）∵DE是AC的平分线 ∴DA=DC，EA=EC 又∵DC=6 ∴AC=2DC=12 又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=32 ∴AB+BC=32-AC=32-12=20 ∴△BEC的周长=BE+EC+BC =BE+EA+BC =AB+BC =20． 【点睛】此题考查的是作线段的垂直平分线和垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的作法和线段垂直平分线的性质是解决此题的关键． 【考点08】等腰三角形的性质 【典例8-1】等腰中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，根据等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【典例8-2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及平行线的性质，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【典例8-3】等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为4和腰长为8两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，三角形的周长为：； 故选B． 【变式8-1】有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况，结合三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意； 综上所述，有一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为或， 故选：A． 【变式8-2】等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案． 【详解】解：当角为顶角时，则顶角为， 当角为底角时，则两个底角和为，求得顶角为， 故选：D． 【变式8-3】一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．13或17 D．17 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，再验证各种情况是否能构成三角形进行解答即可． 【详解】解：当3是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当7是腰时，，符合三角形三边关系， 周长． 故它的周长为17． 故选：D． 【变式8-4】如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据“三角形的内角和为”，结合等腰三角形两个底角相等，得出答案即可，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角为， ∴顶角， ∴另外两个角的度数分别为和， 故选：B． 【考点09】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】为等腰三角形，但没有说明哪条边为腰，故分，，三类讨论，确定点的位置，再根据与轴正半轴的夹角为，去掉重合的点，问题得解． 【详解】解：当时，如图，共有2个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 其中、、点重合， 符合条件的点有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类思想，等边三角形的性质，根据题意分别确定符合条件的点，并根据等边三角形的性质，确定出重合的点是解题的关键． 【变式9-1】如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数 【详解】解：以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点符合题意． 以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交于两点（O点除外）． 作线段OA的垂直平分线与x轴有一交点．如图所示： 共4个点符合， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 【变式9-2】如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰．根据题意画出图形，进行判断即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，为半径作圆，如图所示：    根据图可知，两个圆经过的格点有8个，的垂直平分线不经过格点， ∴满足为等腰三角形的格点的个数为8个． 故选：B． 【考点10】等腰三角形的判定与性质 【典例10】如图，在中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得，结合，，利用“边角边”证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）结合可得，，根据三角形内角和定理解得，进而可得，易知，然后由求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 【变式10-2】 如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与B、C重合），连结，作，交线段于点E． (1)当时，求； (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)可以，的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角． （1）先求出，由，得到，再根据三角形内角和定理即可求出； （2）是等腰三角形，则需分三种情况：①；②；③讨论，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， ； （2）解： 的形状是等腰三角形， ①当时， ， ， ∵， （不符合实际）； ②当时， ， ， ∵， ， ； ③当时， ， ， ， ∵， ， ； 综上，的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【变式10-3】如图①，，，，相交于点M，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)为等腰直角三角形．证明见解析 【分析】（1）利用证明，即可得； （2）如图，过作于，过作于，再证明即可； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【详解】（1）证明： ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键． 【考点11】等边三角形的性质 【典例11】如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作 直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作 直线l， ∵直线 直线m， ∴直线 直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式11-1】如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式11-2】如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 【考点12】等边三角形的判定 【典例12】已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式12-1】如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式12-2】如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（）先证明，再推出是等腰三角形，由三线合一可证； （）先证明，再根据，即可证明是等边三角形； 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式12-3】如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【考点13】含30°角的直角三角形的性质 【典例 13】如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质，可得的度数，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案．本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，作于，   ，， ，， 平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 【变式13-1】如图，中，，于点D，若，则的长度为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键． 由含角的直角三角形的性质可分别求得和的长，进而求得的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴． 故选：C． 【变式13-2】如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为（   ） A．8m B．4m C．2m D．6m 【答案】A 【分析】本题考查了关于中点的计算以及含的直角三角形的性质．根据所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵垂直于横梁， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是斜梁的中点， ∴， 故选：A． 【考点14】将军饮马-最短路径问题 【典例14】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【变式14-1】如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 【变式14-2】如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 【变式14-3】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，当三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，最后根据边长关系计算的长即可． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接， ∴，, ∴， 当三点共线，时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 一、单选题 1．等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主经考查了等腰三角形的存在性．解题的关键是熟练掌握等腰三角形定义，三角形的三边关系． 分类讨论，当腰长是时，三角形不存在，当腰长是时，周长是． 【详解】解：当腰长是时， ∵， ∴不符合三角形的三边关系，排除； 当腰长是时， ∵， ∴符合三角形三边关系， 此时周长是． 故选：A． 2．下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【详解】解： ，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，三角形内角和定理，数轴相关知识是解题的关键． 4．如图，某公园的三个出口A、B、C构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口的距离都相等，则公共厕所应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解答． 【详解】解：公共厕所到出口、的距离相等， 公共厕所到在线段的垂直平分线上， 同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 5．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可； 本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴， 故选A． 6．已知点与关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A． B． C．3，4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标，根据关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】∵点与关于x轴对称， ∴， 故选：A． 7．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质：先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 10．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个； 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标，根据关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形三条边相等得到，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解；∵等边三角形的边长是， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，，再结合的周长为2即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵的周长为2， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，，点在上，且，按下列要求画图： 以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；此时，，；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；则的度数为 ；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 ． 【答案】 /27度 9 【分析】此题考查的是作图复杂作图及等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，，依此得到规律，再根据三角形外角小于即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，， 则，，， ， ，，，，， ， 解得． 为整数，故． 故答案为：；9． 三、解答题 16．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 17．如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】(1)图见解析，，，， (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ，，； （2）； （3）如图2，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 此时点． 18．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题关键是根据倍长中线构造出全等三角形． （1）证明即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，根据即可求解． 【详解】（1）解：在和中 ， ， 故选：A． （2）解：延长到，使，连接，如图所示， ， ， ∵是中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$