专题2.4 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形（两大模型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题2.4 倍长中线法与截长补短法构造全等三形 【题型01：倍长中线法构造全等三角形】 【题型02：截长补短法构造全等三角形】 【题型01：倍长中线法构造全等三角形】 △ABC中 , AD是BC边中线 方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 （1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN 倍长中线法原理： 延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中） 【典例1】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【变式1-1】如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 【变式1-2】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．    (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接，易证，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； (2)如图2，是的中线，点在边上，且，求证：； (3)如图3，在四边形中，，点E为AB中点，连接，，试猜想线段，，之间的关系，并予以证明． 【变式1-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【题型02：截长补短法构造全等三角形】 （1）截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 （2）补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起 【典例2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【变式2-1】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式2-2】在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【变式2-3】在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【变式2-4】如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 【变式2-5】如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【课后巩固】 1．如图，已知中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？    2．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 4．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 6．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 7．阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长． 8．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． （1）如图1，求的度数； 图1 （2）连接，若，求的值； （3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________． 图2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 倍长中线法与截长补短法构造全等三形 【题型01：倍长中线法构造全等三角形】 【题型02：截长补短法构造全等三角形】 【题型01：倍长中线法构造全等三角形】 △ABC中 , AD是BC边中线 方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 （1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN 倍长中线法原理： 延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中） 【典例1】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】解：如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】如图，，平分，点为中点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图：在上截取，连接． 平分， ． 在和中， ， ． ． 是的中点， ． 又，， ， 在和中 ． ， ，即平分． 【变式1-2】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．    (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接，易证，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； (2)如图2，是的中线，点在边上，且，求证：； (3)如图3，在四边形中，，点E为AB中点，连接，，试猜想线段，，之间的关系，并予以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，延长到点，使，连接．证明，推出，再根据，可得结论； （2）如图2中，延长到，使得，连接．由，推出，，推出，再证明，可得结论； （3）结论：．如图3中，延长交的延长线于点．利用全等三角形的性质证明，，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：如图2中，延长到，使，连接．    同法可证， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：． 理由：如图3中，延长交的延长线于点．    ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式1-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【答案】(1)B (2)C (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【详解】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【题型02：截长补短法构造全等三角形】 （1）截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 （2）补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起 【典例2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-1】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 【变式2-2】在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式2-3】在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 【详解】（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2-4】如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 【答案】见解析 【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论． 【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC， ∵AB=AC，∠A=100°， ∴∠ABC=∠ACB=40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC=20°， ∵BF=BC， ∴∠F=∠BCF=80°， ∴∠FCE=∠ACB=40°， 在BC上取CF′=CF，连接EF′， 在△FCE与△F′CE中，， ∴△FCE≌△F′CE（SAS）， ∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°， ∴∠BF′E=100°， ∴∠A=∠BF′E， 在△ABE与△F′BE中，， ∴△ABE≌△F′BE（AAS）， ∴AE=EF′， ∴AE=EF， ∴AE+BE=BE+EF=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【变式2-5】如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解 【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论； （2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论． 【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M， ∴在中，， ∴∠ABC＝45°， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线， ∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°， ∴BM＝DM， ∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中， ， ∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM， ∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD， 即AB＝AC＋CD； （2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α， 在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2， ∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK ∴BK＝BD， ∵AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠KAD， 在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS）， ∴∠ACD＝∠AKD＝α， ∴∠BKD＝180°−α， ∵BK＝BD， ∴∠BDK＝180°−α， ∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°， ∴α＝108°， ∴∠ACB＝108°； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH， ∵∠ACB＝100°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线， ∴∠HAD＝∠CAD＝20°， ∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK， 由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK， ∴∠DKH＝80°＝∠DHK， ∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°， ∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°， ∴DH＝BH， ∴BH＝CD， ∵AB＝AH＋BH， ∴AB＝AD＋CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键． 【课后巩固】 1．如图，已知中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？    【答案】点Q的运动速度为或 【分析】根据中点的定义得出，再进行分类讨论：①当时，则，求出，进而求出时间，即可求出点Q速度；②当时，则，得出，即可求出点Q的速度． 【详解】解：∵点D为的中点，， ∴， ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点Q的运动速度， ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点Q的运动速度， 综上：点Q的运动速度为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，正确找出对应边，具有分类讨论的思想． 2．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴ ， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴ ， ∴， ∴． 4．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由题意知，，则，，，由，求解作答即可； （2）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （3）延长至点H，使，连接，先证明，再证明，得到，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°， ∵DB＝DC，∠DCB＝30°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD （SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°； （2）DE＝AD+CD， 理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM， ∵∠ADE＝60°，DM＝AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB＝∠AME＝120°． ∵AE＝AB， ∴∠ABD＝∠E， 在△ABD和△AEM中，， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD＝ME， ∵BD＝CD， ∴CD＝ME． ∵DE＝DM+ME， ∴DE＝AD+CD． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论， 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴ （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵， 又∵，且， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵，且， ∴， 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形． 7．阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14 【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案； （2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得； ②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案． 【详解】解：（1）BC−AC＝AD． 理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠ECD， 又CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°， ∴∠CED＝2∠CBA， ∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE， ∴∠CBA＝∠BDE， ∴DE＝BE， ∴AD＝BE， ∵BE＝BC−CE＝BC−AC， ∴BC−AC＝AD． （2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠MAC， ∵AC＝AC， ∴△ADC≌△AMC（SAS）， ∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12， ∵CD＝BC＝12， ∴CM＝CB， ∴∠B＝∠CMB， ∵∠CMB＋∠CMA＝180°， ∴∠B＋∠D＝180°； ②设BN＝a， 过点C作CN⊥AB于点N， ∵CB＝CM＝12， ∴BN＝MN＝a， 在Rt△BCN中，， 在Rt△ACN中，， 则， 解得：a＝3， 即BN＝MN＝3， 则AB＝8+3+3=14， ∴AB=14． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 8．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． （1）如图1，求的度数； 图1 （2）连接，若，求的值； （3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________． 图2 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出. （2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解. （3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出. 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在上取点，使． 由（1）知， 又， ∴． 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）． 提示：目测即得答案．详细理由如下： 由（1）知．延长至，使为等边三角形． 延长交于． ∵ ， ∴， 在和中， , ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴ ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$