专题02 一元二次方程（考题猜想，易错必刷32题10种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题02一元二次方程（易错必刷32题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的一般形式 · 一元二次方程的解 · 解一元二次方程-配方法 · 解一元二次方程-公式法 · 根的判别式 · 根与系数的关系 · 由实际问题抽象出一元二次方程 · 一元二次方程的应用 · 解一元二次方程-因式分解法 · 配方法的应用 一．一元二次方程的一般形式（共2小题） 1．方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4 2．把一元二次方程2x2﹣5＝4x化为一般形式为 　 　． 二．一元二次方程的解（共2小题） 3．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 4．若a﹣3b+9c＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0有一根是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C． D． 三．解一元二次方程-配方法（共2小题） 5．一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝﹣14 D．（x﹣3）2＝4 6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 四．解一元二次方程-公式法（共1小题） 7．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0 五．解一元二次方程-因式分解法（共4小题） 8．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　） A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17 C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17 9．已知三角形两边长是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是（　　） A．5 B．11 C．5或11 D．6 10．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　． 11．解一元二次方程： （1）x2+4x﹣2＝0； （2）（x﹣3）2＝6﹣2x． 六．根的判别式（共3小题） 12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠1 D．且k≠1 13．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 七．根与系数的关系（共1小题） 15．设α，β是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则+＝　 　． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题） 16．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 17．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 18．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（　　） A．x（x+1）＝240 B．x（x﹣1）＝240 C．2x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240 19．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为　 　． 九．一元二次方程的应用（共8小题） 20．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　 　队参赛． 21．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率＝） 22．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米． （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示） （2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 23．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动． （1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 　 　cm．（用含t的代数式表示） （2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 25．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2？ 26．某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 27．如图，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？ （2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 一十．配方法的应用（共5小题） 28．若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 29．多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　 　． 30．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： ∴代数式x2+4x+2的最小值为﹣2． ∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　 　； （2）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知x+y＝3，代数式x2+y+3x﹣2的最小值为 　 　． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 31．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值； （2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长． 32．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0． 所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+　 　； （2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值； （3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值； $$专题02一元二次方程（易错必刷32题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的一般形式 · 一元二次方程的解 · 解一元二次方程-配方法 · 解一元二次方程-公式法 · 根的判别式 · 根与系数的关系 · 由实际问题抽象出一元二次方程 · 一元二次方程的应用 · 解一元二次方程-因式分解法 · 配方法的应用 一．一元二次方程的一般形式（共2小题） 1．方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4 【答案】C 【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1＝0， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，﹣4，﹣1， 故选：C． 2．把一元二次方程2x2﹣5＝4x化为一般形式为 　2x2﹣4x﹣5＝0　． 【答案】2x2﹣4x﹣5＝0． 【解答】解：把一元二次方程2x2﹣5＝4x化为一般形式为2x2﹣4x﹣5＝0． 故答案为：2x2﹣4x﹣5＝0． 二．一元二次方程的解（共2小题） 3．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022， 故选：B． 4．若a﹣3b+9c＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0有一根是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝3 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵a﹣3b+9c＝0 ∴等式两边同时除以9， 得 ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有一根是， 故选：D． 三．解一元二次方程-配方法（共2小题） 5．一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝﹣14 D．（x﹣3）2＝4 【答案】D 【解答】解：x2﹣6x+5＝0， x2﹣6x＝﹣5， x2﹣6x+9＝﹣5+9， （x﹣3）2＝4， 故选：D． 6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 【答案】B 【解答】解：分两种情况： 当x＞﹣x时，即x＞0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x1＝5，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜﹣x时，即x＜0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴﹣x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， x﹣1＝±， x﹣1＝或x﹣1＝﹣， x1＝1+（舍去），x2＝1﹣； 综上所述：x＝5或x＝1﹣， 故选：B． 四．解一元二次方程-公式法（共1小题） 7．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意； B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意； C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意； D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意； 故选：D． 五．解一元二次方程-因式分解法（共4小题） 8．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　） A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17 C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17 【答案】C 【解答】解：x2﹣4x﹣21＝0 x2﹣4x+4＝21+4 （x﹣2）2＝25 正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25， 故选：C． 9．已知三角形两边长是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是（　　） A．5 B．11 C．5或11 D．6 【答案】A 【解答】解：x2﹣16x+55＝0， （x﹣11）（x﹣5）＝0， x﹣11＝0，x﹣5＝0， 解得：x1＝11，x2＝5， ①当x＝11时， ∵4+7＝11， ∴此时不符合三角形的三边关系定理， ∴11不是三角形的第三边； ②当x＝5时，三角形的三边是4、7、5， ∵此时符合三角形的三边关系定理， ∴第三边长是5． 故选：A． 10．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0，x﹣6＝0， ∴x1＝3，x2＝6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15， 故答案为：15． 11．解一元二次方程： （1）x2+4x﹣2＝0； （2）（x﹣3）2＝6﹣2x． 【答案】（1）x1＝﹣2，x1＝﹣﹣2； （2）x1＝3，x2＝1． 【解答】解：（1）x2+4x﹣2＝0， x2+4x＝2， x2+4x+4＝2+4， （x+2）2＝6， ， x+2＝或x+2＝﹣， x1＝﹣2，x1＝﹣﹣2； （2）（x﹣3）2＝6﹣2x， （x﹣3）2＝2（3﹣x）， （x﹣3）2﹣2（3﹣x）＝0， （x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， x1＝3，x2＝1． 六．根的判别式（共3小题） 12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠1 D．且k≠1 【答案】D 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4（k﹣1）≥0，且k﹣1≠0， 解得：且k≠1； 故选：D． 13．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝1+8k2． ∵对于任意实数k都有k2≥0， ∴8k2≥0． ∴1+8k2≥1． ∴1+8k2＞0，即Δ＞0． ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）m的值为±1． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 七．根与系数的关系（共1小题） 15．设α，β是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则+＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得α+β＝﹣1，αβ＝﹣6， +＝＝； 故答案为：． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题） 16．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 【答案】B 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280． 故选：B． 17．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 【答案】B 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）； 依题意，可列方程为：＝10； 故选：B． 18．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（　　） A．x（x+1）＝240 B．x（x﹣1）＝240 C．2x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240 【答案】B 【解答】解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了240条短信． ∴x（x﹣1）＝240． 故选：B． 19．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为　x（x﹣1）＝28　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：x（x﹣1）＝28． 故答案为：x（x﹣1）＝28． 九．一元二次方程的应用（共8小题） 20．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　8　队参赛． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4＝28场比赛． 设比赛组织者应邀请x队参赛， 则由题意可列方程为：＝28． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）， 所以比赛组织者应邀请8队参赛． 故答案为：8． 21．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率＝） 【答案】（1）降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元；（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元；（3）小明每天不能获得1200元的利润． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 22．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米． （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含a的代数式表示） （2）当a＝10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚与墙平行的一边长（28﹣2a）米； （2）小路的宽为1米． 【解答】（1）解：由题意得：（26+2）﹣2a＝（28﹣2a）米， ∴车棚与墙平行的一边长（28﹣2a）米； （2）解：当a＝10时，28﹣2a＝28﹣2×10＝28﹣20＝8（米）， 设小路的宽为x米， 由题意得：（10﹣x）（8﹣2x）＝54， 整理得：x2﹣14x+13＝0， 解得：x1＝13＞10（舍去），x2＝1， 答：小路的宽为1米． 23．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动． （1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 　（6﹣2t）　cm．（用含t的代数式表示） （2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴Rt△ABC中，AC＝6cm， 又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动， ∴AP＝2t， ∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm； 故答案为：（6﹣2t）； （2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24， ①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t， ∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t）， ∴t（6﹣2t）＝4， 即t2﹣3t+4＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴该范围下不存在； ②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t， ∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6）， ∴t（2t﹣6）＝4， 即t2﹣3t﹣4＝0， 解得t＝4或﹣1（舍去）， 综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的． 25．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，绿化区的宽为：[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10 ∴50×30﹣4x（x﹣10）＝1344 ﹣4x2+40x+1500＝1344， 4x2﹣40x﹣156＝0 x2﹣10x﹣39＝0 x＝13或﹣3（不符合题意，舍去） 答：当绿化区较长边x为13m时，活动区的面积达到1344m2． 26．某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为12.5%； （2）该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得： 64（1﹣a）2＝49， 解得：a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝12.5%， 答：每次下降的百分率为12.5%； （2）设每千克应涨价x元，由题意，得： （10+x）（500﹣40x）＝4500， 整理，得 2x2﹣5x﹣25＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去）， 答：该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元． 27．如图，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？ （2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB＝10cm， 设经过ts后，P、Q两点的距离为4cm， ts后，PC＝6﹣t cm，CQ＝2t cm， 根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2， 代入数据（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2； 解得t＝2或t＝， 故t为2或时，P、Q两点的距离为4cm； （2）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小， ts后，PC＝6﹣tcm，CQ＝2t cm， S△PCQ＝×PC×CQ＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t 当t＝﹣时，即t＝3s时，△PCQ的面积最大， 即S△PCQ＝×PC×CQ＝×（6﹣3）×6＝9（cm2）， ∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC﹣S△PCQ最大＝×6×8﹣9＝15（cm2）， 当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2． 一十．配方法的应用（共5小题） 28．若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 【答案】D 【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2） ＝x2+4x+2 ＝（x+2）2﹣2． 令M﹣N＝0， ∴（x+2）2﹣2＝0． ∴x＝﹣2±． 考查函数y＝（x+2）2﹣2， ∵a＝1＞0， ∴当x＜2﹣或x＞2+时，y＞0； 当x＝﹣2±时，y＝0； 当2﹣＜x＜2+时，y＜0． ∴当x＜2﹣或x＞2+时，M＞N； 当x＝﹣2±时，M＝N； 当2﹣＜x＜2+时，M＜N． 故选：D． 29．多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　18　． 【答案】18． 【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣6b+9+18 ＝（a﹣b）2+（b﹣3）2+18 ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣3）2≥0． ∴原式≥0+0+18． ∴原式≥18． 故答案为：18． 30．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： ∴代数式x2+4x+2的最小值为﹣2． ∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　﹣3　； （2）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知x+y＝3，代数式x2+y+3x﹣2的最小值为 　0　． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【答案】解：（1）由题意，∵x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 又对于任意的x都有（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3． ∴代数式x2﹣4x+1的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． （2）A＞B，理由如下： ∵A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣（x2﹣x﹣1） ＝2x2﹣3x+2﹣x2+x+1 ＝x2﹣2x+3 ＝（x﹣1）2+2， 又对于任意的x都有（x﹣1）2≥0， ∴A﹣B＝（x﹣1）2+2≥2＞0． ∴A＞B． （3）由题意，∵x+y＝3， ∴y＝3﹣x． ∴x2+y+3x﹣2＝x2+3﹣x+3x﹣2 ＝x2+2x+1 ＝（x+1）2． ∵对于任意的x都有（x+1）2，≥0， ∴x2+y+3x﹣2＝（x+1）2，≥0． ∴代数式x2+y+3x﹣2的最小值为0． （4）由题意，设 AB＝x m，长方形 ABCD的面积为S， ∴S＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16． ∴当x＝4时，即AB＝4m时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为m2． 答：长方形生物园的最大面积为 16m2． 【解答】解：（1）由题意，∵x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 又对于任意的x都有（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3． ∴代数式x2﹣4x+1的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． （2）A＞B，理由如下： ∵A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣（x2﹣x﹣1） ＝2x2﹣3x+2﹣x2+x+1 ＝x2﹣2x+3 ＝（x﹣1）2+2， 又对于任意的x都有（x﹣1）2≥0， ∴A﹣B＝（x﹣1）2+2≥2＞0． ∴A＞B． （3）由题意，∵x+y＝3， ∴y＝3﹣x． ∴x2+y+3x﹣2＝x2+3﹣x+3x﹣2 ＝x2+2x+1 ＝（x+1）2． ∵对于任意的x都有（x+1）2，≥0， ∴x2+y+3x﹣2＝（x+1）2，≥0． ∴代数式x2+y+3x﹣2的最小值为0． 故答案为：0． （4）由题意，设 AB＝x m，长方形 ABCD的面积为S， ∴S＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16． ∴当x＝4时，即AB＝4m时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为m2． 答：长方形生物园的最大面积为 16m2． 31．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值； （2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长． 【答案】（1）﹣1；（2）17． 【解答】解：（1）由题意，∵x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0， ∴x2+2xy+y2+4y2﹣4y+1＝0，即（x+y）2+（2y﹣1）2＝0． ∴x+y＝0，且2y﹣1＝0． ∴x＝﹣，y＝． ∴x﹣y＝﹣﹣＝﹣1． （2）由题意，∵a2+b2+58＝14a+6b， ∴a2﹣14a+49+b2﹣6b+9＝0． ∴（a﹣7）2+（b﹣3）2＝0． ∴a﹣7＝0，b﹣3＝0． ∴a＝7，b＝3． 又a，b，c是等腰△ABC的三条边长， ∴a＝c＝7，b＝3．（若a＝7，b＝c＝3，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍去．） ∴△ABC的周长为：7+7+3＝17． 32．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0． 所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+　49　； （2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值； （3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值； 【答案】（1）49；（2）2；（3）17． 【解答】解：（1）依据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∴a2+14a+49是完全平方式． 故答案为：49． （2）x2﹣10x+27＝x2﹣10x+25+2＝（x﹣5）2+2． ∵（x﹣5）2≥0， ∴（x﹣5）2+2≥2． ∴x2﹣10x+27的最小值是2． （3）∵N＝﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a）+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17， 又（a﹣4）2≥0， ∴﹣（a﹣4）2≤0． ∴﹣（a﹣4）2+17≤17． ∴﹣a2+8a+1的最大值是17． $$