微专题三 五大常考全等模型-【一本】2024年中考训练方案 数学

127。 微专题三 五大常考全等模型 类型一,平移模型 2. [2021·江苏无锡]如图:已知AC,DB相交于 【基本模型】 点O,AB-DC,ABO=DCO.求证 (1)△ABO2△DCO; _4##4 (2)/OBC-/OCB. 图示 有一组边共线,另两组边分别平行,常要在移动 模型 方向上加(减)公共线段,构造线段相等,并利用 总结 平行线的性质找到对应角相等 1. [2022·四川宜宾]如图,已知点A,D,C,F在 同一百线上,AB//DE,/B= E,BC=EF 求证:AD-CF 类型三:一线三垂直模型 【基本模型】 , 图示 模型 有三个直角,常利用同角(等角)的余角相等证 总结 明角相等 3.[2022·湖南湘潭]在△ABC中,BAC 类型二:对称模型 90{*,AB-AC.直线/经过点A,过点B,C分 【基本模型】 别作/的垂线,垂足分别为D,E. (1)特例体验:如图1,若直线1//BC,AB一 ###7#### 图示 AC-/2,分别求出线段BD.CE和DE的长. (2)规律探究: 所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分 ①如图2,若直线1从图1状态开始绕点A旋 模型 能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对 转。(0{*} a\45).请探究线段BD.CE和DE 总结 应顶点,解题时要注意其隐含条件,即公共边或 的数量关系并说明理由 公共角相等 ②如图3,若直线/从图1状态开始绕点A顺 128 时针旋转3(45*}{B{90}),与线段BC相交于 类型四:旋转模型 点H,请再探线段BD,CE和DE的数量关系 【基本模型】 ####7## 并说明理由. 图示1 (3)尝试应用:在图3中,延长线段BD交线 (无重叠 段AC于点F.若CE=3,DE-1,求Sm 的值. 图示2 (有重) 图1 图2 此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转 模型 一定角度所构成的.在旋转过程中,两个三角 总结 形无重叠或有重叠,找等角或运用角的和差 图3 得到等角 4.如图1,△ABE是等腰三角形,AB=AE {BAE=45^{*},过点B作BC|AE于点C,在 BC上截取CD-CE,连接AD,DE,AD的延 长线交BE于点P. (1)求证:AD-BE (2)试说明AD平分/BAE (3)如图2,将△CDE绕着点。 C旋转一定的角度,那么AD与BE的位置关 系是否发生变化?写出结果并说明理由. 阁1 图2 12 类型五:半角模型 ①试判断BE,EF,CF之间的数量关系,并说 【基本模型】 明理由. ②试判断当点E,F的位置变化时,△DEF的 等边三角形 周长是否发生变化?若变化,试说明怎么变 含半角 化;若无变化,请直接写出/八DEF的周长。 (BDC-120*} 60{D 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下,以BC为边向BC上方作 等腰直角三角形 等边三角形DBC,E,F分别是边BD,DC上 含半角 的动点,且EAF-60{},当△DEF是直角三 角形时,请直接写出线段DE的长度 正方形 含半角 当一个角包含着这个角的半角时, 模型 常将半角两边的三角形通过旋转到 总结 一边合并形成新的三角形,从而进 行等量代换,然后证明新三角形与 含半角的三角形全等 5.问题:如图1,点E,F分别在正方形ABCD的 边BC,CD上, EAF-45*},试判断BE,EF DF之间的数量关系 图! 图2 备用图 【发现证明】 (1)小文把AADF绕点A顺时针旋转90*至 AABG,从而发现BE,EF,DF之间的数量关 系为 ;若正 方形ABCD的边长为a,则△CEF的周长 为 【类比探究】 (2)如图2,在等腰三角形ABC中,AB AC-2v/③,BAC-120*},以BC为边向BC 下方作等边三角形DBC,E,F分别是边BD DC上的动点,且EAF一60。 >答案详解P053053 9.5或13 如图. 'G是DE的中点,'.GH是AECD的中 位线, .$GH-CD-AD-1.GH//CD. . “ ACB-9 0$$AC-BC-$$ 2$$ 'AB-/②AC-4 .D为AB的中点, .CD//BE,.'.GH//BE. ..CD-AD-BD-AB-2,ADC-90°。 ..△FGHo△FBE, 又ADQ-90{} '点C.Q.D在同一条直线上. 整理,得a^②-4a-4-0, 由旋转的性质,得 解得a-2-2②或a-2-22(不合题意,含 CQ-CQ=CP-1. 去), 分两种情况: 经检验,a一2十2②是所列分式方程的解,且 当点Q在CD上时. 在Rt△ADQ中,DQ-CD-CQ-1. 符合题意: AQ-AD+D- 2-1-; *BE-2-2/② 11.C 设水深为五尺,则芦苇长为(h十1)尺. 当点Q在DC的延长线上时, 根据勾股定理,得(h十1){②}-h-(10-2)^②}; 在Rt^ADQ中,DQ=CD+CQ=3. 解得h-12,..水深为12尺 'AQ=D+D-②+3=13 微专题三 五大常考全等模型 综上所述,当/ADQ=90{}时,AQ的长为 或V13. 1.证明:':AB//DE. 10.解:(1)证明:.'△ACD和△BCE均是等腰三 './A-EDF. 角形,.'.AD=CD,EC=EB,A= DCA 在△ABC和△DEF中. .A-/CBE..DCA= CBE A-EDF, '.CD//BE.' /DCE /BEF B-/E, BC-EF, .EF-AD...EF-CD [CD-EF: ..△ABC△DEF(AAS). '.AC-DF. 在DCE和FEB中,DCE=FEB EC-BE, ..AC-DC=DF-DC. 即AD-CF. :.DCEAFEB(SAS)..'.DE=FB 2.证明:(1)在△ABO和△DCO中 (2)如图,取CE的中点H,连接GH. AOB=DOC, ABO-/DCO. AB-DC, '.△ABO△DCO(AAS). (2)由(1),知△ABO△DCO. 054 ..OB-OC. 文.CE-3,DE-1, ./OBC-OCB. ..AE-BD-4,AD-CE-3 3.解:(1)在△ABC中,BAC-90*,AB-AC .AB-5. '.ABC-ACB-45* .:1/BC. *. DAB=ABC=45{,EAC= ACB=45 $ “.BD 1.CE 1. BDA-/CEA-90. 52. . ABD=DAB=45*,CE= EAC-45 $$$ '.AD-BD,AE-CE 4.解:(1)证明:'·BC AE,BAE-45^* .AB-AC-V2. '.CBA-/CAB...BC-AC '.AD-BD-AE-CE-1, 在BCE和/ACD中, '.DE-AD-AE-2. [BC-AC, (2)①DE-BD十CE.理由如下; BCE-/ACD-90* 在Rt\ADB中,ABD+BAD-90* CE-CD. .BAC-90* '.△BCE△ACD(SAS)...AD-BE '. BAD+CAE-90* (2):△BCE△ACD. '.ABD-CAE. ..EBC-/DAC. 在△ABD和△CAE中, . BDP- ADC. [BDA- AEC-90* '. BPD-DCA-90* ABD=CAE, ·AB-AE..'AD平分BAE AB-CA: (3)AD|BE不发生变化.理由如下: .BD△CAE(AAS). 设AD与BC相交于点F(图略) .AD-CE,BD-AE, 同(1)可证入BCF2AACD *.DE=AE+AD-BD+CE .. EBC- DAC ②DE一BD一CE.理由如下: .BFP=AFC, 在 Rt△ADB中,ABD十 BAD=90* '. BPF-ACF-90*$ .BAC-90{ ..ADBE. *. BAD十/CAE=90* 5.解:(1).四边形ABCD是正方形, .. ABD-/CAE. '.AB-BC-CD-AD=a, 在△ABD和△CAE中, BAD- ABE-D-90 BDA- AEC-90{ 由旋转的性质,得AF一AG,DF一BG ABD-CAE, $ $DAF=$$BAG$D-$$ABG-90$$ AB-CA, '. ABG-ABE=180{*},:点G,B,E在一 '.△ABD△CAE(AAS). 条直线上. '.AD-CE,BD-AE. .EAF-45*, '.DE-AE-AD-BD-CE DAF+ BAE= BAG+ BAE-45$$$ (3)BDA- BAF-90{,DBA- ABF ..EAF- EAG '.△ABDo△FBA. 文.'AE-AE..'△EAF△EAG(SAS) .$EF-FG,.$EF-BE+GB-BE+DF. '.△CEF的周长为EF+EC十CF=BE- 由(2)中②可知,DE-AE-AD-BD-CE EC+CF+DF-BC+CD-2 055 故答案为EF-BE-DF,2a ..DBC-60 (2)①结论:EF-BE十CF. .ABC=ACB-30* 理由:如图,延长FC到点T,使得CT一BE,连 '. ABE-30*- ACM, 接AT. '.△BAE△CAM(ASA), '.BE-CM,AE-AM ,7 .BD-BC. 'DE-BM 同理可得DF-CN,AF-AN ./EAF- MAN “AB-AC. BAC-120* '.△EAF/MAN(SAS). .ABC-ACB-30* ..EF-NM. .八BCD是等边三角形, ..DE+DF-EF-BM+CN+MN-6 “. DBC-DCB-60*, .D-60*,EFD-90{} 'ABD-ACD-90 '/DEF-30*. '. ACT-90*-ABE ·DE-2DF :AB-AC,BE-CT. 设DF-x,则DE-2r,EF-3x 'ABFSAACT(SAS) .'3x+/③x-6. :.BAE- CAT,AE-AT, 'c-3-③. 'EAT-BAC-120*$ *$DE-2-6-2/3. . EAF-60”. 当 DEF-90{时,同理可得DE-3-③ '. TAF-60*-/EAF 又.AF-/F. 综上所述,线段DE的长度为3-③或6-23 第十四章 相似 '.AFE/FT(SAS). .'.EF-TF 'EF=CT+CF-BE+CE ②△DEF的周长不变. 变式训练1解:(1)证明:.DC是O的切线 “.AB-AC-23,ABC-30 .OCD-90* '.BC-2AB·c0s30*-6 “:D-30”, '.ADEF的周长为EF+DE+DF-BE+ '. BOC-D+OCD=30*+90*-12 0 $CF+DE+DF=BD+CD-2BC=12 .OB-OC...B= OCB-30*. (3)如图,当 EFD一90时,延长FA交BC于 ..DCB-CCD+OCB-120* 点M,延长EA交BC于点N. .BOC-DCB. D .B-B.△BOCBCD ($2) B=/D=30{$.$BC=DC=③ 过点C作CE|BD于点E(图略),则BD= .'EAF-60{$,BAC-120^{*, 在Rt^DCE中,由勾股定理,得 . EAF+BAC-180* .. BAE十CAF-180{。 “.CAF+CAM-180* '.△BCD的周长为CD-BC+BD=3+2③ .. /BAE-/CAM 变式训练2 解::AD//EG. .△DBC是等边三角形, 'ADO- FGF