高二数学期中模拟卷（湘教版2019选择性必修第一册第1章～第3章，数列+直线与圆+圆锥曲线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第 1 章数列+第 2 章平面解析几何初步+第 3 章圆锥曲线与方 程。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．直线 1 0x y   的倾斜角为（ ） A． π 4 B． π 2 C． 3π 4 D． π 4 或 3π 4 【答案】A 【解析】直线 1 0x y   可化为 1y x  ， 设倾斜角为 [0, ),    ，则 tan 1, 4    .故选：A 2．记 nS 为等差数列 na 的前n项和．若 1 5 8a a  ， 3 4 24a a  ，则 6S （ ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【解析】由等差数列的性质得 1 5 12 4 8a a a d    ①，   13 14 2 3 24da a a a d   ②， 由①得 1 4 2a d  ，代入②得  4 4 24d  ，解得 2d ，故 1 4 2 0a d   ， 故 6 16 15 30S a d   .故选：C 3．若 2 2 4 2 0x y x y m     表示圆的方程，则m的取值范围是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．  5, B．  ,5 C．  , 5  D．  5,  【答案】D 【解析】因为方程 2 2 4 2 0x y x y m     表示一个圆，所以  224 2 4 0m    ，解得 5m   ， 所以m的取值范围是  5,  .故选：D 4．以椭圆 2 29 25 225x y  的焦点为焦点，离心率 2e  的双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 1 4 12   x y B． 2 2 1 12 4 x y   C． 2 2 1 20 4 x y   D． 2 2 1 4 20 x y   【答案】A 【解析】椭圆 2 29 25 225x y  化为标准方程为 2 2 1 25 9 x y   ， 焦点为  4,0 ，双曲线的半焦距 4c  ， 离心率 2 c e a   ， 2a  ， 2 2 2 12b c a   ， 双曲线的标准方程为 2 2 1 4 12   x y ．故选：A． 5．在正项等比数列 na 中， nS 为其前n项和，若 5 5S  ， 10 15S  ，则 15S 的值为（ ） A．30 B．35 C．40 D．75 【答案】B 【解析】因为正项等比数列 na 中， nS 为其前n项和， 则 5 10 5 15 10, ,S S S S S  也是等比数列，即   210 5 5 15 10S S S S S   ， 又 5 5S  ， 10 15S  ，所以    2 1515 5 5 15S   ，解得 15 35S  .故选：B. 6．已知两条直线 1 : 3 2 1 0l x y   和 2 : 2 1 0l ax y   相互垂直，则a （ ） A．2 B．3 C． 4 3 D． 4 3  【答案】C 【解析】易知 1 : 3 2 1 0l x y   的斜率为 3 2 ， 2 : 2 1 0l ax y   的斜率为 2 a  ，所以 3 1 2 2 a     ；解得 4 3 a  .故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．已知实数 ,x y满足方程 2 2 2 0x y x   ，则 1 1 y x   的最大值是（ ） A． 3 4 B． 4 3 C．0 D． 1 2 【答案】B 【解析】C的方程 2 2 2 0x y x   可化为 2 2( 1) 1x y   ， 它表示圆心  1,0 ，半径为 1 的圆， 1 1 y x   表示圆上的点与点  1, 1P   的连线的斜率 k， 设过圆上点与点  1, 1P   的直线方程为  1 1y k x   ， 则圆心  1,0 到直线  1 1y k x   的距离 2 2 1 1 1 k d k     ， 可得 4 0 3 k  ，即最大值为 4 3 ，故选：B. 8．已知 1F ， 2F 分别是椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点， 1PF 与 y 轴交于点M ．若 1OP OF ， 1 5 6 a MF  ，则椭圆E的离心率为（ ） A． 5 9 或 5 8 B． 3 2 或 1 2 C． 3 4 或 1 4 D． 5 3 或 10 4 【答案】D 【解析】由 1OP OF ，得 1 2 1 2 OP F F ，则 1 2PF PF ，则 1 2 1PF F OFM∽△ △ ， 则 1 1 2 1 1 PF FF OF FM  ，即 1 2 5 6 PF c ac  ，解得 2 1 12 5 c PF a  ， 则 2 2 2 2 1 12 10 12 2 2 5 5 c a c PF a PF a a a       ， 因为 1 2PF PF ，所以 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F  ， 即 2 22 2 2 212 10 12 4 5 5 c a c c a a              ，整理得 4 2 2 472 85 25 0c a c a   ， 则 4 272 85 25 0e e   ，解得 2 5 9 e  或 2 5 8 e  ， 故 5 3 e  或 10 4 e  ．故选：D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知数列 na 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A． 1 na       B． 1n na a  C．   2lg na D． 1n na a  【答案】AB 【解析】由题意知 na 为等比数列，设其公比为 q  0q  ； 对于 A， 1 1 1 1 1 1 1 1 n n na a q a q            ，∴数列 1 na       是以 1 1 a 为首项， 1 q 为公比的等比数列，故 A 正确； 对于 B， 21 2 2 1 n n n n n n a a a q a a a       ，∴数列 1n na a  是以 1 2a a 为首项， 2q 为公比的等比数列，故 B 正确； 对于 C，当 1na  时，  2lg 0na  ，数列   2lg na 不是等比数列，故 C 错误； 对于 D，当 1q   时， 1 0n na a   ，数列 1n na a  不是等比数列，故 D 错误.故选：AB. 10．已知直线 l： 2 1 0kx y k    和圆O： 2 2 8x y  ，则（ ） A．存在 k使得直线 l与直线 0l ： 2 0x y  垂直 B．直线 l恒过定点  2,1 C．直线 l与圆O相交 D．直线 l被圆O截得的最短弦长为2 3 【答案】ACD 【解析】由题意可知：圆O： 2 2 8x y  的圆心为  0,0O ，半径 2 2r  ， 对 A：因为直线 0l ： 2 0x y  的斜率为 1 2 ， 当直线 l的斜率为 2k   时，此时直线 l与直线 0l 垂直，满足题意，A 正确； 对 B：由 2 1 0kx y k    可得，  2 1 0k x y    ， 令 2 0 1 0 x y      ，解得 2 1 x y     ，所以直线 l恒过定点  2,1A  ，故 B 错误； 对 C：因为定点  2,1A  到圆心的距离为 4 1 5 2 2   ， 所以定点  2,1A  在圆内，所以直线 l与圆 O 相交，C 正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 对 D：直线 l恒过定点  2,1A  ，圆心到直线 l的最大距离为 5OA  ， 此时直线 l被圆 O 截得的弦长最短为2 8 5 2 3  ，D 正确；故选：ACD. 11．在平面直角坐标系 xOy中，过拋物线 2: 4C y x 的焦点F 作直线 l交抛物线C于 ,A B两点，则（ ） A． AB 的最小值为 2 B．以线段 AF 为直径的圆与 y 轴相切 C． 1 1 1 FA FB   D． 0OA OB    【答案】BC 【解析】由题意可知，抛物线 2: 4C y x 的焦点 (1,0)F ，准线为 1x   ，直线 l的斜率不为零， 设直线 l为 1x my  ， 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )， 由 𝑥 = 𝑚𝑦 + 1 𝑦 = 4𝑥 ，得 2 4 4 0y my   ， 因为 216 16 0m    ， 所以 1 2 1 24 , 4y y m y y    ， 所以𝑥 + 𝑥 = (𝑚𝑦 + 1) + (𝑚𝑦 + 1) = 𝑚(𝑦 + 𝑦 ) + 2 = 4𝑚 + 2， 所以|𝐴𝐵| = 𝑥 + 𝑥 + 2 = 4(𝑚 + 1)， 对于 A，因为|𝐴𝐵| = 4(𝑚 + 1) ≥ 4，当且仅当 0m  时取等号， 所以|𝐴𝐵|的最小值为 4，所以 A 错误， 对于 B，因为线段 AF 的中点为𝑀( , )，|𝐴𝐹| = 𝑥 + = 𝑥 + 1，则 M 到 y 轴的距离为𝑑 = ，而以线段 AF 为直径的圆的半径为 ， 所以圆心到 y 轴的距离等于圆的半径，所以以线段 AF 为直径的圆与 y 轴相切，所以 B 正确， 对于 C，因为 | | + | | = + = + = ( ) ( ) = = 1， 所以 C 正确， 对于 D，因为𝑂?⃗? ⋅ 𝑂?⃗? = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 = (𝑚𝑦 + 1)(𝑚𝑦 + 1) + 𝑦 𝑦 = (𝑚 + 1)𝑦 𝑦 +𝑚(𝑦 + 𝑦 ) + 1 = −4(𝑚 + 1) + 4𝑚 + 1 = −3 ≠ 0，所以 D 错误，故选：BC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．直线2 1 0x y   与2 1 0x y   之间的距离是 . 【答案】 2 5 5 【解析】易知直线2 1 0x y   与2 1 0x y   平行， 这两条直线间的距离为  22 1 1 2 5 52 1 d       . 故答案为： 2 5 5 . 13．已知圆 1O ： 2 2 1x y  ，圆 2O ：    2 23 16x y a    ，如果这两个圆有公共点，则实数 a取值范围 是 . 【答案】 4,4 【解析】由题意知， 1 1 2 2(0,0), 1, ( 3, ), 4O r O a r   ，则 2 2 21 2 ( 3 0) ( 0) 9OO a a       ， 因为圆 1O 与圆 2O 有公共点，所以 2 1 1 2 2 1r r OO r r    ，即 23 9 5a   ，解得 4 4a   ， 所以实数 a取值范围是 4,4 . 故答案为： 4,4 . 14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 24dm 20dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到12dm 20dm,24dm 10dm  两种规格的图形，它们的面积之 和 2 1 480dmS  ，对折 2 次共可以得到6dm 20dm ，12dm 10dm,24dm 5dm  三种规格的图形，它们的面积之 和 2 2 360dmS  ，以此类推，则对折 5 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么 1 n k k S   2dm ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【答案】6； 5 15( 3) 1440 2n n    【解析】第一空：由对折 2 次共可以得到 6dm 20dm ，12dm 10dm,24dm 5dm  三种规格的图形， 所以对折三次的结果有：3dm 20dm ， 6dm 10dm ， 5 12dm 5dm, 24dm dm 2   共 4 种不同规格； 对折 4 次可得到如下规格： 3 dm 20dm 2  ，3dm 10dm ， 6dm 5dm ， 5 5 12dm dm,24dm dm 2 4   ，共 5 种不同规格； 对折 5 次可得到如下规格： 3 dm 20dm 4  ， 3 dm 10dm 2  ，3dm 5dm ， 5 6dm dm 2  ， 5 5 12dm dm,24dm dm 4 8   ，共 6 种不同规格； 第二空：由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为 1 2 的等比数列，首项为 2240dm , 对于第n次对折后的图形的规格形状种数为 1n  种，第n次对折后的图形面积之和为   1 240 1 2n n n S    ， 则 0 1 2 1 1 240 2 240 3 240 4 240 ( 1) 2 2 2 2k n n kS n S               ， 1 2 3 21 240 2 240 3 40 4 240 ( 1) 2 2 2 22 n S n          ， 两式作差得： 1 2 3 12 1 2 240 240 240 240 240 0 ( 1) 2 4 2 2 8 2n n S n          1 1 240 ( 1) 240 ( 1) 240 ( 3) 72 1 1 (1 ) 2402 2480 240 1 21 2 0 720 2 2 2n nn n n n n n                  ， 因此 5 15( 3) 1440 2n n S    . 故答案为：①6；② 5 15( 3) 1440 2n n    . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知      3, 2 , 5, 4 , 0, 2A B C   ，在 ABC 中， (1)求 BC边的方程； (2)求 BC边上的中线所在直线的方程． 【解析】（1）BC边过两点 (5, 4), (0, 2)B C  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 由两点式，得     4 5 2 4 0 5 y x        ，即 2 5 10 0x y   ，............................................................4 分 故 BC边的方程是  2 5 10 0 0 5x y x     ．............................................................6 分 （2）设BC的中点为 ( , )M a b ， 则 5 0 5 2 2 a    ，    4 2 3 2 b       ，所以 5 , 3 2 M      ，............................................................9 分 又 BC边的中线过点 ( 3,2)A  ， 所以     32 53 2 3 2 xy        ，即10 11 8 0x y   ， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10 11 8 0x y   ．............................................................13 分 16．（15 分）已知数列 na 是单调递增的等比数列，数列 nb 是等差数列，且 1 1 2 2 3 33, 17, 14a b a b a b      ． (1)求数列 na 与数列 nb 的通项公式； (2)求数列 n na b 的前n项和 nS ． 【解析】（1）设等比数列 na 的公比为q，等差数列 nb 的公差为d ， 由 2 2 3 3 17, 14, a b a b      得   1 1 2 1 1 17, 2 14, a q b d a q b d        即 2 3 14, 3 2 17, q d q d      即 2 2 15 0q q   ，解得 5q   或 3q  ．............................................................3 分 当 5q   时， 2 1a a ，不满足 na 单调递增， 当 3q  时， 11 2 6 3 0 n n n na a a        ，满足 na 单调递增， 故 3q  ，所以 3nna  ．............................................................6 分 又3 14q d  ，所以 5d  ， 所以  3 5 1 5 2nb n n     ， 即数列 na 与数列 nb 的通项公式为 3nna  ， *5 2, Nnb n n   .................................................8 分 （2）利用等比数列前n项和公式可得， 数列 na 的前n项和为   13 1 3 3 3 1 3 2 n n    ，............................................................11 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 数列 nb 的前n项和为   23 5 2 5 2 2 n n n n    ，............................................................14 分 所以数列 n na b 的前n项和 1 2 1 23 3 5 3 5 3 2 2 2 n n n n n n n S          ， 即 1 23 5 3 2 n n n n S      ............................................................15 分 17．（15 分）已知圆 C与 y轴相切，圆心在直线 1 0x y   上，且被 x轴截得的弦长为2 3． (1)求圆 C的方程； (2)已知直线 l过点  1, 3 ，圆 C上恰有三个点到直线 l的距离等于 1，求直线 l的方程． 【解析】（1）设圆 C 的标准方程为     2 2 2 0x a y b r r     ， ∵圆心 C 在直线 1 0x y   上， 1 0a b    ，①............................................................2 分 ∵圆 C 与 y轴相切， r a  ，②............................................................4 分 又∵圆 C 被 x轴截得的弦长为2 3， 2 23b r   ，③............................................................6 分 联立①②③解得， 2a  ， 1b   ， 2r  ， 圆 C 的方程为    2 22 1 4x y    ．............................................................7 分 （2）∵圆 C 上恰有三个点到直线 l的距离等于 1， 圆心 C 到直线 l的距离 1 1d r   ．............................................................9 分 当直线 l斜率不存在时，直线 l的方程为 1x  ， 圆心 C (2, 1) 到直线 l的距离为 1，符合题意；............................................................11 分 当直线 l斜率存在时，设直线 l的方程为  3 1y k x   ，即 3 0kx y k    ， 圆心 C 到直线 l的距离 2 2 2 1 3 2 1 1 1 k k k d k k          ，解得 3 4 k  ， 直线 l的方程为3 4 15 0x y   ． 综上，所求直线 l的方程为 1x  或3 4 15 0x y   ．............................................................15 分 18．（17 分）已知平面内两个定点 ( 2,0)A  ， (2,0)B ，满足直线PA与 PB的斜率之积为 1 4 的动点 P的轨迹为 曲线C，直线 l与曲线C交于不同两点 ,M N ； (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线 AM 和 AN的斜率之积为 1 12 ，求证：直线 l过定点； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 (3)若直线 l与直线 1 2: 2 0, : 2 0l x y l x y    分别交于 ,R S，求证： | | | |MR NS . 【解析】（1）设 ( , )( 2)P x y x   ，由题有 1 2 2 4 y y x x        ，化简得到 2 2 1 4 x y  ， 所以曲线C的轨迹方程为 2 2 1( 0) 4 x y y   .............................................................3 分 （2）因为直线 AM 和 AN的斜率之积为 1 12 ，所以直线 l的斜率存在， 设 :l y kx b  ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 由 2 2 1 4 x y y kx b        ，消 y 得到  2 2 2 11 4 8 4 4 0 2 k x kbx b k            ， 则 2 2 2 264 4(4 4)(1 4 ) 0k b b k      ， 2 1 2 1 22 2 8 4 4 , 1 4 1 4 kb b x x x x k k        ，............................................................6 分 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( 4 4) 8 4 1 2 2 2( ) 4 4 4 16 4 16 12AM AN y y kx b kx b k b k b b b k k k x x x x x x b kb k                        ， 化简整理得到 2 22 0k kb b   ，得到 2b k 或b k  ， 当 2b k 时， 2 ( 2)y kx k k x    ，直线过定点 ( 2,0) 与A 重合，不合题意， 当b k  ， ( 1)y kx k k x    ，直线过定点 (1,0)，所以直线 l过定点. ..........................10 分 （3）由（2）知 1 2 2 8 1 4 kb x x k    ， 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 1 4 b y y k x x b k       ， 所以MN 的中点坐标为 2 2 4 ( , ) 1 4 1 4 kb b k k  ，............................................................12 分 又易知直线 1 2: 2 0, : 2 0l x y l x y    是双曲线 2 2 1 4 x y  的渐近线，设 3 3 4 4( , ) ( , )R x y S x y, ， 由 2 0x y y kx b      ，得R的坐标为 2 ( , ) 1 2 1 2 b b k k    ， 由 2 0x y y kx b      ，得 S 的坐标为 2 ( , ) 1 2 1 2 b b k k  ， 得到RS 的中点坐标为 2 2 4 ( , ) 1 4 1 4 kb b k k  ，............................................................15 分 所以MN 的中点与RS 的中点重合，设中点为 P， 则 ,PR PS PM PN  ，从而有 | | | |MR NS .............................................................17 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 19．（17 分）如果数列 na 满足： 1 2 3 0na a a a     且  *1 2 3 1 3,na a a a n n      N ，则称数 列 na 为n阶“归化数列”．若数列 na 还满足：数列 na 项数有限为N ；则称数列 na 为“N 阶可控摇摆数 列”. (1)若某 6 阶“归化数列” na 是等比数列，写出该数列的各项； (2)若某 13 阶“归化数列” na 是等差数列，求该数列的通项公式； (3)已知数列 na 为“N 阶可控摇摆数列”，其前 n 项和为 nS ，且存在1 m N  ，使得 1 2 N i m i a S    ，探究： 数列 nS 能否为“N 阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 【解析】（1）设 1 2 3 4 5 6, , , , ,a a a a a a 成公比为q的等比数列，显然 1q  ， 则有 1 2 3 4 5 6 0a a a a a a      ，得 6 1(1 ) 0 1 a q q    ，解得 1q   ， 由 1 2 3 4 5 6 1a a a a a a      ，得 16 1a  ，解得 1 1 6 a   ， 所以数列 1 1 1 1 1 1 , , , , , 6 6 6 6 6 6    或 1 1 1 1 1 1 , , , , , 6 6 6 6 6 6    为所求 6 阶“归化数列”； ...........................3 分 （2）设等差数列 1 2 3 13, , , ,a a a a 的公差为d ，由 1 2 3 13 0a a a a     ， 所以 1 13 12 13 0 2 d a    ，所以 1 6 0a d  ，即 7 0a  ，............................................................5 分 当 0d  时，与归化数列的条件相矛盾，............................................................6 分 当 0d  时，则 1 2 6 7 1 , 0 2 a a a a      ， 所以 1 1 1 6 15 2 6 0 a d a d         ，即 1 1 7 1 42 a d        ， 所以  1 1 7 N , 13 7 42 42n n n a n n         ，............................................................8 分 当 0d  时，由 1 2 6 7 1 , 0 2 a a a a     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 所以 1 1 1 6 15 2 6 0 a d a d        ，即 1 1 7 1 42 a d        ， 所以  1 1 7 N , 13 7 42 42n n n a n n         ， 故  7 N , 13 42n n a n n     或  7 N , 13 42n n a n n      ；............................................................10 分 （3）不能，理由如下： 记 1 2 3, , , , Na a a a 中所有非负项之和为A ，负项之和为 B， 因为数列 na 为“N 阶可控摇摆数列”，则 0 1 A B A B      ，得 1 1 , 2 2 A B   ， 故  1 1 1,2,3, , 2 2n B S A n N       ，所以 1 2n S  ，............................................................13 分 若存在1 m N  ，使得 1 2 N i m i a S    ，即 1 2m S  ， 则 1 2 1 20, 0, , 0, 0, 0, , 0m m m Na a a a a a        ，且 1 2 1 2m m N a a a      ， 假设数列 nS 也为“N 阶可控摇摆数列”，记数列 nS 的前n项和为 nT ， 则 1 2 3 1 2m m T S S S S      ， 因为 1 2m S  ，所以 1 2 3 1 0mS S S S      ， 所以 1 2 3 1 1 0, 2m m a a a a a      ； 又 1 2 1 2m m N a a a      ，则 1 2, , , 0m m NS S S   ， 所以 1 2 3 1 2 3N NS S S S S S S S          ； 即 1 2 3 0NS S S S     与 1 2 3 1NS S S S     不能同时成立. 故数列 nS 不为“N 阶可控摇摆数列”. ............................................................17 分 学易金卷 精创试卷 #R 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 2 6 7 8 A A D C , B D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 10 11 AB ACD BC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 2V5 13.[-4.4] 14. 6;1440-15(n+3) 5 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【解析】(1)BC边过两点B(5,-4).C(0,-2) 故BC边的方程是2x+5y+10=0(0<x5). (2)设BC的中点为M(ab) 5+05 则a一: .9分 又BC边的中线过点A(-3.2). 所以BC边上.的中线所在直线的方程为10x+11y.80.............13分 16.(15分) 【解析】(1)设等比数列a.的公比为4,等差数列的公差为d; _ 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 fa+b=17 得 aq+b+d=17. 由{ $a-b=14, lq}-(b+2d)-14 [3q+d=14 #即{ 3^{-2d=17 $即 $译}+2$-15=0,解得$q=-5或$ =3$ 当q=-5时,a.<a,不满足a. 单调递增 当q=3时,a-.=2a.=6x3”-→0,满足{a.单调递增, 故q-3,所以a.=3”. 又3q+d=14,所以d=5, 所以b=3+5 n-1)=5n-2, 即数列a. 与数列b 的通项公式为a.=3,b.=5n-2.neN' (2)利用等比数列前,项和公式可得, 31-3)3*-3 数列a.的前7项和为二 72. 1-3 ..... 数列{b.)的前n项和为n(3+5n-2)5^{+n 2 ............4.1分.. 3- -3 5n2+n3-1-5n2-n-3 ) 所以数列a.-b的前项和S。=- 2 2 2 3- 1-5n-n-3 即S.二 # ...... 17.(15分) 【解析】(1)设圆C的标准方程为(x-a){}+(y-b)^{}=r^(r>0), ,圆心C在.x+-.-1-....-1.-.... .2分 ·圆C与y轴相切,:ra,②. 又·圆C被x轴截得的弦长为23,:.b+3=r2,③ 联立①②③解得,a=2,b=-1,=2; :圆C的方程为(x-2)+(y+1){=4. (2)·圆C上恰有三个点到直线1的距离等于1; -圆心C到直线7的距离d=r-1=1. .9分 原创精品资源学科网独家享有版权, D 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 当直线1斜率不存在时,直线1的方程为x=1; 圆心C(2.-D到直线7的距离为1,符合题意; -....... 当直线7斜率存在时,设直线/的方程为y+3=k{x-1),即x-y-k-3-0 2+1-k-3k-2 .圆心C到直线/的距离d= l2+1 2+1 4 :直线1的方程为3x-4v-15=0 综上,所求直线1的方程为x=1或3x-4y-15=0. 18.(17分) 所以直线/的斜率存在 设l:y=kx+b,M(x,y),N(x,y). 1. 消》得到(1-4^)x-8kbx-46-4-0({*1). -+b 则A=64kb}+4(4b}+4)1-4})>0, 8b -42-4 1-42 (.+b)(+b) #kk-__ (-46-4)+8k2b}+6-4b}}1 ×+2x+2xx+2(x+x)+4 -4-4+16/+4-16k 12' 化简整理得到2k^{}+b-b}=0,得到b=2k或b=-$k;$$ 当$=2k时,y=kx+2k-k(x+2),直线过定点(-2.0)与A重合,不合题意, 当$=-k,y=kx-k=k(x-1),直线过定点(1.0),所以直线/过定点 .........1..分.. 8kb 2 1-42}' 4bb 所以MN的中点坐标为( 1-4*1-4 设R(x..y)S(xy). (2) ☆ 1x+2y-0 ##y,得R的坐标为( n 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 [$r-2y=0 2b #b 由{ 得S的坐标为( #y=k+b'$ $1-2 '1-2k 4kb b 得到RS的中点坐标为( 1-4^'1-4} .......分 所以MN的中点与RS的中点重合,设中点为P. 则PR=PS,PM=PN,从而有|MR NS #### 19.(17分) 【解析】(1)设a,a,a,a.a.a.成公比为q的等比数列,显然q*l, 1- 111或- 111.11为所求6阶“归化数列”; 66-66-6# ............分. (2)设等差数列a,a,a,a:的公差为d,由a.+a.+a、++a;=0, 所以13a.+- 13x12d =0,所以a+6d=0,即a.=0. 2 当d=0时,与归化数列的条件相矛盾, 当d>0时,则a+a+...+a=- 1 .=0. [62+15-! 所以 2,即 1 +6d-0 1.n-1_n-7(ne N.n513), 2 所以a.=- 742 1 $6a+15-! 所以 2,即 +6d=0 -- 。 42 原创精品资源学科网独家享有版权, D 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 1n-1n-7(neN'.n$ 13). 所以a.= 742 42 (3)不能,理由如下: 记a,a,a,a.中所有非负项之和为A,负项之和为B, [A+B-0 因为数列a.为“N阶可控摇摆数列”,则 1 若存在15 V,使得&lal=2$。,即.-2 则a0, a , ,a0,a,0,ao..,a0,且a+..+a=- 1 2' 假设数列S.也为N阶可控摇摆数列”,记数列S.的前,项和为, 所以$=$=S=.=$=0. 所以a=a=a=.-a.=0,a= 所以$+$+$++5=S+S+S++S; 即S+S+S+.+S=0与$+$+S++$=1不能同时成立 故数列S.不为“N阶可控摇摆数列” -....17分 1n 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章数列+第2章平面解析几何初步+第3章圆锥曲线与方程。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 2．记为等差数列的前项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 6．已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 7．已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线：和圆：，则（    ） A．存在k使得直线与直线：垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线与之间的距离是 . 13．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 16．（15分）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且． (1)求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（15分）已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程． 18．（17分）已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； (3)若直线与直线分别交于，求证：. 19．（17分）如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”. (1)若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项； (2)若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，其前n项和为，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章数列+第2章平面解析几何初步+第3章圆锥曲线与方程。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．直线 1 0x y   的倾斜角为（ ） A． π 4 B． π 2 C． 3π 4 D． π 4 或 3π 4 2．记 nS 为等差数列 na 的前n项和．若 1 5 8a a  ， 3 4 24a a  ，则 6S （ ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．若 2 2 4 2 0x y x y m     表示圆的方程，则m的取值范围是（ ） A．  5, B．  ,5 C．  , 5  D．  5,  4．以椭圆 2 29 25 225x y  的焦点为焦点，离心率 2e  的双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 1 4 12   x y B． 2 2 1 12 4 x y   C． 2 2 1 20 4 x y   D． 2 2 1 4 20 x y   5．在正项等比数列 na 中， nS 为其前n项和，若 5 5S  ， 10 15S  ，则 15S 的值为（ ） A．30 B．35 C．40 D．75 6．已知两条直线 1 : 3 2 1 0l x y   和 2 : 2 1 0l ax y   相互垂直，则a （ ） A．2 B．3 C． 4 3 D． 4 3  7．已知实数 ,x y满足方程 2 2 2 0x y x   ，则 1 1 y x   的最大值是（ ） A． 3 4 B． 4 3 C．0 D． 1 2 8．已知 1F ， 2F 分别是椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点， 1PF 与 y 轴交于点M ．若 1OP OF ， 1 5 6 a MF  ，则椭圆E的离心率为（ ） A． 5 9 或 5 8 B． 3 2 或 1 2 C． 3 4 或 1 4 D． 5 3 或 10 4 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知数列 na 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A． 1 na       B． 1n na a  C．   2lg na D． 1n na a  10．已知直线 l： 2 1 0kx y k    和圆O： 2 2 8x y  ，则（ ） A．存在 k使得直线 l与直线 0l ： 2 0x y  垂直 B．直线 l恒过定点  2,1 C．直线 l与圆O相交 D．直线 l被圆O截得的最短弦长为2 3 11．在平面直角坐标系 xOy中，过拋物线 2: 4C y x 的焦点F 作直线 l交抛物线C于 ,A B两点，则（ ） A． AB 的最小值为 2 B．以线段 AF 为直径的圆与 y 轴相切 C． 1 1 1 FA FB   D． 0OA OB    第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．直线2 1 0x y   与2 1 0x y   之间的距离是 . 13．已知圆 1O ： 2 2 1x y  ，圆 2O ：    2 23 16x y a    ，如果这两个圆有公共点，则实数 a取值范围 是 . 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 24dm 20dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到12dm 20dm,24dm 10dm  两种规格的图形，它们的面积之 和 2 1 480dmS  ，对折 2 次共可以得到6dm 20dm ，12dm 10dm,24dm 5dm  三种规格的图形，它们的面积 之和 2 2 360dmS  ，以此类推，则对折 5 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次， 那么 1 n k k S   2dm ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知      3, 2 , 5, 4 , 0, 2A B C   ，在 ABC 中， (1)求 BC边的方程； (2)求 BC边上的中线所在直线的方程． 16．（15 分）已知数列 na 是单调递增的等比数列，数列 nb 是等差数列，且 1 1 2 2 3 33, 17, 14a b a b a b      ． (1)求数列 na 与数列 nb 的通项公式； (2)求数列 n na b 的前n项和 nS ． 17．（15 分）已知圆 C与 y轴相切，圆心在直线 1 0x y   上，且被 x轴截得的弦长为2 3． (1)求圆 C的方程； (2)已知直线 l过点  1, 3 ，圆 C上恰有三个点到直线 l的距离等于 1，求直线 l的方程． 18．（17 分）已知平面内两个定点 ( 2,0)A  ， (2,0)B ，满足直线PA与 PB的斜率之积为 1 4 的动点 P的轨迹为 曲线C，直线 l与曲线C交于不同两点 ,M N ； (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线 AM 和 AN的斜率之积为 1 12 ，求证：直线 l过定点； (3)若直线 l与直线 1 2: 2 0, : 2 0l x y l x y    分别交于 ,R S，求证： | | | |MR NS . 19．（17 分）如果数列 na 满足： 1 2 3 0na a a a     且  *1 2 3 1 3,na a a a n n      N ，则称数 列 na 为n阶“归化数列”．若数列 na 还满足：数列 na 项数有限为N ；则称数列 na 为“N 阶可控摇摆 数列”. (1)若某 6 阶“归化数列” na 是等比数列，写出该数列的各项； (2)若某 13 阶“归化数列” na 是等差数列，求该数列的通项公式； (3)已知数列 na 为“N 阶可控摇摆数列”，其前 n 项和为 nS ，且存在1 m N  ，使得 1 2 N i m i a S    ，探究： 数列 nS 能否为“N 阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第 1 章数列+第 2 章平面解析几何初步+第 3 章圆锥曲线与方 程。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．直线 1 0x y   的倾斜角为（ ） A． π 4 B． π 2 C． 3π 4 D． π 4 或 3π 4 2．记 nS 为等差数列 na 的前n项和．若 1 5 8a a  ， 3 4 24a a  ，则 6S （ ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．若 2 2 4 2 0x y x y m     表示圆的方程，则m的取值范围是（ ） A．  5, B．  ,5 C．  , 5  D．  5,  4．以椭圆 2 29 25 225x y  的焦点为焦点，离心率 2e  的双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 1 4 12   x y B． 2 2 1 12 4 x y   C． 2 2 1 20 4 x y   D． 2 2 1 4 20 x y   5．在正项等比数列 na 中， nS 为其前n项和，若 5 5S  ， 10 15S  ，则 15S 的值为（ ） A．30 B．35 C．40 D．75 6．已知两条直线 1 : 3 2 1 0l x y   和 2 : 2 1 0l ax y   相互垂直，则a （ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．2 B．3 C． 4 3 D． 4 3  7．已知实数 ,x y满足方程 2 2 2 0x y x   ，则 1 1 y x   的最大值是（ ） A． 3 4 B． 4 3 C．0 D． 1 2 8．已知 1F ， 2F 分别是椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点， 1PF 与 y 轴交于点M ．若 1OP OF ， 1 5 6 a MF  ，则椭圆E的离心率为（ ） A． 5 9 或 5 8 B． 3 2 或 1 2 C． 3 4 或 1 4 D． 5 3 或 10 4 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知数列 na 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A． 1 na       B． 1n na a  C．   2lg na D． 1n na a  10．已知直线 l： 2 1 0kx y k    和圆O： 2 2 8x y  ，则（ ） A．存在 k使得直线 l与直线 0l ： 2 0x y  垂直 B．直线 l恒过定点  2,1 C．直线 l与圆O相交 D．直线 l被圆O截得的最短弦长为2 3 11．在平面直角坐标系 xOy中，过拋物线 2: 4C y x 的焦点F 作直线 l交抛物线C于 ,A B两点，则（ ） A． AB 的最小值为 2 B．以线段 AF 为直径的圆与 y 轴相切 C． 1 1 1 FA FB   D． 0OA OB    第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．直线2 1 0x y   与2 1 0x y   之间的距离是 . 13．已知圆 1O ： 2 2 1x y  ，圆 2O ：    2 23 16x y a    ，如果这两个圆有公共点，则实数 a取值范围 是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 24dm 20dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到12dm 20dm,24dm 10dm  两种规格的图形，它们的面积之 和 2 1 480dmS  ，对折 2 次共可以得到6dm 20dm ，12dm 10dm,24dm 5dm  三种规格的图形，它们的面积之 和 2 2 360dmS  ，以此类推，则对折 5 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么 1 n k k S   2dm ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知      3, 2 , 5, 4 , 0, 2A B C   ，在 ABC 中， (1)求 BC边的方程； (2)求 BC边上的中线所在直线的方程． 16．（15 分）已知数列 na 是单调递增的等比数列，数列 nb 是等差数列，且 1 1 2 2 3 33, 17, 14a b a b a b      ． (1)求数列 na 与数列 nb 的通项公式； (2)求数列 n na b 的前n项和 nS ． 17．（15 分）已知圆 C与 y轴相切，圆心在直线 1 0x y   上，且被 x轴截得的弦长为2 3． (1)求圆 C的方程； (2)已知直线 l过点  1, 3 ，圆 C上恰有三个点到直线 l的距离等于 1，求直线 l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 18．（17 分）已知平面内两个定点 ( 2,0)A  ， (2,0)B ，满足直线PA与 PB的斜率之积为 1 4 的动点 P的轨迹为 曲线C，直线 l与曲线C交于不同两点 ,M N ； (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线 AM 和 AN的斜率之积为 1 12 ，求证：直线 l过定点； (3)若直线 l与直线 1 2: 2 0, : 2 0l x y l x y    分别交于 ,R S，求证： | | | |MR NS . 19．（17 分）如果数列 na 满足： 1 2 3 0na a a a     且  *1 2 3 1 3,na a a a n n      N ，则称数 列 na 为n阶“归化数列”．若数列 na 还满足：数列 na 项数有限为N ；则称数列 na 为“N 阶可控摇摆数 列”. (1)若某 6 阶“归化数列” na 是等比数列，写出该数列的各项； (2)若某 13 阶“归化数列” na 是等差数列，求该数列的通项公式； (3)已知数列 na 为“N 阶可控摇摆数列”，其前 n 项和为 nS ，且存在1 m N  ，使得 1 2 N i m i a S    ，探究： 数列 nS 能否为“N 阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章数列+第2章平面解析几何初步+第3章圆锥曲线与方程。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 2．记为等差数列的前项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 6．已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 7．已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线：和圆：，则（    ） A．存在k使得直线与直线：垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线与之间的距离是 . 13．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 16．（15分）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且． (1)求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（15分）已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程． 18．（17分）已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； (3)若直线与直线分别交于，求证：. 19．（17分）如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”. (1)若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项； (2)若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，其前n项和为，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章数列+第2章平面解析几何初步+第3章圆锥曲线与方程。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】直线可化为， 设倾斜角为，则.故选：A 2．记为等差数列的前项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【解析】由等差数列的性质得①， ②， 由①得，代入②得，解得，故， 故.故选：C 3．若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示一个圆，所以，解得， 所以的取值范围是.故选：D 4．以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆化为标准方程为， 焦点为，双曲线的半焦距， 离心率，， ， 双曲线的标准方程为．故选：A． 5．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 【答案】B 【解析】因为正项等比数列中，为其前项和， 则也是等比数列，即， 又，，所以，解得.故选：B. 6．已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】易知的斜率为， 的斜率为，所以；解得.故选：C 7．已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】的方程可化为， 它表示圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点与点的连线的斜率， 设过圆上点与点的直线方程为， 则圆心到直线的距离， 可得，即最大值为，故选：B. 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或．故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由题意知为等比数列，设其公比为q； 对于A，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； 对于B，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，当时，，数列不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，，数列不是等比数列，故D错误.故选：AB. 10．已知直线：和圆：，则（    ） A．存在k使得直线与直线：垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ACD 【解析】由题意可知：圆：的圆心为，半径， 对A：因为直线：的斜率为， 当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确； 对B：由可得，， 令，解得，所以直线恒过定点，故B错误； 对C：因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C正确； 对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确；故选：ACD. 11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【解析】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为， 所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误，故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线与之间的距离是 . 【答案】 【解析】易知直线与平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 13．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知，，则， 因为圆与圆有公共点，所以，即，解得， 所以实数a取值范围是. 故答案为：. 14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ． 【答案】； 【解析】第一空：由对折2次共可以得到，三种规格的图形， 所以对折三次的结果有：，，共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：，，， ，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：，，， ，，共6种不同规格； 第二空：由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为, 对于第次对折后的图形的规格形状种数为种，第次对折后的图形面积之和为， 则， ， 两式作差得： ， 因此. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【解析】（1）边过两点 由两点式，得，即，............................................................4分 故边的方程是．............................................................6分 （2）设的中点为， 则，，所以，............................................................9分 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为．............................................................13分 16．（15分）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且． (1)求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由得 即即，解得或．............................................................3分 当时，，不满足单调递增， 当时，，满足单调递增， 故，所以．............................................................6分 又，所以， 所以， 即数列与数列的通项公式为，.................................................8分 （2）利用等比数列前项和公式可得， 数列的前项和为，............................................................11分 数列的前项和为，............................................................14分 所以数列的前项和， 即............................................................15分 17．（15分）已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程． 【解析】（1）设圆C的标准方程为， ∵圆心C在直线上，，①............................................................2分 ∵圆C与y轴相切，，②............................................................4分 又∵圆C被x轴截得的弦长为，，③............................................................6分 联立①②③解得，，，， 圆C的方程为．............................................................7分 （2）∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1， 圆心C到直线l的距离．............................................................9分 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为， 圆心C到直线l的距离为1，符合题意；............................................................11分 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心C到直线l的距离，解得， 直线l的方程为． 综上，所求直线l的方程为或．............................................................15分 18．（17分）已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点； (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点； (3)若直线与直线分别交于，求证：. 【解析】（1）设，由题有，化简得到， 所以曲线的轨迹方程为.............................................................3分 （2）因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在， 设，，， 由，消得到， 则， ，............................................................6分 ， 化简整理得到，得到或， 当时，，直线过定点与重合，不合题意， 当，，直线过定点，所以直线过定点. ..........................10分 （3）由（2）知，， 所以的中点坐标为，............................................................12分 又易知直线是双曲线的渐近线，设， 由，得的坐标为， 由，得的坐标为， 得到的中点坐标为，............................................................15分 所以的中点与的中点重合，设中点为， 则，从而有.............................................................17分 19．（17分）如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”. (1)若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项； (2)若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，其前n项和为，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 【解析】（1）设成公比为的等比数列，显然， 则有，得，解得， 由，得，解得， 所以数列或为所求6阶“归化数列”； ...........................3分 （2）设等差数列的公差为，由， 所以，所以，即，............................................................5分 当时，与归化数列的条件相矛盾，............................................................6分 当时，则， 所以，即， 所以，............................................................8分 当时，由， 所以，即， 所以， 故或；............................................................10分 （3）不能，理由如下： 记中所有非负项之和为，负项之和为， 因为数列为“阶可控摇摆数列”，则，得， 故，所以，............................................................13分 若存在，使得，即， 则，且， 假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为， 则， 因为，所以， 所以； 又，则， 所以； 即与不能同时成立. 故数列不为“阶可控摇摆数列”. ............................................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！