专题09 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题09 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“母子”模型(共边角模型) 2 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8 类型三、“K”字模型（相似模型） 13 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 模型1.“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 模型2.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 模型3.“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 压轴题型讲练 类型一、“母子”模型(共边角模型) 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【变式训练2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式训练3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 例题：【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 类型三、“K”字模型（相似模型） 例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在中，，，，于点D，则的值为（    ） A． B．5 C．4 D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中 ，是边上一动点（不与点重合），，交于点E， 下列结论：①；②；③当时，；④为直角三角形时，或者6.25．其中正确的结论有（　     　） 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，若，则．横线上应填入 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ． 6．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，点题上一点，．求的长． 8．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，矩形中，为CD边上的动点，当与相似时，求长． 9．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，为正三角形，分别为上的点（不在顶点），． (1)求证：； (2)若正的边长为6，，求的长． 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 12．（2024·湖北·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的内部，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)延长交直线于点． ①如图2，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； ②如图3，当点为线段中点，且时，猜想的度数并说明理由． 13．（2024·江西南昌·模拟预测）问题情景 如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得到线段，连接，，． (1)观察猜想 如图①，当时，线段，之间的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，当时，请写出线段，之间的数量关系并仅就图②的情形说明理由； (3)拓展应用 点P是的中点，若，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 15．（23-24九年级上·河南·期中）（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）问题提出 如图，已知点是菱形边上一点，是等腰三角形，且，，交于点探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图，求与的数量关系． 问题拓展 （3）将图特殊化，如图，当，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“母子”模型(共边角模型) 2 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8 类型三、“K”字模型（相似模型） 13 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 模型1.“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 模型2.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 模型3.“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 压轴题型讲练 类型一、“母子”模型(共边角模型) 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【详解】（1）证：平分 ， （2）解： 即 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出． （2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 【变式训练3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或8 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可； （2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”； （3）根据题意分两种情况分析：和，结合图形，利用等角对等边及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”， 故答案为：是； ②∵是“准直角三角形”，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”． （3）∵，，， ∴， ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 综上可得：的长为或8． 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 例题：【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 类型三、“K”字模型（相似模型） 例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在中，，，，于点D，则的值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证，则可得，由此即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 解得：． 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积的面积为， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选． 3．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中 ，是边上一动点（不与点重合），，交于点E， 下列结论：①；②；③当时，；④为直角三角形时，或者6.25．其中正确的结论有（　     　） 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】如图1：在线段上取点F，使，连接，易证进而可得即可判定①；结合①的结论可得，再确定的范围为，进而得到，即②正确；分两种情况：当时，可证明结论正确，当时，结论不成立；故③错误；为直角三角形，可分两种情况或分别讨论求解即可④． 【详解】解：如图1，在线段上取点F，使，连接，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，故①正确； ∴， 当时，由勾股定理可得： ， ∴， ∴，即，故②正确； 如图2，作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或，或， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 但与显然不是全等形，故③不正确； 如图3， ， ∴， ∴， ∴， 如图4，于D，于H， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形判定和性质、动点问题和分类讨论思想等知识点；掌握动点问题和分类讨论思想是解题的关键． 二、填空题 4．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，若，则．横线上应填入 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质和相似三角形顶点的对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案是：． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，，．经过点A 的直线交边于点D，在这个图形中，如果以为一边的三角形与相似，那么的长为 ． 【答案】 或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键；分两种情况讨论，当时，，当时，，再分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为 或， 故答案为： 或． 6．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 【答案】或20 【知识点】等边对等角、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 三、解答题 7．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，点题上一点，．求的长． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由，可得，即可得，据此可得，再利用线段的和差关系即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，矩形中，为CD边上的动点，当与相似时，求长． 【答案】或1或4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质．分类讨论是解题的关键. 设，利用矩形的性质得到，，，则根据相似三角形的判定方法，当时，∽，；当时，∽，即，然后分别解方程即可． 【详解】解：设，     ∵四边形为矩形， ∴，，， ， ∴当时， 即，解得； 当时， 即，解得：，， 综上所述，的长为或1或4． 9．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键． （1）利用“一线三直角”即可证明； （2）由，求出和的长，利用求出的长度，再由求出的长度，即可求出的长． 【详解】（1）解： 四边形为正方形， ， ， ， ， ∴； （2）解：四边形为正方形， ，， ， ， 设， ∵， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，为正三角形，分别为上的点（不在顶点），． (1)求证：； (2)若正的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）结合等边三角形的性质和三角形外角的性质可得，，即可证明结论； （2）首先根据题意可知，再结合可得，然后代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵为正三角形， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵正的边长为6，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可； （2）证明，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使，连接， ∵为边的中线 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2024·湖北·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在的内部，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． (1)判断线段与的数量关系并给出证明； (2)延长交直线于点． ①如图2，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； ②如图3，当点为线段中点，且时，猜想的度数并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②，见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质可得，，再根据旋转性质可得，，即可得出，然后根据“边角边”证明，最后根据“全等三角形的对应边相等”可得答案； 对于（2）①，先由（1）得：，，，再根据等边三角形的性质得，再根据得出答案； ②连接，作，根据等边三角形的性质可得，及，可证明，即可得，，进而得出，接下来证明，可得，然后由（1）得：，可得，即可得出答案. 【详解】（1），理由如下： 是等边三角形， ，， 是由绕点逆时针旋转得到的， ，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①由（1）得：，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②如图， ，理由如下： 连接，作于， ， 是的中点，是等边三角形，是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等（相似）三角形是解题的关键． 13．（2024·江西南昌·模拟预测）问题情景 如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得到线段，连接，，． (1)观察猜想 如图①，当时，线段，之间的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，当时，请写出线段，之间的数量关系并仅就图②的情形说明理由； (3)拓展应用 点P是的中点，若，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据等边对等角证明、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）可得出，从而得出 从而得出 ； （2）可得出，从而得出 从而得出 ； （3）当点在的延长线上时，可得出从而从而得出可求得 进一步得出结果； 同样得出当点在上时的情形. 【详解】（1） 理由如下： 如图， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 理由如下： 过点作于点， ， ，， ∴， ∴，即， 同理可得，， ， ， ， ； （3）如图， ∵点是的中点， ， ， ， ， 当点在的延长线上时， 同理（2）可得， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时 (图中此时 ， 综上所述： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是分类讨论. 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 15．（23-24九年级上·河南·期中）（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；② 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则 ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）问题提出 如图，已知点是菱形边上一点，是等腰三角形，且，，交于点探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图，求与的数量关系． 问题拓展 （3）将图特殊化，如图，当，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过证明求出，再同（2）构造全等三角形得到 ，再解直角三角形求出，进而求出即可解出． 【详解】（1）解：过点F作交延长线于H，如图所示： ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ， ． ， 即； （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，如图所示： 设菱形的边长为， ， ， ∵四边形为菱形， ∴，， 在中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴由（2）知，． ， ， ，即， ， 如图，在上截取，使，连接，作于点O， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$