专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2 类型二、同向双“A”字模型 7 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 13 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 16 压轴能力测评（15题） 22 解题知识必备 1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 压轴题型讲练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 例题：（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若与相似，求的值； 【变式训练1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，已知中，，，，，求的长．    【变式训练2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【变式训练3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 类型二、同向双“A”字模型 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【变式训练2】（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【变式训练3】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：． （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，是的中点，过点作，交于点，则与四边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在正方形中，点 E 为 上一点，连接 交于点F，延长交 的延长线于点 G，若，则 的长为(    ) A． B． C． D．2 5．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，若，且，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ． 8．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点在线段上，点为对角线与的交点．若，则与的面积之比为 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 12．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求的面积． 13．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，点D在边上，E是线段的中点，过A作，交线段的延长线于F，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设交于点G，H是线段的中点，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中四个面积等于面积3倍的三角形． 15．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，，与相交于点，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接，求证：． 16．（2024·贵州贵阳·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长； 类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点． ①求出与的位置关系，并说明理由； ②若，，求的长； 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2 类型二、同向双“A”字模型 7 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 13 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 16 压轴能力测评（15题） 22 解题知识必备 1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 压轴题型讲练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 例题：（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若与相似，求的值； 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 【详解】解：，，， ， 动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为， ，，， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 或时，与相似． 【变式训练1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，已知中，，，，，求的长．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，得出，代入计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式训练2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出； （2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【变式训练3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 类型二、同向双“A”字模型 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 【变式训练2】（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【答案】解决问题：详见解析； 归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． 应用： 【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心． [解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证． [归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解． 【详解】[解决问题]证明：连接，如图， ∵、分别是边、的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． [归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]解：如图，过点作交于H．交于N． ， ， ， ∴，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：． （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解直角三角形等知识． （1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）证明，则，得到，，则是等腰三角形，由（1）得，即可证明； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形， 由（1）得， ∴， （3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）同理可得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ； （2）， 四边形的面积为48 ∵ ∴ ∴，即 解得． 【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，中，是的中点，过点作，交于点，则与四边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明并且根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出与的面积比是解题的关键．设的面积为，由证明，再由是的中点证明与的面积的比为，再用含的式子分别表示的面积与四边形的面积，再求出它们的比即可得到问题的答案． 【详解】解：如图，设的面积为， 是的中点， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 与四边形的面积比是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由平行四边形，得到，，进而得到，， ，，结合，，，代入，即可求解， 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴，，即：， ∵，，， ∴，解得：， 故选：C． 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在正方形中，点 E 为 上一点，连接 交于点F，延长交 的延长线于点 G，若，则 的长为(    ) A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查的是正方形的性质、勾股定理、相似三角形判定与性质，先求出，进而求出，证明即可求出结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在中，， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、根据三角形中线求面积、根据等边对等角证明 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ， ， ， ， ， 点为的中点 ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，若，且，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出，，得即可作答．本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，结合可证明，再证明，由相似三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点在线段上，点为对角线与的交点．若，则与的面积之比为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质证明，根据相似三角形的性质得出，继而得出，，设，则，，，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴，， 设，则，，， ∴， ∴与的面积之比为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线；过E作交于F，由平行线分线段成比例可得，再根据相似三角形的判定和性质可得，再根据全等三角形的判定和性质得，再根据三角形面积关系求解即可． 【详解】解：过E作交于F， 是的中线， ， ， ,, ，, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ． 【答案】16 【知识点】几何体展开图的认识、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正方体展开图．由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】如图： 由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，， ，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：16． 三、解答题 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由证明因为得出，再代入数值到，进行计算，即可作答． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，因为，所以，再整理出，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； （2）解：如图：过点D作， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∵， ∴． 12．（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形，理解并掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可证，根据及相似的性质即可求解； （2）根据，，可证，且，可得的值，再根据面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，设，则， ∴，且， ∴， ∴， ∴线段的长为． （2）解：∵， ∴，， ∴，且，， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 13．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，． (1)求与的周长之比； (2)若求． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）由是平行四边形，得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴, ， ∴ ∴与周长的比等于相似比等于． （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，点D在边上，E是线段的中点，过A作，交线段的延长线于F，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设交于点G，H是线段的中点，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中四个面积等于面积3倍的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据中点定义得出, 根据平行线的性质得出, 即可证明, 根据平行四边形的性质得出, 即可求证； （2）通过证明,得出, 则, 推出 通过证明四边形是平行四边形，得出根据, 得出，即可得出结论. 【详解】（1）解：证明: ∵是线段的中点, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴； （2）解: 由(1) 可得：, 则, ∵, ∴, ∴, ， ,, ∴,, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵, ∴， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中线的性质，解题的关键是关键是掌握全等三角形对应边相等，相似三角形对应边成比例. 15．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，，与相交于点，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题 【分析】（1）先证，得出，再证得，即可得出结论； （2）由（1）得，由可得，得，即，解出的长即可； （3）在线段上取点，使得，连接，先证明，得出，，再证得为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 解之得（负值舍去） （3）证明：如图，在线段上取点，使得，连接， 在与中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，在线段上截取，证得是解题的关键． 16．（2024·贵州贵阳·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长； 类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点． ①求出与的位置关系，并说明理由； ②若，，求的长； 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值． 【答案】（1）3；（2）①，理由见解析；②16；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）过点作，交延长线于点，设交于点，易得四边形是平行四边形，，在中，由求解即可； （2）①结合角平分线的定义可知，，再根据平行四边形的性质可得，进而可得，然后证明，易得，即可证明；②过点作，交于点，交于点，证明为等腰三角形，进而可得，，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，证明，易得，在中，由勾股定理解得的值，然后由即可获得答案； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点，易得四边形是矩形，首先证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，设，，则，，结合，，可列二元一次方程组并求解，进而可得，，，；证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质证明，可得，结合，即可解得的值． 【详解】解：（1）如下图，过点作，交延长线于点，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 在中，； （2）①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； ②如下图，过点作，交于点，交于点， ∵，由①知， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，则， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）如下图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵，， ∴，， 联立，解得， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造平行四边形和矩形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$