专题07 比例的性质与平行线分线段成比例的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题07 比例的性质与平行线分线段成比例的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用比例的性质求解 2 类型二、由平行判断成比例的线段 5 类型三、由平行截线求相关线段的长 8 类型四、由平行截线求相关线段的比值 11 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1. 比例的性质 基本性质：若，则；反之，也成立。 合比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 3. 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 压轴题型讲练 类型一、利用比例的性质求解 例题：（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【变式训练2】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）求值： (1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 类型二、由平行判断成比例的线段 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 类型三、由平行截线求相关线段的长 例题：（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．    (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 类型四、由平行截线求相关线段的比值 例题：（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【变式训练1】（2024·云南·模拟预测）如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（2024·广东·模拟预测）如题图．在中．，若 则 的值为（       ） A．3 B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（    ） A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m 二、填空题 6．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，那么等于 ． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 8．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是 ． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，，若，则的值为 ．    三、解答题 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，求的长． 12．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 13．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 15．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 比例的性质与平行线分线段成比例的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用比例的性质求解 2 类型二、由平行判断成比例的线段 5 类型三、由平行截线求相关线段的长 8 类型四、由平行截线求相关线段的比值 11 压轴能力测评（16题） 15 解题知识必备 1. 比例的性质 基本性质：若，则；反之，也成立。 合比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 3. 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 压轴题型讲练 类型一、利用比例的性质求解 例题：（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【答案】（1）；（2）1或 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，k的值为1或． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键． （1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果； （2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长． 【详解】（1）解：由已知条件知： ， 设，则， （2）由（1）设，则， ， 得 ，，． 【变式训练2】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）求值： (1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． （1）先由，可设，进而代入待求式中计算即可； （2）先由，且，得，再代入所求的式子中计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴ ； （2）解：∵，且， ∴, ∴ ． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 类型二、由平行判断成比例的线段 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练1】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 类型三、由平行截线求相关线段的长 例题：（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【答案】, 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．    (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 类型四、由平行截线求相关线段的比值 例题：（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·云南·模拟预测）如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）如题图．在中．，若 则 的值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 4．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（    ） A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两条直线截一组平行线，截得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选C 二、填空题 6．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，那么等于 ． 【答案】/0.5 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题关键．根据，可设，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 8．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中）的值是 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 设，则，代入原式化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 设， 则， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到等式，计算即可． 【详解】解：过点作，交于， 则，， ， ， ． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，，若，则的值为 ．    【答案】/0.5 【知识点】由平行判断成比例的线段、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】过D作于E，交于F，设，，利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明，，再证，推出，根据推出，进而可证． 【详解】解：过D作于E，交于F，    设，， ∴， ∵， ∴， 在和中，由三角形内角和定理可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴F是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等，正确作出辅助线，证明是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，求的长． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 12．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 13．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 15．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理． （1）如图2，过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长． 【详解】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于， ，，， ， ， ， ； （2）解：如图3，，，， ， 平分， ，即， ， ， 的周长． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】角平分线的性质定理、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、矩形的折叠等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由底不等高相等的三角形可得，作于点E，于点F，由角平分线性质得到，由三角形面积公式可得，即可得到结论； （2）①连接，求出，证明平分，由（1）的结论可知，，代入数值即可得到答案；②推导出，四边形是矩形，则，，求出，得到，由勾股定理求出，由即可得到答案． 【详解】（1）证明：显然， 作于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 即平分， 由（1）的结论可知，， ∴， 解得 ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，，垂直平分， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 解得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$