专题05 与二次函数有关的压轴题（2大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题05 与二次函数有关的压轴题 二次函数与实际问题 1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）某水果超市经销一种水果，售价每千克元．每千克盈利元，每天可售出千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价元，日销售量将减少千克．规定每千克涨价不能超过元． (1)该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ (2)超市决定每卖出千克捐赠元（）给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求的取值范围． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 二次函数中生二次函数 1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为，用含有的代数式表示线段的长． 2．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图①，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．P是抛物线上的一个动点，过点P作轴于点H，交直线于点Q．设点P的横坐标为m，的长为d． (1)求抛物线的表达式； (2)求d与m之间的函数关系式； (3)当点P在直线下方，且时，求m的值． 二次函数中的将军饮马型最值问题 1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．    (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)求点A和点B的坐标； (3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 2．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 3．（22-23九年级下·安徽淮南·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 4．（23-24九年级上·天津宁河·期中）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式和顶点 D的坐标； (2)在y轴上确定点M， 使的周长最小，求出此时点 M 的坐标； (3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象其余部分不变，得到一个新图象，当新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值为 ． 二次函数中面积最值问题 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 3．（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·重庆云阳·期中）如图，已知，抛物线经过点、点，且交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，P为抛物线对称轴上的一点，N是新抛物线上的动点，M点坐标为（2）中所求坐标，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标． 二次函数中其他综合性问题 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求点E的坐标； (2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P在直线的上方时， ①当的长最大时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 与二次函数有关的压轴题 二次函数与实际问题 1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）某水果超市经销一种水果，售价每千克元．每千克盈利元，每天可售出千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价元，日销售量将减少千克．规定每千克涨价不能超过元． (1)该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ (2)超市决定每卖出千克捐赠元（）给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求的取值范围． 【答案】(1)每千克应涨价元； (2)． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（）根据题意设每千克应涨价元（），根据总盈余每千克盈余数量列方程，即可求解； （）由题意设每千克涨价元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为元，进而根据结合函数开口向下，对称轴在的右侧即可得出的取值范围； 本题考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意找到题目中的等量关系并列出方程求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设每千克应涨价元， 由题意得：， 解得：，， ∵， ∴， 答：每千克应涨价元； （2）解：设每千克涨价元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， ∵当时，随的增大而增大，且， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案； （3）依题意，记扣除捐赠后的利润为，则，则，开口向下，对称轴，结合题意，列式，即可作答． 本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： ， 解得， ； （2）解：根据题意得：， ， 时，取最大值，最大值为， 答：，第一年年利润的最大值时万元； （3）解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ ∴ 二次函数中生二次函数 1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为，用含有的代数式表示线段的长． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）根据已知抛物线经过点和点代入即可求解；（）求出坐标及解析式，根据过点作轴的平行线交直线于点，即可用含的代数式表示出和的坐标，进而求解； 本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线经过点和点，与轴相交于点， ∴， ∴，即， ∴抛物线解析式为； （2）由可知，对称轴为直线，点， 设直线解析式， 将点、代入解析式， 则 ，解得：， ∴直线解析式， 设， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图①，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．P是抛物线上的一个动点，过点P作轴于点H，交直线于点Q．设点P的横坐标为m，的长为d． (1)求抛物线的表达式； (2)求d与m之间的函数关系式； (3)当点P在直线下方，且时，求m的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】 本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，平行坐标轴的直线上两点之间的距离公式，分类讨论，是解决问题的关键． （1）将点与点代入，解方程组，求出b、c的值，即得； （2）求出，再求出直线的解析式，写出， ，分点P在直线的下方或上，或点P在直线的上方两种情况推出d与m之间的函数关系式； （3）根据点P在直线下方，得到，，根据建立方程，求出m的值即可，舍去不合题意的m值． 【详解】（1） ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2） ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴ ， 设直线的解析式为，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，， 由题意得，， ， 分两种情况： ①当点P在直线的下方或上时， ； ②当点P在直线的上方时， ， ∴； （3） ∵点P在直线下方， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，或 (舍去)． ∴． 二次函数中的将军饮马型最值问题 1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．    (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)求点A和点B的坐标； (3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)点坐标为点坐标为 (3)点坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解； （2）令，求出x的值即可求解； （3）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解； 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， ∴； （2）对于，令，则， 解得， ∴点坐标为点坐标为； （3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点点A，连接，交对称轴于点，如图1，    ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，则点即为所求； 设直线的关系式为：，把代入 得： 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点坐标为 2．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； （3）解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 3．（22-23九年级下·安徽淮南·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)P的坐标为：，，， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a，b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线的解析式；把B、C两点的坐标代入直线，解方程组求出m和n的值即可得到直线的解析式； （2）当点M在直线上时，根据抛物线的对称性， ，值最小．把代入直线得到y的值，即可求出点M坐标； （3）设，根据，，得到，，，分点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，三种情况讨论求出t值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则, 解得，，或（舍去）， ∴， ∵直线经过B，C两点， ∴， 解得，， ∴直线解析式为：； （2）解：∵点A与点B关于对称轴对称， ∴当点M在直线上时，，值最小， 把代入直线解析式， 得，， ∴点M的坐标为：； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， ①若点B为直角顶点，， ∴， 解之得，； ②若点C为直角顶点，， ∴， 解之得，； ③若点P为直角顶点，， ∴， 解之得，，． 综上所述，P的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数的图象与性质，轴对称线段和最小，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 4．（23-24九年级上·天津宁河·期中）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式和顶点 D的坐标； (2)在y轴上确定点M， 使的周长最小，求出此时点 M 的坐标； (3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象其余部分不变，得到一个新图象，当新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值为 ． 【答案】(1)二次函数为 ， (2)点M 的坐标为 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质： （1）把，两点代入，求出的值，得抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标即可； （2）由于点D，B坐标已知，得是定值，要使的周长最小，则最小，作点B关于为由的对称点，连接交轴于点，此时最小，求出的解析式即可得出点的坐标； （3）先求出翻折后的图象解析式，联立方程，求出的值，再结合图象求出直线过点B时的值，从而可确定新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点， ∴把，两点代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接与交于点，连接此时的周长最小，    ∵关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为v； （3）解：把抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方后，顶点坐标为 由，可设翻折后的解析式为，    把顶点坐标代入得，， 解得，， ∴， 当翻折后的抛物线与直线相切时，直线与新图象有三个公共点， ∴ 整理得， ∴， 解得，； 当直线经过点时，即，与新图形有3个公共点 经过点时，直线与新图形有3个公共点， 所以，当时，新图象与直线恰有三个公共点， 综上所述，当新图象与直线恰有三个公共点时，则b的值为或， 故答案为：或 二次函数中面积最值问题 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为； (2)的面积的最大值为，点P的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，用到了待定系数法、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据题意设函数解析式为，代入点求出即可得到抛物线的解析式，设一次函数解析式为代入点，求出k、b的值即可得到直线l的解析式； （2）过点P作轴交于点K．设，则，得到，即当的值最大时，的面积最大．求出长度的二次函数表达式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵直线l经过， 设直线l的解析式为， 则， 解得， ∴直线l的解析式为． （2）如图所示，过点P作轴交于点K．    设，则． ∵， ∴当的值最大时，的面积最大． ， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 则此时． 当时，， ∴的面积的最大值为，点P的坐标为)． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)，当时，S有最大值，为2 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于m的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． （1）根据一次函数表达式可得M、N点坐标，根据待定系数法可得函数解析式； （2）连接，得，根据割补法表示面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． （3）设，得出及，由相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，可得G点坐标； 【详解】（1）解：在中，当时，； 当时； ∴，， 把，代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ∵点G的坐标为， ∴ ， ∴S关于n的函数关系式为； ∵， ∴当时，S有最大值，为2； （3）设， 则， ∴， ∵F为线段的中点， ∴， ∵以为半径的与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴G点的坐标为． 3．（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或或． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出直线的函数解析式为，过点作轴，交于点，交轴于点，设，则，可得，得到当时，有最大值，又得，可知当时，四边形面积的最大，代入计算即可求解； （）分点在轴上方和下方两种情况，画出图性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由得，，， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， ∴， ∴直线的函数解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形面积的最大， 此时，；    （3）解：存在． ①如图，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，则四边形为平行四边形， ∵， 把代入得，， 解得，， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点， 当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴，； 综上，点的坐标为或或． 4．（23-24九年级上·重庆云阳·期中）如图，已知，抛物线经过点、点，且交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，P为抛物线对称轴上的一点，N是新抛物线上的动点，M点坐标为（2）中所求坐标，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为2，此时点M的坐标为 (3)，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，是解题的关键． （1）把点、点代入，求出b和c的值，即可得出抛物线解析式； （2）过点M作y轴的平行线，交于点D，用待定系数法求出直线的函数解析式为，设，则，得出，再根据的面积，结合二次函数的性质，即可解答； （3）先根据二次函数的平移规则，得出，设，，根据平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式，进行分类讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时． 【详解】（1）解：把点、点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点M作y轴的平行线，交于点D， 设直线的函数解析式为， 把点、点代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积， ∵， ∴当时，的面积有最大值2， 此时； （3）解：∵y向右平移2个单位长度得到抛物线，， ∴， 则的对称轴为直线， 设，， ①当为对角线时， ， 解得：， ∴， ②当为对角线时， ， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得：， ∴， 综上：点N的坐标为，，． 二次函数中其他综合性问题 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求点E的坐标； (2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入，即可得解析式，配成顶点式得坐标； （2）连接，，设，的垂直平分线恰好经过点，可得，据此列出方程即可求解； （3）设交抛物线的对称轴于点，设，则，设直线的解析式为，则，解得 求出，，由面积公式可求出的值，则可得出答案． 【详解】（1）将，代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标； （2）如图1.1，图1.2，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得． 设， ，由勾股定理可得： ， 解得， 满足条件的点的坐标为 或； （3）如图2，设交抛物线的对称轴于点， 设，则，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ， 当时，， ，， ， ， 解得或， 当 时，，当 时，． 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P在直线的上方时， ①当的长最大时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）设二次函数的解析式为，根据二次函数的图象经过点、和原点O．利用待定系数法求解，即可解题； （2）①设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意表示出点P的坐标为，点C的坐标为，得到，利用二次函数的最值得到的长最大时，的取值，即可得到点P的坐标； ②根据，得到，建立关于的等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点、和原点O． ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 过点P作x轴的垂线，垂足为， 点P的坐标为，点C的坐标为， ， 当时，的长最大，即有， ； ②当时， 即， ， ， 解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，以及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、解一元二次方程等知识．注意待定系数法的应用和用m表示出的长是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$