专题02 分式与分式方程（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）八年级数学上学期鲁教版五四制

清单02 分式与分式方程（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【清单02】分式方程的解】 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【清单03】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【清单04】换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 【清单05】分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【清单06】由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【清单07】分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【考点题型一】分式的判定 【例1】1．在式子：，，，，中，分式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列各式，，，，，，，中，分式共有（       ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】下列判断错误的是（     ） A．代数式是分式 B．当时，分式的值为 C．当时，分式有意义 D． 【考点题型二】分式有意义及无意义的条件 【例2】要使分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】对于分式  ，下列说法错误的是（     ） A．不论x 取何值，分式都有意义 B．分式的值大于0 C．不论x 取何值，分式的值都不为0 D．当或时，分式无意义 【变式2-3】若分式无意义，则x的值为（　　） A．2或 B．0 C．2 D． 【变式2-4】按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 【变式2-5】已知分式，当 时，分式无意义，当 时，分式值为0，当 时分式有意义． 【考点题型三】分式值为0的条件 【例3】若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式3-1】根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【变式3-2】若分式，则 x= ． 【变式3-3】若分式 的值为零，那么x的值为 ． 【变式3-4】当 时，分式的值为0． 【考点题型四】利用分式基本性质判断分式值的变化 【例4】将分式中的都变为原来的3倍，那么分式的值变为原来的（       ） A．倍 B．3倍 C．不变 D．倍 【变式4-1】若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 【变式4-3】把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（　　） A．为原分式值的 B．为原分式值的 C．为原分式值的10倍 D．不变 【变式4-4】如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则的内容可能是（　　） A．4 B． C． D．9 【变式4-5】把分式中的x，y值同时扩大3倍，那么分式的值（     ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．无法确定 【考点题型五】分式的乘除混合运算 【例5】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】若计算分式的结果为整式，则中的式子可以是（     ） A． B． C． D． 【变式5-4】如果，那么分式的值是 ． 【变式5-5】分式计算： (1)； (2)． 【考点题型六】含乘方的分式乘除混合运算 【例6】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】化简，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】计算：的结果是（　　 ） A．－ B． C．－ D． 【变式6-4】计算∶= ． 【变式6-5】计算： (1)； (2)． 【考点题型七】分式加减混合运算 【例7】已知的三边长分别为，且，则一定是（     ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【变式7-1】已知，，用含的代数式表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】化简的结果是 【变式7-3】（1）计算：． （2）化简：． 【变式7-4】探究性问题： ，，，…． (1)________． (2)根据以上规律计算：． 【变式7-5】计算：． 【考点题型八】分式的综合运算 【例8】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】一块麦田有，甲收完这块麦田需要，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要（     ）小时． A． B． C． D． 【变式8-2】已知，， 则P与Q 的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式8-3】计算的结果是 ． 【变式8-4】化简的结果为 ． 【变式8-5】计算： (1)； (2)． 【考点题型九】分式的化简求值 【例9】先化简，后求值：，其中． 【变式9-1】先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 【变式9-2】先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值． 【变式9-3】先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【变式9-4】先化简然后选择一个喜欢的数代入求值． 【变式9-5】先化简，再求值：，其中，． 【考点题型十】分式方程 【例10】下列式子中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】若分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知是分式方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】若关于x的方程产生增根，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．0 【变式10-4】已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式10-5】解方程：． 【考点题型十一】分式方程的应用 【例11】车间准备加工个零件，在加工了个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的倍，结果共用天完成了任务．若设该车间原来每天加工个零件，则由题意可列出方程（      ） A． B． C． D． 【变式11-1】张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ． 【变式11-2】某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 【变式11-3】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【变式11-4】某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【变式11-5】近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 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（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【清单06】由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【清单07】分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【考点题型一】分式的判定 【例1】1．在式子：，，，，中，分式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：在式子：，，，，中，分式有，，，共3个， 故选：C． 【变式1-1】下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子、是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，，，中，其中分式有，，共2个， 故选：B 【变式1-2】下列各式，，，，，，，中，分式共有（       ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，，，，中，是分式的有，，，，，， 一共有6个分式， 故选：B． 【变式1-3】下列判断错误的是（     ） A．代数式是分式 B．当时，分式的值为 C．当时，分式有意义 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质等知识点，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 代数式是分式，正确，故选项不符合题意； B. 当时，分式没有意义，错误，故选项符合题意； C. 当时，分式有意义，正确，故选项不符合题意； D. ，正确，故选项不符合题意； 故选：． 【考点题型二】分式有意义及无意义的条件 【例2】要使分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据“分式有意义，则分母不为零”列式求解即可． 【详解】根据题意得：， ， 故选：A． 【变式2-1】函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-2】对于分式  ，下列说法错误的是（     ） A．不论x 取何值，分式都有意义 B．分式的值大于0 C．不论x 取何值，分式的值都不为0 D．当或时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是熟知分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件判断即可求解． 【详解】∵，， 无论x取何值，、都为正数， 故无论x取何值，分式都有意义，且分式的值为正数，不为0， 故A、B、C说法正确，D说法错误， 故选：D． 【变式2-3】若分式无意义，则x的值为（　　） A．2或 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-4】按要求填空． （1）分式有意义时，的取值范围是 ． （2）分式无意义时，的值是 ． （3）分式的值为0时， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了分式有意义、分式无意义的条件及分式值为零的条件，熟知它们的特征是解题的关键； （1）根据分式有意义的条件是分母不等于零， 即可解答； （2）分式无意义的条件是分母等于零， 即可解答； （3）分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 即可解答． 【详解】（1）分式有意义， ， 解得：， 故答案为：； （2）分式无意义， ， 解得：； 故答案为：； （3）分式的值为0， 且， 解得： 故答案为：0； 【变式2-5】已知分式，当 时，分式无意义，当 时，分式值为0，当 时分式有意义． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了分式有意义，无意义和分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解：∵无有意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴， ∴； ∵有意义， ∴， ∴； 故答案为：；2；． 【考点题型三】分式值为0的条件 【例3】若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式3-1】根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 【变式3-2】若分式，则 x= ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为0.这两个条件缺一不可． 【详解】解：∵分式， ∴，解得， 故答案为：． 【变式3-3】若分式 的值为零，那么x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．根据分式的值为零的条件建立等式或不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式 的值为零， 且， 解得且， ， 故答案为：． 【变式3-4】当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】利用分式基本性质判断分式值的变化 【例4】将分式中的都变为原来的3倍，那么分式的值变为原来的（       ） A．倍 B．3倍 C．不变 D．倍 【答案】A 【分析】把变成，再化简，即可得出答案．本题考查了分式的基本性质的应用，能理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵将分式中的都变为原来的3倍, ∴， 故选：A． 【变式4-1】若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质针对四个选项进行分析即可． 【详解】A、不能再化简，故本选项不符合题意； B、不能再化简，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的和都扩大到原来的20倍，得 ， ∴缩小到原来的． 故选B． 【变式4-3】把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（　　） A．为原分式值的 B．为原分式值的 C．为原分式值的10倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键． 将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解． 【详解】解析：x、y均扩大为原来的10倍后， ∴ 故选：A． 【变式4-4】如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则的内容可能是（　　） A．4 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示4时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的4倍，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示9时，，它的值与原分式的值相等，故D不符合题意； 故选：C． 【变式4-5】把分式中的x，y值同时扩大3倍，那么分式的值（     ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质．将x与y的值同时扩大为原来的3倍后，根据分式的基本性质，化简后判断即可．熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键． 【详解】解：分式中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式变为：， ∴分式的值不变； 故选：A． 【考点题型五】分式的乘除混合运算 【例5】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法法则变形，因式分解，约分解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 故选A． 【变式5-1】下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘除法，熟练掌握以上知识是解题的关键．． 根据分式的乘除混合运算以此判断选项即可． 【详解】解：、原式，故选项正确； 、原式，故选项错误； 、原式，故选项错误； 、原式，故选项错误． 故选：． 【变式5-2】计算的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，按照从左至右的顺序进行计算即可． 【详解】解：； 故选B 【变式5-3】若计算分式的结果为整式，则中的式子可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【详解】解： 运算的结果为整式， 中式子一定含有的单项式， 故只有B项符合． 故选：B 【变式5-4】如果，那么分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．设，则，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 【变式5-5】分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型六】含乘方的分式乘除混合运算 【例6】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式6-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式6-2】化简，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果． 【详解】 ； 故选：D． 【变式6-3】计算：的结果是（　　 ） A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后将除法转化成乘法，然后求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 【变式6-4】计算∶= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，整式的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算单项式乘以多项式，再计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型七】分式加减混合运算 【例7】已知的三边长分别为，且，则一定是（     ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 【变式7-1】已知，，用含的代数式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【变式7-2】化简的结果是 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【变式7-3】（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算及分式的混合运算，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及掌握分式混合运算的运算顺序，本题属于基础题型． （1）根据绝对值的性质，零指数幂的意义、负整数指数幂的意义即可求出答案． （2）将能够进行因式分解的分子和分母进行因式分解，先算乘法，再算加法． 【详解】解：（1）原式． （2）原式 ． 【变式7-4】探究性问题： ，，，…． (1)________． (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据题意得出一般规律即可； （2）根据（1）中规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：原式 ． 【变式7-5】计算：． 【答案】 【分析】先通分，再计算，最后约分进行计算即可得． 【详解】解：原式= = = =． 【考点题型八】分式的综合运算 【例8】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先去括号，再通分，计算分式的减法运算即可． 【详解】解： ； 故选B 【变式8-1】一块麦田有，甲收完这块麦田需要，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要（     ）小时． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式（分式），解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．先得到乙收割完这块麦田需要的时间，根据工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，再用工作总量÷甲、乙的工作效率和求出两人一起收割完这块麦田需要的工作时间． 【详解】解∶ 乙收割完这块麦田需要的时间是， 甲的工作效率是， 乙的工作效率， 故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为， 故选∶A． 【变式8-2】已知，， 则P与Q 的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 【变式8-3】计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，先通分括号，再运算除法，然后化简即可作答． 【详解】解： 故答案为： 【变式8-4】化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】先把括号内通分合并，再约分化简．本题考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式及整式的运算法则． 【详解】解：原式， ， ． 故答案为：． 【变式8-5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简及整式的混合运算，熟练运用乘法公式，掌握分式及整式的运算法则是解题关键． （1）运用完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再将除法换成乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【考点题型九】分式的化简求值 【例9】先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式9-1】先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式9-2】先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，代入求值，运用分式的性质，乘法公式，进行计算，根据分式的分母不能为零，确定取值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵当，2时，原分式无意义， ∴x可以是0或1，当时，原式． 【变式9-3】先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值； （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； 当时，原式． 【变式9-4】先化简然后选择一个喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，再进行约分化简，代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴时，原式． 【变式9-5】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是本题的关键． 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式 【考点题型十】分式方程 【例10】下列式子中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式10-1】若分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解确定参数，用含字母的代数表示出是解题的关键． 根据题意求出方程无解时的值，代入得出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 分式方程无解， 则， 故选：A． 【变式10-2】已知是分式方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解：是分式方程的解， ， 解得：， 故选：C． 【变式10-3】若关于x的方程产生增根，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去分母化简，然后根据题意得出，将其代入方程求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故选：B． 【变式10-4】已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解； 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是． 故选：． 【变式10-5】解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． 【考点题型十一】分式方程的应用 【例11】车间准备加工个零件，在加工了个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的倍，结果共用天完成了任务．若设该车间原来每天加工个零件，则由题意可列出方程（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解决问题的关键．根据共用天完成任务，等量关系为：先加工的个零件用的时间引进后新工艺后加工的个零件用的时间，即可列出方程． 【详解】解：设该车间原来每天加工个零件， 根据题意得：， 故选：D． 【变式11-1】张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米，利用张老师比李老师早到半小时，再建立分式方程求解即可． 【详解】解：李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米， 根据时间的关系可列方程为：， 故答案为：． 【变式11-2】某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键． 利用每罐的价格优惠后每罐的价格元，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：； 故答案为： 【变式11-3】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 【变式11-4】某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【答案】(1)纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元 (2)每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用． （1）设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元，根据花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯，列出方程求解即可； （2）设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元，根据骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个列出分式方程求解，检验即可． 【详解】（1）解：设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元， 由题意： 解得： 元 答：纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元． （2）解：设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元， 由题意：，解得 经检验，为所列方程的根且符合题意． 元 答：每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元． 【变式11-5】近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)（或）； (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的年费用更低． 【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答． 本题考查列代数式的问题，分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）； 故答案为：（或）． （2）解：①， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元； ②购买燃油车的年费：（元） 购买纯电动汽车的年费：（元） ∵ ∴他们购买纯电动汽车的年费用更低． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$