高二数学期中模拟卷（北师大版2019选择性必修第一册第1～3章：直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（直线与圆+圆锥曲线+空间向量与 立体几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知双曲线的方程为 2 2 1 4 2 x y   ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． 2 2 y x  B． 2y x  C． 3 3 y x  D． 3y x  2．已知    1 23, ,2 , 3, 3,2 3n x n     分别是平面 ,  的法向量，若  ，则 x （ ） A． 7 B． 1 C．7 D．1 3．在同一平面直角坐标系中，直线  1 0mx y m   R 与圆 2 2 2x y  的位置不可能为（ ） A． B． C． D． 4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得 到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆𝐶: + = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的面积为6π ，两个焦点分别为 1F ， 2F ，直线 y kx 与椭圆C 交于A ， B 两点，若四边形 1 2AF BF 的周长为 12，则椭圆C 的短半轴长为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，已知 2AB BC  ， 1 3AA  ，E 为 1 1B C 的中点，则直线CE与 1AD 所成角 的余弦值为（ ） A． 7 130 130 B． 95 10 C． 5 10 D． 2 5 5 6．已知实数 x，y 满足 1 3 5 5 y x  ，且 2 3x   ，则 2 1 y x   的取值范围（ ） A．  1, 3, 2        B． 1 ,3 2     C．    , 1 3,   D． 1,3 7．已知抛物线  2: 2 0E y px p  的焦点为 F，过 F 的直线交 E 于 A，B 两点，点 P 满足  0 1OP OF      ，其中 O 为坐标原点，直线 AP 交 E 于另一点 C，直线 BP 交 E 于另一点 D，记 PAB ， PCD△ 的面积分别为 1S ， 2S ，则 2 1 S S （ ） A． B．2 C． 2 D． 22 8．已知圆 2 21 : ( 2) ( 2) 14C x y    与圆 2 2 2 : ( 1) ( 2) 14C x y    ，过动点  ,M m n 分别作圆 1C ､圆 2C 的切线 ,MA MB（ ,A B分别为切点），若 MA MB ，则M 到圆 2 2( 12) ( 5) 4x y    距离的最小值是（ ） A． 19 2 B． 15 4 C． 19 2 2  D． 15 2 4  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60°，下列说法中正确的是（ ） A．CC1⊥BD B． 1 1 36AA BD    C． 1 1B C AA   与 夹角是 60° D．直线 AC 与直线 1 1AC 的距离是2 6 10．已知双曲线 C： 2 2 1 3 y x   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过点 2F 且倾斜角为 的直线 l 与双曲线的右支 交于 A、B 两点（A 在第一象限），则下列说法中正确的是（ ） A．双曲线 C 的虚轴长为 3 B． π 2π 3 3   C． 1ABF 的周长的最小值为 16 D．当 tan 15   时， 1 2AF F△ 的内切圆面积为 3π 5 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．已知直线 : 0  l kx y k ，圆  2 2 0 0: 6 5 0, ,C x y x P x y    为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是 （ ） A． 2 20 0x y 的最大值为 5 B． 0 0 y x 的最大值为 2 5 5 C．直线 l与圆C 相切时， 3 3 k   D．圆心C 到直线 l的距离最大为 4 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．设 1 2,F F 为双曲线 2 2 1 4 2 x y   的两个焦点，点 P 是双曲线上的一点，且 1 2 90F PF   ，则 1 2F PF 的面积 为 . 13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直 角三角形的直棱柱．如图，在堑堵 1 1 1ABC A B C 中，M，N 分别是 1 1 1,AC BB 的中点， 12 2AB AA AC  ， 动点G 在线段 MN 上运动，若   AG 1x AA y AB z AC     ，则 x y z   . 14．已知线段MN 是圆 2 2: ( 1) 8C x y   的一条动弦，且 2 3MN  ，若点 P 为直线2 8 0x y   上的任意 一点，则 PM PN   的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知直线 1l ：  2 0x m y   ， 2l ： 2 0mx y   ，且满足 1 2l l ，垂足为 C. （1）求 m 的值及点 C 的坐标. （2）设直线 1l 与 x 轴交于点 A，直线 2l 与 x 轴交于点 B，求△ABC 的外接圆方程. 16．（15 分） 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     过点 (2, 2)，且其一个焦点与抛物线 2 8y x 的焦点重合. （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线 AB 与椭圆C 交于A ， B 两点，若点 ( 2,1)M  是线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程. 17．（15 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，D，E，F 分别为 AB，BC， 1B B 的中点． （1）证明： 1 1 / /AC 平面 1B DE ； （2）若 1AB  ， AB AC ， 1 1B D A F ，求点 E 到平面 1 1A FC 的距离． 18．（17 分） 已知抛物线 2 2 ( 0)x py p  的焦点为F ，过圆 22 ( 1) 1yx    的圆心的直线交抛物线与圆分别为 A C D B､ ､ ､ （从左到右）. （1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； （2）若抛物线和圆只有一个公共点，求 p 的取值范围； （3）在（1）的条件下， ,AOC BOC△ △ 的面积满足： 4AOC BODS S△ △ ，求弦 AB 的长. 19．（17 分） 在空间直角坐标系O xyz 中，已知向量 ( , , )u a b c  ，点 0 0 0 0( , , )P x y z ．若平面 以u  为法向量且经过点 0P ，则平面 的点法式方程可表示为 0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z      ，一般式方程可表示为 0ax by cz d    ． （1）若平面 1 ：2 1 0x y   ，平面 1 ：3 2 1 0y z   ，直线 l 为平面 1 和平面 1 的交线，求直线 l的 一个方向向量； （2）已知集合 {( , , ) || | 1,| | 1,| | 1}P x y z x y z    ， {( , , ) || | | | | | 2}Q x y z x y z    ， {( , , ) || | | | 2,| | | | 2, | | | | 2}T x y z x y y z z x       ．记集合 Q 中所有点构成的几何体的体积为 1V ， P Q 中所有点构成的几何体的体积为 2V ，集合 T 中所有点构成的几何体为 W． （ⅰ）求 1V 和 2V 的值； （ⅱ）求几何体 W 的体积 3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值． 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C．7 D．1 3．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ） A．双曲线C的虚轴长为 B． C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为 11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是 （ ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则 . 14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知直线：，：，且满足，垂足为C. （1）求m的值及点C的坐标. （2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求△ABC的外接圆方程. 16．（15分） 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 18．（17分） 已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）.    （1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； （2）若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 19．（17分） 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量； （2）已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C．7 D．1 3．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ） A．双曲线C的虚轴长为 B． C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为 11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是 （ ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则 . 14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知直线：，：，且满足，垂足为C. （1）求m的值及点C的坐标. （2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求△ABC的外接圆方程. 16．（15分） 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 18．（17分） 已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）.    （1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； （2）若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 19．（17分） 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量； （2）已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（直线与圆+圆锥曲线+空间向量与立体几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，. 故选A. 2．已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【解析】因为，又，所以， 所以，解得， 故选. 3．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 直线过圆内定点，斜率可正可负可为0， ABD选项都有可能，C选项不可能. 故选C. 4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】依题意，，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长. 故选D.    5．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，∴， 设直线与所成角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为.故选A. 6．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选A.    7．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件作出图形，如图所示 由题意知，又，所以. 显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，显然，所以. 显然直线BD的斜率不为0，设，直线BD的方程为， 由，得，显然，所以， 又，所以，设，同理可得， . 故选C. 8．已知圆与圆，过动点分别作圆､圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，， 因为，则，即， 化简得，即动点在直线上，    圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以到圆距离的最小值是. 故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 【答案】ABD 【解析】如图，设， 则    对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选ABD. 10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ） A．双曲线C的虚轴长为 B． C．的周长的最小值为16 D．当时，的内切圆面积为 【答案】BCD 【解析】对于A:因为，所以虚轴长为，A错误； 对于B:因为双曲线渐近线方程为，倾斜角分别为， 过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出B正确； 对于C:的周长为, 结合双曲线的定义， 设双曲线的右焦点为，， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，则 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， 又，故或, 而， 所以当直线与x轴垂直时，的长最小，即最小值为，的周长最小值为，故C正确； 对于D: 当时, 设直线的方程为 联立，消去，得， ，当时,A点坐标 ， ， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D正确. 故选BCD. 11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】2 【解析】解法一：如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 解法二：如图，的面积为. 故答案为：2. 13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则 .    【答案】 【解析】如图，取的中点，连接AE交于点．    因为M，N分别是的中点，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面EMN，所以平面平面， 点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，． 故答案为：. 14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图，为直线上的任意一点， 过圆心作，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以， 所以. 则此时， 的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知直线：，：，且满足，垂足为C. （1）求m的值及点C的坐标. （2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求△ABC的外接圆方程. 【解析】（1）解：显然，可得，，-----------------------------------------2分 由，可得，即，解得，----------------------------3分 所以直线：，直线：，------------------------------------------------------4分 联立方程组，解得，所以点．------------------------------------------6分 （2）解：由直线：，直线：，可得，，------------8分 所以△ABC的外接圆是以为直径的圆，-----------------------------------------------------------10分 可得圆心，半径，---------------------------------------------------------------------12分 所以△ABC的外接圆方程是．------------------------------------------------------13分 16．（15分） 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【解析】（1）抛物线的焦点为，----------------------------------------------------------------1分 由题意得，解得，，--------------------------------------------------------------4分 所以椭圆的方程为.-------------------------------------------------------------------------------5分 （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即，-----------------------------------------------------7分 联立， 消去得：，-------------------------------------------------9分 设， 因为，即，--------------------------------------------------------------------10分 所以，解得， 此时满足题意----------------------------------------------------------------------------------13分 所以所求直线的方程为.------------------------------------------------------------------15分 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．    （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 【解析】（1）因为为直三棱柱，所以， 又D，E，分别为AB，BC的中点，所以，-----------------------------------------------2分 所以，----------------------------------------------------------------------------------3分 又平面，平面，--------------------------------------------------------------4分 所以平面.--------------------------------------------------------------------------------------5分 （2）因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， -----------------------------------------7分 设，且，则， 则，，------------------------------------------------------------------8分 由可得，即，且，解得，------------------------9分 设，则，即，-------------------------------10分 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为，----------------------------------------------------------------12分 又，即， 所以点E到平面的距离.------------------------------------------------15分 18．（17分） 已知抛物线的焦点为，过圆的圆心的直线交抛物线与圆分别为（从左到右）.    （1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； （2）若抛物线和圆只有一个公共点，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，的面积满足：，求弦的长. 【解析】（1）由可知圆心坐标为， 因为抛物线的焦点与圆心重合，---------------------------------------------------------------2分 所以，------------------------------------------------------------------------------3分 所以抛物线的方程.-----------------------------------------------------------------------5分 （2），消去并整理方程可得，------------------6分 解得，---------------------------------------------------------------------------7分 抛物线和圆恒有一个公共点，且恒成立， 所以令2p-2≧0，解得.----------------------------------------------------------------------9分 （3）设，直线的方程为，原点到直线的距离为， 由消去可得，其中， ，---------------------------------------------------------------------11分 所以， 则，①--------------------------------------------------------------------------13分 因为 ，②-------------------------------------------15分 由①②解得 所以----------------------------------------------------17分 19．（17分） 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面：，平面：，直线l为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量； （2）已知集合，，．记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合T中所有点构成的几何体为W． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求几何体W的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值． 【解析】（1）直线是两个平面与的交线， 所以直线上的点满足，-------------------------------------------------------------------2分 不妨设，则， 不妨设，则， 直线的一个方向向量为：；------------------------------------------4分 （2）（ⅰ）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，， 考虑集合的子集， 即为三个坐标平面与转成的四面体，--------------------------------------------------5分 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，-------------------------------------------------------6分 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ，--------------------------------------------------------------8分 为截去三棱锥所剩下的部分， 的体积， 三棱锥的体积为，-----------------------------------------9分 的体积为， 由对称性知．--------------------------------------------------------------------10分 （ⅱ）①记集合中所有点构成的几何体为，如图， 其中，正方体即为集合所构成的区域， 构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为2， ，------------------------------------------------------------------------------12分 的体积．----------------------------------------------------13分 ②由题意面的方程为，由题干定义知其法向量为， 面方程为，由题干定义知其法向量为，----------------------15分 ， 由图知两个相邻面所成的角为钝角， 所成二面角的余弦值为：．------------------------------------------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 3 4 5 6 7 8 A C C D A A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD BCD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2 14.25 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 【解析】(1)解：显然m≠2，可得k=- m-21 2分 由14，可得kk=-1,即-1 气m-2-m=-1,解得m=L -3分 所以直线4：x-y=0,直线L:x+y-2=0, -4分 x=1 联立方程组 x-y=0 (x+y-2=0’解得 y=1'所以点C(1,1. 6分 (2)解：由直线4：x-y=0,直线：x+y-2=0,可得A(0,0,B(2,0),---8分 所以△ABC的外接圆是以AB为直径的圆， -10分 可得展心1.0，半径r=4=1 -12分 所以△ABC的外接圆方程是(x-1)2+y2=1. -13分 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 16.(15分) 【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0)， -1分 42 由题意得 ,解得a2=8,b2=4, …4分 a2=b2+22 所以椭圆C的方程为二+上 =1 -5分 84 (2)直线1的斜案存在，设斜率为k, 直线1的方程为y-1=k(x+2),即y=kx+2k+1, -7分 y=kx+2k+1 联立 消去y得：(2k2+1).x2+4k1+2k)x+8k2+8k-6=0, -9分 设A(x11).B(x2y2), 因为5十五=-2，即x+x=-4, -10分 2 所以-460+2-4，解得k=1, 1+2k 此时△=24>0满足题意- -13分 所以所求直线1的方程为x-y+3=0 --15分 17.(15分) 【解析】(1)因为ABC-A,BC为直三棱柱，所以AC/1AC, 又D,E,分别为AB,BC的中点，所以DE//AC,- --2分 所以DEIIAC,-- -3分 又A,C,t平面BDE,DEc平面BDE, 4分 所以A,C,I1平面BDE -5分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 (2)因为ABC-A,B,C为直三棱柱，且AB⊥AC, 以A为坐标原点，分别以AB,AC,AA,所在直线为x,,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ---7分 D 设4=aa>0,且4B=1,则8L0,D20,040,0j.Fo 则a0(0-小，4F0- -8分 由BD14F可得B,D·4F=0,即-+ 2 2=0,且a>0,解得a=1. -9分 设4C=bb>0,则C0.6.即4F=0》4C=0A0, --10分 设平面4F℃的法向量为i=(x,y,z), z=0 [z=2x 则 AF=x-12 ,解得=0，取x=1,则：=2 i·AC=by=0 所以平面4F℃的一个法向量为元=(1,0,2)， -12分 又小即证6-小 所点到平面/E上-5 -15分 闭5 10 18.(17分) 【解析】(1)由x2+0y-1)2=1可知圆心坐标为(0,1)， 因为抛物线的焦点与圆心重合， -2分 所以2P=1p=2, -3分 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 所以抛物线的方程x2=4y. -5分 [x2=2py(p>0) (2) 2+y-1=1消去x并整理方程可得y2+2p-2y=0, -6分 解得片=0，y2=2-2p, -7分 抛物线和圆恒有一个公共点(0,0)，且y≥0恒成立， 所以令2p-20,解得p≥1.- -9分 (3)设A(x片)，B(x2y2),直线AB的方程为y=x+1,原点O到直线AB的距离为d, [y=kx+1 由=4y消去y可得r-46-4=0,其中4=16k2+16>0, =-4= -11分 16 所以Sc=)4AC-d,So= I BD .d, 则g-4C-4,0 S.800 BD -13分 因为ACBD=(AF-|CF）(BF-DF=AFBF-(IAF+BF）+I =(%+(⅓+)-（片+1+为2+1）+1=片=1，②- -15分 由0e解得4C=28D1- 3*2 所以AB=AC+BD+CDl=2+ 9 -17分 19.(17分) 【解析】(1)直线1是两个平面2x-y-1=0与3y-2z+1=0的交线， [2x-y-1=0 所以直线1上的点满足 -2分 3y-2z+1=0 不妨设y=1,则x=1,z=2, 不妨设y=3,则x=2,:=5, :直线1的一个方向向量为：(2-1,3-1,5-2)=(1,2,3)； 4分 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 (2)(i)记集合Q,P∩Q中所有点构成的几何体的体积分别为V,, 考虑集合Q的子集Q={(x,2)川x+y+z≤2，x≥0，y20,z20, 即为三个坐标平面与x+y+z=2转成的四面体， -5分 四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)， 此四面体的体积为，2×兮*2×2-手， 6分 32 由对称性知K=8V。= 3 考虑到P的子集P构成的几何体为棱长为1的正方体， 即P={(x,y,z)川0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}， Q'={(x,片z)川x+y+z≤2，x20y≥0，z20, -8分 ·P'∩Q'为截去三棱锥Q.-QQ2所剩下的部分， P的体积"=1×1×1=1， 三棱锥Q,-0,2,2,的休积为V-ee,=3 2*0x) 1 6 -9分 P'n0'的体积为'rmg='e-'a-gge=l- 15 66 :由对称性知'，=8Vmg= 20 -10分 3 (i)①记集合T中所有点构成的几何体为W,如图， 其中，正方体ABCD-LJM即为集合P所构成的区域， E-ABCD构成了一个正四棱锥，其中E到面ABCD的距离为2， m-3x1x2x2= -12分 六P的体积片=+6D=8+6x号=16. -13分 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ②由题意面EBC的方程为x+z-2=0,由题干定义知其法向量为n,=(1,0,1), 面CD方程为y+z-2=0,由题干定义知其法向量为m,=(0,L,),--- ----15分 cos<4,所>= ·”3.1 %m12 由图知两个相邻面所成的角为钝角， :所成二面角的余浓值为： -17分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！