第一次月考提升检测金卷（范围：第21～23章）-2024～2025学年九年级数学上学期模拟测试卷【广东专版 配人教版】

2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．2，3，7 B．2，3， C．2，，7 D． 3．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 4．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（    ） A．12 B．10 C． D．6 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）二次函数化成的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知：点与点关于原点成中心对称，则 ． 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）若a为方程的解，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 15．如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 ．    三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）解一元二次方程： （1）；（2）． 17．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）“世界荔枝看中国，中国荔枝看广东．”广东的荔枝品种繁多，果肉鲜嫩多汁，香甜可口，且含有丰富的维生素C和蛋白质，是夏季消暑的最佳选择．进入荔枝成熟期以来，荔枝大量上市，某水果经销商统计了6月份到8月份的荔枝销量，已知6月份销售1000千克，8月份销售1440千克，求6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（辽宁省铁岭市2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，基地的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示基地靠墙一边的长是 m； （2）若基地的面积为，求x的值； （3）基地的面积能否为．若能，请求出x的值：否则请说明理由． 20．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价，现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价元（为正整数），每月销量为箱． （1）写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ （3）超市如何定价，能保证每月销售利润不低于2850元？请直接写出的取值． 21．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 23．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．2，3，7 B．2，3， C．2，，7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解： ， ∴的值分别为2，，7； 故选C． 3．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及二次函数的对称轴是等内容，据此即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是， ∴抛物线的对称轴是y轴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（    ） A．12 B．10 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别3、5，再计算出第三边长为4，然后根据三角形面积公式计算该三角形的面积． 【详解】解：， ， 或， 所以，， 即三角形的两条边长分别3、5， 所以第三边长为， 所以该三角形的面积． 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）二次函数化成的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为， 故选：D． 9．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据一次函数经过的象限和二次函数的开口方向分别求出两个函数中字母a的符号，再结合二者都经过进行求解即可． 【详解】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则，抛物线开口向下，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意； B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向下，则，故此选项不符合题意； C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，且两个函数都与y轴交于，故此选项符合题意； D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意； 故选：C． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②不符合题意； ③当时，，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知：点与点关于原点成中心对称，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，，即，， ， 故答案为：2024． 12．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）若a为方程的解，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意得，将其变形与进行关联，即可求解． 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 13．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 15．如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 ．    【答案】 【分析】根据垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质解答即可． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找出线段长度的最小值的条件． 【详解】解：根据垂线段最短，得到且为的交点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴， 故答案为：．    三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）解一元二次方程： （1）；（2）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法和因式分解法解一元二次方程． （1）先将常数项移项到等号右侧，再两边配方，再直接开方法即可得到本题答案； （2）先将等号右侧移项到等号左侧，再提公因式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， ， 直接开方得：， 即：； （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， ∴． 17．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）“世界荔枝看中国，中国荔枝看广东．”广东的荔枝品种繁多，果肉鲜嫩多汁，香甜可口，且含有丰富的维生素C和蛋白质，是夏季消暑的最佳选择．进入荔枝成熟期以来，荔枝大量上市，某水果经销商统计了6月份到8月份的荔枝销量，已知6月份销售1000千克，8月份销售1440千克，求6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率． 【答案】6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率为． 【分析】利用8月份的荔枝销量月份的荔枝销量月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了实际问题与一元二次方程 ：增长率问题，先列式，再解方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率为， 根据题意，得． , ， ∴，（舍去）， ∴6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率为． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，由旋转可得，，推出，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）连接，根据旋转可得为等边三角形，推出，由，可得，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，连接， ，， 为等边三角形， ， 又， ， ． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（辽宁省铁岭市2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，基地的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示基地靠墙一边的长是 m； （2）若基地的面积为，求x的值； （3）基地的面积能否为．若能，请求出x的值：否则请说明理由． 【答案】(1) (2)x的值为8 (3)基地的面积不能为．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．解题的关键是读懂题意，根据已知列方程． （1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）由题意得：，由一元二次方程根的判别式可得答案． 【详解】（1）解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为， ∴长为：． 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得或， ∵时，，时， ∴舍去，x的值为8； （3）解：不能，理由如下：假设基地的面积能为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴原方程没有实数根， ∴基地的面积不能为． 20．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价，现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价元（为正整数），每月销量为箱． （1）写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ （3）超市如何定价，能保证每月销售利润不低于2850元？请直接写出的取值． 【答案】(1)且x为正整数； (2)超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元 (3)每箱牛奶的定价在51元和55元之间的整数值（包括51和） 【分析】本题主要考查二次函数的应用，由利润售价成本销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．也考查了一元二次方程的应用． （1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式； （2）由利润售价成本销售量列出函数关系式，求出最大值； （2）令，即可解得x的范围． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 由得， ∴，且x为正整数； ∴与之间的函数关系式为且x为正整数； （2）解：设所获利润为W， 则 ， ∵， ∴函数开口向下，有最大值， ∴当时，W取得最大值，最大值为2890． 此时售价为元， 答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元； （3）解：当时，则， 解得，， 根据（2）中解析式可知抛物线开口向下， ∵超市计划每月销售这种牛奶的利润不低于2850元， ∴， ∴， ∴每箱牛奶的定价在51元和55元之间的整数值（包括51和）． 21．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得， 解得， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 【答案】(1)，直线l的解析式为； (2)点P坐标为； (3)，的面积最大值为． 【分析】（1）由点横坐标可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，据此求解即可； （3）过作轴交于，用表示出和的坐标，从而可表示出的长，表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式可得， ， 把、坐标代入直线l：可得，， 解得， 直线l解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，， 解得， 直线解析式为； 令，则， 点P坐标为； （3）解：过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为． 此时． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（3）中用表示出的面积是解题的关键． 23．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，见解析；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， （3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在CA的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$