第一次月考提升检测金卷（范围：第1～3章）-2024～2025学年九年级上学期模拟测试卷【广东专版 配北师大版】

2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一元二次方程配方可变形为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接交于点G，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）方程化为一般形式为，其中一次项系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 8．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）方程的根的情况是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 9．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（    ）    A．12 B．18 C．6 D．2 10．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（辽宁省铁岭地区部分学校2024-2025学年九年级上学期月考（一）数学试题）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 ．（结果精确到） 13．（23-24九年级上·云南昆明·期末）一元二次方程有两根，则 ． 14．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 15．如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解一元二次方程：（1） （2）． 17．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，过点作对角线的垂线，交的延长线于点，连接，求证：四边形是平行四边形．    18．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． （1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； （2）若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 20．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地年种植“阳光玫瑰”亩，到年“阳光玫瑰”的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利元，则售价应降低多少元? 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，求的面积． 23．市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点． 【探究1】当点是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点是的中点，取的中点，连接，证明与全等即可．（无需证明）    【探究2】（1）如图2，如果把“点是的中点”改成“点是边上（不与点、重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“”是否成立？　　（填“是”或“否”，如果是，请简述一下辅助线的作法；如果否，也请说明理由．    【探究3】（3）连接交直线于点，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为　　　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，根据一元二次方程的解的定义即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当时，；当时，； ∴方程的根是，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，小灯泡发光的情况有种， ∴小灯泡发光的概率是：， 故选：C 3．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一元二次方程配方可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接交于点G，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形综合．熟练掌握正方形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解题的关键． 根据正方形性质得到，根据等边三角形性质得到，得到，根据等腰三角形性质得到，根据三角形外角性质即得． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）方程化为一般形式为，其中一次项系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先根据整式的乘法法则展开，整理，化成一般形式，根据一次项系数的定义解答即可． 【详解】， 整理，得， 即， 一次项系数为． 故选：B． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形综合．熟练掌握矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，以及平行四边形的性质定理逐一判定即得． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 在平行四边形中，当时， ， ∴四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B符合题意； 当时， 平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； 当时， 平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形， 故D不符合题意； 故选：B． 7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得，求出解即可． 【详解】设黄球的数量为x，根据题意得 解得． 经检验是方程的解且符合题意 ， 所以袋子中黄球有150． 故选：D． 8．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）方程的根的情况是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 先求出判别式的值，再根据判别式的值判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（    ）    A．12 B．18 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解题的关键．根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，最后根据菱形的面积公式计算，即得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 菱形的面积为． 故选：A． 10．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， AI 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（辽宁省铁岭地区部分学校2024-2025学年九年级上学期月考（一）数学试题）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考査了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解： 是方程的一个实数根， ， ， ． 故答案为：2025． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·云南昆明·期末）一元二次方程有两根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于，代入求值即可． 【详解】解：一元二次方程中， ，， ∴， 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理，因为点不动，所以不变，根据中位线定理，可得的长． 【详解】连接 分别是的中点 为的中位线， 是矩形 ， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解一元二次方程：（1） （2）． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）整理后利用开平方进行解方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得到，， ∴； （2）解：， ∴， 则或， 解得，． 17．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，过点作对角线的垂线，交的延长线于点，连接，求证：四边形是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定．根据菱形的对边平行，对角线互相垂直得出，，根据垂直于同一直线的两直线平行得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，方程的解，解一元二次方程． （1）根据根的判别式证明即可得证结论； （2）根据方程解的定义可求出n的值，把n的值代入方程，解该一元二次方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵在一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵是该方程的一个解， ∴， 解得， ∴该方程为， 解得，， ∴方程的另一个根为． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． （1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； （2）若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． （1）先解方程，根据概率公式即可得出概率； （2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：当代数式的值为时， ， 解得，， ∴从甲袋摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2种结果，其概率为：； （2）解：列表如下： n           m 3 4 5 6 4 5 6 7 总共有16种等可能结果，其中都是该方程的解的有4种结果， 故小明获胜的概率为：； ，中有不是该方程的解的结果有12种， 故小张获胜的概率为， 所以，小明获胜的概率大，此游戏不公平． 20．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证明，得出，根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证明四边形是菱形； （2）设，在和中根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，垂直平分， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形 垂直平分，即， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 设，则， 在和中，，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 21．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地年种植“阳光玫瑰”亩，到年“阳光玫瑰”的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利元，则售价应降低多少元? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为，根据该基地年及年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为， 依题意，得：， 解得：或（舍） 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． （2）设售价应降低元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：或 要尽量减少库存， 答：售价应降低元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，求的面积． 【答案】数学思考：见解析；解决问题：；拓展研究：或3 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，由全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 23．市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点． 【探究1】当点是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点是的中点，取的中点，连接，证明与全等即可．（无需证明）    【探究2】（1）如图2，如果把“点是的中点”改成“点是边上（不与点、重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“”是否成立？　　（填“是”或“否”，如果是，请简述一下辅助线的作法；如果否，也请说明理由．    【探究3】（3）连接交直线于点，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为　　　　． 【答案】（1）成立，见解析；（2）图见解析，是，见解析；（3）见解析，或；（4）的面积为或． 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造出与全等是解题的关键． （1）在上截取，然后证明，，再利用“角边角”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）延长到，使，然后证明，从而得到，再利用两直线平行，内错角相等证明，然后得到，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，结论：．延长到，使得，则，再证明，可得结论；如图中，当点在的延长线上时，结论，证明方法类似； （4）分两种情形，利用探究2中的结论，解决问题即可． 【详解】解：（1）结论成立： 理由：如图2中，在上截取，连接，   ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）成立， 理由：如图3中，延长到，使，连接，   ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：是； （3）或； 如图中，当点在线段上时，结论：．    理由：延长到，使得，则， ，， ， ， ， ， ， ； 如图中，当点在的延长线上时，结论    理由：在上截取，则， ，， ， ， ， ， ， ； （4）如图中，当点在线段上时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图中，当点在的延长线上时，同法可得． 综上所述，的面积为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$