精品解析：陕西省渭南市临渭区杜桥中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷

渭南市杜桥中学2021—2022学年上学期高一期末考试（线上） 高一数学科试题 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）= A. {1，2，3，4，6} B. { 1，2，3，4，5} C. {1，2，5} D. {1,2} 2 设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A. B. 3 C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点M的坐标为(－1,0,2), 则点M到原点O的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 6. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内含 C. 相离 D. 外切 7. 如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积和体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 9. 直线垂直于直线，原点到直线的距离为，且与轴正半轴有交点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填写在答题纸中的横线上） 13. 函数y=定义域是______． 14. 直线与间的距离为______ 15. 已知，，则用，表示______ 16. 不论为何数，直线恒过定点______ 17. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 设全集为，， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知两条直线和，分别求满足下列条件的，. （1）//； （2），且在轴上的截距为. 20. 已知函数是定义内奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用单调性的定义证明函数在内是减函数. 21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，. （1）证明：平面 （2）证明：平面平面； （3）求点到平面的距离. 22. 已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4). (1)求圆C的方程； (2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率； (3)在直线l3: y=x－2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渭南市杜桥中学2021—2022学年上学期高一期末考试（线上） 高一数学科试题 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）= A. {1，2，3，4，6} B. { 1，2，3，4，5} C. {1，2，5} D. {1,2} 【答案】D 【解析】 【详解】选D. 【考点定位】此题主要考查集合运算 2. 设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】, ,故选D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解. 【详解】函数不是奇函数，故A不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确； 的图象如图： 所以函数是奇函数且是增函数. 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，点M的坐标为(－1,0,2), 则点M到原点O的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求解. 【详解】由题：空间直角坐标系中，到的距离. 故选：D 【点睛】此题考查空间直角坐标系中两点距离公式的应用，根据公式直接求解. 5. 如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接,因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，即或其补角是异面直线与所成的角. 在正方体中，即是等边三角形，所以. 故选：C 6. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内含 C. 相离 D. 外切 【答案】A 【解析】 【分析】 写出圆心坐标和半径，求出圆心距即可得出两圆的位置关系. 【详解】设圆的圆心为，半径， 圆即，设其圆心，半径， 圆心距，， 所以两圆相交. 故选：A 【点睛】此题考查两圆的位置关系，关键在于准确写出圆心坐标和半径大小，通过圆心距与半径之和及半径之差的绝对值之间的大小关系判断位置关系. 7. 如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积和体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，再根据圆锥的表面积和体积公式可求答案. 【详解】由三视图可得几何体是圆锥，底面半径为3，母线长为5， 所以圆锥的高为； 圆锥的表面积为，体积为. 故选：A. 8. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、D项，根据线面平行的性质可过作，可得，进而根据面面垂直的判定即可判断；对于B、C项，由已知可推出或，因此无法判断与的关系. 【详解】对于A项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故A错误； 对于B项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故B项错误； 对于C项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故C项错误； 对于D项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直判定定理可得，故D正确. 故选：D. 9. 直线垂直于直线，原点到直线的距离为，且与轴正半轴有交点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知设直线方程为，利用点到距离公式，即可求解. 【详解】直线垂直于直线，且与轴正半轴有交点， 设直线方程为， 原点到直线的距离为或（舍去）. 直线方程为. 故选:A. 【点睛】本题考查直线与直线垂直关系，以及点到直线距离公式，考查数学运算，属于基础题. 10. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 11. 圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 12. 已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出函数的图象，结合直线恒过，根据两个图象的交点情况可求答案. 【详解】关于的方程至少有两个不相等的实数根， 则直线与的图象至少两个不同的交点， 作出函数的图象如下，直线恒过， 当直线与相切时，， 由可得，此时与平行， 所以此时方程只有一个根，不合题意； 当时，与有两个交点，符合题意； 当时，与有三个交点，符合题意； 当时，经过点时，与有两个交点， 此时，若，与有三个交点， 综上可知，方程至少有两个不相等的实数根，实数的取值范围为. 故选：B. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填写在答题纸中的横线上） 13. 函数y=的定义域是______． 【答案】[0，+∞） 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域． 详解】解：由题意可得， 解不等式可得 所以函数的定义域是， 故答案为： 【点睛】本题考查了求函数的定义域的最基本的类型：偶次根式型：被开方数大于（等于）0，还考查了指数不等式的解法．属于基础题． 14. 直线与间的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线化为， 所以两平行直线间的距离. 故答案为：. 15. 已知，，则用，表示______ 【答案】 【解析】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 16. 不论为何数，直线恒过定点______ 【答案】 【解析】 【分析】先将直线方程化为，进而可得出答案. 【详解】由， 得， 令，解得， 即直线恒过定点. 故答案为：. 17. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 设全集为，， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集，并集和补集的定义求解即可； （2）分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 且， 所以或； 【小问2详解】 当时，， 则，所以， 当时，因为其区间端点， 此时不可能， 综上所述，. 19. 已知两条直线和，分别求满足下列条件的，. （1）//； （2），且在轴上的截距为. 【答案】（1），或，； （2），8. 【解析】 【分析】（1）根据直线平行，列出满足的条件，求解即可； （2）根据直线垂直，结合在轴上的截距，即可求得. 【小问1详解】 由题可得：，且，解得或. 【小问2详解】 根据题意，满足，解得； 又，故可得，解得； 故. 20. 已知函数是定义内的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用单调性的定义证明函数在内是减函数. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据奇函数求得，因为，可求得，即可得函数的解析式并检验； （2）根据函数的单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 根据题意，可得，即，解得， ， 又，即，解得， ，经检验是奇函数符合题意. 【小问2详解】 设，且， 则 ， ， ，即，，， ，即， 所以函数在内是减函数. 21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，. （1）证明：平面 （2）证明：平面平面； （3）求点到平面距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，得出进而得出,再应用线面平行判定定理证明； （2）根据勾股定理得出,应用线面垂直得出,应用线面垂直判定定理得出平面,最后应用面面垂直判定定理证明； （3）应用等体积法计算得出点到平面距离. 【小问1详解】 取的中点，连接, 因为，所以, 因为分别是中点，得出 所以四边形是平行四边形， 所以平面,不在平面内, 所以平面. 【小问2详解】 因为平面,平面,, 因为，所以, 所以 因为,所以, 平面,平面, 所以平面,又平面, 所以平面平面. 【小问3详解】 设点到平面的距离为, 因为, 所以, 在中，， 又因为, 所以,即得. 22. 已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4). (1)求圆C的方程； (2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率； (3)在直线l3: y=x－2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由. 【答案】（1）；（2）直线的斜率为或者不存在；（3）存在，或. 【解析】 【分析】 （1）设圆心坐标，半径为，通过垂直关系和半径关系求出未知数即可； （2）若△CMN为直角三角形,则圆心到直线的距离为，即可求解斜率； （3）使△QEF为正三角形，即，求出点Q的坐标. 【详解】（1）设圆心坐标，半径为，圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4)， 所以 即，解得，所以 所以圆C的方程：； （2）过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形, ，所以△CMN为等腰直角三角形，且， 所以圆心到直线l2的距离为， 当直线l2的斜率不存在时，直线方程， 圆心到直线l2的距离为5，符合题意； 当直线l2的斜率存在时，设斜率为， 直线方程为，即 圆心到直线l2的距离为， 即，， 解得， 直线的斜率为或者不存在； （3）若直线l3: y=x－2上存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形, 即，在中， 设，即 解得或 所以点的坐标为或. 【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，其中涉及等价转化思想，将直角三角形关系转化为圆心到直线距离关系求解，将正三角形关系转化成点到圆心距离关系求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$