高一数学期中模拟卷02（新高考地区专用，集合与逻辑+不等式+函数）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合逻辑+不等式+函数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 3．已知集合．设，下列说法正确的是（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 4．已知，若的解集为，则函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 6．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 11．下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 13．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 14．函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 17．（15分）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 18．（17分）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 19．（17分）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质： ①，； ②，； ③，，使得； ④，，使得． 例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群． (1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群； (3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 3．已知集合．设，下列说法正确的是（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 4．已知，若的解集为，则函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 6．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 11．下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 13．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 14．函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 17．（15分）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 18．（17分）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 19．（17分）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质： ①，； ②，； ③，，使得； ④，，使得． 例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群． (1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群； (3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合逻辑+不等式+函数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ， 则 且，即且 ， 所以，阴影部分可表示为. 故选：D. 2．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 【答案】B 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以，． 故选：B． 3．已知集合．设，下列说法正确的是（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，， 故为的真子集，又，故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知，若的解集为，则函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】由的解集为， 可知函数的大致图象为选项D中的图象， 又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项. 故选:C． 5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ， 解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 6．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D. 7．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 8．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误. 故选：BC. 10．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 【答案】AC 【详解】， 当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 当时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 故选：AC. 11．下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，当且仅当等号成立， 所以，当且仅当等号成立，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 14．函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】对于，显然是增函数，，最小值为； 对于， 当时，，即； 当时，，，无解； 综上，a的取值范围是； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为；....................................6分 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为.....................13分 16．（15分）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）由， 则，又当时，， 则，；....................................4分 （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增；...................................9分 （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得.....................................15分 17．（15分）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为；....................................4分 （2）设日销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450，...................................7分 ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元；....................................10分 （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴，又，∴．....................................15分 18．（17分）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 【详解】（1）由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故.....................................6分 （2）由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以，....................................10分 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值.....................................17分 19．（17分）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质： ①，； ②，； ③，，使得； ④，，使得． 例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群． (1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群； (3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得． 【详解】（1）集合表示所有偶数，满足①任意两个偶数相加仍是偶数，②加法结合律，③，④偶数的相反数仍是偶数，所以是加法群； 集合表示所有奇数，满足②加法结合律，④奇数的相反数仍是奇数，不满足①任意两个奇数相加仍是奇数，②，所以不是加法群.....................................4分 （2）因为非空集合，所以满足②结合律， 根据题意可知当时，，满足条件③， 则，有，满足④， 所以有，满足①， 综上满足①②③④，是一个加法群.....................................10分 （3）由（2）可是是一个加法群， 证明存在，使得，即证明恰是的所有整数倍组成的集合， 当时，显然，结论成立， 当时，由（2）可知若，则，集合中一定有正整数， 假设是集合中最小正整数，则由性质①及，有可知对于任意整数有， 下证， 设，且不能被整除，设，，， 因为，，则根据，有可知，与是集合中最小正整数矛盾， 所以集合中不存在不能被整除的数， 所以.....................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．如图，已知矩形 U表示全集，A、B是 U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A．  U A B B．  U A B C．  UB A D．  U A B 2．已知命题  : 1 2p x x x    ， 2 3 2 0x x   ，则 p 是（ ） A．  1 2x x x    ， 2 3 2 0x x   B．  1 2x x x    ， 2 3 2 0x x   C．  1x x x   或 2x  ， 2 3 2 0x x   D．  1x x x   或 2x  ， 2 3 2 0x x   3．已知集合    2 , , 4 2,A x x k k B x x k k      Z Z∣ ∣ ．设 : , :p x A q x B  ，下列说法正确的是（ ） A．p是 q的充分不必要条件 B．p是 q的必要不充分条件 C．p是 q的充要条件 D．p是 q的既不充分也不必要条件 4．已知 2( )f x ax x c   ，若 ( ) 0f x  的解集为 ( 2,1) ，则函数 ( )y f x  的大致图象是（ ） A． B． C． D． 5．定义在 (0, ) 上的函数 ( )f x 满足 1x ， 2 (0, )x   且 1 2x x ，有      1 2 1 2 0f x f x x x     ，且 ( ) ( ) ( )f xy f x f y  ， 2 (4) 3 f  ，则不等式 (2 ) ( 3) 1f x f x   的解集为（ ）. A． (0,4) B． (0, ) C． (3,4) D． (2,3) 6．设函数  f x 的定义域为R ，满足    12 2 f x f x  ，且当𝑥 ∈ (0,2]时，    2f x x x  ，若对任意  ,x m  ，都有   3 16 f x   ，则m的取值范围是（ ） A． 5,  B． 9 , 2    C． 21 , 4     D． 11 , 2     7．对于函数  y f x ，若存在 0x ，使得    0 0f x f x   ，则称点   0 0,x f x 与点   0 0,x f x  是函数  f x 的一对“隐对称点”，若函数   22 3 , 0 4, 0 x x x f x kx x        的图象存在“隐对称点”，则实数 k的取值范围是（ ） A．  ,3 4 2    B． 3 4 2,0  C． 2 2 2,0  D．  , 2 2 2    8．已知 0a  ， 0b  ， 0c  ，且 3 0a b c   ，则 6 b a a b c   的最小值为（ ） A． 2 9 B． 4 9 C． 5 9 D． 8 9 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．若集合 A，B，U满足 ( )UA B  ，则下列结论一定正确的是（ ） A． A B U  B． A B C． A B A D．  UA B U  10．已知幂函数   n mf x x （m， *nN ，m，n互质），下列关于  f x 的结论正确的是（ ） A．m，n是奇数时，幂函数  f x 是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数  f x 是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数  f x 是偶函数 D．0 1 m n   时，幂函数  f x 在(0,+∞)上是减函数 11．下列命题正确的是（ ） A．若关于 x的方程  2 2 1 2 0x a x a     的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 a的取值范围是 2 1a   B．若关于 x的不等式 2 1 0x kx k    在  1,2 上恒成立，则实数 k的取值范围是 3k  C．若关于x的不等式 0ax b  的解集是  1, ，则关于 x的不等式 0 2 ax b x    的解集是 2x x  或 1x   D．若  1 2 1 0, 0a b a b     ，则 2 2 1 4 a b  的最小值为 1 2 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若函数  f x 的定义域是 2,5 ，则函数   2 2 3 2 3 f x y x x     的定义域是 . 13．已知集合 { Z |A x  点 ( 1, )x x a  不在第一、三象限}，集合  1 3B t t   ，若“ y B ”是“ y A ”的 必要条件，则实数 a的取值范围是 . 14．函数       22 , 1, 2 , 5f x x x g x x ax x        ，对任意的  1 1,2x  ，总存在  2 2,4x  ，使得    2 1g x f x 成立，则 a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知集合 { | 2 1 5}A x x     、集合 { | 1 2 1}B x m x m     （mR）. (1)若 A B  ，求实数m的取值范围； (2)设命题 p： x A ；命题 q： x B ，若命题 p是命题 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16．（15 分）已知函数  f x 的定义域为R ，对任意 x，y 都满足      f x y f x f y  ，且   0f x  .当 0x  时，   1f x  ，且  2 9f  . (1)求  1f ，  3f 的值； (2)用函数单调性的定义证明  f x 在R 上单调递增； (3)若对任意的 Rx ，      2 22 3 5 3 4f x a a f x f x     恒成立，求实数 a的取值范围. 17．（15 分）某公司生产的某种时令商品每件成本为 22 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内 的日销售量m（件）与 x（天）的关系如表： 时间 x（天） 1 3 6 10 36    日销售量m（件） 94 90 84 76 24    未来 40 天内，前 20 天每天的价格 1 1 25 4 y x  （1 20x  且 x为整数），后 20 天每天的价格 2 1 40 2 y x   （ 20 40x  且 x为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量m与时间 x（天）之间的关系式； (2)请预测示来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前 20 天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（ 5 4.a  ）给希望工程．公司通 过销售记录发现，前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x（天）的增大而增大，求 a的取值范 围． 18．（17 分）若关于 x的不等式 2 4 0x mx m   的解集为  1 2,x x . (1)当 1m  时，求 1 2 1 1 4 4x x    的值； (2)若 1 > 0x ， 2 0x  ，求 1 2 1 1 x x  的值，并求 1 24x x 的最小值. 19．（17 分）已知G 为实数集的一个非空子集，称  ,G  是一个加法群，如果G 连同其上的加法运算满足 如下四条性质： ① ,a b G  ，a b G  ； ② , ,a b c G  ，    a b c a b c     ； ③ G  ， a G  ，使得a a a     ； ④ a G  ， b G  ，使得a b b a     ． 例如  Z, 是一个无限元加法群，   0 , 是一个单元素加法群． (1)令  2 ZA k k  ，  2 1 ZB k k   ，分别判断  ,A  ，  ,B  是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合 RT  ，并且 ,x y T  ，有 x y T  ，求证：  ,T  是一个加法群； (3)已知非空集合 ZS  ，并且 ,x y S  ，有 x y S  ，求证：存在 Zd ，使得  ZS da a  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合逻辑+不等式+函数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．如图，已知矩形 U 表示全集，A、B 是 U 的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A．  U A B B．  U A B C．  U B A D．  U A B 【答案】D 【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素 x ， 则 x A 且 x B ，即 Ux A 且 x B ， 所以，阴影部分可表示为  U A B . 故选：D. 2．已知命题  : 1 2p x x x    ， 2 3 2 0x x   ，则 p 是（ ） A．  1 2x x x    ， 2 3 2 0x x   B．  1 2x x x    ， 2 3 2 0x x   C．  1x x x   或 2x  ， 2 3 2 0x x   D．  1x x x   或 2x  ， 2 3 2 0x x   【答案】B 【详解】命题  : 1 2p x x x    ， 2 3 2 0x x   是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 所以  : 1 2p x x x     ， 2 3 2 0x x   ． 故选：B． 3．已知集合    2 , , 4 2,A x x k k B x x k k      Z Z∣ ∣ ．设 : , :p x A q x B  ，下列说法正确的是（ ） A．p 是 q 的充分不必要条件 B．p 是 q 的必要不充分条件 C．p 是 q 的充要条件 D．p 是 q 的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由   2 2 1 ,B x x k k   Z∣ ，  2 ,A x x k k  Z∣ ， 故 B 为A 的真子集，又 : , :p x A q x B  ，故 p 是 q 的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知 2( )f x ax x c   ，若 ( ) 0f x  的解集为 ( 2,1) ，则函数 ( )y f x  的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ( ) 0f x  的解集为 ( 2,1) ， 可知函数 ( )y f x 的大致图象为选项 D 中的图象， 又函数 y  ( )f x 与 ( )y f x  的图象关于 y 轴对称,可得出图象为 C 选项. 故选:C． 5．定义在 (0, ) 上的函数 ( )f x 满足 1x ， 2 (0, )x   且 1 2x x ，有      1 2 1 2 0f x f x x x     ，且 ( ) ( ) ( )f xy f x f y  ， 2 (4) 3 f  ，则不等式 (2 ) ( 3) 1f x f x   的解集为（ ）. A． (0,4) B． (0, ) C． (3, 4) D． (2,3) 【答案】C 【详解】解： ( ) ( ) ( )f xy f x f y        2(4) 2 2 2 2 3 f f f f      ， 即   12 3 f  ，           18 4 2 4 2 3 2 3 1 3 f f f f f        ， (2 ) ( 3) 1f x f x    ，可转化为：  (2 ) ( 3) 8f x f x f   ， 即  (2 ) 8 ( 3)f x f f x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 即    (2 ) 8 3 8 24f x f x f x       ， ( )f x 满足 1x ， 2 (0, )x   且 1 2x x ，有      1 2 1 2 0f x f x x x     ，  f x 在  0,  上单调递增， 即 2 0 3 0 2 8 24 x x x x        ， 解得：3 4x  ， 即不等式 (2 ) ( 3) 1f x f x   的解集为：  3 4， . 故选：C. 6．设函数  f x 的定义域为R ，满足    12 2 f x f x  ，且当𝑥 ∈ (0,2]时，    2f x x x  ，若对任意  ,x m  ，都有   3 16 f x   ，则m 的取值范围是（ ） A． 5,  B． 9 , 2    C． 21 , 4     D． 11 , 2     【答案】D 【详解】当  2, 4x 时，  2 0,2x   ， 则        12 4 ,0 2 1 1 2 2 2 x xf x f x          ， 即当  2,4x 时，       12 4 ,01 2 2 x xf x        ， 同理当  4,6x 时，       14 6 ,01 4 4 x xf x        ； 当  6,8x 时，       16 8 ,01 8 8 x xf x        . 以此类推，当 6x  时，都有   3 16 f x   . 函数  f x 和函数 3 16 y   在  0,8 上的图象如下图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 由图可知，     1 34 6 4 16 f m m m     ，  5,6m ，解得 11 2 m  ， 即对任意 11 , 2 x     ，都有   3 16 f x   ，即m 的取值范围是 11 , 2     . 故选：D. 7．对于函数  y f x ，若存在 0x ，使得    0 0f x f x   ，则称点   0 0,x f x 与点   0 0,x f x  是函数  f x 的一对“隐对称点”，若函数   22 3 , 0 4, 0 x x x f x kx x        的图象存在“隐对称点”，则实数 k 的取值范围是（ ） A．  ,3 4 2    B． 3 4 2,0  C． 2 2 2,0  D．  , 2 2 2    【答案】A 【详解】设  g x 为奇函数，且当 0x  时，   22 3g x x x  ，则𝑥 > 0时，   22 3g x x x   . 则原问题转化为方程： 22 3 4x x kx    在  0, 上有解，求 k 的取值范围问题. 由  22 3 4 0x k x    在  0, 有解得： 0 3 0k         2 3 32 3 k k       3 4 2k   . 故选：A 8．已知 0a  ， 0b  ， 0c  ，且 3 0a b c   ，则 6 b a a b c   的最小值为（ ） A． 2 9 B． 4 9 C． 5 9 D． 8 9 【答案】C 【详解】由 3 0a b c   可得 3c a b  ，且 , , 0a b c  因此 9 1 1 6 6 3 9 b a b a b a b ba b c a b a b a b a a a             ， 令 0 b t a   ，则 9 19 1 1 1b t ba t a     ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 又    1 1 1 1 1 1 1 59 1 2 9 1 9 1 9 9 1 9 9 9 1 9 9 t t t t t t              ； 当且仅当  1 19 1 9 9 1 t t    时，即 2 9 t  时，等号成立； 此时 6 b a a b c   的最小值为 5 9 . 故选：C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．若集合 A，B，U 满足 ( )UA B  ，则下列结论一定正确的是（ ） A． A B U  B． A B C． A B A D．  UA B U  【答案】BC 【详解】由 ( )UA B  ，可得 A B ，所以 B 正确； 如图所示，由 ,A B A A B B   ，可得 A 错误，C 正确； 又由  UA B U  ，所以 D 错误. 故选：BC. 10．已知幂函数   n mf x x （m， *nN ，m，n 互质），下列关于  f x 的结论正确的是（ ） A．m，n 是奇数时，幂函数  f x 是奇函数 B．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数  f x 是偶函数 C．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数  f x 是偶函数 D．0 1 m n   时，幂函数  f x 在(0,+∞)上是减函数 【答案】AC 【详解】   n m nmf x x x  ， 当 m，n 是奇数时，幂函数  f x 是奇函数，故 A 中的结论正确； 当 m 是偶数，n 是奇数，幂函数  f x 在 0x  时无意义，故 B 中的结论错误 当 m 是奇数，n 是偶数时，幂函数  f x 是偶函数，故 C 中的结论正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 当0 1 m n   时，幂函数  f x 在(0,+∞)上是增函数，故 D 中的结论错误； 故选：AC. 11．下列命题正确的是（ ） A．若关于 x 的方程  2 2 1 2 0x a x a     的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 a 的取值范围是 2 1a   B．若关于 x 的不等式 2 1 0x kx k    在  1,2 上恒成立，则实数 k 的取值范围是 3k  C．若关于 x 的不等式 0ax b  的解集是  1, ，则关于 x 的不等式 0 2 ax b x    的解集是 2x x  或 1x   D．若  1 2 1 0, 0a b a b     ，则 2 2 1 4 a b  的最小值为 1 2 【答案】ACD 【详解】对于 A，二次函数    2 2 1 2f x x a x a     ，开口向上， 若关于 x 的方程  2 2 1 2 0x a x a     的一根比 1 大且另一根比 1 小， 则    2 21 1 1 2 2 0f a a a a         ，解得 2 1a   ，故 A 正确； 对于 B，若关于 x 的不等式 2 1 0x kx k    在  1,2 上恒成立， 则只需   21 1k x x   ，即 1k x  在  1,2 上恒成立即可， 则实数 k 的取值范围是 3k  ，故 B 错误； 对于 C，若关于 x 的不等式 0ax b  的解集是  1, ，则 0,a a b  ， 所以关于 x 的不等式 1 0 0 1 2 2 ax b x x x x           或 2x  ，故 C 正确；‘ 对于 D，若  1 2 1 0, 0a b a b     ，则 1 2 2 1 2   a b ab ，解得 4 1 2ab  ，当且仅当 2, 4a b  等号成立， 所以 2 2 2 1 4 1 2 4 4 1 1 1 1 2 2a b a b ab ab              ，当且仅当 2, 4a b  等号成立，故 D 正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若函数  f x 的定义域是 2,5 ，则函数   2 2 3 2 3 f x y x x     的定义域是 . 【答案】  3, 4 【详解】由题意得函数𝑓(𝑥)的定义域是 2,5 ， 令 2 3t x  ，所以2 5t  ，即2 2 3 5x   ，解得 5 4 2 x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 由 2 2 3 0x x   ，解得 1x   或 3x  ， 所以函数   2 2 3 2 3 f x y x x     的定义域为  3,4 . 故答案为：  3,4 . 13．已知集合 { Z |A x  点 ( 1, )x x a  不在第一、三象限}，集合  1 3B t t   ，若“ y B ”是“ y A ”的必 要条件，则实数 a 的取值范围是 . 【答案】0 < < 3a 【详解】由“ y B ”是“ y A ”的必要条件，即 A B ， 由 A 中元素为整数，故 A 只可能为 1 ， 2 ， 1,2 ， 由点不在第一、三象限，得： 1 0 0 x x a      或 1 0 0 x x a      ，即 1x x a    ①或 1x x a    ②， 当 1a  时，①无解，由②得 1a x  ， 此时  Z 1A x a x    ，故  1A  ，有0 1a  ； 当 1a  时，由①②得1 x a  ， 此时  Z 1A x x a    ，因1 A ，只须3 A ，有1 3a  ； 综上：实数 a 的取值范围是 0 3x a  . 故答案为：0 < < 3a 14．函数       22 , 1, 2 , 5f x x x g x x ax x        ，对任意的  1 1,2x  ，总存在  2 2,4x  ，使得    2 1g x f x 成立，则 a 的取值范围为 ． 【答案】  ,5 【详解】对于   2f x x x   ，显然是增函数，        1 , 2 1,1f x f f      ，最小值为 1 ； 对于   2 5g x x ax    ， 当 3, 6 2 a a  时，    min 4 21 4 1, 5g x g a a        ，即 5a  ； 当 3, 6 2 a a  时，    min 2 9 2 1g x g a      ， 4a  ，无解； 综上，a 的取值范围是 5a  ； 故答案为：  ,5 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知集合 { | 2 1 5}A x x     、集合 { | 1 2 1}B x m x m     （mR）. (1)若 A B   ，求实数m 的取值范围； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 (2)设命题 p ： x A ；命题q： x B ，若命题 p 是命题q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知 { | 2 1 5} { | 1 6}A x x x x         ， 又 A B   ，当B 时， 1 2 1m m   ，解得 2m  ， 当B  时， 1 2 1m m   ， 1 6m   或2 1 1m    ，解得 5m  ， 综上所述，实数m 的取值范围为    , 2 5,    ；....................................6 分 （2）∵命题 p 是命题q的必要不充分条件，∴集合 B 是集合A 的真子集， 当B 时， 1 2 1m m   ，解得 2m  ， 当B  时， 1 2 1 1 1 2 1 6 m m m m           （等号不能同时成立），解得 7 2 2 m  ， 综上所述，实数m 的取值范围为 7 , 2     .....................13 分 16．（15 分）已知函数  f x 的定义域为R ，对任意 x， y 都满足      f x y f x f y  ，且   0f x  .当 0x  时，   1f x  ，且  2 9f  . (1)求  1f ，  3f 的值； (2)用函数单调性的定义证明  f x 在R 上单调递增； (3)若对任意的 Rx ，      2 22 3 5 3 4f x a a f x f x     恒成立，求实数 a 的取值范围. 【详解】（1）由      f x y f x f y  ， 则      22 1 1 91f f f    ，又当 0x  时，   1f x  ， 则  1 3f  ，        3 1 2 1 2 3 9 27f f f f       ；....................................4 分 （2）令 0y  ，则      0 0f x f x f   ，即  0 1f  ， 当 0x  时， 0x  ，   1f x  且        1f x x f x f x      ， 即     1 0f x f x    ， 即   0f x  在R 上恒成立， 由      f x y f x f y  ，可知      y f x y f f x   ， 令 1x x y  ， 2x x ，且 1 2x x ，即 1 2 0x x  ， 则       1 1 2 2 1 f x f x x f x    ， 所以    1 2f x f x ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 即  f x 在R 上单调递增；...................................9 分 （3）由已知        2 22 3 5 3 4 3 4 9f x a a f x f x f x       ， 又由（1）得  1 3f  ， 所以          2 22 3 4 9 1 4 9 4 8f x a a f x f f x f x        ， 又函数在R 上单调递增， 则 2 22 4 8x a a x    恒成立， 所以 2 22 4 8x x a a    恒成立， 又  222 4 8 2 1 6 6x x x      ， 即 2 6a a  ， 解得 2 3a   .....................................15 分 17．（15 分）某公司生产的某种时令商品每件成本为 22 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的 日销售量m （件）与 x（天）的关系如表： 时间 x（天） 1 3 6 10 36    日销售量m （件） 94 90 84 76 24    未来 40 天内，前 20 天每天的价格 1 1 25 4 y x  （1 20x  且 x为整数），后 20 天每天的价格 2 1 40 2 y x   （ 20 40x  且 x为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量m 与时间 x（天）之间的关系式； (2)请预测示来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前 20 天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（ 5 4.a  ）给希望工程．公司通过 销售记录发现，前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x（天）的增大而增大，求a的取值范围． 【详解】（1）通过表格可知 m 与 x 之间的关系为一次函数， 设一次函数为m kx b  ，把 (1 94)， 和 (3 )90， 代入， 解得 2, 96k b   ， ∴ 2 96m x   ； 把 (6 )84， 代入检验， 2 6 96 84m      ，符合题意， ∴日销售量 m 与时间 x（天）之间的关系式为 2 96m x   ；....................................4 分 （2）设日销售利润为 W 元， ①当1 20x  时， 2 1 1 ( 2 96) 25 22 ( 18) 450 4 2 W x x x              ， ∴当 18x  时，W 有最大值 450，...................................7 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ②当21 40x  时， 2 1 ( 2 96) 40 22 ( 42) 36 2 W x x x              ， ∴当21 40x  时，W 随 x 增大而减小， ∴ 21x  时， max 405W  ， ∵405 450 ， ∴未来 40 天中第 18 天日销售利润最大，最大日销售利润为 450 元；....................................10 分 （3）由题意知 2 21 1( 2 96) 25 22 [ 2( 9)] 2 60 450 4 2 W x x a x a a a                  二次函数开口向下，对称轴是 2( 9)x a  ， 要使日销售利润随时间 x 的增大而增大，则2( 9) 19.5a   ， ∴ 3 4 a  ，又 4.5a  ，∴0.75 4.5a  ．....................................15 分 18．（17 分）若关于 x的不等式 2 4 0x mx m   的解集为  1 2,x x . (1)当 1m  时，求 1 2 1 1 4 4x x    的值； (2)若 1 > 0x ， 2 0x  ，求 1 2 1 1 x x  的值，并求 1 24x x 的最小值. 【详解】（1）由题意，关于 x的方程 2 4 1 0x x   有两个根 1x ， 2x ， 所以 1 2 1 2 Δ 12 0 4 1 x x x x        ，故   1 2 1 2 1 2 1 2 81 1 4 4 4 4 4 16 1 16 16 x x x x x x x x                .....................................6 分 （2）由题意，关于 x方程 2 4 0x mx m   有两个正根， 且由韦达定理知 2 1 2 1 2 Δ 16 4 0 4 0 0 m m x x m x x m            ，解得 1 4 m  ， 所以 1 2 1 2 1 2 1 1 4 4 x x m x x x x m      ，....................................10 分 所以   2 11 2 1 2 1 2 1 2 41 1 1 1 4 4 1 4 4 4 x x x x x x x x x x                    ， 又 1 > 0x ， 2 0x  ，故 2 1 x x 、 1 2 0 x x  ， 所以 2 1 2 1 1 2 1 2 4 4 2 4 x x x x x x x x     ，当且仅当 2 1 1 2 4x x x x  即 1 22x x 时等号成立， 结合 1 2 1 1 4 x x   得即 1 3 4 x  ， 2 3 8 x  时取等号. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 此时实数 9 1 32 4 m   符合条件， 故 1 2 9 4 4 x x  ，且当 9 32 m  时，取得最小值 9 4 .....................................17 分 19．（17 分）已知G 为实数集的一个非空子集，称  ,G  是一个加法群，如果G 连同其上的加法运算满足如 下四条性质： ① ,a b G  ，a b G  ； ② , ,a b c G  ，    a b c a b c     ； ③ G  ， a G  ，使得a a a     ； ④ a G  ， b G  ，使得a b b a     ． 例如  Z, 是一个无限元加法群，   0 , 是一个单元素加法群． (1)令  2 ZA k k  ，  2 1 ZB k k   ，分别判断  ,A  ，  ,B  是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合 RT  ，并且 ,x y T  ，有 x y T  ，求证：  ,T  是一个加法群； (3)已知非空集合 ZS  ，并且 ,x y S  ，有 x y S  ，求证：存在 Zd  ，使得  ZS da a  ． 【详解】（1）集合A 表示所有偶数，满足①任意两个偶数相加仍是偶数，②加法结合律，③0 A ，④偶数 的相反数仍是偶数，所以  ,A  是加法群； 集合 B 表示所有奇数，满足②加法结合律，④奇数的相反数仍是奇数，不满足①任意两个奇数相加仍是奇数， ②0 B ，所以  ,B  不是加法群.....................................4 分 （2）因为非空集合 RT  ，所以满足②结合律， 根据题意可知当 x y 时， 0x y T   ，满足条件③， 则 x T  ，有0 x x T    ，满足④， 所以 ,x y T  有 ,x y T  ，  x y x y T     满足①， 综上  ,T  满足①②③④，是一个加法群.....................................10 分 （3）由（2）可是  ,S  是一个加法群， 证明存在 Zd  ，使得  ZS da a  ，即证明S恰是d 的所有整数倍组成的集合， 当  0S  时，显然 0d  ，结论成立， 当  0S  时，由（2）可知若 x S ，则 x S  ，集合中一定有正整数， 假设d 是集合S中最小正整数，则由性质①及 ,x y S  ，有 x y S  可知对于任意整数a有ad S ， 下证  ZS da a  ， 设 l S ，且 l 不能被d 整除，设 l ad r  ，1 1r d   ， Za ， 因为 l S ，ad S ，则根据 ,x y S  ，有 x y S  可知 r S ，与d 是集合S中最小正整数矛盾， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 所以集合S中不存在不能被d 整除的数， 所以  ZS da a  .....................................17 分 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B C C D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为；....................................6分 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为.....................13分 16．（15分） 【详解】（1）由， 则，又当时，， 则，；....................................4分 （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增；...................................9分 （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得.....................................15分 17．（15分） 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为；....................................4分 （2）设日销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450，...................................7分 ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元；....................................10分 （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴，又，∴．....................................15分 18．（17分） 【详解】（1）由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故.....................................6分 （2）由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以，....................................10分 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值.....................................17分 19．（17分） 【详解】（1）集合表示所有偶数，满足①任意两个偶数相加仍是偶数，②加法结合律，③，④偶数的相反数仍是偶数，所以是加法群； 集合表示所有奇数，满足②加法结合律，④奇数的相反数仍是奇数，不满足①任意两个奇数相加仍是奇数，②，所以不是加法群.....................................4分 （2）因为非空集合，所以满足②结合律， 根据题意可知当时，，满足条件③， 则，有，满足④， 所以有，满足①， 综上满足①②③④，是一个加法群.....................................10分 （3）由（2）可是是一个加法群， 证明存在，使得，即证明恰是的所有整数倍组成的集合， 当时，显然，结论成立， 当时，由（2）可知若，则，集合中一定有正整数， 假设是集合中最小正整数，则由性质①及，有可知对于任意整数有， 下证， 设，且不能被整除，设，，， 因为，，则根据，有可知，与是集合中最小正整数矛盾， 所以集合中不存在不能被整除的数， 所以.....................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合逻辑+不等式+函数。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．如图，已知矩形 U表示全集，A、B是 U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A．  U A B B．  U A B C．  UB A D．  U A B 2．已知命题  : 1 2p x x x    ， 2 3 2 0x x   ，则 p 是（ ） A．  1 2x x x    ， 2 3 2 0x x   B．  1 2x x x    ， 2 3 2 0x x   C．  1x x x   或 2x  ， 2 3 2 0x x   D．  1x x x   或 2x  ， 2 3 2 0x x   3．已知集合    2 , , 4 2,A x x k k B x x k k      Z Z∣ ∣ ．设 : , :p x A q x B  ，下列说法正确的是（ ） A．p是 q的充分不必要条件 B．p是 q的必要不充分条件 C．p是 q的充要条件 D．p是 q的既不充分也不必要条件 4．已知 2( )f x ax x c   ，若 ( ) 0f x  的解集为 ( 2,1) ，则函数 ( )y f x  的大致图象是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． B． C． D． 5．定义在 (0, ) 上的函数 ( )f x 满足 1x ， 2 (0, )x   且 1 2x x ，有      1 2 1 2 0f x f x x x     ，且 ( ) ( ) ( )f xy f x f y  ， 2 (4) 3 f  ，则不等式 (2 ) ( 3) 1f x f x   的解集为（ ）. A． (0,4) B． (0, ) C． (3, 4) D． (2,3) 6．设函数  f x 的定义域为R ，满足    12 2 f x f x  ，且当𝑥 ∈ (0,2]时，    2f x x x  ，若对任意  ,x m  ，都有   3 16 f x   ，则m的取值范围是（ ） A． 5,  B． 9 , 2    C． 21 , 4     D． 11 , 2     7．对于函数  y f x ，若存在 0x ，使得    0 0f x f x   ，则称点   0 0,x f x 与点   0 0,x f x  是函数  f x 的一对“隐对称点”，若函数   22 3 , 0 4, 0 x x x f x kx x        的图象存在“隐对称点”，则实数 k的取值范围是（ ） A．  ,3 4 2    B． 3 4 2,0  C． 2 2 2,0  D．  , 2 2 2    8．已知 0a  ， 0b  ， 0c  ，且 3 0a b c   ，则 6 b a a b c   的最小值为（ ） A． 2 9 B． 4 9 C． 5 9 D． 8 9 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．若集合 A，B，U满足 ( )UA B  ，则下列结论一定正确的是（ ） A． A B U  B． A B C． A B A D．  UA B U  10．已知幂函数   n mf x x （m， *nN ，m，n互质），下列关于  f x 的结论正确的是（ ） A．m，n是奇数时，幂函数  f x 是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数  f x 是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数  f x 是偶函数 D．0 1 m n   时，幂函数  f x 在(0,+∞)上是减函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 11．下列命题正确的是（ ） A．若关于 x的方程  2 2 1 2 0x a x a     的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 a的取值范围是 2 1a   B．若关于 x的不等式 2 1 0x kx k    在  1,2 上恒成立，则实数 k的取值范围是 3k  C．若关于 x的不等式 0ax b  的解集是  1, ，则关于 x的不等式 0 2 ax b x    的解集是 2x x  或 1x   D．若  1 2 1 0, 0a b a b     ，则 2 2 1 4 a b  的最小值为 1 2 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若函数  f x 的定义域是 2,5 ，则函数   2 2 3 2 3 f x y x x     的定义域是 . 13．已知集合 { Z |A x  点 ( 1, )x x a  不在第一、三象限}，集合  1 3B t t   ，若“ y B ”是“ y A ”的必 要条件，则实数 a的取值范围是 . 14．函数       22 , 1, 2 , 5f x x x g x x ax x        ，对任意的  1 1,2x  ，总存在  2 2,4x  ，使得    2 1g x f x 成立，则 a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知集合 { | 2 1 5}A x x     、集合 { | 1 2 1}B x m x m     （mR）. (1)若 A B   ，求实数m的取值范围； (2)设命题 p： x A ；命题q： x B ，若命题 p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16．（15 分）已知函数  f x 的定义域为R ，对任意 x， y 都满足      f x y f x f y  ，且   0f x  .当 0x  时，   1f x  ，且  2 9f  . (1)求  1f ，  3f 的值； (2)用函数单调性的定义证明  f x 在R 上单调递增； (3)若对任意的 Rx ，      2 22 3 5 3 4f x a a f x f x     恒成立，求实数 a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 17．（15 分）某公司生产的某种时令商品每件成本为 22 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的 日销售量m（件）与 x（天）的关系如表： 时间 x（天） 1 3 6 10 36    日销售量m（件） 94 90 84 76 24    未来 40 天内，前 20 天每天的价格 1 1 25 4 y x  （1 20x  且 x为整数），后 20 天每天的价格 2 1 40 2 y x   （ 20 40x  且 x为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量m与时间 x（天）之间的关系式； (2)请预测示来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前 20 天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（ 5 4.a  ）给希望工程．公司通过 销售记录发现，前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x（天）的增大而增大，求a的取值范围． 18．（17 分）若关于 x的不等式 2 4 0x mx m   的解集为  1 2,x x . (1)当 1m  时，求 1 2 1 1 4 4x x    的值； (2)若 1 > 0x ， 2 0x  ，求 1 2 1 1 x x  的值，并求 1 24x x 的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（17 分）已知G为实数集的一个非空子集，称  ,G  是一个加法群，如果G连同其上的加法运算满足如 下四条性质： ① ,a b G  ，a b G  ； ② , ,a b c G  ，    a b c a b c     ； ③ G  ， a G  ，使得a a a     ； ④ a G  ， b G  ，使得a b b a     ． 例如  Z, 是一个无限元加法群，   0 , 是一个单元素加法群． (1)令  2 ZA k k  ，  2 1 ZB k k   ，分别判断  ,A  ，  ,B  是否为加法群，并说明理由； (2)已知非空集合 RT  ，并且 ,x y T  ，有 x y T  ，求证：  ,T  是一个加法群； (3)已知非空集合 ZS  ，并且 ,x y S  ，有 x y S  ，求证：存在 Zd ，使得  ZS da a  ．