第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，圆，圆心为点C. 点为直线l上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 7．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C．D． 8．已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 10．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 11．圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为 . 13．若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为 ． 14．设，，，O为坐标原点，则以为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为 ；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P（该点称为直角△OAB的Brocard点），则点P横坐标x的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 16．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 17．已知圆． (1)证明：圆C过定点； (2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程． 18．已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值. 19．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案. 【详解】因为方程，即表示圆， 等价于0，解得或. 故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 2．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线即，恒过定点， 曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.    故选：B. 3．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值. 【详解】 解：，点的轨迹是以为直径的圆， 又点在圆上，故点是圆与圆的交点， 因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即， 解得：． 的最小值为4． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点的轨迹是以为直径的圆与圆有交点，从而可求出，考查了学生化归与转化思想，数形结合的解题思想及运算求解能力，属于中档题. 4．圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线. 【详解】 由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 5．已知直线，圆，圆心为点C. 点为直线l上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断出直线与圆相离，再将四边形面积表示为，然后根据点到直线的距离公式求出，即可求解． 【详解】根据题意可得，半径为， ∵直线， ∴点到直线的距离为，即直线与圆相离， ∵点为直线l上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，， ∴四边形面积为， ∵圆心到直线的距离为， ∴，即，则四边形面积最小为. 故选：B. 6．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系． 【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B． 7．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点， 显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆， 其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得：，， 所以的取值范围是：. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法. 8．已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆：可化为， 所以圆心，半径为，    因为，是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为， 联立，解得，即， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 10．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 则， 即的最小值为，故B正确；    选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；    选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：ABD.    11．圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D． 【详解】圆的圆心，半径， 的圆心， 半径， 显然，即圆与圆相交， 对于A，将方程与相减， 得公共弦AB所在直线的方程为，即，A正确； 对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为， 而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确； 对于C，点到直线的距离为， 因此，C错误； 对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为， 因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确． 故选：ABD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点分别为圆与圆上的动点，点为轴上的动点，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】作出圆M关于x轴的对称圆圆，根据对称性可知，. 【详解】如图，圆M关于x轴的对称圆为圆，点A关于x轴的对称点为点. 圆，圆心，半径，则圆M关于x轴的对称圆圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径. 当共线时，最小， 此时. 故答案为：7 13．若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线所过的定点和位置关系，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】直线过定点，直线过定点， 显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为， 显然点的坐标为，所以该圆的方程为， 由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大， 当点在如下图位置时，的值最大，即， 所以|PM|的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据两直线的位置关系确定点的轨迹，利用圆的几何性质是解题的关键. 14．设，，，O为坐标原点，则以为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为 ；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P（该点称为直角△OAB的Brocard点），则点P横坐标x的最大值为 ． 【答案】 /0.8 【分析】以为弦的圆的圆心记作，易得圆心在线段的垂直平分线，且通过可得，得到直线的方程即可求出圆的方程；先求出以为直径的，然后两圆进行相减得到公共弦方程，代入可得点P横坐标，然后用对勾函数即可求得最值 【详解】以为弦的圆的圆心记作，且圆心在线段的垂直平分线上， 与直线相切于，则， 由可得，所以直线为， 将代入直线可得圆心为，， 所以所求的圆的标准方程为①； 以为直径的圆的圆心，半径为1， 则的方程为②， ①②可得，即为与的公共弦所在直线的方程， 将代入可得， 因为交点在第一象限，所以，所以， 令，（当且仅当时取等号）则 所以交点的横坐标 由对勾函数可得在内单调递增，所以当时，取得最小值，为， 所以交点的横坐标的最大值为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【答案】(1) (2)89 【分析】（1）设点，用表示出的坐标，代入圆的方程即可； （2）利用两点距离公式表示，结合的关系及范围可求结论. 【详解】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． 16．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可; （2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍）， 所以圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则， 即，解得， 又，所以，解得， 所以直线的方程为或 . 17．已知圆． (1)证明：圆C过定点； (2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)面积最小值为， 【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可； （2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）依题意，将圆的方程化为 ， 令，即，则恒成立， 解得，即圆过定点； （2）当时，圆， 直线， 设，依题意四边形的面积， 当取得最小值时，四边形的面积最小， 又，即当最小时，四边形的面积最小， 圆心到直线的距离即为的最小值， 即 ，即四边形面积最小值为， 此时直线与直线垂直， 所以直线的方程为，与直线联立，解得， 设以为直径的圆上任意一点：， 故圆的方程为， 即，又圆， 两式作差可得直线方程.    18．已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据圆心所在的直线设出圆心坐标，利用圆上的点建立距离方程求解即可； （2）法1，利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；法2，设直线DE的方程，与圆联立，利用韦达定理求得中点坐标，消去参数即可求得动点的轨迹方程； （3）法1，设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可；法2，利用数量积的几何意义及点到直线的距离公式及两点距离公式求解，或者利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】（1）圆心在上，可设圆心，，，解得：，， 故圆的方程为：. （2）法1：由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. 法2：设过且斜率为的直线为，与圆的方程联立， 消去得， 因为在圆的内部，故此二次方程必有两不等实根， 故弦的中点的横坐标，代入， 得，消去，可得， 即的轨迹方程为. （3）法1：设直线与直线交于点，由可知直线的斜率是， 直线的斜率为，，，， ，因此，， 又E到的距离， ，故恒为定值1. 法2：因为，所以由数量积的几何意义得， 由法1知，则， 又E到的距离， ，故恒为定值1. 或设，则， 所以.    【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件； （2）强化利用几何法求解圆的轨迹问题及弦长、定值等问题，联立直线与圆的方程，要强化得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题. 19．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2)②证明见解析，；② 【分析】（1）分与两种情况，借助两点间距离公式求解即可. （2）①时，联立圆与直线方程，借助韦达定理及两点斜率公式求解，并验证时满足； ②由，将，代入计算即可. 【详解】（1）设，由题意得，，， 当时，即， 解得，当时，三点共线，舍去，所以， 当时， 即，解得，所以， 综上或； （2）①设，，，，，， ，， 设直线斜率存在， 联立，消去y可得， 设，， 则，， 故，，， 或舍去， 则直线， ∴直线恒过定点， 当时，过定点，符合， 综上，直线恒过定点； ②由①得，， 则 ， ， 令， 则，当时，取得最大值， 当直线，四边形面积有最大值 . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$