第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．圆心为且与轴相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 4．已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．设直线与圆，则下列结论正确的为（    ） A．直线与圆一定相交 B．直线一定将圆平分 C．当时，被截得的弦长为 D．被截得的最短弦长为4 11．已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（    ） A．过点P的任意直线与圆M都相交 B．若圆M与直线无交点，则 C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线 D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 . 13．已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为 . 14．设点，若A关于对称点为B，过B作圆两条切线，切点为M，N，那点到直线MN的最大距离是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x轴上，半径为5，且过点； (2)经过点、，且以线段AB为直径； (3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； (4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 16．已知圆C：，直线l：. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程. 17．已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 18．已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 19．如图，与轴切于点，与轴正半轴交于两点，（点在点的左侧），且． (1)求圆的方程； (2)过点任作一直线与圆：相交于，两点，连接，，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《圆与方程》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．圆心为且与轴相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得圆半径，利用圆心和半径以及圆的标准方程，即可选择和判断. 【详解】因为圆心为，且与轴相切，故原的半径， 则圆的标准方程为：. 故选：D. 2．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 3．已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果. 【详解】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以. 故选：C 4．已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得两圆相交的充要条件，求得的取值范围，再由选项即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为，且， 使得两圆相交的充要条件为，且， 解得，由选项可得， 所以其一个充分不必要条件可以是. 故选：B 5．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为， 设倾斜角为，则， 由于，故， 故选：D 6．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线即，恒过定点， 曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.    故选：B. 8．已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】D 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项. 【详解】对于A，点在圆上，故A正确； 对于B，点在圆上，故B正确； 对于C，点都不在圆上，故C错误； 对于D，点都不在圆上，故D错误； 故选：AB. 10．设直线与圆，则下列结论正确的为（    ） A．直线与圆一定相交 B．直线一定将圆平分 C．当时，被截得的弦长为 D．被截得的最短弦长为4 【答案】AD 【分析】结合直线与圆的知识对选项进行分析，利用弦长公式确定CD正误，利用直线过定点判断A,利用斜率判断B,从而确定正确选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为. 对于A选项，直线过定，点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项正确； 对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项不正确； 对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，C选项错误； 对于D选项，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，D选项正确． 故选：AD 11．已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（    ） A．过点P的任意直线与圆M都相交 B．若圆M与直线无交点，则 C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线 D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分 【答案】ACD 【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断D选项. 【详解】因为点代入入圆的方程得,所以在圆M内， 所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确; 圆M圆心,直线 , 若圆M与直线无交点， , ,,,,B选项错误; 圆 ,当时，圆M半径最小则面积最小, 圆Q：,, , 圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确; 无论a为何值， ,,所以圆M都有弦长为的弦, ,, ,, 因为垂直弦平分弦, 圆M都有弦长为的弦，且被点P平分,故D选项正确. 故选:ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案． 【详解】设，又点， 则， 所以，， 又点A在圆上， 则，即， 所以线段AB的中点P的轨迹方程为． 故答案为：． 13．已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解. 【详解】在的垂直平分线上， 所以中垂线的斜率为， 的中点为，由点斜式得， 化简得， 在圆满足条件的有且仅有一个， 直线与圆相切， ， 故答案为: . 14．设点，若A关于对称点为B，过B作圆两条切线，切点为M，N，那点到直线MN的最大距离是 . 【答案】/ 【分析】利用相交弦方程得切点弦的方程，由点线距离公式得距离表达式，求解函数最值即可. 【详解】由题意，点关于的对称点为， 则，则四点共圆，在以为直径的圆上， 则以为直径的圆的方程为：， 又也在圆 ， 则两圆方程相减得方程为： ， 则点到直线MN的距离为 当时，； 当时，， 令，设， 则当且仅当，即时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x轴上，半径为5，且过点； (2)经过点、，且以线段AB为直径； (3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； (4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程. 【详解】（1）设圆的标准方程为． 因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6， 所以所求圆的标准方程为或． （2）设圆的标准方程为，由题意得，； 又因为点在圆上，所以． 所以所求圆的标准方程为． （3）设圆心为． 因为圆与直线y=1-x相切于点，所以， 解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径． 所以所求圆的方程为． （4）设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为． 又该圆经过A、B两点，所以． 所以，解得a=-2， 所以圆心坐标为，半径． 故所求圆的标准方程为． 16．已知圆C：，直线l：. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可. （2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆：，可得， 其圆心为，半径， 若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：. （2）由（1）知：圆心到直线的距离， 因为，即，解得：， 所以，整理得：，解得：或， 则直线为或. 17．已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 18．已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； （2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即.      19．如图，与轴切于点，与轴正半轴交于两点，（点在点的左侧），且． (1)求圆的方程； (2)过点任作一直线与圆：相交于，两点，连接，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用切线的性质及弦长可求圆的方程； （2）设：，联立方程组，结合根与系数关系化简可证. 【详解】（1）解：因为圆与轴切于点， 可设圆心坐标为（），则圆的半径为， 所以，得． 故所求圆的方程为． （2）证明：由（1）可得，当直线斜率为0时，； 当直线斜率不为0时，则可设：， 代入，并整理，得． 设，，其中，， 则因为，所以， 因为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$