专题强化02：圆与方程题型归纳【11大题型培优】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

专题强化02：圆与方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：圆的方程 · 题型二：圆的一般方程参数问题 · 题型三：定点到圆的最值问题 · 题型四：圆上点到定直线最值问题 · 题型五：圆的切线问题 · 题型六：圆的弦长问题 · 题型七：圆与圆的位置关系求参数问题 · 题型八：圆与圆的公共弦问题 · 题型九：圆的公切线问题 · 题型十：直线与圆的实际应用 · 题型十一：圆的定点定值问题 【题型探究】 题型一：圆的方程 1．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆经过、、三点． (1)求圆的方程； (2)已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程. 3．（22-23高二上·江苏常州·期中） （1）已知圆经过三点，，，求该圆的方程； （2）若一个圆过点，且与圆：相切于点，求此圆的方程. 题型二：圆的一般方程参数问题 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：定点到圆的最值问题 7．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：圆上点到定直线最值问题 10．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点是圆：上的动点，线段是圆：的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型五：圆的切线问题 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 14．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角（锐角）为，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆，若点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型六：圆的弦长问题 16．（23-24高二上·江苏南京）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 17．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 18．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆相切 B．直线与圆相离 C．直线与圆相交且所截弦长最短为 D．直线与圆相交且所截弦长最短为4 题型七：圆与圆的位置关系求参数问题 19．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 21．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型八：圆与圆的公共弦问题 22．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）已知圆，圆，则两圆公共弦所在的直线过定点（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线经过定点，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：圆的公切线问题 25．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 27．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十：直线与圆的实际应用 28．（21-22高二·全国·课后作业）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个图的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2＝ （参考数据：5.478，5.744，精确到0.01m）. 29．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 30．（22-23高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 题型十一：圆的定点定值问题 31．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，直线，圆：，圆与圆关于直线对称，是直线上的动点． (1)求圆的标准方程； (2)过点引圆的两条切线，切点分别为，设线段的中点是，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线的轨迹方程为． (1)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (2)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 33．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线. (1)若直线与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围； (3)若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点. 【专题强化】 一、单选题 34．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 35．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆 相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 37．（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 38．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 42．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 45．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线过定点 B．当取得最小值时，点在圆上 C．直线，关于直线对称 D．与的乘积为定值4 三、填空题 46．（2024高二上·江苏·专题练习）设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切. 47．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 48．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 49．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 四、解答题 50．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 51．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 52．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 53．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 54．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：圆与方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：圆的方程 · 题型二：圆的一般方程参数问题 · 题型三：定点到圆的最值问题 · 题型四：圆上点到定直线最值问题 · 题型五：圆的切线问题 · 题型六：圆的弦长问题 · 题型七：圆与圆的位置关系求参数问题 · 题型八：圆与圆的公共弦问题 · 题型九：圆的公切线问题 · 题型十：直线与圆的实际应用 · 题型十一：圆的定点定值问题 【题型探究】 题型一：圆的方程 1．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设出圆心的坐标，利用求出点坐标，进而求出半径，得解. 【详解】由题意，设（），圆的半径为， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 2．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆经过、、三点． (1)求圆的方程； (2)已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，将、、三点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，即可得出圆的方程； （2）分析可知圆心直线上，求出直线的方程，将直线的方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，以及圆的半径，进而可得出圆的方程. 【详解】（1）解：设圆的方程为． 将、、三点坐标代入圆的方程可得，解得. 所以圆的方程为，即． （2）解：因为圆与圆外切于点，所以圆心直线上，圆心的坐标为， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 又点在直线上，联立，解得，即点， 所以，圆的半径为， 所以圆的方程为． 3．（22-23高二上·江苏常州·期中）（1）已知圆经过三点，，，求该圆的方程； （2）若一个圆过点，且与圆：相切于点，求此圆的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； （2）根据已知条件及两圆的位置关系，再利用垂径定理及直线的点斜式方程，结合半径的定义及圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）设圆方程为， 因为A，B，C三点在圆上， 所以，解得，，， 所以圆方程为. （2）圆方程为，所求圆与圆外切 ∵，，∴方程为① ∵，，∴中点为， ∴中垂线方程：即② 由①②解得圆心. ② 所以所求圆方程为. 题型二：圆的一般方程参数问题 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解. 【详解】方程表示圆，，即，解得：， 实数的取值范围是. 故选：D. 5．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 题型三：定点到圆的最值问题 7．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解. 【详解】的圆心为，半径为， 由题意得，故在圆外， 所以的最大值为． 故选：D 8．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值. 【详解】圆，圆心，半径为， 则圆心关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当三点共线时取得最小值， 结合图像可知. 故选：C 9．（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先由，可以求出点的坐标，然后可转换成求的最小值即可，结合三角形三边关系以及定点到圆上点的距离的最值即可得解，注意取等条件是否满足. 【详解】如图，    设，因为， 所以，即， 此方程与圆表示同一个圆，故. 又，所以， 等号成立当且仅当点在线段上. 故选：B. 题型四：圆上点到定直线最值问题 10．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求，确定面积最大点P的位置，即可求面积最大值. 【详解】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离， 所以， 要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为， 所以面积的最大值是. 故选：A 11．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 12．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点是圆：上的动点，线段是圆：的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设中点为，计算，，，计算最值得到答案. 【详解】圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径； 设中点为，则圆心到直线的距离为，    圆心距为， ，最大值为， 故的最大值为. 故选：D. 题型五：圆的切线问题 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 14．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角（锐角）为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆方程可得圆心为，半径，再由点与圆心的距离可求得，即可知. 【详解】将圆化为标准方程可得， 即圆心为，半径；如下图所示： 又，易知， 所以可得，又为锐角，可知； 可得. 故选：C 15．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆，若点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线特点先得到四点共圆，再得到为两个圆的公共弦，得到公共弦方程，最后分离参数得到过定点. 【详解】因为过点作圆的两条切线，所以， 所以四点共圆且直径为， 不妨令，因为，所以中点坐标为， ，则圆， 所以既在圆上，也在圆上，所以直线为两个圆的公共弦， 将两个圆作差可得直线， 即，令，解得， 所以过定点， 故选：C 题型六：圆的弦长问题 16．（23-24高二上·江苏南京）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 17．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可. 【详解】直线：过定点， 圆：，圆心，半径 因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时， 弦长最短为， 故选：C    18．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆相切 B．直线与圆相离 C．直线与圆相交且所截弦长最短为 D．直线与圆相交且所截弦长最短为4 【答案】C 【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案. 【详解】由题意，圆的圆心，半径， 直线变形得，得直线过定点， ∵，所以点在圆内，∴直线与圆必相交，故A，B错； 由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为，故C对，D错. 故选：C. 题型七：圆与圆的位置关系求参数问题 19．（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆上动弦的长为，若圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用几何法求得点P的轨迹方程，再转化为两个圆有公共点列式求解即可. 【详解】由圆的弦长为可知中点P到的距离即为， 所以动点P的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，其轨迹方程为， 又圆上存在点P，则圆与圆有公共点， 圆的圆心为，半径为3，则，即， 解得或，即. 故选：C 20．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【答案】B 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，即可判断结果. 【详解】圆：， 所以圆心为，半径为， 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上， 将圆：与圆：作差， 得两圆公共弦所在直线方程， 代入得. 故选：B 21．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点P的轨迹方程，再结合题意求出点Q的轨迹方程，结合图形以及圆与圆的位置关系，即可求得答案. 【详解】由题意知两条动直线和交于点， 联立直线方程消去m可得， 由于，即， 该直线过定点，但不会过点， 故P点轨迹方程为（去掉点）， 圆心为，半径为； 上两点，间的距离为， Q为线段的中点，则圆C的圆心到Q的距离为， 则Q点轨迹方程为，圆心为，半径为； 由于与圆的圆心距满足， 故这两圆外离， 则的最小值为， 故选：B 题型八：圆与圆的公共弦问题 22．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：D． 23．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）已知圆，圆，则两圆公共弦所在的直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，然后即可求解. 【详解】由题意知圆：，圆：， 将两圆方程式相减得两圆公共弦所在直线方程为， 变形得，由得， 即公共弦所在直线过定点，故D项正确. 故选：D. 24．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线经过定点，且点在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将两个圆直接作差即可求出公共弦所在直线方程，然后求出定点的坐标，代入直线方程中，最后根据二次函数进行求解取值范围即可. 【详解】已知，， 将两圆作差得：， 即两圆公共弦所在直线方程为：， 易知直线恒过，即点坐标为， 将点坐标代入中得：， ， 故的取值范围是. 故选：A 题型九：圆的公切线问题 25．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，根据两圆心的距离确定两圆的位置关系，进而可得公切线的条数. 【详解】， 即，圆心， ， 即，圆心， 则， 所以， 所以两圆相交，有2条公切线. 故选：B. 26．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线.    两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，B正确； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D不正确. 故选：D. 27．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出两圆外切，可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则， 即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 题型十：直线与圆的实际应用 28．（21-22高二·全国·课后作业）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个图的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2＝ （参考数据：5.478，5.744，精确到0.01m）. 【答案】3.86m 【分析】以O为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，则圆心在y轴，设圆心坐标，可得圆拱所在圆的方程，将x＝﹣2代入圆方程，可求支柱A2P2的高度. 【详解】解：以O为原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，则圆心在y轴， 设圆心坐标（0，a），P（0，4），A（﹣10，0）， 则圆拱所在圆的方程为x2+（y﹣a）2＝r2， ∴， 即（a﹣4）2＝a2+100，解得a＝﹣10.5， ∴圆方程为x2+（y+10.5）2＝14.52 . 将x＝﹣2代入圆方程，得：y＝A2P2≈3.86（m）. 故答案为：3.86m. 29．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【答案】 3.32 【分析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，由可求得，圆心，可得圆的方程；由题意设，代入圆的方程可求支柱的高度． 【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则. 故答案为：3.32；. 30．（22-23高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 【答案】 2.0 6.6 【分析】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是，可得受台风影响的区域边界的曲线方程是，再由可得答案. 【详解】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心的移动轨迹方程是，设台风中心为， 受台风影响的区域边界的曲线方程是， 由，可得， 解得， 令， 当时， ∴， ， ∴从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h． 故答案为：①；②.    题型十一：圆的定点定值问题 31．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，直线，圆：，圆与圆关于直线对称，是直线上的动点． (1)求圆的标准方程； (2)过点引圆的两条切线，切点分别为，设线段的中点是，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）利用对称求出点坐标，即可得到圆的标准方程； （2）设点坐标，在以为直径的圆上，由圆与圆求公共弦，得直线过定点，点是在以为直径的圆上，所以存在点是的中点，使得为定值． 【详解】（1）圆化成标准方程为，圆心，半径为2， 设圆心，圆与圆关于直线对称， 直线的斜率为， 所以，解得， 所以，圆的方程为. （2）因为是直线上的动点，设， 分别与圆切于两点，所以， 所以在以为直径的圆上，    圆的方程， 即 为圆与圆的公共弦，由， 作差得方程为 即 令得，设， 所以直线过定点， 又是中点，所以，则有点是在以为直径的圆上， 所以存在点是的中点，使得为定值，坐标为. 32．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线的轨迹方程为． (1)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (2)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）求出点到直线距离，再利用点到直线距离公式计算作答. （2）由题意可知，直线为圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，即可作答. 【详解】（1）∵， ∴圆：的圆心到直线的距离， ∴. （2）直线过定点，理由如下： 设，则中点为.    由题意易知，必在以为直径的圆F上， 其中圆：， ∴直线为圆与圆的公共弦所在直线， ∴， 得， ∴直线：即 ∴直线过定点. 33．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知圆，直线. (1)若直线与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围； (3)若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点. 【答案】(1)或 (2) (3)直线过定点. 【分析】（1）由直线与圆相交，得圆心到直线的距离小于半径，由此得解； （2）设A，B的坐标分别为，，将直线代入，得，利用以及，能求出的取值范围； （3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以为直径的圆上，设出P点坐标，求出以为直径的圆的方程，又，在圆上，可得 ，所在直线即两圆公共弦直线，将两圆方程作差得直线的方程，得解． 【详解】（1），直线， ∵直线与圆相交， ∴圆心到直线的距离小于半径， 即，解得或. （2）设A，B的坐标分别为，， 将直线代入， 整理，得， ∴，， ，即， 当为锐角时， ， 解得，又， ∴或. 故的取值范围为. （3）     由题意知，，，四点共圆且在以为直径的圆上， 设，其方程为， ∴， 又，在圆上， ，所在直线即两圆公共弦直线， 将两圆方程作差得，， 即， 由，得， ∴直线过定点. 【专题强化】 一、单选题 34．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】把存在性问题转化为两圆有公共点问题来求解即可. 【详解】根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆， 圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点， 则，解得，即的取值范围为， 故的最小值为0． 故选：C． 35．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆 相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆 的圆心，半径为， 若直线和圆 相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 36．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 37．（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【答案】D 【分析】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可. 【详解】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 38．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解. 【详解】由可得， 即过定点， 由可得， 即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合. 故选：B 39．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围. 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B.    40．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由点在圆外及列出不等式组并求解即得. 【详解】圆：的圆心，半径为2，显然， 令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由圆上存在点使，得， 即，则，又，解得， 所以正数的取值范围为. 故选：B 41．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解. 【详解】 因为圆：的标准方程为； 圆：的标准方程为： 所以和的圆心坐标分别为、，半径，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为1 所以直线与直线垂直，如图， 所以当与和共线时最小，此时， 又此时，， 所以最小值为. 故选：C 二、多选题 42．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 43．（22-23高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 44．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 【答案】AB 【分析】结合点到直线的距离公式依次判断即可. 【详解】对于A项，圆的标准方程为：， 圆心为，半径， 因为直线与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离， 即，解得， 所以的取值范围是，故A项正确； 对于B项，若直线l经过圆M的圆心，则，解得，故B项正确； 对于C项，当直线l过原点O时，则，得直线， 则圆心M到直线l的距离， 得圆M上的动点到直线l的最大距离为：，故C项错误； 对于D项，因为，所以为等边三角形， 则圆心M到直线CD的距离为：，所以， 得或，故D项错误， 故选：AB 45．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线过定点 B．当取得最小值时，点在圆上 C．直线，关于直线对称 D．与的乘积为定值4 【答案】ACD 【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线，关于直线对称，而与直线 垂直,即可判断C，根据锐角三角函数即可求解D. 【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径， 可得圆的方程为，化简得， 联立圆， 可得直线的方程为，即，令，且， 解得，即直线恒过定点，故A正确， , 由于，当且仅当时，即时等号成立， 故此时点在圆上，故B错误， 由于直线，关于直线对称，而方程为， 由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C正确， 设,则，，所以，故D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下： （1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程； （2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程； （3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程. 三、填空题 46．（2024高二上·江苏·专题练习）设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切. 【答案】或 【分析】先确定的圆心始终在直线上，再利用直线与圆的位置关系及平行线的距离计算即可. 【详解】易知圆系的圆心，半径为2， 显然始终在直线上， 要满足题意则圆心到定直线的距离始终为2，即定直线到直线的距离始终为2， 不妨设直线，则， 即定直线为：或. 故答案为：或 47．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得. 【详解】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 48．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，设线段MN的中点为，求出，知道的轨迹.求圆上的点到直线的最短距离，再结合图形可解. 【详解】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线MN的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为. 所以. 故答案为： 49．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，则当点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值，利用锐角三角函数求出此时的值，即可得解. 【详解】圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为是圆上的一点，，是圆上的两点， 可知点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值， 此时点在线段与圆的交点， 又，所以，则， 所以，所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 50．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 51．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长； （2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得 【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； （2）由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 52．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据圆的切线性质，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直径所对圆周角为直角的性质、互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可. 【详解】（1）设点坐标为，直线与圆相切于点， 则，所以， 即， 化简得. （2）设直线方程为，点，. 联立方程，得， 所以. 因为以为直径得圆过点，则， 即， 化简得， 代入根与系数关系中，得， 解得或， 故直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直径所对圆周角为直角、一元二次方程根与系数关系进行求解. 53．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案； （2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）联立可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. （2）设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得，，解得或. 54．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案. （2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案. 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$