第一单元《勾股定理》复习试题 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版数学八年级上第一单元《勾股定理》复习试题 一．选择题（共10小题） 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝7：8：9；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各组数中，是勾股数的（　　） A．4，5，6 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，41 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 4．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开6m后，发现绳子刚好拉直并且下端刚好接触地面，则旗杆的高为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5．如图，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为（　　） A．14cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．48cm2 6．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 7．如图，在离地面高度3m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（　　） A．6 m B． m C．2m D．3m 8．已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 9．如图，已知△ABC的两条边AC＝8，BC＝6，现将△ABC沿DE折叠，使点A与点B重合，则△BCE的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．22 10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 二．填空题（共8小题） 11．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 　 　米． 12．世界著名的算术书《九章算术》中有这样一道题：“今有恒（墙））高一丈，倚木于恒，上于齐，引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”大意是：现有一墙高1丈，使木杆于墙，使木杆的上端与墙头平齐，把木杆的下端向后退，则木杆的上端会随着从墙上往下滑，当把木杆的下端向后退到1尺（1丈＝10尺）的时候，木杆的上端恰好落到地上，问木杆有多长木杆长为　 　尺． 13．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，那么△ABC的面积＝　 　． 14．如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点B在点O的北偏东50°方向，则点A在点O的 　 　方向． 15．四边形ABCD是凸四边形，AB＝4，BC＝3，CD＝12，∠B＝90°，如S四边形ABCD＝36，则AD＝　 　． 16．若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为　 　． 17．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 　 　dm． 18．如图，小明欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程AC比河的宽度AB多10米，该河的宽度AB＝　 　米． 三．解答题（共9小题） 19．龙湖公园有块如图所示的绿地，现测得AB＝13m，AD＝4m，CD＝3m，BC＝12m，∠D＝90°，求这块绿地的面积． 20．某公园要在一块四边形空地ABCD内种植草皮，经测量AB＝8m，BC＝6m，CD＝26m，AD＝24m且AB⊥BC，种植每平方米草皮需要50元，求该公园对四边形ABCD内种植草皮需要多少元． 21．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 22．如图，公园有一块三角形空地ABC，过点A修垂直于BC的小路AD，过点D修垂直于AC的小路DE（小路宽度忽略不计）．经测量，AB＝13米，BD＝5米，CD＝9米． （1）求小路AD的长； （2）求小路DE的长． 23．阅读与思考 如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图③所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： （1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是 　 　； （2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 24．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE． （1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S． 请根据以上材料，填空： 方法一：S＝　 　． 方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+b2﹣a2+c2． （2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDF的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）． （3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值． 25．古人利用图①每个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理——勾股定理，该定理的数学表达式是a2+b2＝c2． 现有一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图②，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2＝c2． 26．如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 27．如图2边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小长方形，EF与GH交于点P，设BF长约a，BG长为b，△GBF的周长为m． （1）①用含a，b，m的式子表示GF的长为 　 　； ②用含a，b的式子表示长方形EPHD的面积为 　 　．（结果需化简）》 （2）已知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 例如在图1△ABC中，∠ABC＝90，则AB2+BC2＝AC2． 请用上述知识解决下列问题： ①写出a，b，m满足的等式 ②若m＝1，求长方形EPHD的面积， ③当m满足什么条件时，长方形EPHD的面积是一个常数？ 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．C． 2．D． 3．A． 4．A． 5．C． 6．A． 7．C． 8．C． 9．C． 10．B． 二．填空题（共8小题） 11．10． 12．50.5． 13．6． 14．北偏西40°（或西偏北50°）． 15．13． 16．20． 17．128． 18．120． 三．解答题（共9小题） 19．解：如图，连接AC， ∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝5， ∴S△ACD＝6， 在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴Rt△ABC的面积＝30， ∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24． 20．解：如图，连接AC， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴AC＝10（m）， ∵CD＝26m，AD＝24m，102+242＝262， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC＝AC•AD﹣AB•BC＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）， ∴需费用96×50＝4800（元）， 答：求该公园对四边形ABCD内种植草皮需要4800元． 21．解：（1）由题意可知，AC＝300米，BC＝400米，AB＝500米， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴CD＝＝＝240（米）， 答：山地C距离公路的垂直距离为240米； （2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF， 则EC＝FC＝260米，DE＝DF， 由（1）可知，CD＝240米， ∵240米＜260米， ∴有危险需要暂时封锁， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝100（米）， ∴EF＝2DE＝200（米）， 即需要封锁的公路长为200米． 22．解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD＝12（米）， 答：小路AD的长为12米； （2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝15（米）， ∵DE⊥AC， ∴S△ADC＝AD•CD＝AC•DE， ∴DE＝＝＝7.2（米）， 答：小路DE的长为7.2米． 23．解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40， ∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2， ∴∠DCE＝90°， 故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； （2）由作图方法可知，QR＝QC，QS＝QC， ∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC， ∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC＝180°， ∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°， ∴∠QCR+∠QCS＝90°， 即∠RCS＝90°； （3）①如图③所示，直线PC即为所求； ②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 24．解：（1）S＝b（a+b）＝ab+b2． （2）由题意得：， ∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2， ∴a2+b2＝c2； （3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6， ∴62+b2＝102， ∴b＝8， ∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112． 答：S的值为112． 25．证明：四边形BCC′D′为直角梯形， ∴S梯形BCC′D′＝（BC+C′D′）•BD′＝， 又∵∠AB′C′＝90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′ ∴∠BAC＝∠B′AC′． ∴∠CAC′＝∠CAB′+∠B′AC′＝∠CAB′+∠BAC＝90°； ∴S梯形BCC′D′＝S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′＝ab+c2+ab＝； ∴＝； ∴a2+b2＝c2． 26．解：设AP＝x km，则DP＝（28﹣x）km， ∵B、C两村到P站的距离相等， ∴BP＝PC． 在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2， 在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2， ∴AB2+AP2＝CD2+PD2， 又∵AB＝15km，CD＝10km， ∴162+x2＝122+（28﹣x）2， ∴x＝12， 即P站应建在距点A12千米处． 27．解：（1）①∵BF长为a，BG长为b，△GBF的周长为m， ∴GF＝m﹣a﹣b， ②1﹣a﹣b+ab； （2）①∵△ABC中，∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2． ∴在△GBF中，GF＝m﹣a﹣b， ∴（m﹣a﹣b）2＝a2+b2， 化简得，m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0， ②∵BF长为a，BG长为b， ∴AG＝1﹣b，FC＝1﹣a， 在Rt△GBF中，GF2＝BF2+BG2＝a2+b2， ∵△GBF的周长为m＝1， ∴a2+b2＝12﹣2（a+b）+（a+b）2， 整理得，1﹣2a﹣2b+2ab＝0， ∴a+b﹣ab＝， ∴长方形EPHD的面积为： PH•EP＝FC•AG ＝（1﹣a）（1﹣b） ＝1﹣a﹣b+ab ＝1﹣ ＝； ③由①得：m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0， ∴ab＝ma+mb﹣m2， ∴长方形EPHD的面积为： PH•EP＝FC•AG ＝（1﹣a）（1﹣b） ＝1﹣a﹣b+ab ＝1﹣a﹣b+ma+mb﹣m2 ＝1+（m﹣1）a+（m﹣1）b﹣m2， 所以要使长方形EPHD的面积是一个常数，只要m＝1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 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