串讲03 第二章 圆锥曲线（考点串讲）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

北师大版(2019)必修(第一册) 数学 期中考点大串讲 串讲 03 第二章 圆锥曲线 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.椭圆的定义 常数 焦点 焦距 考点2.椭圆的简单几何性质 考点2.椭圆的简单几何性质 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a x轴、y轴 (0，0) (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 2b 2a (±c，0) (0，±c) 2c 考点3.椭圆的离心率对椭圆形状的影响 扁 圆 0 圆 考点4.双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|) 考点5.双曲线的标准方程 (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) c2＝a2＋b2 考点6.双曲线的简单几何性质 考点6.双曲线的简单几何性质 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) |F1F2|＝2c c2＝a2＋b2 x≤－a或x≥a，且y∈R y≤－a或y≥a，且x∈R 关于x轴、y轴和原点对称 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) a b 考点7.　抛物线的定义 抛物线的标准方程 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹) 焦点 准线 y2＝2px(p>0) 考点8.抛物线的简单几何性质 考点8.抛物线的简单几何性质 y≥0 y≤0 x轴 y轴 O(0，0) e＝1 考点9.直线与圆锥曲线的交点个数 相交 相切 相离 考点9.直线与圆锥曲线的交点个数 相交 相切 相离 相交 相切 相离 考点11.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 02 典例透析 考点1.椭圆的定义 解 考点2. 点与椭圆的位置关系 答案 考点2. 点与椭圆的位置关系 解析 考点3.椭圆的焦点三角形问题 解 考点3.椭圆的焦点三角形问题 解 考点4.椭圆的几何性质 解 考点4.椭圆的几何性质 解 考点5.　利用椭圆的几何性质求标准方程 考点5.　利用椭圆的几何性质求标准方程 解 考点5.　利用椭圆的几何性质求标准方程 解 考点6.椭圆的实际应用题 考点6.椭圆的实际应用题 解 考点6.椭圆的实际应用题 解 考点7.椭圆的离心率问题 解 考点7.椭圆的离心率问题 解 考点8.双曲线的定义及标准方程 解 考点8.双曲线的定义及标准方程 解 考点9.与双曲线有关的轨迹问题 解 考点9.与双曲线有关的轨迹问题 解 考点10.双曲线定义的应用 考点10.双曲线定义的应用 解 考点10.双曲线定义的应用 解 考点11.双曲线的几何性质 解 考点12.　双曲线的离心率问题 解 考点12.　双曲线的离心率问题 解 考点13.双曲线的渐近线问题 解 考点13.双曲线的渐近线问题 解 考点13.双曲线的渐近线问题 解 考点14.求抛物线的标准方程 考点14.求抛物线的标准方程 解 考点15.抛物线的定义及其应用 答案 解析 考点15.抛物线的定义及其应用 解 考点16.由抛物线的几何性质求标准方程 解 考点17.与抛物线有关的轨迹问题 【例题17】若动圆与圆(x－5)2＋y2＝4外切，且与直线x＋3＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝－20x B．y2＝－10x C．y2＝20x D．y2＝10x 答案 考点17.与抛物线有关的轨迹问题 解析 考点18. 抛物线的简单几何性质 【例题18】如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴． (1)求以O为顶点且过点A，B的抛物线方程； (2)求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e. 考点18. 抛物线的简单几何性质 解 【例题19】喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，9 m为半径的圆上，则管柱OA的长是多少？ 考点19.抛物线的实际应用题 考点19.抛物线的实际应用题 解 考点20.直线与椭圆的交点问题 解 考点20.直线与椭圆的交点问题 解 考点20.直线与椭圆的交点问题 解 考点20.直线与椭圆的交点问题 解 考点21.直线与抛物线的交点问题 【例题21】已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1，1)的直线l的斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ 解 考点21.直线与抛物线的交点问题 解 考点22.直线与双曲线的交点问题 解 考点22.直线与双曲线的交点问题 解 考点23.　弦长及中点弦问题 解 考点23.　弦长及中点弦问题 解 考点23.　弦长及中点弦问题 解 考点23.　弦长及中点弦问题 解 考点23.　弦长及中点弦问题 解 考点23.　弦长及中点弦问题 解 考点24.　最值与范围问题 考点24.　最值与范围问题 解 考点24.　最值与范围问题 解 考点24.　最值与范围问题 解 考点24.　最值与范围问题 解 考点25 . 定点与定值问题 解 考点25 . 定点与定值问题 解 考点25 . 定点与定值问题 解 考点26 . 存在性问题 考点26 . 存在性问题 解 考点26 . 存在性问题 解 考点26 . 存在性问题 解 03 考场练兵 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 答案 解析 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 15．(2023·天津高考)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________． 答案 6 解析 解 解 知识点　 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于eq \x(\s\up1(01))_________(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的eq \x(\s\up1(02))_______，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的eq \x(\s\up1(03))_________． 　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))_______________ eq \x(\s\up1(02))________________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) 范围 eq \x(\s\up1(03))____________________ eq \x(\s\up1(04))_____________________ 对称性 对称轴eq \x(\s\up1(05))____________，对称中心eq \x(\s\up1(06))_____________ 顶点 eq \x(\s\up1(07))__________________ eq \x(\s\up1(08))_________________ 轴长 短轴长＝eq \x(\s\up1(09))______，长轴长＝eq \x(\s\up1(10))_______ 焦点 eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))___________ 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(13))_______ 离心率 e＝eq \x(\s\up1(14))_____(0<e<1) eq \f(c,a) 知识点 (1)椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即eq \f(c,a)＝e，显然0<e<1. (2)如图①，e越接近于1，椭圆就越eq \x(\s\up1(01))____．反之，如图②，e越接近于0，椭圆就越接近于eq \x(\s\up1(02))______．当a＝b时，它的方程为x2＋y2＝a2.这时c＝eq \x(\s\up1(03))_____，两个焦点重合，图形变为eq \x(\s\up1(04))_______． 知识点　eq \x(\s\up1(01))_________________________________________________________________的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 知识点　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))__________________ eq \x(\s\up1(02))______________________ 焦点坐标 F1eq \x(\s\up1(03))________；F2eq \x(\s\up1(04))______ F1eq \x(\s\up1(05))_______；F2eq \x(\s\up1(06))_______ a，b，c的关系 eq \x(\s\up1(07))________________ eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 知识点　　 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))____________________ eq \x(\s\up1(02))____________________ 焦距 eq \x(\s\up1(03))____________ a，b，c 关系 eq \x(\s\up1(04))____________ 范围 eq \x(\s\up1(05))____________________ eq \x(\s\up1(06))_____________________ 对称性 eq \x(\s\up1(07))_________________________ 顶点 eq \x(\s\up1(08))____________________ eq \x(\s\up1(09))_____________________ 轴 实半轴长为eq \x(\s\up1(10))_____，虚半轴长为eq \x(\s\up1(11))____ 离心率 eq \x(\s\up1(12))_________ e＝eq \f(c,a)(e>1) eq \x(\s\up1(01))_______________________________________________________________________叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的eq \x(\s\up1(02))_____，这条定直线l叫作抛物线的eq \x(\s\up1(03))________． 焦点在x轴的正半轴上，坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的抛物线的标准方程是eq \x(\s\up1(01))_____________，它的准线方程是eq \x(\s\up1(02))___________，其中p是抛物线的焦点到准线的距离． x＝－eq \f(p,2) 知识点　　 图形 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，-\f(p,2))) 性质 焦点坐标 eq \x(\s\up1(01))__________ eq \x(\s\up1(02))__________ eq \x(\s\up1(03))__________ eq \x(\s\up1(04))__________ 准线方程 eq \x(\s\up1(05))__________ eq \x(\s\up1(06))__________ eq \x(\s\up1(07))__________ eq \x(\s\up1(08))__________ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R eq \x(\s\up1(09))_______，x∈R eq \x(\s\up1(10))_________，x∈R 对称轴 eq \x(\s\up1(11))_______ eq \x(\s\up1(12))_______ 顶点 eq \x(\s\up1(13))__________ 离心率 eq \x(\s\up1(14))__________ 开口方向 向右 向左 向上 向下 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 知识点　　 将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数问题，进而转化为一元二次(或一次)方程解的情况去研究． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直线方程，,圆锥曲线方程)) eq \o(―――→,\s\up17(消去y))ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与 椭圆 a≠0，Δ>0 2 eq \x(\s\up1(01))_________ a≠0，Δ＝0 1 eq \x(\s\up1(02))_________ a≠0，Δ<0 0 eq \x(\s\up1(03))_________ 直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 eq \x(\s\up1(04))_________ a≠0，Δ＝0 1 eq \x(\s\up1(05))_________ a≠0，Δ<0 0 eq \x(\s\up1(06))_________ 直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 eq \x(\s\up1(07))_________ a≠0，Δ＝0 1 eq \x(\s\up1(08))_________ a≠0，Δ<0 0 eq \x(\s\up1(09))_________ 知识点　　 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \x(\s\up1(01))_______________＝eq \r(1＋k2) eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝eq \x(\s\up1(02))________________＝eq \r(1＋\f(1,k2)) eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2). eq \r(1＋k2)|x1－x2| eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2| 【例题1】设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，求椭圆E的方程． 解　设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝eq \r(1－b2).因为AF2⊥x轴，所以点A的坐标为(c，b2)，设点B的坐标为(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得eq \o(AF1,\s\up6(→))＝3eq \o(F1B,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2c＝3（x0＋c），,－b2＝3y0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2，))代入椭圆方程可得eq \f(25（1－b2）,9)＋eq \f(1,9)b2＝1，得b2＝eq \f(2,3)，所以椭圆E的方程为x2＋eq \f(3y2,2)＝1. 【例题2】已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则下列各点不在椭圆内部的是(　　) A．(1，1) B．(eq \r(2)，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析　椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，因为eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＝eq \f(7,12)<1，所以点(1，1)在椭圆内部，A不符合题意；因为eq \f(2,4)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6)<1，所以点(eq \r(2)，－1)在椭圆内部，B不符合题意；因为eq \f(2,4)＋eq \f(2,3)＝eq \f(7,6)>1，所以点(eq \r(2)，eq \r(2))在椭圆外部，C符合题意；因为eq \f(\f(1,4),4)＋eq \f(1,3)＝eq \f(19,48)<1，所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))在椭圆内部，D不符合题意．故选C. 【例题3】已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 解　由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可知a＝2，b＝eq \r(3)， 所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.② 由①②联立可得|PF1|＝eq \f(6,5). 所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5). 【例题4】已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． 解　椭圆的方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1， ∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(m（m＋2）,m＋3)>0， ∴m>eq \f(m,m＋3). ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(m（m＋2）,m＋3)). 由e＝eq \f(\r(3),2)，得eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1. ∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2). ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 【例题5】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是6，离心率是eq \f(2,3)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解　(1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． 由已知得2a＝6，所以a＝3. 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，所以c＝2. 所以b2＝a2－c2＝9－4＝5. 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1. (2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且两焦点分别为F′(－3，0)，F(3，0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18. 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1. 【例题6】已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1，F2为一条对角线的平行四边形区域建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km. (1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？ 解　(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1，0)，F2(1，0)． 设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)， 则由已知得|PF1|＋|PF2|＝4. 由椭圆的定义知点P在以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆上(不含左、右顶点)，此时a＝2，c＝1，则b＝eq \r(3). 所以点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)， 同理点Q的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)． (2)＝|F1F2|·|yP|≤2c·b＝2eq \r(3)(km2)， 所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2eq \r(3) km2. 【例题7】已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率． [解]　解法一：由已知可设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因为c2＝a2－b2，F1(－c，0)，PF1⊥F1A，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，b\r(1－\f(c2,a2))))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))， 因为AB∥PO，所以kAB＝kOP， 即－eq \f(b,a)＝－eq \f(b2,ac)，所以b＝c，所以a2＝2c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 解法二：由解法一可知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))， 又因为△PF1O∽△BOA， 所以eq \f(|PF1|,|BO|)＝eq \f(|F1O|,|OA|)， 所以eq \f(\f(b2,a),b)＝eq \f(c,a)，所以b＝c，所以a2＝2c2， 所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 【例题8】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且过点(eq \r(15)，4)； (2)c＝eq \r(6)，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 解　(1)∵椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)， ∴设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 由题意，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(42,a2)－\f(（\r(15)）2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.)) 故双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1. (2)∵焦点在x轴上，c＝eq \r(6)， ∴设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5，2)， ∴eq \f(25,λ)－eq \f(4,6－λ)＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1. (2)【例题9】如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出其表示什么曲线． 解　如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)． 由正弦定理得sinA＝eq \f(|CB|,2R)，sinB＝eq \f(|CA|,2R)，sinC＝eq \f(|AB|,2R). ∵2sinA＋sinC＝2sinB， ∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|， 从而有|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)<|AB|. ∴由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括与x轴的交点． ∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6. ∴顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>0且x≠eq \r(2))， 故顶点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(eq \r(2)，0)． (x2,9)【例题10】如图，若F1，F2是双曲线－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解　双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1， 故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5. (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6， 解得x＝10或x＝22. 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16. 【例题11】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出草图． 解　将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，所以a＝3，b＝2，c＝eq \r(13)， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4. 作出草图如图： (x2,a2)【例题12】设双曲线－eq \f(y2,b2)＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过A(a，0)，B(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq \f(\r(3),4)c，求双曲线的离心率． 解　∵直线l过点A(a，0)，B(0，b)， ∴直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 即bx＋ay－ab＝0. ∵原点到直线l的距离为eq \f(\r(3),4)c， ∴eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c，即ab＝eq \f(\r(3),4)c2， 两边平方并化简，得16a2b2＝3c4， ∴16a2(c2－a2)＝3c4，∴3c4－16a2c2＋16a4＝0， 两边同时除以a4，得eq \f(3c4,a4)－eq \f(16c2,a2)＋16＝0， 即3e4－16e2＋16＝0.解得e2＝4或eq \f(4,3). ∵b>a>0，∴eq \f(b2,a2)>1， ∴e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)>2， ∴e2＝4，∴e＝2.故所求双曲线的离心率为2. (x2,16)【例题13】　求与双曲线－eq \f(y2,9)＝1共渐近线且过点A(2eq \r(3)，－3)的双曲线的方程及其离心率． 解　解法一：双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x. 若焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． 因为eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，所以b＝eq \f(3,4)a.　① 因为点A(2eq \r(3)，－3)在所求的双曲线上， 所以eq \f(12,a2)－eq \f(9,b2)＝1.　② 联立①②所得的方程组无解； 若焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 因为eq \f(a,b)＝eq \f(3,4)，所以a＝eq \f(3,4)b.　③ 因为点A(2eq \r(3)，－3)在所求的双曲线上，所以eq \f(9,a2)－eq \f(12,b2)＝1，　④ 联立③④得a2＝eq \f(9,4)，b2＝4. 所以所求双曲线的方程为eq \f(y2,\f(9,4))－eq \f(x2,4)＝1，且离心率e＝eq \f(5,3). 解法二：设与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共渐近线的双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)． 因为点A(2eq \r(3)，－3)在所求的双曲线上， 所以λ＝eq \f(12,16)－eq \f(9,9)＝－eq \f(1,4)， 所以所求双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝－eq \f(1,4)， 即eq \f(y2,\f(9,4))－eq \f(x2,4)＝1. 从而可求得离心率e＝eq \f(5,3). 【例题14】根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)准线方程为x＝－2； (2)焦点在x轴的正半轴上，且到准线的距离为5； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与x轴的交点． 解　(1)由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 则－eq \f(p,2)＝－2，即p＝4，故所求抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，故设其标准方程为y2＝2px(p>0)，焦点到准线的距离为p，则p＝5.故所求抛物线的标准方程为y2＝10x. (3)对于直线3x－4y－12＝0，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标为(4，0)，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，即eq \f(p,2)＝4，p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x. 【例题15】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4) 解析　∵y2＝x的准线方程为l：x＝－eq \f(1,4)，由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)．则线段AB的中点到准线的距离为d3＝eq \f(d1＋d2,2)＝eq \f(3,2)，∴线段AB的中点到y轴的距离为d＝eq \f(3,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).故选C. (2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． 解　如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，AB⊥l于点B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2). 此时yP＝2，代入抛物线方程得xP＝2， ∴P点坐标为(2，2)． (x2,4)【例题16】抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋eq \f(y2,9)＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． 解　因为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以eq \f(p,2)＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4. 解析　设圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为C1(5，0)，动圆圆心为P(x，y)，半径为r，如图，作直线x＝－5，x＝－3，PQ垂直于直线x＝－5，Q为垂足，因圆P与直线x＝－3相切，故圆P到直线x＝－5的距离|PQ|＝r＋2，又|PC1|＝r＋2，因此P到C1(5，0)的距离与P到直线x＝－5的距离相等，动圆圆心P的轨迹为抛物线，焦点为C1(5，0)，准线为直线x＝－5，顶点为(0，0)，开口向右，可得p＝10，方程为y2＝20x.故选C. 解　(1)如图，设AB⊥x轴于E，则由△AOB是等边三角形，且|AB|＝2得E(eq \r(3)，0)，∴A(eq \r(3)，1)． 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则1＝2p·eq \r(3)，∴2p＝eq \f(\r(3),3). ∴抛物线的方程为y2＝eq \f(\r(3),3)x. (2)由(1)知2p＝eq \f(\r(3),3)， ∴eq \f(p,2)＝eq \f(\r(3),12)， ∴抛物线的准线方程为x＝－eq \f(\r(3),12)， 焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),12)，0))，离心率e＝1. 解　如图所示，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(0，0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 因为点C(5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p·(－5)， 因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y. 因为点A(－4，y0)在抛物线上， 所以16＝－5y0， 即y0＝－3.2， 所以OA的长为5－3.2＝1.8 m. 所以管柱OA的长为1.8 m. (x2,2)【例题20】判断直线l：y＝x＋1与椭圆C：＋y2＝1的交点个数．若存在交点，求出交点的坐标；若不存在交点，求椭圆C上的点到直线l的最大距离． 解　联立直线与椭圆的方程， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，)) 方程组可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，　　①,x2＋2y2＝2，　②)) 将①代入②得x2＋2(x＋1)2＝2，化简，得3x2＋4x＝0， Δ＝42－4×3×0＝16>0. 所以直线l：y＝x＋1与椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1有两个交点，且交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－eq \f(4,3). 代入①得方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(4,3)，,y2＝－\f(1,3).)) 所以直线l与椭圆C的交点坐标为(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(1,3))). (2)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： ①有两个公共点？ ②有且只有一个公共点？ ③没有公共点？ 解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，)) 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.(*) 方程(*)的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. ①当Δ>0，即－3eq \r(2)<m<3eq \r(2)时，方程(*)有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． ②当Δ＝0，即m＝±3eq \r(2)时，方程(*)有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． ③当Δ<0，即m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2)时，方程(*)没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 解　直线l：y－1＝k(x－1)， 将x＝－eq \f(y2,2)代入整理，得ky2＋2y＋2k－2＝0. ①当k＝0时，把y＝1代入y2＝－2x，得x＝－eq \f(1,2)，直线l与抛物线C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)). ②当k≠0时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4. 由Δ＝0，得k＝eq \f(1±\r(3),2)， ∴当k<eq \f(1－\r(3),2)或k>eq \f(1＋\r(3),2)时，Δ<0，l与C无公共点； 当k＝eq \f(1±\r(3),2)时，Δ＝0，l与C有且只有一个公共点； 当eq \f(1－\r(3),2)<k<eq \f(1＋\r(3),2)且k≠0时，Δ>0，l与C有两个公共点． 综上所述，当k<eq \f(1－\r(3),2)或k>eq \f(1＋\r(3),2)时，l与C无公共点； 当k＝eq \f(1±\r(3),2)或k＝0时，l与C有且只有一个公共点； 当eq \f(1－\r(3),2)<k<0或0<k<eq \f(1＋\r(3),2)时，l与C有两个公共点． (y2,2)【例题22】已知双曲线的方程为x2－＝1，直线l过点P(1，1)，斜率为k.当k为何值时，直线l与双曲线：只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ 解　设直线l：y－1＝k(x－1)， 即y＝kx＋(1－k)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋（1－k），,x2－\f(y2,2)＝1，))得 (k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*) 当k2－2＝0，即k＝±eq \r(2)时，方程(*)只有一个解，直线l与双曲线只有一个公共点． 当k2－2≠0时，Δ＝24－16k， 若Δ＝0，即k＝eq \f(3,2)，则方程(*)只有一个解，直线l与双曲线只有一个公共点； 若Δ>0，即k<eq \f(3,2)，则方程(*)有两个解，直线l与双曲线有两个公共点； 若Δ<0，即k>eq \f(3,2)，则方程(*)无解，直线l与双曲线无公共点． 综上所述，当k＝±eq \r(2)或k＝eq \f(3,2)时，直线l与双曲线只有一个公共点； 当k<eq \f(3,2)，且k≠±eq \r(2)时，直线l与双曲线有两个公共点； 当k>eq \f(3,2)时，直线l与双曲线无公共点． (y2,4)【例题23】已知过定点P(0，1)的直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|； (2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程． 解　(1)由题意知，直线l的方程为y＝x＋1， 联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2－\f(y2,4)＝1，)) 消去y得3x2－2x－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝eq \f(2,3)，x1x2＝－eq \f(5,3)， |AB|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]) ＝eq \r(（1＋1）×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3))))))＝eq \f(8\r(2),3). (2)解法一：设M(x，y)，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2－\f(y2,4)＝1，)) 消去y得(4－k2)x2－2kx－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴4－k2≠0，Δ＝(－2k)2－4×(－5)(4－k2)>0， 即－eq \r(5)<k<eq \r(5)且k≠±2. x1＋x2＝eq \f(2k,4－k2)，y1＋y2＝eq \f(8,4－k2). ∵M为AB的中点， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝\f(k,4－k2)，　　①,y＝\f(y1＋y2,2)＝\f(4,4－k2)，　　②)) 由①②消去k得4x2－y2＋y＝0， ∵－eq \r(5)<k<eq \r(5)，∴eq \f(4,4－k2)<－4或eq \f(4,4－k2)≥1， ∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)． 解法二：设中点M的坐标为(x，y)，弦AB的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2x，,y1＋y2＝2y.)) 又A，B两点在双曲线上， ∴2,1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(yeq \o\al(2,1),4)＝1，　　　①,xeq \o\al(2,2)－\f(yeq \o\al(2,2),4)＝1.　　　②)) 由①－②得4(xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2))＝yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2)， ∴4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)． ∵x1≠x2， ∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4（x1＋x2）,y1＋y2)＝eq \f(4×2x,2y)＝eq \f(4x,y)， 即kAB＝eq \f(4x,y)， 又P，M两点在直线l上， ∴kAB＝kPM＝eq \f(y－1,x－0)， ∴eq \f(4x,y)＝eq \f(y－1,x)，即4x2－y2＋y＝0. 由解法一知y的取值范围为y<－4或y≥1， ∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)． (x2,2)【例题24】　如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋eq \f(1,2)对称． (1)求实数m的取值范围； (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)． 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－eq \f(1,m)x＋b. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－\f(1,m)x＋b，))消去y，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,m2)))x2－eq \f(2b,m)x＋b2－1＝0. 因为直线y＝－eq \f(1,m)x＋b与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有两个不同的交点， 所以Δ＝－2b2＋2＋eq \f(4,m2)>0.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝eq \f(4mb,m2＋2)，x1x2＝eq \f(2m2（b2－1）,m2＋2)， y1＋y2＝－eq \f(1,m)(x1＋x2)＋2b＝eq \f(2m2b,m2＋2). 设M为AB的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2mb,m2＋2)，\f(m2b,m2＋2)))，代入直线方程y＝mx＋eq \f(1,2)， 解得b＝－eq \f(m2＋2,2m2).② 由①②得m<－eq \f(\r(6),3)或m>eq \f(\r(6),3). (2)令t＝eq \f(1,m)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，则 |AB|＝eq \r(t2＋1)·eq \f(\r(－2t4＋2t2＋\f(3,2)),t2＋\f(1,2))， 且O到直线AB的距离d＝eq \f(t2＋\f(1,2),\r(t2＋1)). 设△AOB的面积为S(t)，则 S(t)＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2) eq \r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋2)≤eq \f(\r(2),2)， 当且仅当t2＝eq \f(1,2)时，等号成立． 故△AOB面积的最大值为eq \f(\r(2),2). (5,2)【例题25】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为，且点M的纵坐标为2eq \r(p). (1)求抛物线C的方程和点M的坐标； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且MA⊥MB，证明：直线l过定点． 解　(1)设M(x0，2eq \r(p))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)＝\f(5,2)，,2px0＝4p，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,p＝1，)) ∴抛物线C的方程为y2＝2x，M(2，2)． (2)证明：由题意，知直线l的斜率不为零， 可设l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝my＋n，))得y2－2my－2n＝0， ∴Δ＝4m2＋8n>0，即m2＋2n>0， ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n. ∵kMA＝eq \f(y1－2,x1－2)＝2,1)eq \f(y1－2,\f(y－4,2)) ＝eq \f(2,y1＋2)， kMB＝eq \f(y2－2,x2－2)＝2,2)eq \f(y2－2,\f(y－4,2)) ＝eq \f(2,y2＋2)， 又MA⊥MB， ∴kMA·kMB＝eq \f(4,（y1＋2）（y2＋2）) ＝eq \f(4,y1y2＋2（y1＋y2）＋4) ＝eq \f(4,－2n＋4m＋4)＝－1， 则n＝2m＋4(此时m2＋2n＝m2＋4m＋8＝(m＋2)2＋4>0成立)， ∴直线l：x＝my＋2m＋4＝m(y＋2)＋4， 当y＝－2时，x＝4， ∴直线l恒过定点(4，－2)． (8\r(6),11)【例题26】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝. (1)求抛物线的方程； (2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x＋y－1＝0，)) 消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1. 又kAB＝－1， ∴|AB|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]) ＝eq \r(8（p2＋2p）)＝eq \f(8\r(6),11)， ∴121p2＋242p－48＝0， 解得p＝eq \f(2,11)或p＝－eq \f(24,11)(舍去)． ∴抛物线的方程为y2＝eq \f(4,11)x. (2)不存在．理由如下： 设AB的中点为D，则点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,11)，－\f(2,11))). 假设在x轴上存在满足条件的点C(x0，0)， ∵△ABC为正三角形， ∴CD⊥AB，即eq \f(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,11))),x0－\f(13,11))·(－1)＝－1， 解得x0＝eq \f(15,11).∴点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,11)，0))， ∴|CD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,11)－\f(13,11)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(2,11)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(2),11). 又|CD|＝eq \f(\r(3),2)|AB|＝eq \f(12\r(2),11)，与上式矛盾， ∴在x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形． 1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,2)＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．x2＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1 解析　由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝2＋4＝6，因此椭圆的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1.故选D. 2．如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞) 解析　由椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1的焦点在x轴上，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＞a＋6，,a＋6＞0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞3或a＜－2，,a＞－6.))所以a＞3或－6＜a＜－2.故选D. 3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1(a>0)与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(10) C．4 D.eq \r(34) 解析　∵椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1(a>0)与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点(±eq \r(7)，0)，∴a2－9＝7，∴a＝4.故选C. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A．eq \f(2,3) B．eq \f(\r(2),3) C．－eq \f(\r(2),3) D．－eq \f(2,3) 5．P是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　如图所示，因为a＝3，b＝4，c＝5，所以F1(－5，0)，F2(5，0)，因为|PN|≥|PF2|－|NF2|，所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，又|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|PM|≤|PF1|＋|MF1|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝6＋2＋1＝9. 解析　将直线与椭圆的方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0. 因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2.设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，易知F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，则d1＝eq \f(|－\r(2)＋m|,\r(2))，d2＝eq \f(|\r(2)＋m|,\r(2))，eq \f(S△F1AB,S△F2AB)＝eq \f(\f(|－\r(2)＋m|,\r(2)),\f(|\r(2)＋m|,\r(2)))＝eq \f(|－\r(2)＋m|,|\r(2)＋m|)＝2，解得m＝－eq \f(\r(2),3)或m＝－3eq \r(2)(舍去)．故选C. 6．(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A．7 B.6 C.5 D.4 解析　因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D. 7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　) A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1 C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)＝1 解析　因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，又P(2，1)在双曲线C的渐近线上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2b.又2c＝10，c＝5，且a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线C的方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1. 8．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A．eq \f(4,3) B．eq \f(7,5) C．eq \f(8,5) D．3 解析　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为d＝eq \f(|4m－3m2－8|,5)＝eq \f(3,5) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2,3)))\s\up12(2)＋\f(20,9)))，当m＝eq \f(2,3)时，d取得最小值，为eq \f(4,3).故选A. 9．直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点(　　) A．至多有一个 B．有2个 C．有1个 D．没有 解析　∵直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，∴m2＋n2<4，∴eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)<eq \f(m2,9)＋eq \f(4－m2,4)＝1－eq \f(5,36)m2≤1，∴点(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点有2个． 10．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝k(k>0)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 解析　将椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝k(k>0)化为标准方程eq \f(x2,16k)＋eq \f(y2,9k)＝1(k>0)．易知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴长是8，短轴长是6，焦距是2eq \r(7)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4).而椭圆eq \f(x2,16k)＋eq \f(y2,9k)＝1(k>0)的长轴长是8eq \r(k)，短轴长是6eq \r(k)，焦距是2eq \r(7k)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，所以两椭圆的离心率相等．故选D. 11．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值为(　　) A.eq \r(3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(8,3) D.eq \f(2,3) 解析　因为焦点在x轴上，所以a＝eq \r(2)，b＝eq \r(m)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(2－m)，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(2－m,2))＝eq \f(1,2)，所以m＝eq \f(3,2). 12．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，A(m，n)是抛物线C上的一点， 若|AF|＝eq \f(5,2)， 则△OAF(O为坐标原点)的面积是(　　) A.eq \f(1,2) B.1 C.2 D.4 解析　由题可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，因为|AF|＝eq \f(5,2)＝m＋eq \f(1,2)，所以m＝2，n2＝4，所以△OAF(O为坐标原点)的面积是eq \f(1,2)|OF|·|n|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×2＝eq \f(1,2).故选A. 二、填空题 13．(2023·北京高考)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为eq \r(2)，则C的方程为________． 解析　令双曲线C的实半轴长、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为eq \r(2)，得eq \f(c,a)＝eq \r(2)，解得a＝eq \r(2)，则b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)，所以C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1. eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1 14．已知斜率为1的直线过椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为________． 解析　因为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F(eq \r(3)，0)，故直线方程为y＝x－eq \r(3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得5x2－8eq \r(3)x＋8＝0，则x1＋x2＝eq \f(8\r(3),5)，x1x2＝eq \f(8,5)，由弦长公式，得|AB|＝eq \r(（1＋12）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \f(8,5). eq \f(8,5) 解析　由题意得直线OP的斜率存在．设直线OP的方程为y＝kx，因为该直线与圆C相切，所以eq \f(|－2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(3)，解得k2＝3.将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0，因为k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或x＝eq \f(2p,3)，设P(x1，y1)，则x1＝eq \f(2p,3)，又O(0，0)，所以|OP|＝eq \r(1＋k2)|x1－0|＝2×eq \f(2p,3)＝8，解得p＝6. 16．如图，已知点P(3，4)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若eq \o(PF1,\s\up10(→))·eq \o(PF2,\s\up10(→))＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求△PF1F2的面积． 解 (1)∵eq \o(PF1,\s\up12(→))·eq \o(PF2,\s\up12(→))＝0，∴△PF1F2是直角三角形， ∴|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c. 又|OP|＝eq \r(32＋42)＝5，∴c＝5. ∴椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－25)＝1. 又P(3，4)在椭圆上，∴eq \f(9,a2)＋eq \f(16,a2－25)＝1， ∴a2＝45或a2＝5. 又a>c，∴a2＝5舍去． 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1. (2)由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝6eq \r(5)，① 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，② 由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80， ∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×40＝20.　 $$