串讲02 第一章 圆与圆的方程（考点串讲）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

北师大版(2019)必修(第一册) 数学 期中考点大串讲 串讲 02 第一章 圆与圆的方程 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.圆的标准方程、点与圆的位置关系 圆心 半径 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 考点1.圆的标准方程、点与圆的位置关系 点P在圆C上 圆上 点P在圆C内 圆内 点P在圆C外 圆外 考点2.圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 r r 考点2.圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 x轴 y轴 原点 考点3.圆的一般方程 D2＋E2－4F>0 D2＋E2－4F<0 考点3.圆的一般方程 A＝B≠0 C＝0 考点4.直线与圆的位置关系 考点4.直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 考点4.直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 考点5.圆与圆的位置关系 没有 外部 考点5.圆与圆的位置关系 唯一 外部 考点5.圆与圆的位置关系 两个 唯一 内部 没有 内部 考点5.圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 考点5.圆与圆的位置关系 > ＝ |r1－r2| r1+r2 ＝ < 02 典例透析 考点1.对圆的标准方程的理解 【例题1】圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是(　　) A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2 C．(－1，2)，4 D．(－1，2)，2 (2)若(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2是圆的标准方程，则m的取值范围是______________________． 答案 解析 解析　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径r＝2.故选D. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　由m2－m－2>0，得m>2或m<－1. 考点2.求圆的标准方程 答案 解析 【例题2】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________． x2＋(y－2)2＝1 考点2.求圆的标准方程 解 (2)求过点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程． 考点2.求圆的标准方程 解 考点3.点与圆的位置关系 答案 解析 考点3.点与圆的位置关系 (2)已知点A(1，2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围． 解 考点4.与圆有关的最值问题 答案 解析 【例题4】已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值为____． 5 考点4.与圆有关的最值问题 解 考点5.圆的一般方程的定义 【例题5】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解 考点6.求圆的一般方程 解 【例题6】已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． 考点6.求圆的一般方程 解 考点6.求圆的一般方程 解 考点7.直线与圆的位置关系的判断 解 【例题7】 已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，直线与圆相交？相切？相离？ 考点7.直线与圆的位置关系的判断 解 考点8.圆的切线问题 解 【例题8】 (1)已知圆C：x2＋y2＝25，求过点P(3，4)的圆的切线方程． 考点8.圆的切线问题 解 (2)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，求由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值． 考点8.圆的切线问题 解 考点8.圆的切线问题 解 考点9.直线被圆截得的弦长问题 解 【例题9】 已知直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，求弦长|AB|. 考点9.直线被圆截得的弦长问题 解 考点10.圆与圆的位置关系的判定 【例题10】 圆x2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案 解析 考点10.圆与圆的位置关系的判定 (2)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，①圆C1与圆C2外切？②圆C1与圆C2内含？ 解 考点10.圆与圆的位置关系的判定 解 考点11.两圆相切的有关问题 【例题11】 (1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为___________ ______________________________． 答案 解析 (x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 【例题12】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 解 考点12. 两圆相交的公共弦问题 03 考场练兵 答案 解析 2．已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116 答案 解析 3．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为(　　) A．(0，－1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(0，1) 答案 解析 4．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 解析 解析　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限．故选D. 答案 解析 6．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　) A．135° B．45° C．120° D．90° 答案 解析 答案 7．已知圆M的圆心坐标为(3，4)，且A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为____________________． (x－3)2＋(y－4)2＝25 解析 8．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 答案 解析 答案 解析 10．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0 答案 解析 解析　圆心是点C(1，0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0.故选D. 解析 11．已知圆M：(x－2)2＋y2＝4，圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆M与圆N的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案 解析 答案 解析 13．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是( ) A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 答案 解析 14．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A．(x－5)2＋(y－7)2＝25 B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C．(x－5)2＋(y－7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9 答案 解析 答案 解析 16．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__________________． (x－2)2＋(y－2)2＝2 答案 解析 答案 17．已知圆过A(1，－2)，B(－1，4)两点，则周长最小的圆的方程为 _______________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为___________________． x2＋(y－1)2＝10 (x－3)2＋(y－2)2＝20 解析 18．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M. (1)求BC边的中线AD所在直线方程的一般式； (2)求圆M的一般方程． 解 解 19．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明：直线l与圆C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长． 解　(1)证明：直线l的方程可化为y＋3＝2m(x－4)， 由点斜式可知，直线过定点P(4，－3)． 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交． 解 知识点 (1)圆的几何要素：圆的几何要素是eq \x(\s\up1(01))_____和eq \x(\s\up1(02))____． (2)圆的标准方程：圆的标准方程是eq \x(\s\up1(03))____________________，圆心C为(a，b)，半径为r(r>0)． 知识点　 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)．设所给点为P(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 |PC|＝r⇔eq \x(\s\up1(01))_______________ 点P(x0，y0)在eq \x(\s\up1(02))_____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 |PC|<r⇔eq \x(\s\up1(03))_______________ 点P(x0，y0)在eq \x(\s\up1(04))_____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点在圆外 |PC|>r⇔eq \x(\s\up1(05))_______________ 点P(x0，y0)在eq \x(\s\up1(06))_____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 知识点　 由圆的方程x2＋y2＝r2　①，可得圆的简单几何性质： (1)范围 由方程①可得圆上任意一点P(x，y)都满足不等式|x|≤eq \x(\s\up1(01))___， |y|≤eq \x(\s\up1(02))___．这说明圆上的所有点都在两条平行直线x＝－r，x＝r 和两条平行直线y＝－r，y＝r围成的正方形之间(如图所示)． (2)对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若点P的坐标(x，y)满足方程①，则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x，－y)，P2(－x，y)，P3(－x，－y)的坐标也都满足方程①. 这说明圆①既是关于eq \x(\s\up1(03))_____和eq \x(\s\up1(04))_____的轴对称图形，也是关于eq \x(\s\up1(05))_____的中心对称图形． 知识点　　 (1)圆的一般方程的定义 ①当eq \x(\s\up1(01))__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为eq \x(\s\up1(02))_______________，半径为eq \x(\s\up1(03))_______________； ②当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq \x(\s\up1(04))____________； ③当eq \x(\s\up1(05))_______________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) (2)对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： ①x2，y2的系数相同，且不等于0，即eq \x(\s\up1(06))___________； ②不含xy这样的二次项，即eq \x(\s\up1(07))_________． 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件． 知识点　　 直线与圆的位置关系可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来决定，也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来决定． 一般地，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心C(a，b)到直线l的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))(A，B不全为0)． ①几何法 当d<r时，直线l与圆Ceq \x(\s\up1(01))______； 当d＝r时，直线l与圆Ceq \x(\s\up1(02))_____； 当d>r时，直线l与圆Ceq \x(\s\up1(03))______． ②代数法 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))解的情况来判断直线l和圆C的位置关系： 当方程组有两组不同的实数解时，直线l与圆Ceq \x(\s\up1(04))_______；当方程组只有一组实数解(两组相等的实数解)时，直线l与圆Ceq \x(\s\up1(05))_______；当方程组没有实数解时，直线l与圆Ceq \x(\s\up1(06))_______． 知识点　　 (1)平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系： ①两个圆eq \x(\s\up1(01))____公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的eq \x(\s\up1(02))____，此时叫作这两个圆外离(如图1)． ②两个圆有eq \x(\s\up1(03))_____的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的eq \x(\s\up1(04))_____，此时叫作这两个圆外切(如图2)．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． ③两个圆有eq \x(\s\up1(05))____公共点，此时叫作这两个圆相交(如图3)． ④两个圆有eq \x(\s\up1(06))____的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的eq \x(\s\up1(07))____，此时叫作这两个圆内切(如图4)．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． 两个圆外切和内切统称两个圆相切． ⑤两个圆eq \x(\s\up1(08))_____公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的eq \x(\s\up1(09))____，此时叫作这两个圆内含(如图5)． (2)当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有eq \x(\s\up1(10))_____、eq \x(\s\up1(11))_____和eq \x(\s\up1(12))_____三种情况(重合时两个圆被看成一个圆)． (3)如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的连心线．两个圆心之间的线段长叫作圆心距． (4)两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系： 两个圆外离⇔deq \x(\s\up1(13))__r1＋r2； 两个圆外切⇔deq \x(\s\up1(14))__r1＋r2； 两个圆相交⇔eq \x(\s\up1(15))________<d<eq \x(\s\up1(16))______； 两个圆内切⇔deq \x(\s\up1(17))___|r1－r2|； 两个圆内含⇔deq \x(\s\up1(18))___|r1－r2|. 解析　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq \r(（0－1）2＋（b－2）2)＝1，解得b＝2，故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 解　解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程， 于是有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（0－a）2＋（5－b）2＝r2，,（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－3－a）2＋（－4－b）2＝r2，)) 解此方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r2＝25.)) 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 解法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq \f(－2－5,1－0)＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－eq \f(3,2)＝eq \f(1,7) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0. 同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0，))得圆心的坐标为(－3，1)． 又圆的半径r＝eq \r(（－3－0）2＋（1－5）2)＝5， 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 【例题3】已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 解析　由题意，得a＋b＝1，ab＝－eq \r(2)，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq \r(2)<8，∴点P在圆C内．故选A. 解　∵点A在圆C的内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2且a≠0， ∴a<－eq \f(5,2)且a≠0， ∴实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2))). 解析　由于82＋(－6)2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为eq \r(82＋（－6）2)－5＝10－5＝5. (2)已知x，y满足(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)，求x2＋y2的最大值和最小值． 解　据题意知，x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，最小距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为eq \f(9,4)和eq \f(1,4). 解　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq \f(1,5)， 故实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq \r(1－5m). 解　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kAB·kBC＝－1， 且kAB＝eq \f(8－5,3－8)＝－eq \f(3,5)， 所以kBC＝eq \f(m－8,0－3)＝eq \f(5,3)， 解得m＝3， 所以顶点C(0，3)． (2)解法一：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(89＋8D＋5E＋F＝0，,73＋3D＋8E＋F＝0，,9＋3E＋F＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－8，,F＝15.)) 所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 解法二：因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4，4)， 半径为r＝eq \r(（4－0）2＋（4－3）2)＝eq \r(17)， 所以所求方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17， 即x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 解　解法一：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋（y－1）2＝2，,y＝x－b，))得2x2－2(1＋b)x＋b2＋2b－1＝0　①，其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2＋2b－1)＝－4(b＋3)(b－1)， 当－3<b<1时，Δ>0，方程①有两个不相等的实数根，直线与圆相交． 当b＝－3或b＝1时，Δ＝0，方程①有两个相等的实数根，直线与圆相切． 当b<－3或b>1时，Δ<0，方程①无实数根，直线与圆相离． 解法二：圆心(0，1)到直线y＝x－b的距离d＝eq \f(|－1－b|,\r(2))，圆的半径r＝eq \r(2). 当d<r，即－3<b<1时，直线与圆相交； 当d＝r，即b＝－3或b＝1时，直线与圆相切； 当d>r，即b<－3或b>1时，直线与圆相离． 解　∵32＋42＝25，∴点P在圆C上． 由圆C：x2＋y2＝25知圆心C(0，0)，r＝5. 则直线CP的斜率kCP＝eq \f(4－0,3－0)＝eq \f(4,3)， ∵圆的切线垂直于经过切点的半径， ∴所求切线的斜率k＝－eq \f(3,4). 故过点P的圆的切线方程为y－4＝－eq \f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－25＝0. 解　解法一：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0， 得(x＋1)2＋(y－2)2＝2， 依题意得圆心C(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上， 所以2a×(－1)＋b×2＋6＝0， 即a＝b＋3.① 易知由点(a，b)向圆所作的切线长 l＝eq \r(（a＋1）2＋（b－2）2－2)，② 将①代入②， 得l＝eq \r(（b＋4）2＋（b－2）2－2)＝eq \r(2（b＋1）2＋16). 又b∈R，所以当b＝－1时，lmin＝4. 解法二：因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题． 由题意知圆心C(－1，2)，半径r＝eq \r(2)，因为圆心C(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以2a×(－1)＋b×2＋6＝0，即b＝a－3，则点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d′，易求得d′＝eq \f(|－1－2－3|,\r(2))＝3eq \r(2)，所以切线长的最小值为eq \r(（3\r(2)）2－2)＝4. 解　解法一：由方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x2＋y2－2y－1＝0，)) 消去y，得5x2－8x＋2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1，x2是方程5x2－8x＋2＝0的两根， 所以x1＋x2＝eq \f(8,5)，x1x2＝eq \f(2,5). 由两点间距离公式， 得|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2) ＝eq \r(（x1－x2）2＋（2x1－1－2x2＋1）2) ＝eq \r(（x1－x2）2＋4（x1－x2）2) ＝eq \r(5)×eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝eq \r(5)×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))\s\up12(2)－4×\f(2,5))＝eq \f(2\r(30),5). 解法二：已知圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝2，其圆心为(0，1)，半径r＝eq \r(2)，设圆心到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|2×0－1－1|,\r(5))＝eq \f(2,\r(5))， 弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2－\f(4,5))＝eq \f(2\r(30),5). 解析　由(x－2)2＋(y－1)2＝9得圆心坐标为A(2，1)，半径R＝3，由x2＋y2＝4得圆心为O(0，0)，半径r＝2，∴|AO|＝eq \r(5)，R＋r＝5，R－r＝1，∴R－r<|AO|<R＋r，即两圆相交．故选B. 解　对于圆C1、圆C2的方程，配方得 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. ①如果圆C1与圆C2外切，则有 eq \r(（m＋1）2＋（－2－m）2)＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0， 解得m＝－5或m＝2. ②如果圆C1与圆C2内含，则有 eq \r(（m＋1）2＋（－2－m）2)<3－2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0， 解得－2<m<－1. 解析　设所求圆的半径为r，则eq \r(32＋（－4）2)＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169. 解　联立两圆的方程得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，)) 两式相减得x－2y＋4＝0， 此即为两圆公共弦所在直线的方程． 1．点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 解析　∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1>eq \f(1,2)，∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))在圆外．故选C. 解析　圆心为AB的中点(1，－3)，半径为eq \f(|AB|,2)＝eq \f(1,2) eq \r(（6＋4）2＋（－1＋5）2)＝eq \r(29)，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B. 解析　把圆的方程化为标准方程，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2))) eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝1－eq \f(3,4)k2，r2＝1－eq \f(3,4)k2，∴S＝πr2＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)k2))＝π，∴k＝0，∴圆心坐标为(0，－1)． 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0，))得C(－1，2)．所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 解析　圆的半径r＝eq \f(\r(k2＋4－4k2),2)＝eq \f(\r(4－3k2),2)≤1，当圆的半径最大时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，∴直线的方程为y＝－x＋2，则tanα＝－1，又0°≤α<180°，∴α＝135°.故选A. 解析　∵|MA|＝eq \r(（－1－3）2＋（1－4）2)＝5，|MB|＝eq \r(（1－3）2＋（0－4）2)＝2eq \r(5)，|MC|＝eq \r(（－2－3）2＋（3－4）2)＝eq \r(26)，∴|MB|<|MA|<|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 解析　易知圆心坐标为(1，1)，半径r＝1，∵直线与圆相切，∴eq \f(|3＋4－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或b＝12. 9．过圆x2＋y2＝4上的一点(1，eq \r(3))的圆的切线方程是(　　) A．x＋eq \r(3)y－4＝0 B.eq \r(3)x－y＝0 C．x＋eq \r(3)y＝0 D．x－eq \r(3)y－4＝0 解析　易知点(1，eq \r(3))在圆上．过圆心与点(1，eq \r(3))的直线的斜率为eq \r(3)，所以过点(1，eq \r(3))的圆的切线的斜率为－eq \f(\r(3),3)，所以切线方程为y－eq \r(3)＝－eq \f(\r(3),3)(x－1)，即x＋eq \r(3)y－4＝0. 解析　圆x2＋y2＝r2的圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝eq \f(|0－0－2|,\r(1＋1))＝eq \r(2)>1，设直线l1，l2与直线l：x－y－2＝0平行且距离为1，如图，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，这4个点就为直线l1，l2与圆的4个交点，则r要大于最远的一条直线到圆心的距离，最远的一条直线到圆心的距离为eq \r(2)＋1，所以r>eq \r(2)＋1，则选项C与D符合．故选CD. 解析　根据题意，圆M：(x－2)2＋y2＝4，其圆心为M(2，0)，半径r＝2；圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为N(1，1)，半径R＝1，圆心距|MN|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，有|R－r|<|MN|<R＋r，故两圆相交．故选B. 12．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　) A．r<eq \r(5)＋1 B．r>eq \r(5)＋1 C．|r－eq \r(5)|<1 D．|r－eq \r(5)|≤1 解析　由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为eq \r(（－1）2＋22)＝eq \r(5).∵两圆有公共点，∴|r－1|≤eq \r(5)≤r＋1，∴eq \r(5)－1≤r≤eq \r(5)＋1，即－1≤r－eq \r(5)≤1，∴|r－eq \r(5)|≤1. 解析　圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心为C1(－2，2)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心为C2(2，5)，半径为r2＝6，而|C1C2|＝eq \r(（2＋2）2＋（5－2）2)＝5＝r2－r1，故两圆内切． 解析　设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则eq \r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则eq \r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9. 15．(多选)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.则下列结论正确的是(　　) A．当两圆外切时，m＝25＋10eq \r(11) B．当两圆内切时，m＝25－10eq \r(11) C．当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0 D．当m＝45时，两圆的公共弦长为eq \r(7) 解析　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为eq \r(11)，eq \r(61－m)(m<61)．对于A，当两圆外切时，由eq \r(（5－1）2＋（6－3）2)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，得m＝25＋10eq \r(11)，A正确；对于B，当两圆内切时，因为定圆半径eq \r(11)小于两圆圆心之间的距离5，所以eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11)，B正确；对于C，当m＝45时，两圆相交，由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，C正确；对于D，两圆的公共弦长为2eq \r(（\r(11)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))\s\up12(2))＝2eq \r(7)，D错误．故选ABC. 解析　曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝eq \f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq \r(2).过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为eq \f(5\r(2)－3\r(2),2)＝eq \r(2)，则圆C2的半径为eq \r(2).设C2的坐标为(x0，x0)，则eq \f(|x0＋x0－2|,\r(2))＝eq \r(2)，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2. 解析　当线段AB为圆的直径时，过A，B两点的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10).则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－1－a）2＋（4－b）2＝r2，,2a－b－4＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.)) ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 解　(1)解法一：由B(2，0)，C(0，－4)， 知BC的中点D的坐标为(1，－2)． 又A(－3，0)， 所以直线AD的方程为eq \f(y－0,－2－0)＝eq \f(x＋3,1＋3)， (2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25. 如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短． 此时PC⊥l，又kPC＝eq \f(－3－（－6）,4－3)＝3， 所以直线l的斜率为－eq \f(1,3)， $$