串讲01 第一章 直线与直线的方程（考点串讲）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

北师大版(2019)必修(第一册) 数学 期中考点大串讲 串讲 01 第一章 直线与直线的方程 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.直线的倾斜角 逆时针 平行或重合 垂直 [0，π) 考点2.直线的斜率 不存在 存在且唯一 考点3.直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 k≥0 增大 考点3.直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 k<0 增大 垂直 不存在 考点3.直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 tanα (1，k) 考点4.直线l的方程 每一点 都在 考点5.直线方程的点斜式、直线方程的斜截式 y－y0＝k(x－x0) y＝y0 x＝x0 斜率 截距 考点6.直线方程的两点式 不为0 考点7.直线方程的截距式 不为0 不过原点 考点8.直线方程的一般式 Ax＋By＋C＝0 考点8.直线方程的一般式 与x轴不垂直 与x轴垂直 考点9.直线方程的点法式 垂直 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 考点10.两条直线平行 k1＝k2 平行或重合 考点11.两条直线垂直 k1k2＝－1 平行或重合 考点12.直线的交点与直线的方程组解的关系 Ax＋By＋C＝0 Aa＋Bb＋C＝0 考点13.两直线的位置关系 无解 无数个 相交 平行 考点14.两点间的距离公式、 　 点到直线的距离公式 考点15.两条平行直线间的距离公式 公垂线段 距离 02 典例透析 考点1.直线的倾斜角 【例题1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 答案 考点1.直线的倾斜角 解析 解析　通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 考点2.直线的斜率 　 【例题2】如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，试计算直线l1，l2，l3的斜率． 解 考点3.直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 解 【例题3】已知直线l经过点A(2，3)，B(－1，0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ. 考点4.三点共线问题 解 【例题4】已知A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)三点在同一直线上，求a的值． 考点4.三点共线问题 解 考点5.直线方程的点斜式 　【例题5】 分别求满足下列条件的直线方程的点斜式． (1)过点(－1，2)，且斜率为3； (2)已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°； (3)过点(－1，2)且直线的一个方向向量为v＝(2，－1)． 考点6.直线方程的斜截式 　【例题6】 根据条件写出下列直线方程的斜截式： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 考点6.直线方程的斜截式 解 考点7.直线方程的两点式 解 【例题7】已知三角形的顶点分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程． 考点7.直线方程的两点式 解 考点8.直线方程的截距式 解 【例题8】直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 考点9.直线方程的综合应用 答案 解析 　 【例题9】若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为_________________________． x＋y±6＝0或x－y±6＝0 考点9.直线方程的综合应用 解析 考点10.直线方程的一般式 答案 解析 　 【例题10】已知直线l的倾斜角是直线x－2y＋3＝0的倾斜角的2倍，且直线l过点(3，2)，则直线l方程的一般式为_________________． 4x－3y－6＝0 考点11.直线方程的一般式与其他形式的互化 解 　 【例题11】设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和为0. 考点12.直线方程的点法式 解 【例题12】 已知直线l经过点A(3，1)，且n＝(2，－3)是直线l的一个法向量，求直线l的方程． 解　由题意，知直线l方程的点法式为2(x－3)－3(y－1)＝0，化为一般式，得2x－3y－3＝0. 考点13.平行关系的判断 　【例题13】判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：2x＋y＝7，l2：4x＋2y＝1； (3)l1：x＝2，l2：x＝4. 解 考点13.平行关系的判断 解 考点13.平行关系的判断 解 考点14.利用平行关系求直线方程 解 考点15.垂直关系的判断 【例题15】判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)l1：y＝x＋5，l2：x＋y－2＝0； (2)l1：4x－5y＋1＝0，l2：15x＋12y－7＝0； (3)l1：y＝－3，l2：x＝1. 解 考点15.垂直关系的判断 解 解 【例题16】求过点(3，1)且与直线y＝3x－1垂直的直线方程． 考点16.利用垂直关系求直线方程 解 【例题17】 (1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值． 考点17. 利用平行、垂直关系求参数 解 考点17. 利用平行、垂直关系求参数 解法二：∵l1∥l2， ∴2×3－(m＋1)m＝0且－2(m＋1)－3×4≠0， 即m2＋m－6＝0且m≠－7， ∴m＝2或m＝－3. ∴m的值为2或－3. 解 考点17. 利用平行、垂直关系求参数 解 考点17. 利用平行、垂直关系求参数 解 解法二：l1中，A1＝a，B1＝1－a， l2中，A2＝a－1，B2＝2a＋3. 若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0， 即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3.∴a的值为1或－3. 考点17. 利用平行、垂直关系求参数 考点18.直线的交点问题 解 考点18.直线的交点问题 解 考点18.直线的交点问题 证明 【例题19】求证：不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． 证明　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4； 当m＝ 时，直线方程为x＝9. 这两条直线的交点为(9，－4)． 又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上， 故不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 考点19.过定点的直线系问题 【例题20】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 考点20.对称问题 解 考点20.对称问题 解 考点20.对称问题 解 考点20.对称问题 解 考点20.对称问题 解 考点20.对称问题 解 【例题21】已知四边形ABCD的各顶点分别为A(－7，0)，B(2，－3)，C(5，6)， D(－4，9)，判断这个四边形是哪种四边形． 考点21.两点间的距离公式及应用 解 考点21.两点间的距离公式及应用 答案 解析 考点22.点到直线的距离公式及应用 解 (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． 考点22.点到直线的距离公式及应用 解 考点22.点到直线的距离公式及应用 解 考点22.点到直线的距离公式及应用 解 【例题23】求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程． 考点23.两条平行直线间的距离公式及应用 解 考点23.两条平行直线间的距离公式及应用 03 考场练兵 1．直线y＝k(x＋2)＋3必过一定点，则该定点为(　　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，3) 答案 解析 解析　直线方程可化为y－3＝k(x＋2)，由直线方程的点斜式可知该直线的斜率为k，且过点(－2，3)． 2．已知A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为(　　) A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1 答案 解析 解析　由直线AB的倾斜角是90°，可知直线AB垂直于x轴，所以A，B两点的横坐标相等，纵坐标不相等，于是a＝3，b∈R且b≠1.故选D. 答案 解析 答案 解析 5．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(1011，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．2010 B．2020 C．2023 D．2022 答案 解析 6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB方程的一般式是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0 答案 解析 解析　易知A(－1，0)，∵|PA|＝|PB|，∴点P在线段AB的垂直平分线，即直线x＝2上，∴B(5，0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴直线PB的斜率kPB＝－1，∴直线PB的方程为y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 7．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l方程的一般式为(　　) A．15x－10y－6＝0 B．15x－10y＋6＝0 C．6x－4y－3＝0 D．6x－4y＋3＝0 答案 解析 8．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案 解析 解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋C＝0(C≠－3)，故排除A，D；C中直线在x，y轴上的截距均为正，直线过第一象限，不符合条件．故选B. 9．下列直线与直线x－y－1＝0平行的是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．ax－ay－a＝0(a≠0) D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0(a≠0) 答案 解析 解析　由1×1＋1×(－1)＝0，得直线x＋y－1＝0与直线x－y－1＝0垂直，A不符合题意；由1×(－1)－(－1)×1＝0且1×1－(－1)×1＝2≠0，得直线x－y＋1＝0与直线x－y－1＝0平行，B符合题意；当a≠0时，直线ax－ay－a＝0，即a(x－y－1)＝0与直线x－y－1＝0重合，C，D不符合题意．故选B. 10．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 答案 解析 答案 解析 12．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．3 C．－5 D．1或－5 答案 解析 答案 解析 13．(多选)在同一直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能是(　　) 解析　在C中，b1>b2，不符合题意；在D中，k1<k2，不符合题意．故选AB. 14．(多选)平面上三条直线x－2y＋2＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k的取值可能为(　　) A．0 B．－2 C．－1 D．1 解析　 设l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0，如图，l1与l2交于点A(2，2)，显然l3恒过坐标原点，当l3∥l2时，符合题意，此时k＝0；当l3∥l1时，符合题意，此时k＝－2；当l3过点A(2，2)时，符合题意，此时k＝－1；当k≠0，－2，－1时，三条直线将平面分成7个部分．综上可知，k的取值可能为0，－2，－1.故选ABC. 答案 解析 答案 解析 15．已知直线l：3x－y＋3＝0，则点P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为_____________． (－2，7) 16．在一个矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知|AD|＝5 m，|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直？ 解 解 知识点　 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按eq \x(\s\up1(01))_________方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．通常倾斜角用α表示． ①当直线l与x轴eq \x(\s\up1(02))______________时，它的倾斜角为0； ②当直线l与x轴eq \x(\s\up1(03))________时，它的倾斜角为eq \f(π,2). (2)范围：eq \x(\s\up1(04))________． 知识点　 (1)定义：称k＝eq \x(\s\up1(01))__________________为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (2)①若直线l垂直于x轴，则它的斜率eq \x(\s\up1(02))___________； ②若直线l不与x轴垂直，则它的斜率eq \x(\s\up1(03))______________． eq \f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2) 知识点　 (1)倾斜角不是eq \f(π,2)的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝eq \x(\s\up1(01))___________． (2)如图，结合正切函数的图象与性质，可知，斜率k 与倾斜角α有如下关系： 当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率eq \x(\s\up1(02))_____，且k随倾斜角α的增 大而eq \x(\s\up1(03))_____； tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α≠\f(π,2))) 当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率eq \x(\s\up1(04))_______，且k随倾斜角α的增大而eq \x(\s\up1(05))______； 当α＝eq \f(π,2)时，直线l与x轴eq \x(\s\up1(06))______，此时直线l的斜率eq \x(\s\up1(07))________． (3)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量eq \o(P1P2,\s\up16(—→))是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量eq \o(P1P2,\s\up16(—→))分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝eq \x(\s\up1(08))________＝eq \x(\s\up1(09))_________ (其中x1≠x2)． ①若k是直线l的斜率，则v＝eq \x(\s\up1(10))________是它的一个方向向量； ②若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝eq \x(\s\up1(11))__． eq \f(y2－y1,x2－x1) eq \f(y,x) 知识点　 一般地，如果一条直线l上的eq \x(\s\up1(01))________的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点eq \x(\s\up1(02))_______直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 知识点　 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为eq \x(\s\up1(01))_____________，称为直线方程的点斜式． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为eq \x(\s\up1(02))_______，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为eq \x(\s\up1(03))_______． 知识点 (1)方程y＝kx＋b中的k为直线l的eq \x(\s\up1(01))_____，b为直线l在y轴上的eq \x(\s\up1(02))_____． (2)称y＝kx＋b为直线方程的斜截式． 知识点　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 eq \f(y－y1,y2－y1)＝ eq \x(\s\up1(01))_______ 斜率存在且eq \x(\s\up1(02))_______ eq \f(x－x1,x2－x1) 知识点　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0 eq \x(\s\up1(01))________ 斜率存在且eq \x(\s\up1(02))______，eq \x(\s\up1(03))_________ eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 知识点　 (1)定义：关于x，y的二元一次方程eq \x(\s\up1(01))_______________ (其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．反之，任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线． (3)特殊情形：①当B≠0时，y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，它表示平面直角坐标系中一条eq \x(\s\up1(02))_____________的直线eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中－\f(A,B)是直线的斜率))； ②当B＝0，且A≠0时，x＝－eq \f(C,A)，它表示平面直角坐标系中一条eq \x(\s\up1(03))________ 的直线． 　 (1)法向量：与方向向量eq \x(\s\up1(01))_______的向量称为直线的法向量． (2)点法式：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则方程eq \x(\s\up1(02))_____________________是直线l的方程．称这个方程为直线方程的点法式． (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 ⇔eq \x(\s\up1(01))_________． (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为eq \f(π,2)的直线，从而它们互相eq \x(\s\up1(02))___________． 知识点　 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔ eq \x(\s\up1(01))____________． (2)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴 eq \x(\s\up1(02))____________，即另一条直线的斜率为0. 知识点　　 1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：eq \x(\s\up1(01))_________________ 点A在直线l上 eq \x(\s\up1(02))_______________ 直线l1与l2的交点是A eq \x(\s\up1(03))_______________ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0)) 方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 eq \x(\s\up1(04))______ 直线l1与l2的公共点的个数 一个 eq \x(\s\up1(05))________ 零个 直线l1与l2的位置关系 eq \x(\s\up1(06))______ 重合 eq \x(\s\up1(07))_______ 知识点　 对于坐标平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得A，B两点间的距离公式|AB|＝eq \x(\s\up1(01))______________________________． 知识点 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq \x(\s\up1(01))____________(其中A，B不全为0)． eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 知识点　 (1)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的eq \x(\s\up1(01))___________的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的eq \x(\s\up1(02))_______． (2)两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0，且C1≠C2)间的距离d＝eq \x(\s\up1(03))_________(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)) 解　由已知条件可得，直线l1，l2，l3的斜率都存在． 设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3， 则k1＝eq \f(－1－2,－2－3)＝eq \f(3,5)，k2＝eq \f(－2－2,4－3)＝－4，k3＝eq \f(2－2,－3－3)＝0. 解　由已知，可得eq \o(AB,\s\up16(—→))＝(－1，0)－(2，3)＝(－3，－3)是直线l的一个方向向量．因此直线l的斜率k＝eq \f(－3,－3)＝1，直线l的倾斜角θ满足tanθ＝1，从而可知θ＝45°. 解　解法一：∵5≠－4， ∴三点所在直线的斜率存在， ∴kAB＝eq \f(2－1,a－5)＝eq \f(1,a－5)，kBC＝eq \f(2a－1,－4－5)＝eq \f(1－2a,9). ∵A，B，C三点在同一直线上，∴kAB＝kBC， ∴eq \f(1,a－5)＝eq \f(1－2a,9)，解得a＝2或a＝eq \f(7,2). 解法二：∵eq \o(AB,\s\up16(—→))＝(5－a，－1)，eq \o(AC,\s\up16(—→))＝(－4－a，2a－2)，A，B，C三点在同一直线上， ∴(5－a)×(2a－2)＝－1×(－4－a)， 即2a2－11a＋14＝0，解得a＝2或a＝eq \f(7,2). 解　(1)y－2＝3(x＋1)． (2)斜率k＝tan60°＝eq \r(3)，AB的中点为(1，4)，则该直线方程的点斜式为y－4＝eq \r(3)(x－1)． (3)直线的一个方向向量为v＝(2，－1)， ∴k＝eq \f(－1,2)＝－eq \f(1,2)，故该直线方程的点斜式为y－2＝－eq \f(1,2)(x＋1)． 解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于倾斜角α＝150°， 则斜率k＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3)， 由斜截式可得所求直线方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2. (3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k＝tan60°＝eq \r(3).由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3. 解　过点A(－5，0)，C(0，2)的直线方程的两点式为eq \f(y－0,2－0)＝eq \f(x－（－5）,0－（－5）)，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． 设线段AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边的中点D的连线． 因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－5＋0,2)＝－\f(5,2)，,y＝\f(0＋2,2)＝1，))即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，1)). 由两点式得直线BD的方程为eq \f(y－（－3）,1－（－3）)＝eq \f(x－3,－\f(5,2)－3)， 整理可得8x＋11y＋9＝0. 此方程即为AC边上的中线所在直线的方程． 解　设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 由已知得a＋b＝12.① 又直线l过点(－3，4)， 所以eq \f(－3,a)＋eq \f(4,b)＝1.② 由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝16，)) 故直线l的方程为eq \f(x,9)＋eq \f(y,3)＝1或eq \f(x,－4)＋eq \f(y,16)＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. 解析　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. ①若直线l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，则直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0.∵eq \f(1,2)|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线l的方程为x＋y±6＝0； ②若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a，故直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y－a＝0.∵eq \f(1,2)|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 解析　根据题意，设所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝eq \f(1,2)，则有tanθ＝tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3)，故直线l的方程为y－2＝eq \f(4,3)(x－3)，即4x－3y－6＝0. 解　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2， 由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 解　(1)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，l2：y＝－eq \f(3,5)x－eq \f(3,10). 则k1＝－eq \f(3,5)，b1＝eq \f(6,5)，k2＝－eq \f(3,5)，b2＝－eq \f(3,10). ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 解法二：∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2. (2)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－2x＋7，l2：y＝－2x＋eq \f(1,2). 则k1＝－2，b1＝7，k2＝－2，b2＝eq \f(1,2). ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 解法二：将两直线方程化为一般式： l1：2x＋y－7＝0，l2：4x＋2y－1＝0. ∵2×2－4×1＝0且2×(－1)－4×(－7)≠0，∴l1∥l2. (3)∵l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2. (3,4)【例题14】求经过点A(1，2)，且平行于直线l：y＝－x＋eq \f(5,4)的直线方程． 解　由y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)，得直线l的斜率k＝－eq \f(3,4). ∵所求直线平行于直线l， ∴所求直线的斜率为－eq \f(3,4). ∴所求直线的方程为y－2＝－eq \f(3,4)(x－1)， 即y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(11,4). 解　(1)解法一：将直线l2的方程化为斜截式：y＝－x＋2，则k1＝1，k2＝－1， ∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2. 解法二：由两条直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(1，－1)，n2＝(1，1)． ∵n1·n2＝(1，－1)·(1，1)＝0，∴l1⊥l2. (2)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝eq \f(4,5)x＋eq \f(1,5)，l2：y＝－eq \f(5,4)x＋eq \f(7,12)， 则k1＝eq \f(4,5)，k2＝－eq \f(5,4)，k1k2＝－1， ∴l1⊥l2. 解法二：由两条直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(4，－5)，n2＝(15，12)， ∵n1·n2＝4×15＋(－5)×12＝0，∴l1⊥l2. (3)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2. 解　直线y＝3x－1的斜率为3， 经过点(3，1)且与直线y＝3x－1垂直的直线方程为y－1＝－eq \f(1,3)(x－3)，即x＋3y－6＝0. 解　(1)解法一：a.当m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝eq \f(1,3)，两直线不平行； b．当m＋1≠0，即m≠－1时，将两条直线方程各化为斜截式： l1：y＝－eq \f(2,m＋1)x－eq \f(4,m＋1)，l2：y＝－eq \f(m,3)x＋eq \f(2,3). 由l1∥l2知两条直线的斜率相等，截距不相等， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m＋1)＝－\f(m,3)，　　　　　①,－\f(4,m＋1)≠\f(2,3). 　　　　　 ②)) 由①得m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 经验证均适合②式，故m的值为2或－3. (2)解法一：当a＝1时，l1：x＝3，l2：y＝eq \f(2,5)， ∴l1⊥l2； 当a＝－eq \f(3,2)时，l1：y＝eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，l2：x＝－eq \f(4,5)， ∴l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠－eq \f(3,2)时，k1＝eq \f(a,a－1)，k2＝eq \f(1－a,2a＋3)， 由于l1⊥l2，则eq \f(a,a－1)×eq \f(1－a,2a＋3)＝－1， 解得a＝－3. 综上可知，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2. 【例题18】判定下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标． (1)l1：2x－y＝7，l2：4x＋2y＝1； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝eq \f(x,3)＋eq \f(2,3)； (3)l1：(eq \r(2)－1)x＋y＝3，l2：x＋(eq \r(2)＋1)y＝2. 解　(1)∵k1＝2，k2＝－2，∴k1≠k2， ∴l1，l2相交． 解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,4x＋2y＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(15,8)，,y＝－\f(13,4)，)) ∴两直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，－\f(13,4))). (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：x－3y＋2＝0， ∵eq \f(2,1)＝eq \f(－6,－3)＝eq \f(4,2)，∴l1与l2重合． (3)解法一：∵k1＝1－eq \r(2)，k2＝－eq \f(1,\r(2)＋1)＝－(eq \r(2)－1)＝1－eq \r(2)，∴k1＝k2. 又b1＝3≠b2＝eq \f(2,\r(2)＋1)，∴l1∥l2. 解法二：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（\r(2)－1）x＋y＝3，　①,x＋（\r(2)＋1）y＝2，　②)) 由①得y＝3－(eq \r(2)－1)x代入②得 x＋(eq \r(2)＋1)[3－(eq \r(2)－1)x]＝2， 整理，得3(eq \r(2)＋1)＝2不成立， ∴方程组无解，∴l1∥l2. eq \f(1,2) 解　(1)设A′(x，y)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))). (2)解法一：在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上． 设该对称点为M′(a，b)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，)) 解得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))). 设m与l的交点为N， 则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)． ∴m′经过点N(4，3)． ∴由两点式得，直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 解法二：易知直线m′的斜率存在，设为k， 由题意知kl＝eq \f(2,3)，km＝eq \f(3,2)， 由直线m与直线m′关于直线l对称，得 直线m与直线l的夹角和直线m′与直线l的夹角相等， 则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2,3)－\f(3,2),1＋\f(2,3)×\f(3,2))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2,3)－k,1＋\f(2,3)k)))， 两边平方整理得92k2－156k＋27＝0， 解得k1＝eq \f(9,46)或k2＝eq \f(3,2)(舍去)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得直线m与直线l的交点为(4，3)， 又直线m′过直线m与直线l的交点， ∴直线m′的方程为y－3＝eq \f(9,46)(x－4)， 即9x－46y＋102＝0. (3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，且点P′在直线l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 解　∵kAB＝－eq \f(1,3)，kCD＝－eq \f(1,3)，kAD＝3，kBC＝3， ∴AB∥CD，AD∥BC， 即四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kAD＝－1， ∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形， ∵|AB|＝eq \r([2－（－7）]2＋（－3－0）2)＝3eq \r(10)， |AD|＝eq \r([－4－（－7）]2＋（9－0）2)＝3eq \r(10)， ∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形， 故四边形ABCD为正方形． 【例题22】点(－1，1)到直线4x＋2y－3＝0的距离为(　　) A.eq \f(\r(5),2) B．5 C.eq \f(4\r(5),5) D．4 解析　点(－1，1)到直线4x＋2y－3＝0的距离为eq \f(|－4＋2－3|,\r(16＋4))＝eq \f(\r(5),2).故选A. 解　解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－eq \f(1,3)， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 解法二(数形结合)：设所求直线为l，由l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)． ①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0； ②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1，4)， 此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. 所以直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 解　解法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝eq \f(|C－（－1）|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|C＋1|,\r(5))＝2， ∴|C＋1|＝2eq \r(5)，C＝±2eq \r(5)－1. ∴所求的直线方程为2x－y＋2eq \r(5)－1＝0或2x－y－2eq \r(5)－1＝0. 解法二：设所求直线上任意一点P(x，y)， 则点P到直线2x－y－1＝0的距离为 d＝eq \f(|2x－y－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|2x－y－1|,\r(5))＝2， ∴2x－y－1＝±2eq \r(5). ∴所求的直线方程为2x－y＋2eq \r(5)－1＝0或2x－y－2eq \r(5)－1＝0. 3．直线l的倾斜角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，则其斜率的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) B．(1，eq \r(3)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) 解析　直线l的倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，则斜率为tanα，y＝tanx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为增函数．由于直线l的倾斜角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，所以其斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(π,4)，tan\f(π,3)))，即(1，eq \r(3))．故选B. 4．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝eq \f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直线是(　　) A．x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝eq \r(2)(x＋1) D．y－1＝2eq \r(2)(x＋1) 解析　∵直线y＝eq \f(\r(2),2)x－2的斜率为eq \f(\r(2),2)，∴所求直线的斜率为eq \r(2)，又直线过点(－1，1)，∴其直线方程为y－1＝eq \r(2)(x＋1)． 解析　由题意得，直线l方程的两点式为eq \f(y－（－1）,5－（－1）)＝eq \f(x－（－1）,2－（－1）)，即y＝2x＋1，将点(1011，b)代入方程，得b＝2×1011＋1＝2023. 解析　由题意，可知直线l的斜率k＝eq \f(3,2)，故可设直线l的方程为y＝eq \f(3,2)x＋b，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)b))－b＝1，解得b＝－eq \f(3,5)，所以直线l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(3,5)，即15x－10y－6＝0.故选A. 解析　联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k2－36,3＋2k)，,y＝\f(k＋24,3＋2k)，))∵直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，∴y＝eq \f(k＋24,3＋2k)＝0，解得k＝－24.故选A. 11．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为eq \r(2)，则A，B两点间的距离为(　　) A.eq \r(5) B．2eq \r(2) C．3 D.eq \r(10) 解析　设点A(a，2a－1)，B(b，2b－1)，由题意得|a－b|＝eq \r(2)，所以|AB|＝ eq \r(（a－b）2＋[（2a－1）－（2b－1）]2)＝eq \r(5)|a－b|＝eq \r(10). 解析　由两点间的距离公式得eq \r([a－（－2）]2＋[3－（－1）]2)＝5，即(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5. 解析　设P′(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－5,x－4)×3＝－1，,3×\f(x＋4,2)－\f(y＋5,2)＋3＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝7.))所以P′的坐标为(－2，7)． 解　以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(如图所示)，由|AD|＝5 m，|AB|＝3 m， 可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)． 设点M的坐标为(x，0)， ∵AC⊥DM，由图可知直线AC，DM的斜率都存在， ∴kAC·kDM＝－1， 即eq \f(3－0,0－5)·eq \f(3－0,5－x)＝－1，解得x＝eq \f(16,5). 即|BM|＝eq \f(16,5) m时，两条小路AC与DM互相垂直． $$