3.3.3 导数与函数的零点-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

第三课时导数与函数的零点 考点突破·互动探究 春点 判断、证明或讨论零点的个数 考点 根据零点个数求参数范围 例(223·山东日照三模)已知函数x)=（x-2)e --(a ax +aln x(aER). 例(2022·全国乙卷)已知函数f)=r- (1)当a=-1时，求函数f八x)的单调区间： +1)nx. (2)当a<e时，讨论f八x)的零点个数 (1)当a=0时，求f(x)的最大值： (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围。 名师点拨：利用导数研究方程根（函数零点）的 技巧 080 1.研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的 单调性，最大值、最小值、变化趋势等 225 2.根据意目要求，画出函数图象的走势规律，标明 名师点拨：利用函数零点求参数范围的方法 年 函数极（最）值的位置， 1.利用零点的个数结合函数代x)的单调性构建不 度 3.利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题 等式求解 创 新 的求解有一个清晰、直观的整体展现 2.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题， 计 【变式训练】 从面构建不等式求解 (2024·赣州适应性考试)已知函数f(x)=e-m 3.分离参数(k=g(x)后，将原问题转化为y=g(x) xnx,f(x)的导函数为f'(x). 的值城（最值）问题或转化为直线y=k与y=g(x)的图象 (1)当m=1时，证明：函数八x)在(0，+)上单调 的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解。 递增： 【变式训练】 (2)若g(x)='(x)-m+1,讨论函数g(x)零点的 设函数f八x）=-x2+ax+lnx(aeR). 个数 (1)当a=-1时，求函数f孔x)的单调区间： (2)若函数f八x)在号3上有两个零点，求实数a 的取值范围 点3 【变式训练】 与零点有关的综合问题 已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1. 例(2020·全国Ⅲ卷)设函数x)=r+:+c,曲线 证明：(1)f(x)存在唯一的极值点： y=x)在点(2()处的切线与y轴垂直。 (2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为 倒数 (1)求b: (2)若f八x)有一个绝对值不大于1的零点，证明： 代x)所有零点的绝对值都不大于1. 名师讲坛·素养提升 轮总复习 极值点偏移问题处理方法 图说极值点偏移 方法（一）对称变换 1.已知函数f代x)的图象的顶点的横坐标就是极值 对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相 点，若代x)=c的两根的中点刚好满足=。 关的不等式的证明问题，其解题要点如下： 081 2 (1)定极值点，即利用导函数符号的变化判断函 即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移. 数单调性，进而确定函数的极值点 此时函数f代x)在x=。两侧，函数值变化快慢相同，如 图1. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数h(x) =f八x)-f(2x-x),若证x2>x6,则令g(x）=f八x） 行0方 无们移，方右对你，二次瓯数0 (3)判断单调性，即利用导数讨论h(x)的单调性。 fx-f).则x,+2xe (4)比较大小，即判断函数h(x)在某段区间上的 正负，并得出f(x)与f(2x。-x)的大小关系. 2若产产≠则极值点偏移，此时函数)在 (5)转化，即利用函数f八x)的单调性，将f(x)与 x=x两侧，函数值变化快慢不同，如图2、图3. f八2x。-x)的大小关系转化为x与2x。-x之间的关系， 进而得到所证或所求。 [提醒】若要证明∫（作）的特号问题，还瑞 (上睫右缓，做值点向左偷移左缓右睫，极伯点向名僧移 行fx=1x,+x>2 若与x,期x+x<26 进一步计论与气的大小，得出产所在的单 2 图2 图3 调区间，从而得出该处导数值的正负， 例(2024·周市高级中学高三考试)已知函数/(x) [探究]本题证明的不等式中含有两个变量，对 -x,xe(0,m). 于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式 e 的两侧，然后根据西数的单调性，通过两个变量之间的 (1)求函数f八x)的单调区间： 关系“减元”，建立新函致，最终将问题转化为函数的 (2)若，且)=)，证明：满+>受 最侦问题来求解，考查了逻辑推理、数学建模及数学运 算等核心素养，在求解此类问题时，需要注意变量取值 [解析】(1'(x)=x:im,0<x<m. 范围的限定 方法（二）消参减元 由f"(x)=0得x=平 消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求 解问题相关的函数。主要是利用函数极值点乘积所满 当0<x<开时'(x)>0:当牙<x<m时"() 4 足的条件进行消参减元.其解题要点如下： <0. 求函数的导函数，令了'(x)=0,建立极值点所满足 “(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间 建方程 的方程，抓住导函数中的关键式子，即导函数解析 式中变号的部分（一般为一个二次整式） 是（年小 根据极值点所满足的方程，利用方程解的理论，建 (2)证明：x1≠2，且f八x1)=f八2)， 定关系 立极值点与方程系数之间的关系，确定两个极值 由()知，不妨设0<<牙<<m 点之积 082 消参 根据两个极值点之积的关系，化简或转化所求解 要证+>5，只需证>号-， 减元 问题，进行消参减元 2p25 西牙<受-<受x)在（年上单调递减， 构造 根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的 年 函数 函数 故只簧证)<（受-} 求解 利用导数研究所构造函数的单调性、极值，最值 新 又f八x)=f代2) 问题 等，从而解决相关问题 其需证)<f(受-} 例(2024·安微六安-中模拟)已知函数f() xln x -ax2 +x(aE R). 令面数g()=()-(侵-=地 (1)证明：曲线y=f八x)在点(1，f(1)处的切线1 恒过定点： (2)若f(x)有两个零点x1,1,且2>2x1,证明： e (x)=cos x-sin sin x-cos x 韩小格 e- [证明](1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由 fx)=xnx-ax2+x,得f'(x)=lnx-2ax+2,则 ∫'(1)=2(1-a),又f1)=1-a,则曲线y=f(x)在点 (1f1))处的切线1的方程为y-(1-a)=2(1 e子 a)(x-1),即y=2(1-a)(-》,显然恒过定 当0<x<牙时，m-m>0,号-x>,故点（分0 g'(x)>0 (2)若f八x)有两个零点1,2，则，lnx1-a+x 六(x)在(0,4)上单调递增， =0,h名-+=0，得a=n+1_n名+1 做在0）上)<()=)-f)=0 图为5>2，>0，令雨=，(4>2)，则血+1 x)<受-)成立，故+>受成立 In()1 tx tx 得n写=把票则n=n(,)=h1+h写= ①+②可得ln1+lnx1=m(x1+x2), In x:+In x2 即m= 名+2 ②-①可得lnx2-lnx=m(,-), 所以h()=h+h=兴-1+-1 即m=血书-hx 2-1 -+1)mL-2. t-1 从面可得 In x2 In x Inx+In x2 X2-1 1+3 令h(1)=u+1)血1-2(1>2)，则'() 1-1 1+ -2n1+1-L x1/1 于是lnx,+lnx2= 生-1 (t-1)2 令e0)=-2h1+1->2),则e0)=- 由0<元，<2，设1=，则1>1 t +1+u30, 12 因此ln名+n书，=1+)n1 .1>1. t-1 则(1)在(2，+0)上单调递增，所以中(1)> 要证1n,+ln>2,即证u+1)血1>2，(4>1). t-1 p(2)=}-2h2>0 即证当1>1时，有n1>21-) 1+1 ->0,则h()在(2，+x)上 所以h'()=0 令A0=h12,u>. 单调递增， 所以h()>h(2)=3m2-2=n产，即h(x) 则(0)=121+1)-21-1D=-1)2 (t+1)2 (1*1)>0, 所以h()为(1，+)上的增函数， >In 8 8 ，故> 因此h()>h(1)=n1-21-D=0. 靶 1+1 [探究]本题第(2)问要证明的方程f(x)=0的 根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等 于是当1>1时，有n1>2-1D t+1 式的等价变形，再利用函数的单调性转化为对应函数 所以ln,+lnx2>2成立，即x,2>e 值之间的大小关系，显然构造函效的关键仍然是消掉 [探究]求解本题的关健点有两个：一是消参， 083 参数. 把极值点转化为导函效零点之后，需要利用两个变量 方法（三）比（差）值换元 把参数表示出来，这是解决问题的基础，若只用一个极 比（差）值换元的目的也是消参，减元，就是根据 已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个 值点表示参数，如得到m= _n之后，代入第二个方 极值点之比（差）作为变量，从而实现消参、减元的目程，则无法建立两个极值点的关系，本题中利用两个方 的，设法用比值或差值（一般用：表示）表示两个极值 程相加（减）之后再消参，巧妙地把两个极值，点与参数 点，继而将所求解问题转化为关于：的函数问题求解。 之间的关系建立起来：二是消“变”，即减少变量的个 例已知x)=h-之m2-,meR若代x)有两 数，只有把方程转化为一个变量的式子后，才能建立与 之相应的函数，转化为函数问题求解.本题利用参数m 个极值点x,,且x1<x2,求证：xx>e2(e为自然对 的值相等建立方程，进而利用对数运算的性质，将方程 数的底数) [证明]欲证x2>e2,只需证ln,+lnx2>2. 转化为关于的方程，通过建立西数模型求解该问题， 由函数(x)有两个极值点x,x2,可得函数∫'(x)这体现了对数学建模等核心素养的考查 有两个零点，又∫'(x)=nx-mx,所以，x3是方程 温馨提示：复习至此，请完成练案[20 f'(x)=0的两个不同实根. nx,-mx1=0,① 于是有 ln2-mx2=0,② 高考大题规范解答 高考中函数与导数问题的热点题型 命题动向：函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重 点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性（求函数的单调区间），求极值、最值、切线方程，函数的零点或方 程的根，求参数的范围及证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论，数形结合、转化与化归等， 中、高档难度均有。 题型 (6分) 利用导数研究函数的性质 例(2023：北京高考题，20)(15分)设函数) 令g'(x)>0,得x<0或3-3<x<3+3:令 g'(x)<0,得0<x<3-√3或x>3+3 (7分) x-x3e,曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方 第3步：写出函数g(x)的单调区间 程为y=-x+1. 所以函数g(x)的单调递增区间为(-，0)，(3 (I)求a,b的值： 3,3+3),单调递减区间为(0,3-3)，(3+3， (2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间： (8分) (3)求f(x)的极值点个数. (3)第1步：根据函数g(x)的单调性及零点存在 [解题思路](1)根据曲线y=(x)在(1，f(1)) 处的切线方程为y=-x+1可得f'(1)=-1及f(1) 定理确定函数f(x)在x∈[0,3+√3]时的极值点情况 =0,根据f'(1)=-1及f代1)=0求出a,b的值：(2) 当0≤x≤3+3时，因为g(x)=1+ex2(x 首先对函效g(x)求导，然后确定g'(x)>0和g'(x)<3),所以g(0)=1>0,g(3+3)=1+e2-F(3+3)2 084 0时的x的取值范围，最后写出西数g(x)的单调区间； ×3>0,g(1)=-1<0,因为g(x)在(0,3-3)上单 2p25 (3)求函数八x)的极值点个数，即求g(x)=f'(x)=0 调递减，所以g(3-3)<g(1)<0.(另解：g(3-3) 变号根的个数，根据g(x)的单调性、极值及函数(x) 年 =1+-3(12-63)-。2-8-123+18 因为2-3 度 图象的变化趋势确定g(x)=∫'(x)=0的变号根的 e2万 e20 创 个数 新 [解析](1)第1步：对函数f(x)求导 <,所以e2-<e<2,所以e25-125+18<2 因为fx）=x-xem+,所以f'(x)=1-3x2e“+ 125+18=20-125=√400-√432<0，所以g(3 -axe=1-e(ax+3x2). (1分) 中 -3)<0) (10分) 学 第2步：根据曲线y=f(x)在(1，(1))处的切线 方程得f'(1)及f1)的值 又函数g(x)在(0,3-3)上单调递减，在(3 因为曲线y=f代x)在(1，f(1))处的切线方程为y 3,3+3)上单调递增，所以由零点存在定理，得存在 =-x+1 唯一的a∈(0,3-5)，Be(3-3,3+3),使得g(x) 所以f'(1)=-1f1)=0, (2分) =g(B)=0,所以当x∈(0，a)时，g(x)=∫'(x)>0, 第3步：根据f'(1)及f1)的值列方程组，求出a,f八x)单调递增：当x∈(a,β)时，g(x)=∫'(x)<0(x) b的值 单调递减：当xe(B,3+3)时，g(x)='(x)>0,八x) 0 ,解得口-1 ·(4分) 单调递增.所以x=a是函数f(x)的校大值点，x=B是 1b=1 函数f代x)的极小值点，（注：若想说明x=x0是函数 (2)第1步：对函数g(x)求导 八x)的一个极值，点，一要说明∫'(x)=0,二要说明函 因为a=-1,b=1,所以g(x)=f'(x)=1-e 数f八x)在x=x。两侧的导函数位异号) (12分) ·(-x3+3x2)=1+e+(x3-3x2). 第2步：确定函数f八x)在x∈(3+3，+%)时的 所以函数g(x)的定义域为R,g'(x)=-e+'(x 极值点情况 -3x2)+e+'(3x2-6x)=-e1+1(x3-3x2-3x2+ 当x>3+3时，g(x)=1+e-x2(x-3)>0恒 6r)=-e'x(x2-6x+6)=ex(3t3(g 成立，即当x>3+3时，方程g(x)=∫"(x)=0无实数 3(题眼) 根，所以x∈(3+3，+)时，函数f八x)无极值点 第2步：确定g'(x)>0和g'(x)<0时的x的取 (13分) 值范围 第3步：根据函数g(x)的单调性及零点存在定理 令g'(x)=0,解得x=0或x=3+3或x=3-√3. 确定函数f八x）在xe(-e,0)时的极值点情况 当x<0时，因为g(-2)=1+4×(-5)e3=1- 所以函数f(x)在(-0，-na)上单调递减，在 20e3<0,函数g(x)在(-9,0)上单调递增，所以由零 (-lna,+o)上单调递增. (4分)】 点存在定理可知，存在唯一的Y∈(-2,0)，使得g(y) 综上可得：当a≤0时，函数f八x)在(-，+) =0,所以x<r时，g(x)=f'(x）<0(x)单调递减：当 上单调递减： y<x<0时，g(x)=f'(x)>0,八x)单调递增.所以x= 当a>0时，函数f(x)在(-，-lna)上单调递 Y是函数f(x)的极小值点 (14分)减，在(-lna,+)上单凋递增. (5分) 综上，函数f八x)的极值点个数为3. (15分) (2)解法一（最值法）》 冲关策略：利用导数主要研究函数的单调性、极 第1步：利用(1)的结论，求函数f代x)的最值 值，最值，已知八x)的单调性，可转化为不等式f'(x) 由(1)得当a>0时，函数f八x)=a(e+a)-x的 ≥0或'(x)≤0在单调区问上恒成立问题：求函数的 最小值为f(-lna)=a(e-h“+a)+lna=1+a2+ 极值、最值问题是高考解答题的基础和常见题型，解此 In a, (6分)】 类题的关健是校值点与给定区间位置关系的讨论，此 第2步：构造函数g(a)=1+a2+lna-2lna- 时要注意结合导函数图象的性质进行分析， 之，求导，判断其单调性 【变式训练】 3 (2021·北京高考)已知函数()=3-2 g(a)=1+a+I a-2In a-2=a -In a- x+a (1)若a=0,求y=f八x)在(1f1)处的切线方程： 2ae(0,+∞)， (7分) (2)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单 调区间，以及最大值和最小值， 所以g(@)=2a-。,令g(a)>0,得a>: g'(a)<0,得0<u<号 (9分) 所以面数g(a)在(o,受 上单调递减，在 (停+]上单满递增。 (10分) 靶 步：求函数g(a)=1+2+na-2la 最小值，得结论 所以番数g如)的最小值为g图)-（图-h受 -3=h2>0, 085 (11分》 所以当a>0时，f八x)>2lna+ (12分)》 题型己 成立 利用导数研究与不等式有关的问题 解法二（分析法） 例2023·全国I卷，19)(12分)已知函数/x) 第1步：利用(1)的结论，求函数f(x)的最值 a(e'+a)-x. 当a>0时，由(1)得，f(x)m=f-lna)=1+a2 (1)讨论f(x)的单调性： +In a, (6分) (2)证明：当a>0时x)>2na+3 第2步：利用分析法转化不等式 [解析](1)第1步：求导 放欲证)>2ha+号成立， f'(x)=ae-1. 只需证1+a2+lna>2na+2: 3 第2步：对a分类讨论，判断f'(x)的符号，得单调 性 即证d2-3>ha (7分) 当a≤0时f"(x)≤0， (1分) 第3步：构造函数u(a)=lna-(a-1)(a>0), 所以函数f八x)在(-，+0)上单调递减： 求导，判断其单调性，求最值 (2分) 构造函数u(a)=lna-(a-1)(a>0). 当a>0时，令f'(x)>0,得x>-na,令f'(x)< 0,得x<-lna, (3分) 则u'(a) =。-1.2,所以当a>1时，w() <0:当0<a<1时，u'(a）>0. (8分) 所以函数u(a)在(0,1)上单调递增，在(1，+e) [解析])当a=-1时(x)=(任-lh( 上单调递减， +x) 所以u(a)≤u(1)=0,即lna≤a-1, (9分) 则f')=1+)+(任-小1本 第4步：把要证的不等式转化为一元二次不等式， (1分) 利用配方法破解 所以f'(1)=-ln2, (2分) 故只需证d2-3>a-1,即证d-a+分>0， 又八1)=0，所以所求切线方程为y-0=-ln2(x 1),即xn2+y-ln2=0. (10分) (3分) 图为。-a+号=0-}>0恒成 (2)第1步：根据对称性列出方程 假设存在a,6使得曲线y=f(）关于直线x=b (11分) 对称 所以当a>0时)>2a+号我立。 (12分) 令g(x） =f(）=(x+a)n1+)=(x+ 冲关策略：(1)恒成立何题可以转化为我们较为 熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以 a)ht￥1 将参数看成常数直接求解。 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称， (2)证明不等式，通常转化为求函数的最值何题， 所以g(x)=g(2h-x,即(x+a)1n+1=(26 对于较复杂的不等式，要先用分析法遗行适当的转化 【变式训练】 2--2-加2 x+a)In2b-x 086 (2021·全国乙卷)设函数f(x）=ln(a-x),已知x 第2步：令等式两边对应项分别相等，求出a,b =0是函数y=x)的极值点. 225 (1)求a: a= 手改 2 得 (5分) 年 (2)设函数g(x)=+,证明：g(x)<1. xf(x) b=-2 第3步：检验 设 当a=26=-2时，g()=(+2h1+) 8-1-0=(是(-2加4 中学案 =+h++）=g. 所以曲线y=8(国关于直线=一子对称，满足 题意 故存在a6,使得苗线y=但 关于直线x=b对 称，且a=分6=分 1 (7分) 题型5 (3)解法一第1步：求导 利用导数研究方程的根（或函数的零点） 例(2023·全国乙卷理21题)(12分)已知函数) =(任+alh+ x_In(1+x) ar2+x-(1+x)血(1+x=x+1 (x> (1)当a=-1时，求曲线y=f八x)在点(1，八1) x2(1+x) 处的切线方程 0) (2)是否存在a,6,使得曲线y=）关于直线x 设h(x)=-n(1+x),则K(x)= x+1 ax'+2ax +1 =b对称？若存在，求a,b的值：若不存在，说明理由. (x+1)2 x+ ax2+(2a-1)x (x+1)2 (3)若f八x)在(0，+)上存在极值，求a的取值 x(ax+2a-1) 范围。 (x+1)2 (8分) 第2步：分类讨论，求出满足条件的a的取值范围 ①当a≤0时，2a-1<0,当x>0时，h'(x）<0,所 设g()=h1+)-2则g()= 以h(x)在(0，+)上单调递减， 所以当x>0时，h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0, (x+2)+x)(x+2)>0, 所以f八x)在(0，+%)上单调递减，无极值，不满 所以当x>0时，(x)在(0，+)上单调递增. 足题意 (9分) 故当x>0时，p(x)>p(0)=0, ②当a≥2时，2a-1≥0，当x>0时，h(x)>0,所 又当x>0时，-(x+2)<0,所以h(x)<0,即 h(x)在(0，+)上单调递减， (10分) 以h(x)在(0，+e)上单调递增， 第3步：利用洛必达法则求极限 所以当x>0时，h(x)>h(0)=0,即f'(x)>0, 所以(x)在(0，+）上单调递增，无极值，不满 由洛必达法则可得imh(x)=lim n(+x)= 2x 足题意 (10分) 1 ③当0<a<分时，令r()=0.得xl20,当0回 1支：)当一+x时，h(x)0 1 <x<1-24时，h'(x)<0, a 所以当0<a<行时，直线y=a与曲线y 当x>1-24时，h'(x)>0, (1+x)ln(x+x）-在(0，+)上有交点， 所以A(x)在(0，。29）上单调递减，在 故a的取值范围为0，) (12分) 之+)上单调提猫。 分类依据：对于导数的含参零点应从三个方面进 行讨论： 所以429） <h(0)=0. 1,零点无意义， 又当x→+时，h(x)→+，所以存在e 2.零点不在定义域内， (2+小使得6()=0， 3.零点在定义域内，与其他已知零点进行大小 讨论 即当0<x<x时，h(x)<0∫'(x)<0,(x)单调【变式训练】 轮总 递减，当x>时，h(x)>0∫'(x)>0八x)单调递增， (2023·湖北武汉四调，22)已知函数fx)=x·nx 此时y=f八x)有极小值点x0 绛上所迷，a的取值范围为0，》】 (12分) -冬中k>0 (1)证明八x)恒有唯一零点： 解法二第1步：分离参数 087 由题意，得f"'(x)在(0，+0)上有变号零点，令 (2)记(1)中的零点为0，当0<k<号时，证明：x) f)h1+)+(+a小+0(s>0),得 图象上存在关于点(x,0)对称的两点 小 (1+x)n(1+)(1x)In(1+)-x x 所以原问题等价于直线y=与曲线 y=①+)血1+）-在(0，+0)上有交点， 第2步：利用导数研究函数的单调性 i设h()=+x血1+）-5(x>0). 则h'(x)=n1+)-2x[(1+x)ln(1+x)-x] =-(x+2)ln(1+x)+2x -(x+2)[n(1+x)-2x x+2」 白馨提示：复习至此，请光成练案2L (9分)除上m的取值范国为(-。，一} --2)(+D(x>0). 2 3.[解析](1)f代x)的定义战为(0，+). 可得0<xc2时，h'(x)<0,h(x)单调递减： 且f'(x)=1-“-b x>2时，h(x)>0.h(x)单调递增 所以h(x)=h(2)=2-n2>0. 由题意f'(1)=1-a-b=0,得b=1-a 即x>0时，h(x)>0恒成立， 剩厂(x)=1-a-1-e=2-am-(1-a 故0<x<1时，g(x)<0,g(x)单调递减： xx x>1时，g(x)>0.g(x)单调递增， =x-1fx-(a-1)] 所以g(x)n=g(1)=-色 x2 又由0时，g(x)0, 令f'(x)=0,得1=1，=0-1. x一+g时，g(x)一→+， 若1<a<2,则函数f(x)的单调道增区间为(0,4-1)，(1， 因此，当0≤<e时f八x)有一个零点. +),单调递减区问为(a-1,1): 当-e<a<0时，风x)有两个零点， 若a=2,则面数f(x)无单调递减区问，单调递增区问为(0， 当=一e时，代x)有一个零点， +)； 当a<-e时，八x)没有零点 若a>2,则函数fx)的单调递减区间为(1，a-1),单调递增区 变式训练 间为(0,1)，(a-1.+). [解析](1)证明：当m=1时爪x)=e-xnx(x>0). (2)带a>3时x)在[分)上单调递增，在(1,2)上单满 2.f(x)=e--In x-1, 令h(x)=f'(x)=心-t-lnx-1 逆减， 所以f八x)的最大值为f代1)=2-a<0. 则国e: 易知g(x)在[？2上单调递增。 当x∈(0.1)时，h'(x)<0.h(x)单调递减： 当xE(1,+x)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 尉)-=) h(x)n=h(1)=0,.当x>0时，h(x)=f(x)=心21-lnx- 1≥0， 又)+3>0 .f八x)在(0，+0)上单调递增 (2)由题意得f'(x)=e-lnx-1,则g(x)=f"(x)-m+1= )>)在[宁2小相或立， e-"-lnx-m(x>0), 令g(x)=心"-nx-m=0,则e“=lnx+m, 若存在叫两[宁2斗 .e"=e(In x+m). .xe=re”(lnx+m）, 使得m)-g(m)1<9成立， .xe'=em(In x+m). 只精要）-1)<9即子+3-(2-a<9,解得-8<a 令p(x)=xe,则p(x)=p(m+lnx)、 当x>0时，p'(x)=(x+1)e'>0, <4. 当x>0时，p(x)=x心为单调递增函数， 由于a>3,所以实数a的取值范国是(34) ..x=m+lnx...m=x-Inx(x>0). 第三课时导数与函数的零点 令(x)=x-nx(x>0),则r(x)=1-1 考点突破·互动探究 当0<x<」时，'(x)<0,(x)单调递减，当x>1时， 考点1 '(x）>0,(x)单调递增， 例：[解析](1)当a=-1时八x)=(x-2)c+x-lnx, .t(x)m=(1)=1, 则=(x-(e+) .当m<1时，m=x-nx无解，即g(x)无零点： 当m=1时，m=x-lnx有1个解，即g(x)有1个零点； 当m>1时，m=x-nx有2个解，即g(x)有2个零点. 当xe(0,+)时，。+子>0恒成立， 考点2 所以当x∈(0,1)时f'(x)<0代x)单调递减： 例：[解析]利用琴数求函数的最值+利用毕数研究函数的零点 当x∈(1，+)时f(x)>0,f八x)单调递增， (理性思维、数学探索) 即f八x)的单调递或区问是(0,1)，单调递增区问是(1，+x) (2)由题意，函数(x)=(x-2)e-r+anx=(x-2)e （D当a=0时)=--h>0.所以)- a(x-In x).x>0, ⊥=L-x 设m(x)=x-nx,x>0, x 对m'(x)=1-L=-1 若x∈(0,1)f'(x)>0,f(x)单调递增： 若x∈(I,+e),f"(x)<0x)单调递减， 当x∈(0.I)时，m'(x)<0.m(x)单调递减： 所以x)=1)=-1. 当x∈(1，+)时，m'(x)>0,m(x)单调递增 又由m(1)=1,所以m(x)≥1， (2)由)=--(a+1)h(x>0),得f'()=a+7 令fx)=0,可得(x-2)e'-ax+alnx=0, a+1-(a-1(x-1(x>0). 房以a=二行，共中0. x 当a=0时，由(1)可知，(x)不存在零点： 令g(x)=x-2)e x-In x 当a<0时f'(x)= 在-n(-h+2- 可得g'(x)=(x-1)( 若x∈(0,1)'(x)>0x)单调造增， 令(=x-x+2-1,则()=1--=--2 若xE(1,+)f'(x)<0f八x)单调递减， 所以尺x)=1)=a-1<0,所以代x)不存在零点： 468 a>0时- (x)在(0，+)上单调递增，因为1)=4-1=0，所以函数 (x 0 0 f八x)恰有一个零点， 若a>1)在(0,1，+x)上单润递增，在（日止单 f八x) 满港减，因为1)=a-1>0.所以财（日）>）>0，当x0 国为)=(）e+子 时x)一-，由零点存在定理可知代)在(0，）上必有- 所以当c<- 子时)只有大于1的率点 个零点，所以：>1满足条件， 图为-0分）=e- 若0<a<1,(x)在(0,1)，（合，+）上单调造增，在 所以当c>时)只有小于-1的零点， (,日上单得港减，固为)=a-1<0,所以（日）<1） 由题设写知-≤c≤} <0,当x一+x时八x)→+，由零点存在定理可知f八x)在 (行+上必有-个零点， 当c=一时，)只有两个零点-子和1 即0<a<1满足条件. 当c=对时小)只有两个零点-1和宁 综上，若fx)恰有一个零点，a的取值范围为(0，+) 变式训练 当-<e<时，)有三个常底西，且斯 [解析](1)数爪x)的定义域为(0，+)， 当a=-1时， (,)()e(3 f(x)=-2x-1+上.2-x+1 综上，若八x)有一个绝对值不大于1的零点，则(x)所有零点 的绝对值都不大于1， 今f()=0,得x=宁（负值合去）. 变式训练 [证明](1)/八x)的定义城为(0，+)： 当0<<时x)>0: f(r)=+x-1=- x 当>2时，()<0 图为y=nx在(0，+西)上单调递增，y=在(0，+0)上单测 所以✉)的草润造指区间为0，宁)】 递减， 所以∫(x)在(0，+西)上单调递增. 单调递减区同为（宁+ f=1<0f2)=h2-号=h4>0, 2 (2)令x)=-2+x+nx=0,得a=x-血 故存在唯一xnG(1,2),使得f'(x)=0. 又当x<xn时，f"(x)<0爪x)单调递减 ◆)=x共中e[分小 当x>时'()>0，f八x）单调递增， 因此爪x)存在唯一的极值点. 则g(x)=1--lnx_+lnx-1 (2)由(1)知x)<fe）=-2,又fe2)=c2-3>0, x2 所以八x)=0在（无，+0）肉存在雀一根x=心 今g)=0,得=l,当号≤<1时g)<0: 由a>>1得0<<1<n a 当1<x≤3时，g(x)>0, 所以)的单润道减区间为[行小单调道特区同为1,31。 (位-小÷日-1@0， a 故是x)=0在(0，x)的唯-根. 所以g()g)=1,国为面数)在[分小小上有两个车 综上J爪x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数， 高付）=33+5e3)=3- 3 练案[20] 3h3+>3- A组基础巩因 所以实数a的取值范国是1,3引 [证期1f)是：学r)0得x2. >0,得x>2,令'(x)<0,得0<x<2,所以x)在(0,2)上单 考点3 调地减，在(2，+e)上单调道增.因为f(1)=0,(2)=n2-1 例：[解析](1)f'(x)=32+6. 依题意得（分）=0，即子+6=0， <0e2)=2+子-2>0，所以结合单调性，知f)在1， +)内有且仅有一个零点。 故6=一子 2[解折]由x)=0,得2-2x+1-a=吉 (2)证明：由()知)=-子+e 令8()=三，则函数)=心（父-2+1-a)-x恒有2个零 f0)=32-是令f八)=0，解将=方或= 点等价于函数y=x2-2x+1-a与y=g(x)的图象有2个交点， x麦化时f(x)与尺x)的变化情沉为： )=号合)>0，得<1，◆g)<0,得1 -469- 所以g(x)在(-，1)上单阔递增，在(1，+)上单润递减， >1),则'(x)<0,则函数h(x)在(1，+)上单洞递减，所以 所以g)=8）= h(x2)<(1)=0,所以f2lna-)<0,可得x,+x2<2lna,则 0<<lna<,2,命得证. 作出函数y=x2-2x+1-a=(x-1)2-a与y=g(x)的图象， (1)f(x)=e2-a, 如图所示， 当a≤0时(x)>0,所以f(x)在R上单调递增，不满足题意： y=x2-2+1-0 当a>0时，令f(x)<0,可得x∈(-，na),令f(x)>0,可 得xe(lna,+x), 所以f八x)在(-0，lna)上单调递减，在(na,+e）上单调 g= 递增， 当a>e时，有/日）=e-1>0o)=e-i>0, 又因为函数八x)=e-r有两个零点，所以lna)<0,即e“ 数形结合可得-m<】,解得a>-L aln a <0, e 所以a-al加a<0,可得lna>I,所以u>e, 数a的取值范国为(-。，+） 故实数a的取值范围是(e,+。) 3.[解析]函数f(x)的定义域为R,且f(x)=(x+2)e, (2)要证（√x,南）<0，即证√而∈(-x,lna), 方法一：要证1+出<2na,即证x1<2a-, 所以当xe(-,-2)时厂'(x)<0x)在(-x,-2)上为减 不妨设1<，，由(1)可知<lna<,所以2na-<lna. 函数， 因为f几x）在(-x,lna)上单调递减，即证f八x1)>f八2lna 当xE(-2,+)时，f"(x)>0,f(x)在(-2，+)上为增 x）, 酒数， 因为八x)=f(为)，所以f(）>f(2na-3),即证f八)- 故八x)在x=一2时取得极小值，也是最小值，即代-2)= 八2lna-）>0, 京，令八)=0，得=-1，当x<-1时x)<0 - 令h(x)=f八x)-f代2lna-x). ()=f()+f(2ln a-)=e-2a+=-20 当>-1时)>0，且)的图象经进(-2-) e (-1.0),(0,1). -2a=0. e 当x一一时，与一次函数相比，指数函数y=“增长更快，从 所以(x)在R上单词递增 商)=+10： 又因为>1na,所以h(x)>h(lna)=0,即fx)-f2lna- 【卡壳点】极限思想的应用 无）>0， 当x→+x时，J八x)→+，∫”(x》→+，根据以上信息，画出 可得0)=10，所以0<<ha<,所以5产>V5, 八x)大致图象如图所示 即√/<lna, 又因为八x)在(-，lna)上单调递减，所以f'(1x2)<0 fx 方法二：要证x1+x,<2lna,即证x1<2lna-x2, 不妨设x,<,由(1)可知x1<lna<,所以2na-x:<lna. -2-1/ 因为八x）在(-g.na)上单调递减，即证f(1)>f（2na 2- x3） 因为八无)=0，即证2na-)<0f(2lna-名）=e2月- 【易错点】忽视图象过点(0,1) 面数g(x)=八x)-a(aeR)的零点个数即为y=(x)的图象与 a2ha-)-号-2aha+, 直线y=a的交点个数 ∴关于函数g(x)=f八x)-a(aeR)的零点个数有如下结论： 因为e9=a,所以a= 写，所以号-2ha+m。 当a<一时，画载零点个载为0： e2(L+21m3- 当a=-我a≥0时，函数零点个数为1： 因为，>lma且a>c,所以名>1， e 当一吉<0<0时，函数军点个数为2 令h()=+2加-(x>10,N()=-寸+是-1 4.[解析](1)求出导函数f"(x)=e-a,通过讨论a≤0，a>0 x-<0 时，结合酒数有两个零点，可知>0，利用函数单洞性可知，当 所以h(x)在(1，+)上单调递减，所以()<h(1)=0, 尺山a)<0时，原函数才有两个零点，求解即可： (2)要证'（√x)<0,即证√x无3∈(-的，lna). 所以名+2加与-)小<0，所以2h-6)<0,可释名+ 方法一：不妨设<，由f(x)在(-，na)单调递减，得 x<2In a, 尺x)>f2na-与)，构造函数h(x)=f八x)-f八2na-x),求 导，利用基本不等式可得h'(x)≥0，则f(x)-八2na-) 图为0)=1>0，所以0<<na<,所以>√5， 2 >0. 即x<lna 结合0)=1>0，所以0<<ma<,所以5>√西， 又因为八x)在(-，lha)上单调递减， 2 命题得证： 所以f(√x名)<0 B组能力提升 方法二：不妨设x<x1,由(x)在(-口，na)上单词造减，得 1.[证明](1)显然函数(x)=nx-a22+的定义城为(0， x)>2血a-名)，结合西)=0和e“=m,得 e-2aln a +0),f‘(x)=↓-20x+a=-2a+am+ x +号气行2加名小有线面藏(e)+2加 =-(2x+1)(x-1) -470 因为4≥1.x>1,所以2r+1>0.x-1>0 记g(x）= (x+1（≠-1).则g(x) 2xe 所以"(x)<0, 所以函数八x)在(1，+e)上是减函数 =(2xe)'(x+1)3-[(x+1)3]'.2xe (2)当0=1时(x)=lnx-x2+x,其定义城是(0，+)'(x) (x+1) =1-2x+1=2￥--1 -2e2+ (x+1)3 令'()=0，解得=-（舍去）或￥=1 当x<-1时，g'(x)<0,面数g(x)单调递减： 当x>-1时，g(x)>0,函数g(x)单调递增. 所以当0<x<1时，"(x)>0:当x>1时f'(x)<0. 当x=0时，g(x)=0,当x一-x时，g(x)0: 所以函数f八x)在(0,1)上单调递增，在(1，+)上单调递减. 当一-1时，g(x)→-x:当x→+x时，g(x)→+x 所以当x=1时，函数代x)取得校大值，也是最大值， 故函数g(x)的图象如图所示. 即为f八1)=n1-12+1=0. 作出直线y=a,由图可知，当a<0时， 当x≠1时，J(x)<f八1)，即(x)<0.,所以函数爪x)只有一个 直线y=a和函数g(x)的图象有两个 =0 零点， 交点，此时函数八x)有两个零点.蚊实 2.[解析](1)由题意知，当a=e时，f(x)=e-2e·(任+ 1 数4的取值范国是(-，0). [方法总结] 利用函数零点求参数范 1)入，函数fx)的定义城为(-，+)，f'(x)=(x+1) 国的方法 e(x+1)=(x+1)(e'-e). (1)分离参数(a=g(x))后，将原问题 令f"(x)=0,解得x=-1或x=1. 转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=4与y= 当x变化时∫'(x)J八x)的支化情况如表所示： g(x)的图象的文点个数问题（优途分离、次选分类）求解： (-x,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+e (2)利用函数零，点存在定理构建不等式求解： (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不 f'(x) + 0 0 + 等式求解 单调 极大值 单调 授小值 单调 3.[解析](1)函数x)=a2-m--1nx+e,可得r(x) f八x】 递增 1 递减 -e 递增 =2am-a+-1-e… 所以当x=-1时x)取得极大值- :当x=I时，八x)取得 因为x=1时菌数f代x)取到校值，可得f"(1)=0,解得a=1, 极小值一巴 当a1时，可得/代)=2-1+付--e片 (2)解法一（分类讨论法）： '()=(x+1)e-a(x+1》=(x+1）(e'-a). 令m(x)=”()=2x-1+-↓-e 若：=0.易知菌数f八x)在(-，+￥)上只有一个零点，故不 符合题意， 可得m2-子++e>2-之22三 3x2 若a<0,当xe(-,-1)时，f(x)<0,f八x)单调追减；当xE 令A(x)=23+x-2,可得A'(x)=6r2+1>0,所以A(x)单调 (-1,+g)时，'(x)>0,八x)单调递增， 递增， 由-1)=-1<0，且1)=e-2a>0,当x一-x时《x)→ e 又西为A(日)-嘉0，所以在区问（冬+）上m()>0, +0 所以密数代x)在(-x,+)上有两个零点，若lnn<-1,即0 即f'(x)单调递增， 所以x=1是'(x)的变号军点，所以当x=1时函数f代x)取到极 <a<,当xe(-x,na)U(-1,+m)时f"(x)>0x) 值. 在区间(-，lna)和(-1，+)上单调递增： (2)当u≥1时，因为x-x>0 当xe(lna,-I)时.厂(x)<0x)单词递减.又lna)=alna 所以x)=a2-m--lnx+e-≥2-k-上-lnx+e. 2a(1na+1)尸<0，所以函数fx)在(-西，+)上至多有 令h(x)=x2-x- -lmx+e, x 一个零点，放不符合题意.着na=-1,即a=。,当e(-g, +)时，∫'(x)≥0，八x)单调递增，故不符合题意.若na> 则(x)2x-1+子--c->24-2+子人(x -1,即a>,当xe(-,-0u(na,+)时'(x)>0. 2-小0， x)在区问(-，-I)和(lna,+x)上单调递增：当x∈ 所以h(x)在(1，+为)单调递增，则(x)≥h(x)>4(1)=0, （-1,n)时了'(x)<0x)单调道减又爪-1)=-<0， 所以，当：≥1时x)在区同(1，+)上没有军点 所以函数(x)在（一，+如）上至多有一个零点，故不符合 当0<a<1时，可得f'()=2a-a+京 题意， 综上，实数a的取值范围是(-x,0). 令n(x)=f'(x)=2x-a+7-主 解法二（数形结合法）： 令)=0，甲e-之(x+1)产=0. 可得心(x)=2如-2 2 (x-2)e-1+x2 得0=宁（红+1 x'·e- 令p(x)=(x-2)g-1+x2, 当=-1时，方程为-e1=×0,显然不成立， 则e'(x)=(x-1)e-+3x2>0. 所以x=-【不是方程的解，即-1不是函数代x)的零点， 所以e(x)在(1，+x)单调递增，p(x)>p(1)=0,则n'(x) >0. 当x≠-1时，分离参数得a=2e (x+1) 所以f"(x)在(1，+∞)单调递增 471 图为f(1)=-1<01+）=a+2+ 1+ 甲得<1，即第出-骨< xf(x) 因为当xe(-,0)时，xn(1-x)<0, -e#>n+2-1-1>0, 当xe(0,1)时，xln(1-x)<0. 当x++时，f'(x)→+g, 所以需证x+n(1-x)>xln(1-x) 即x+(1-x)1n(1-x)>0 所以存在名e(.1+）使得/s)=0则)在(1)单满 令h(x)=x+(1-x)ln(1-x).xe(-g,1). 道减，在(，1，+x)单调递增， 且x≠0， 又因为f尺1)=0，所以当xE(1,)时，f(x)<0,故f八)在(1 则A=1+(-1h0-9+0-)·-h-0 ,)没有零点， 因为在(x1,+e)单调递增，且f八x1)<f八1)=0，而lnx≤x-1, 当xe(-e,0)时，'(x)<0,(x)单调递减： 当xe(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， e->0.1<1 所以(x)>h(0)=0, 即x+n(1-x)>xn(1-x), 所以f八x)=a2-r- 1-lnx+e>2-aw-1-(x-1), 所以+n1=2<1成立， xln(1-x) 则1+>+-a*n+)=0, 所以+里<1，即g()<1. xfx) 所以存在唯一与e(1+日）袋得)=0， 题型3 变式训练 故八x)在(，+)存在唯一零点，因此当0<a<1时八x) [证明](1)令f八x)=0,得k=xnx 在(1，+0)存在唯一零点， 由k>0得x>1. 综上所述，当a≥1时(x)在区阿(1，+x)上没有零点： 令h(x)=x2lnx,x>1,则h'(x)=2xlnx+x>0, 当0<a<1时x)在(I,+e)存在唯一零点. 则(x)在(1，+)上单调递增，且值城为(0，+ 高考大题规范解答 故h(x)=x1nx(x>I)的图象与直线y=k,k>0有唯一交点， 高考中函数与导数问题的热点题型 所以函数八x)恒有堆一零点. 题型1 (2)当k=号时6=E,所以0<k<号时6e(1wD)。 变式训练 要证八x)图象上存在关于点(x。,0)对称的两点， [解析](1)当a=0时x)=3-24 即证存在1e(0,x),使得八x+t)+f八。-t)=0 令F()=f八+r)+f八x,-1)(0<1<o》,下面证明F(t)在(0， 则"(x)=2x-32 。)上有零点. x3 对F()求导得F()=f'(x。+)-(-) 1)=1'(1=-4 记G()=()+g(x)=f'(x), 此时，曲线y=f八x)在点(1代1)处的切线方程为y-1=-4(g G()=g(+t)-g(x-t),G()=g'(x+)+g'(-). -1),即4x+y-5=0. (2)国为x)=3-24 f'(x)=1+mx+← 2 x+a 所以f(x)=-2+a）-2(3-2 当0<x<2时，g(x)<0:当x>2时，g'(x)>0 x6-2k=x号-2ln。=(1-2ln)>0. (x2+a) -2(x2-3x-a) 故x。>√2k,当0<1<x-V2k时0+1>-1>2k. (x2+a)2 有g(+t)>0,g'(x-t)>0, 由题意可得(-1) 2(4-0=0,解得a=4, 此时G()>0,则F()在(0-√2不)上单调递增， (a+1) 故0<1<x-2k时，F()>F"(0)=∫'()-f'()=0. 经检脸，当a=4时x=-1为函数f八x)的极大值点，符合题意 故F(t)在(0，-√2k)上单调递增，F(x0-2k)>F(0)= 故)=3f(x)=2+)42,列表如下 2/rxn)=0. x2+41 (x2+4)2 又x0时八x)→-，故一x时，F()→-， (-,-1) -1 -1.4) (4,+ 放F()在(。-√2，)上存在零点，即F()在(0，）上有零 点，问题得证. (x】 0 0 练案[21] 八x) 极大值 极小值 A组基础巩固 所以函数八x)的单满造端区间为(-，-1)，(4，+0)，单调 L.[解析](1)/八x)的定义域为R,f'(x)=e-a 递减区间为(-1,4) 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以(x)的单调递增区问为 当x<号时)>0：当>子时到<0 (一，+)，无单调递减区问. 当n>0时，令f'(x)<0,得x<lna, 、1 所以xm=-1)=1.x)=4)=-4 令"(x）>0,得x>lna. 所以f八x)的单调递减区间为(-，lna),单调递增区问为 题型2 (lna,+e） 变式训练 (2)由题设可得(x-)(e-1)+x+1>0. [解析】(1)由题意，得y=x)=n(a-x). 即k<x++山(x>0)恒成立， y=h(a-)+ e2-1 因为x=0是函数y=xx)的极值点， +(x>0),得g()=e-+e41 令g(x)=+1 (e-1) 所以y0=lna=0,所以a=1. e(e-x-22(x>0). (2)证明：由(1)可期八x)=ln(1-x),要证g()<1, (e-1)3 472