3.3.2 导数与不等式恒(能)成立-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

设h(x)=(x2+x)e,则h'(x)=e(2x+1)+(x2 当xe(0,x。)时，m(x)<0,即'(x)<0,(x)单 +x)e=e(x2+3x+1). 调递减： 当xe(0,1)时，x2+3x+1>0,则h'(x)>0, 当xe(xo,1)时，m(x)>0,即k'(x)>0,k(x)单 所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以h(x)<h(1) 调递增； =2e,因此a≥2e, 当x∈(1，+)时，m(x)<0,即k'(x)<0,k(x) (构造函数，通过单调性求出a的取偵范围) 单调递减。 于是实数a的取值范围是[2e,+). 由于x0时，k(x)0且(x)<0,所以k(x) (2)当a=-1时，f(x)=xe+lnx,则g(x）= =k(1)=0, xlnx-x+x2-b. 于是实数b的最大值为0. 由题意知方程b=xnx-x3+x2在(0，+x)上有 方法二：设(x)=xlnx-x+x2,下面证lnx≤x- 解.（分离参数） 1(x>0). 方法一：设k(x)=xnx-x3+x(x>0),则k'(x) 设9(x)=lnx-x+1(x>0),则p'(x)=1-1, =lnx+1-3x2+2x. 设m(x)-lnx+1-3.x2+2x(x>0),则m'(x）= 令p()=-1=0,得x=1 1-6r+2=-6r2+2x+1 当x∈(0,1)时，e'(x)>0,p(x)单调递增： 当xe(1,+∞)时，p(x)<0,p(x)单调递减. 令m'(x)=0,即6r2-2x-1=0,解得x,=I-7 6 所以p(x)=e(1)=0,即g(x)≤0，也就是lnx (含去)，=+7 ≤x-1. 6 由此可知k(x)=xlnx-x3+x2≤x(x-1)-x23+ 当e0,。）时，m()>0,m(单得提增 x2=-x(x2-2x+1)=-x(x-1)2≤0， 又当x=1时，k(1)=0, 当e(名，+小时，m()<0,m()单调 所以实数b的最大值为0. 轮总 (构造函数，利用不等式lnx≤x-1(x>0)放缩， 递减， 习 求出实数b的最大值) 注意到m=0,款有m。）>0, [关键点拨]本题第(2)问的求解中，方法二借 助不等式lnx≤x-1(x>0)进行放缩，使求解过程变 得简洁，这种方法在求解涉及x的函数问题中经常 0 用到，应注意学握 所以存在e(，。a()=0, 温馨提示：复习至此，请完成练案[18 (应用函数零点存在定理) 即1+lnxo-3x后+2x0=0,易知k(1)=0, 第二课时导数与不等式恒（能）成立 考点突破·互动探究 考点 (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的 分离参数法 取值范围。 例(2024·石家庄模拟)已知函数x)=are-(a+ 1)(2x-1). (1)若a=1,求函数f八x)的图象在点(0，f(0))处 的切线方程； 名师点拨：分离参数法解决恒成立问题的策略 L,分离变量.构造函数，直接把问意转化为函数的 考点 双变量的恒（能）成立问题 最值问题 2.a≥f代x）恒成立a≥f八x)m: 转化为≥M a≤f代x)恒成立台a≤f八x)m 【变式训练】 已知函数f(x)=x2-(a+1)lnx,若f(x)≥(a2 例 设fx=是+xn,gr=x-r-3. (1)如果行在x1,x,∈0,21使得g(x)g:)≥ a)nx对x∈(1，+0)恒成立，求a的取值范围. M城立，求满足上述条件的最大整数M: (2)如果对于任意的.∈[3,2]，都) 三g)成立，求实数的取值范间 转化为代s以.≥风) 春点己 等价转化法 例已知函数八x)=e1-ar+lnx(aeR),若不等 式f(x)≥lnx-a+1对一切x∈[1，+e)恒成 立，求实数a的取值范围， 078 名师点拔： 2025 “双变量”的恒（能）成立问题一定要正确理解其 实质，深刻挖掘内舍条件，进行等价变换，常见的等价 度 转换有： 新 (1)1,2eD,f(x1)>g(x2)台f(x)m >g(x）m 计 名师点拨：“等价转化法”解决不等式恒成立 (2)Hx1∈D,3x2eD2f(x1）>g(x2)=f(x) 霸 问题 >g(x) 在不等式恒成立问题中，如果不能分高参数或分 (3)3x1eD1,Hx2∈D2,f(x,）>g(x2)→f(x)m 离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式 >g(x)m 整理成f(x,a)>0或f八x,a)≥0的形式，然后从研究 【变式训练】 函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接 已知函数f代x)=(x-1)e'+mx2,当0<m≤6时， 用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数 的不等式，解不等式即得参数的取值范围。 g)=2--m应xe(0,2]1.若存在eR.9 (I)如果f代x,a)有最小值g(a),则f代x,a)>0恒 (0,2],使f(x,)≤g(x2)成立，求实数m的取值 成立-g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立=g(a)≥0. 范围。 (2)如果f代x,a)有最大值g(a),则f代x,a)<0恒 成立一g(a)<0x,a)≤0恒成立曰g(a)≤0. 【变式训练)】 设函数f八x)=(1-x2)e,当x≥0时，f八x)≤ax+1. 求实数a的取值范围. 名师讲运·素养提升 洛必达法则 在解决不等式恒（能）成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数 的最值，但在求最值时如果出现。型的代数式，就设法求其最值“8”型的代数式，是大学数学中的不定式 0 问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则： 法则1若函数八x)和g(x)满足下列条件： (1)imf八x）=0及limg(x)=0. (2)在点a的某去心邻域内八x)与g(x)可导且g'(x)≠0. （8侣=A那么得-得=A g(x) 法则2若函数八x)和g(x)满足下列条件： (1)limf(x)=e及1img(x）=g. (2)在点a的某去心邻域内八x)与g(x)可导且g'(x)≠0. 3得=A,哪么铝=侣= 例已知函数)=(x+1)n(x+1).若对任意>0 ,.k(x)>k(0)=0. 都有f(x)>x成立，求实数a的取值范围. ,x-ln(x+1)>0恒成立， [解析]方法一：令p(x)=f(x)-ax=(x+ g'(x)>0,故g(x)在(0，+0)上单调递增. 1)ln(x+1)-ax(x>0), 由洛必达法则知 则p'(x)=ln(x+1)+1-a. ling()-lin(+D)n(+1)=lim[In(+1) x>0,∴.ln(x+1)>0. ①当1-a≥0，即a≤1时，p'(x)>0, 1]=1, ∴(x)在(0，+)上单调递增， ∴a≤1，故实数a的取值范围是(-，1]. 又p(0)=0,p(x)>0恒成立，故a≤1满足 【变式训练】 总复习 题意. 已知函数f八x)=x(e-I)-ar(aeR). ②当1-a<0,即a>1时， (1)若f八x)在x=-1处有极值，求a的值： 令p'(x)=0,得x=e-1-1, (2)当x>0时f(x)≥0，求实数a的取值范围. ,x∈(0，e-1-1)时，9'(x）<0; 079 xe(e--1,+)时，p'(x)>0, p(x)在(0，e-1-1)上单调递减， 在(e-l-1,+)上单调递增， p(x)m=g(e-1-1)<e(0)=0与p(x)>0 恒成立矛盾，故a>1不满足题意. 综上有a≤1，故实数a的取值范围是(-0,1] 方法二：当x∈(0，+)时， (x+1)ln(x+1)>ax恒成立， 即4<x+)lm(x+D恒成立. 令g(x)=+)lnx+(x>0). 六g'(x)=t-n(x+1) 令k(x)=x-ln(x+1)(x>0), )1-44>0, 温馨提示：复习至此，请完成练案[19 .k(x)在(0，+0)上单调递增.则g'(x)= [mG+- +e9-2. e2>1.由F(x)>2知e3·e2-n+e2>2. ln2(x+1) 则f几2(1-a)-2]>0=f尺x,). 显然通数()=h(x+1)一在(e-l,+)上单满递增， 又a>1,2(1-a)-为<0且x<0及f八x)在(-x,0)上单测 递减， h(x)>1->0,即g(x)>0, ∴.2(1-a)-1<x1,即1+>2(1-a) g(x)在(e-1,+x)上单洞递增， 第二课时导数与不等式恒（能）成立 x>y>e-1时，g(x)>(y) 脚nx+D?n(yt) 色 考点突破·互动探究 考点1 .当x>y>t-1时，eln(y+1)>eln(x+1)成立. a=1时 写出 B组能力提升 数学 数学 数学运算 例：[分析门 f氏x)的 求(x), 切线 1.[解析](1)f(x)=22-2(2+x),(1)=41)=1,则曲线 运算 '(0)0) 运算 逻辑推理 解析式 方程 y=f八x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),卿y=4x -3. 由1)≥ 数学 分离参数构 求(x), 数学 (2)证明：当xe[0,2]时，令g(x)=x2e-2+2x2-8x+5,则 判斯正负 0得a>0 运算 造函数F(x) 运算 g(x)=2e-(x2+x)+4x-8 求最值 令h(x)=g'(x).则'(x)=2e22(2x2+4x+1)+4>0. 龙辑求a的取 所以g'(x)在[0.2]上单调递增，且g'(1)=0, 举列值范围 所以g(x)在[0,1门上单调递减，在(1,2]上单调递增， [解析](1)若a=1,则x)=xe'-2(2x-1) 所以g(x)的最小值为g(1)=0,所以g(x)0, 即'(x)=xe+e-4, 即f(x)≥-2x2+8x-5. 则(0)=-3f0)=2 2.[解析](1)因为f尺x)=a+n, 所以所求切线方程为3x+y-2=0. 所以(x)=a+lnx+1, 1 因为函数f代x)在x■e2处取得极小值， (2)由1)≥0，得a≥。>0， 所以'(e2)=0,即a+ne2+1=0. 所以a=1,所以'(x)=lnx+2 测八)0对任您的>0恒成立可转化为≥2一对任 当(x)>0时x>e2,当f(x)<0时，0<x<e2. e 意的x>0恒成立， 所以八x)在(0，e)上单调递减，在(e之，+)上单调递增， 所以八x)在x=e2处取得授小侦，符合题意 【卡壳点】不能把，十香作整体，分离出来 所以a=1. (2)由(1)知a=1,所以fx)=x+xnx, 设菌数Px)-24-(x>0). xe' 令g(x)=八x）-3(x-1）,即g(x)=xlnx-2xr+3(x>0) g'(x)=lnx-1,由g'(x）=0得x=e 则P产(x)=-2x+1)(x-1) re 由g'(x)>0得x>e,由g'(x)<0得0<x<e, 【易错点】导数运算 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+g)上单调递增， 当0<x<1时，F"(x)>0:当x>1时，F(x)<0 所以g(x)在(1.+2)上的最小值为g(e)=3-e>0. 所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+)上单调道 于是在(1，+x)上，都有8(x)>8(e)>0,所以 f八x)>3(x-1). 减，所以F)-=F)=日 3.[解析](1)f代x)=e-x-a定义城为Rf(x)=e-1, 【卡克点】不能确定F(x)m=F(1) 令f(x)>0,则x>0,令f(x)<0,则x<0, 八x)递减区阿为(-x,0),递增区间为(0，+x), 于是 十行≥。，解得a e-1 “f八x)小性=八0)=1-a,无极大值. (2)证明：由(1)知·-时，代x)++xx+时八x) 故实数a的取植范画是[。凸，+云）】 +， 变式训练 要使x)有两个不同零点x1,出，则0)=1-a<0即a>1, [解析]由f代x)≥(a2-a)lnx对xe(1,+0)恒成立，得2 不妨设1<0<2， ①令g(x)=fx)-f-x)=e-e’-2x(x>0), 1≤对后，+)柜恒成立 则g'(x)=f(x)+(-x)=e+e-2, 【卡壳点】分离参数，构造函数 由于e+e>2(x≠0).故g(x)>0, 设()= x(x>1).别'(x)=x(2x-1 g(x)在(0，+)上单调递增.而1>0，g(2)>g(0)=0, (In x)? 八)-八-》>0即八)>八-). 【易错点】注意定义域要求 f八1)=f(2）=0,∴f1)>f-3）, 当xE(I,e)时，h'(x)<0:当xe(Ne,+)时，h'(x)>0 x,-x2(-x,0)且f八x)在(-，0)上单调递减， 所以h(x)m=h(o)=2e, .x<-x2,即无+x2<0. 则d2+1≤2e,解得-√2e-I≤a≤√/2e-1. ②令F(x)=x·e2-2+x(x>1). 下面先证明F(x)>2,F(x)=(1-2x)e22+l,令h(x)=(1 故a的取值范国是[-√2e-1.√2e-1] 考点2 -2x)62+1, x>1,h'(x)=(4x-4)e2->0,.F(x)在(1，+x)土单调 例：[解析】f代x)≥lnx-a+1可化为e--r+a-1≥0(x> 0). 递增， 令e(x)=e'-x+n-1. ,F(x)>”(1)=0,,F(x)在(I,+)上单调递增，∴.F(x) 则当xa[【,+的)时，p(x）≥0， >F(I)=2, 即x·2+x>2在x>1总成立 p'(x)=e-1-a, f）=e2-为3-a=0,a=e2- ①当a≤时，e()>0, 又f2(1-a)-62】=e2-m-2-(2-2a-2)-a=e”.e2-29 中(x)在[1，+∞)上单调递增。 465 p(x）m=p(1)=1-a+n-1=0≥0恒城立， 六a≤。特合愿意 厚西数6()=x-h年在区问（分，小上单满造增，在区同 (1.2)上单调递减.所以b(x)=h(1)=1 ②当a>上时，令p'(x)=0,得x=lna+1, 所以4≥1.即实数a的取值范围是[1，+) 变式训练 当x∈(0，lna+1)时，p'(x)<0, [解析]xe(-,+)且f'(x)=e24+(x-1)·e+ 当x∈(lna+1,+)时，g'(x)>0. 2mr=x(e+1+2m), ∴e(x)在(0，na+1)上单调递减，在(na+1,+x)上单调 造增. 当m>0时，因为e4>0. 当na+1≤1，廊上<a≤1时，p()在[L,+x)上单调送增， 所以e1+2m>0. 所以当x>0时，f'(x)>0: (x)m=p(1)=0≥0恒成立 当x<0时，'(x)<0 小<a≤1特合题意 故八x)在区问(-，0)上单调递减， 在区间(0.+)上单调递增 当lna+1>1.即a>1时，中(x)在[1.lna+1)上单调递减，在 所以八x)n=八0)=-e (n+1,+x)上单调递增， ∴.p(x)=g(lna+1)<e(1)=0与p(x)≥0恒成立矛盾 又6)=a2+号 -m≥43-m, 故a>1不将合题意. 因为0<m≤6，所以g(x)>0, 综上，实数a的取值范围为(-，1] 变式训练 所以g(x)在(0,2]上为增函数。 [解析】令g(x)=f八x)-w-1=(1-x)e-(+1), 所以g(x)=g(2)=8-2-2m=6-2m 令x=0,可得g(0)=0. 依是意有f八)m≤g(名）， g'(x)=(L-x-2x)e'-a, ◆h(x)=(1-x2-2x)e-a, 所以6-2m≥-e,所以0<m≤3+号， 则'(x)=-(x2+4x+1)e 当x≥0时，h'(x)<0,h(x)在[0，+0)上单调递减 故m的取值范国为(0,3+引 故h(x)≤h(0)=1-a,即g(x)≤1-a, 名师讲坛·素养提升 要使f八x)-x-1≤0在x≥0时恒成立，需要1-a≤0， 变式训练 即a≥1，北时g(x)≤g(0)=0,故al. [解析](1)f'(x)=e-1+xe-2x=(x+1)e-2ax-1, 综上所述，实数的取值范国是[I,+): 考点3 依怎意知了(-）=2a-1=0a=号 例：[解析](1)如果存在x,∈[0,2]使得g(,1）-g(2)≥M 成立，等价于fg(x）-g()]≥M 经检整a=了符合摄意 由g)=2-2-3,得g)=3-2=3-号) (2)方法一：当x>0时八x)≥0， 令g)>0得r<0我>号，令g()<0得0<<号，又 2 即x(e-1)-ar2≥0，即e-1-r≥0， 令g(x）=e-1-x(x>0),则g(x）n≥0， e[0,21, p'(x)=e-. 所以g)在区同0，号引上单同道戒，在区同号，2上单洞 ①当a≤1时，p'(x）=e-a>0, (x)在(0，+)上单调递增， 造增，所以g)=6号)-等。 ·p(x)>g(0)=0,∴a≤1满足条件. 2当4>1时，若0<x<ln4,则g‘(x）<0. 又g(0)=-3.g(2)=1 若x>lna,则p'(x)>0. 所以(x)m=g(2)=1. ∴p(x)在(0，na)上单调递减，在(lna,+x)上单调递增， [g)-g)门=e)-g)-号≥n, .p(x）n=g(lha）=a-1-alna≥0. 测满足条件的最大整数M=4, 令g(a)=t-1-lna(a>1), g'(a)=l-(1+lna)=-lna<0. (2)对于任意的1e[分，2小，部有)≥g)度立，等价于在 g(a》在(1，+x）上单调瑙减. 区问[22上，西数x)m≥x) ∴g(a)<g(1)=0与g(a)≥0矛盾， 放>1不满足条件， 由(1)可知在区铜分2小，)的装大值为g2)=1 综上，实数a的取值范国是(-，1]， 方法二：当x>0时f八x)≥0， 在区同可片]小上x)=兰+h≥1恒成立等价于a≥ 即x(e-1)-a2≥0，pe-1-ar0. r21nx恒成立， 即≤c-1,即a≤l恒成立. 设)=-2e[2h()=1-2ah-x 令h(x)=-气x>0), 令m()=h,由m()=h+1>0得> h'(x)=e(x-1)+1 x 即m()=山在（合+）上单润递增。 令k(x)=e(x-1)+1(x>0),.(x)=e·x>0. 可知()在区同[子小上是减西数， :(x)在(0.+∞)上单调递增. .k(x)>k(0)=0,h'(x)>0, 又h(1)=0, .h(x)在(0，+)上单调递增， 所以当1<x<2时，h'(x)<0: 当号<x<1时，)>0 由洛必达法则知，imh()=im-=im心=1，心a≤1.故尖 数a的取值范围是(-g,1】. -466