3.3.1 导数与不等式的证明-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

【变式训练】 一工厂计划生产某种当地政府控制产量的特殊产 品,月固定成本为1万元,设此工厂一个月内生产该 当6=().)时.<cos<1.vV>0. 特殊产品x万件并全部销售完,根据当地政府要求 产量x满足1<x<3,每生产x万件需要再投入3x V=10(sin cosθ+ sin θ)单调递增; 当θ=(π)时,0<cosθ<,v<0,v= 10(sin θcosθ+sine)单调递减.:.当θ=哥时,体积V 月利润=月销售收入+月政府补助-月总成本). 最大。 (1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的 名师点拨: 函数解析式: 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步验 (2)求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月和 润最大值(万元)及此时的月生产量(万件). 分析实际问题中各变置之间的关系,列出实际问题 的数学模型,写出实际问题中变量之间的涵数关系 式y-{x),由突际意义确定定义域 求画数的导数/’(),短方程/()-0 比较勇数在区到点和广’(x)一0的点的涵数值的大小, 大(小)者为最大(小)售 072 实献问题作答 2025出词 提醒:在利用导数解决实际问题时,若在定义域内 只有一个极值,则这个值即为最优解 温馨提示:复习至此,请完成练案[17 第三讲 导数的综合应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 f(x)在xED上的最大值,将原条件转化为g(a) fx);若存在xeD.使得f(x)<g(a)成立,应求f(x) 知识点一 利用导数证明不等式 在xeD上的最小值,将原条件转化为g(a)>f(x) 若证明f(x)<g(x),xe(a,b),可以构造函数 知识点三 利用导数研究函数零点的方法 F(x)=f(x)-g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的最 方法一:(1)求函数/(x)的单调区间和极值 大值小于0,即可证明/(x)<g(x),xe(a.b). (2)根据函数/(x)的性质作出图象 知识点二 利用导数解决不等式的恒成立 (3)判断函数零点的个数 问题 方法二:(1)求函数/(x)的单调区间和极值 “恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题,一般 (2)分类讨论,判断函数零点的个数 都可通过求相关函数的最值来解决,如:当/(x)在xe 归纳拓展 D上存在最大值和最小值时,若/f(x)>g(a)对于xeD 恒成立,应求/(x)在xeD上的最小值,将原条件转化1.若xe(0,),则tanx>x>sinx. 为g(a)<f(x):若f(x)<g(a)对于xeD恒成立, 2.若x=(0,+x),则e=x+1>x-1>lnx 应求f(x)在xeD上的最大值,将原条件转化为g(a) >f(x);若存在xED,使得f(x)>g(a)成立,应求 双基自测 4.(选修2PT12改编)求证:(1)ex+1; (2)lnx<x-1(x>0). 题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或 “x”) (1)函数v=x-sinx有无数多个零点 (2)函数y=tanx-x在(--)内有三个零点. (3)不等式e*>ln(x+2)恒成立. (4)不等式()<1-x桓成立. ) 题组二 走进教材 2.(选修2PT13改编)若函数/(x)=xlnx-a有两个 零点,则实数a的取值范围为 () 题组三 走向高考 5.(2018·江苏)若函数/(x)=2x-ax}+1(a=R)在 (0.+x)内有且只有一个零点,则/(x)在[-1,1 上的最大值与最小值的和为__. 3.(选修2PT2改编)若函数/(x)-ln,0<a<b <e,则有 B.f(a)=f(b) A.f(a)>f(b) 中e是自然对数的底数.若f(a-1)+/(2a)<0.则 实数a的取值范围是_ C.f(a)<f(b) D./(a)/(b)>1 期| 第一课时 导数与不等式的证明 考点突破·互动探穷 点 名师点拨: 直接作差构造函数证明不等式 1.待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地 073 可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数,利用导数 。 研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 2.利用作差构造法证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形; (2)构造新的函数g(x); (3)利用导数研究g(x)的单调性或最值; (4)根据单调性及最值,得到所证不等式. 【变式训练 已知函数/(x)=x2-lnx+1,求证:当x>1时f(x 点己 【变式训练】 利用隔离分析最值法证明不等式 证明:elnx,2 ->1. 证明:f(x)<e. 点4 双变量不等式的证明 名师点拨: lnx). 1.若直接求导比较复杂或无从下手时,或两次求 (1)讨论f(x)的单调性; 导都不能判断导数的正负时,可将待证式进行变形,构 (2)设a,b为两个不相等的正数,且bna-alnb 造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的 目标,含lnx与e”的混合式不能直接构造函数,要将 指数与对数分离,分别计算它们的最值,借助最值进行 证明. 2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点 一般地,e”与lnx要分离,常构造x”与lnx,x”与e’的 074 积、商形式,便于求导后找到极值点 2025H去 【变式训练] 。 名师点拨:证明双变量函数不等式的常见思路 1.将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数 构造一个含参数的辅助函数证明不等式. 2.整体换元,对于齐次式往往可将双变量整体换 掘日对慨 元,化为一元不等式 3.若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以 将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性, 从而构造函数利用单调性证明 【变式训练] (2024·海南中学高三月考)已知函数/(x)--1 点3 放缩后构造函数证明不等式 (1)求/(x)的单调区间与极值 例已知xe(0.1),求证:x-hn (2)设m,n为两个不相等的正数,且mlnn-nlnm _ =m-n,证明:mn>e. 名师点拨: 某些不等式,直接构造函数不易求其最值,可以适 x一1等进行放缩,有利于简化后续导数式的求解或函 数值正负的判断;也可以利用局部函数的有界性进行 放缩,然后再构造函数进行证明. 名师讲运·素养提H 有关x与e,lnx的组合函数的处理方法 1.熟悉函数/(x)=h(x)lnx+e,h(x)=ax{}+bx+c(a.b不能同时为0)的图象特征,做到对图1.图2、图 3、图4所示的特殊函数的图象“有形可寻”. 12 cir-tlx- nri=rln.r_ 图2 o 图 a +lnx.其中h(x)=ax2+bx+c(a.b不同时为0)的图象特征,做到对图5、图6所 示的两个特殊函数的图象“有形可寻” # 5 期|回 方法一 分离参数,设而不求 则(x)在x=x。处取得最小值,且最小值为 例已知函数(x)-lnx+”:g(x)-是否存在整 。 数m,使得对任意的xe(,+),都有y=f(x)的图 0. 所以”(x)>0.即v(x)在(.+{)上单调递增, 象在v三g(x)的图象下方?若存在,请求出整数m的最 大值;若不存在,请说明理由.(参考数据:e=2.71828.. 所以=o()--1n-+12~# 为自然对数的底数,ln2~0.69315) 075 [解析] 假设存在整数m满足题意,则不等式 1.99530, ln_#对任意的xe(+)恒成立, 故存在整数m满足题意,且m的最大值为1. [探究] 若分离参数后导数零点不可求,且不能 即m<e{-xhnx对任意的xe(,+)恒成立. 通过观察得到,此时可以采用设而不求的方法,在本题 中,通过虚设零点x。,得到xo=-lnx,将e^-lnx。-1 令r(x)=e-xlnx.则v'(x)=e*-lnx-1. 转化为普通代数式一+x-1,然后利用基本不等式求 令(x)=e*-lnx-1,则'(x)=e*- 。高 出最值,同时消掉x,即借助(x。)=0作整体代换, 易知(x)在(+*)上单调递增,因为(2) 采取设而不求的方法,达到化简并求解的目的. --2<0,(1)=e-1>0且(x)的图象在 方法二 分离lnx与e* 过分例数)))n (2,1)上连续. (1)若f(x)在(0.+)上单调递增,求a的取值 范围; 所以存在唯一的%=(,1),使得’(to)-0,即 (2)若a=e(e为自然对数的底数),证明:当x>0 。-1_0.则xo=-lnx 当xe()时,(x)单调减;当xe(to [思路] (1)先对/(x)求导,然后分离参数,可得 +x)时,(x)单调递增. 大值,即可得a的取值范围;(2)先将不等式转化为 令q(x)=ex-e'(x>0),则q'(x)=e-e(x> #n+ex-e(x>o),令h(x)=lnx+(x→), 0). ea (x)=ex-e(x>0),分别求出函数h(x)的最小值和 由(x)>0.得0<x<l,由'(x)<0.得x>l. 函数(x)的最大值,比较其大小.即可证明不等式. 所以(x)在(0.1)上单调递增,在(1,+)上单 [解析] (1)易知f(x)的定义域为(0,+).对 调递减, fx)求导,得f'(x)=2ax-lnx-1. 则(x)在x=1时取得最大值,最大值为(1)= 因为f(x)在(0,+x)上单调递增,所以当x>00,从而q(x)<0,即ex-e<0. 时,/’(x)=0恒成立, (求出不等式lnx+1vex-e*的右边不大于o) 即2ax-lnx-1=0恒成立,也即2a=lnx+1在x{ 二 因为h(x)和q(x)不同时为0,所以lnx+>ex (分离参数) >0时恒成立. e -e(x>0). 令g(x)Inx+1 .x>0,则2ag(x). 即当x>0时f(x)<xe+ 1成立, [关键点拨] 本题第(2)问要证明当x>0时,不 <x<l;令g'(x)<0.可得lnx>0,解得x>l 等式ex*-xlnx<xe+-成立,如果构造函数1(x)= 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+×)上单 调递减,则g(x).=g( 1)=1. 076 1-ex}+xnx(x>0),通过研究函数i(x)的单 (构造函数,利用单凋性求出最大值) 2025出词 调性来证明不等式,会遇到导函数的零点不能确定的 所以2a>1,即a> 故a的取值范围是[+). e一e(x>0)(即分离lnx与e),再分别求函数h(x) (2)证明:当a=e时,f(x)=ex2-xlnx.要证当x =lnx+(x>0)的最小值和函数q(x)=ex-e(x> 0)的最大值,即可证明不等式。 xe+ 方法三 借助e*2x+I和lnxsx-I进行放缩 数,e=2.718...). 1>exc. (1)若/f(x)在(0.1)上单调递减,求实数a的取值 Inx+ 范围; ($2)当a=-1时,设g(x)=xf(x)-xe]-x+ -b,若函数g(x)存在零点,求实数b的最大值. [思路](1)先对/(x)求导,再利用f'(x)<0对 xe(0,1)恒成立,可求实数a的取值范围;(2)将问题 由(x)<0,得0<x< 转化为方程b=xnx-+x*在(0,+x)上有解,构 造函数k(x)=xlnx-+x{,由零点存在性定理或利 用lnx<x-1可求得实数5的最大值 所以h(x)在(0.)上单调递减,在(2)上 [解析](1)对/(x)求导,得/'(x)=xe’+e'- a.(+x)e'-a 单调递增, 则页(x)在x-士时取得最小值,最小值为h()一 由题意知f”(x)<0对x=(0,1)恒成立, 即(+x)e-a50对xe(0.1)恒成立, 0.从而n(x)=0,即lnx+1>0. x 也就是a(x”+x)e在(0,1)上恒成立 (分离参数) 设h(x)=(x2}+x)e’,则h'(x)=e(2x+1)+(x} 当xe(0,x)时,m(x)<0.即k'(x)<0.k(x)单 +x)e'=e'(r+3x+1). 调递减; 当xE(0.1)时,x+3x+1>0,则h'(x)>0. 当xe(xo,1)时,m(x)>0.即}'(x)>0.h(x)单 所以h(x)在(0,1)上单调递增,所以h(x)<h(1) 调递增; -2e,因此a三2e, 当xE(1.+)时,m(x)<0.即k'(x)<0.k(x) (构造函数,通过单调性求出a的取值范围) 单调递减. 于是实数a的取值范围是[2e,+2). 由于x→0时,k(x)→0且k(x)<0,所以k(x) (2)当a=-1时,f(x)=xe+lnx,则g(x)= =(1)=0. xlnx-x+x2-b 于是实数b的最大值为0. 由题意知方程b=xlnx-x+x*}在(0,+)上有 方法二:设k(x)=xlnx-x+x,下面证lnx<x- 解。(分离参数) 1(x>0). 方法一:设k(x)=xlnx-x+x(x>0),则k(x 设(x)=lnx-x+1(x>0),则'(x)--1. =lnx+1-3x+2x. 令'(t)-1-1=0,得x=1. 设m(x)=lnx+I-3x2+2x(x>0),则m'(x)= 1-6x+2--6×°+2x+1. 当xe(0.1)时.'(x)>0.(x)单调递增; 当xE(l,+x)时,(x)<0.(x)单调递减 6 所以(x)=(1)=0.即 (x)<0.也就是ln <x-1. (舍去):1+#7 6 由此可知k(x)=xlnx-x+x2<x(x-1)-+ x$=-x(x-2x+1)=-x(x-1)0 期| 又当x=1时,r(1)=0. 当x。1+7 所以实数b的最大值为0 (构造函数,利用不等式lnx字x-1(x>0)放缩 递减, 求出实数6的最大值 注意到m(1)-0.故有m(17)→0. [关键点拨] 本题第(2)问的求解中,方法二借 6 ##()-^##. 助不等式lnx<x-1(x>0)进行放缩,使求解过程变 077 得简洁,这种方法在求解涉及lnx的函数问题中经常 用到,应注意掌握. 温馨提示:复习至此,请完成练案18 (应用函数零点存在定理) 即1+lnx。-3x}+2x。=0,易知k(1)=0. 第二课时 导数与不等式恒(能)成立 考点突破·互动探穷 点 (2)当x>0时,函数/(x)>0恒成立,求实数a的 分离参数法 取值范围. 1)(2x-1). (1)若a=1.求函数f(x)的图象在点(0.f(0))处 的切线方程第一课时导数与不等式的证明 又(2）=2-5>0，(1)=1-e<0, 考点突破·互动探究 所以存在唯一。∈（分小，使得(）=-， 考点1 所以当xe(0u)时，(x)>0, 例：证明】)+g)≥21-号 +x≥0 则h'(x)>0,函数h(x)单调递增 x e x 当xE(0,+x)时，1(x）<0, 令a)1--号-士+I 则h'(x)<0.函数h(x)单调递减 所以h(x)m=h(x和)=lnx。+x-和e9+1=-无+0-1+1= 【卡壳点】作素构造南数 则b11=0.h(x)=-二++交+1=2+5+1. 0,所以x)≤e- 2 e (以下为原重题答案】 图为1，所以学+号+10， 【证明】要证)<0+只得证e-n<e+ ex 所以h(x)在[1，+)上单调遗增， 【提醒】注意定义城范国 即er-e'<lnr+ er 所以()≥h(1)=0,即1-血-二-+≥0. 令h(x)=lnx+- x>0),则)= er? 款当≥1时)+8()≥是 易知4()在(0，白)上单同造减， 变式训练 [证期】令F=2-h+1--}=宁-h 2 ）=0,所以mx+1≥0. 则F(x=x-1=1.任+)-D>0在(1，+0)上恒 则（= ex 再令p(x)=ex-e,则p'(x)=t-e, 成立， 易知口(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+c)上单调递减， 所以F(x)在(1，+)上苹调递增，文F(1)=0. 则(x)mn=g(1)=0,所以er-e'≤0. 所以F(x)>0在(1，+)上恒成立， 因为(x)与(x)不同时为0， 所以当>1时)>+号 所以er-e<lnx+ .故原不等式成立 er 考点2 考点3 例：[证明]要证x)<e, 例：[证明]要证r-1<血 即证x+xnx<e, e 脚莲1+<号>0 只需迁e(:-）kn 令函数g(x)=1+血 又易证e>x+1(0<x<1), 则g'(x)=I-nx 六只奢证明n+(x+1(仔-）小>0 2 即证h1-f+丈-2>0， 今g'(x)>0,得xe(0,e): 令g'(x)<0,得xe(e,+x) 而x<x,x<x(0<x<1), 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+）上单调递减， 只需证nx+1-2x+1>0. x 所以g(x)m=g(e)=1+ e 令g(x)=lnx+1-2x+ 令面骏h()=号，则h()=2到 则g)=士-2- 1 当x∈(0,2)时，h'(x)<0: x2 当xe(2,+x)时，h'(x)>0 而2x2-x+1>0恒成立， 所以(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增， .g'(x)<0, g(x)在(0,1)上单调递减， 所以4()=A(2)=子 .当xe(0,1)时，g(x)>g(1)=0, 图为号-+日)>0， 即mx+1-2x+1>0. 所以h(x).>g(x)m x2-⊥nx e 申1+n<e 宝草从而)<心得证 变式训练 变式训练 【证明]不等式elmx+2' >1等价于 (exin x+2)>1. (以下为新换题答案】 由带用不等式e'≥x+1,故e≥x [证明]若证x)≤e-,即证+1≤e-上，即证nx 即号≥1，故只需证e血+2>1， +x-xe+1≤0， 令f八x)=xlnx+2(x>0), (x)=Inx+x-xe'+1(x>0), 则f"(x)=e(lnx+1), ()=子+1-(+1)e=(x+1(生-e） 哥得当e(0,日)时了()<0： 令(x)=↓-e(x>0),(x)=- 立-。<0恒成立， (日+时)>0， 所以1(x)=上-心在(0，+x)上单调递减， 散x)>(）=1,原不等式得证。 -463 考点4 例：[解析】(1)由条件知，函数f(x)的定义域为(0，+)， hm与血n是)=0<<待)的两个正报，不妨设hm f(x)=-In x. <lnn.易知1<lnm<2,lnn>2,要证明mn>e, 当xe(0,1)时，f”(x)>0,fx)单调递增： 只需证明lnm+lnn>4,脚证nm>4-nn, 当xe(1,+)时(x)<0,八x)单调递减 当nn≥3时，此式星然成立： 即在区间(0,1)上，图数八x)单调递增：在区间(1，+)上，图 当2<lnm<3时，1<4-lnn<2 数八x)单调适减， 又f八x)在(1.2)上单调递增， (2)证明：由lna-alnh=a-b. .只需证f(lnm)=fln)>4-nn), 令h(x)=f八x)）-f八4-x)(2<x<3), 则(x)=(x)+”(4-x)=2=+2-4=(2-x) 令与1 1 e ef-r x1≠，不妨设1<，令f(x)=0,得x=l,且八e)=0. (日)0 结合(1)中的f八x)的单调性，易知，0<，1<1<2<色 .(x）=f代x)-f4-x）>h(2)=f2)-f代2)=0. 待证结论2<，1+x<巴 ∴.f八x)>f4-x), 下面证明+1>2， .f(nn)>f八4-nn),即结论成立， 令g(x)=八x)-f2-x),xe(0,1), 综上，mn>e, 则g'(x)=-ln[x(2-x)]>0, 所以g(x)在区间(0,1)上单调道增， 练案[18] 所以0=g(1)>g(1）=f八x1）-f2-x), A组基础巩固 即f八2-无)>八)=f八). 又f(x)在区间(1，+)上单词递减，所以2-名，<，2，即无+ 1[证明]设g)=子-宁-h 2>2. 再证明名十名< 则g'(x)=2x2-x-1 证法一：不妨设，=x1,则1>1，由1(1-n)=(1 lnx2)可得x(1-lnx,）=x[1-ln(x)],化简得nx1=1- 当x>1时，g()=-(22++山>0. tint t-1 所以g(x)在(1，+)上单调递增。 要证x,+x2<e,即证(1+t)x1<e,即证lnx,<1-ln(1+t), 当>1时，8()>8)=石>0， 即注1-<1-h(1+),脚运”< -1 所以当>1时，名+h<子 1、1 -In t 设h()=n上 =2>1,'0=-1y 2【解析】(1)/"(x)=2mr- 令p()=1-↓-ln>1,所以p'0)=F-7= 111- _2ax+1)(2a-1) 所以9'()<0，所以(t)在(1，+x)上单调递减， 当x≥1时，√2ax+1>0,√2ax-1≥0，所以∫'(x)≥0，因此 所以e()<(1)=0,所以h'()<0 八x)在[1.+x)上单调递增，所以/八x)≥f1)=0八x)m=0. 所以()在(1，+)上单调地减，所以h(:+1)<h(t),即 】+<n4,所以+<，故2<1*1 (2)证明：原不等式等价于(x)≥心-，即)≥二 e-寸 令g(x)=x-e-1x≥1，g(x)=1-e≤0，所以g(x)在[1. 证法二x)在点（世，0）处的切线p(x)=e-x, +)上单调递减，g(x)≤g(1)=0,g(x)=0.结合(1)可知 令F(x)=f几x）-9(x)=2x-xnx-e,xe(0,e), F'(x)=1-lnx>0,所以F(x)在区间(0，e)上单调地增，即 -h-0≥0≥恒成立，即2-lh+上-e-02 F(x)<F(〉=0， 0恒成立. 所以当xg(0,e)时/代x)<e(x). 令=八1)=f八2）， 3.[证明]设g(x)=八x)-(x+1)=e-x-1(x>-2) 则1=f八2）<p(2）=e-2=4+x2<e 则g'(x)=e-1, 又t=f)=1(1-nx)e(0,1), 当-2<x<0时，g'(x)<0:当x>0时，g'(x)>0, 所以【=x,(1-n)>x1,即+x<【+<e 即g(x)在(-2,0)上单调递减，在(0，+）上单调递增. 等上.，2<+场<6藏2<+<e成立 于是当x=0时，g(x)m=g(0)=0, 因此八x)≥x+1(当且仅当x=0时取等号)， 变式训练 令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2), [解析] (1)f"()=--0e_2- 【卡壳点】利用x+1作为中闯量，进行放缩 e24 e 则'(x)=1-L=+1 当xe(-,2)时f"(x)>0f爪x)）单调递增， x+2x+2 当xE(2,+)时f(x)<0x》单调递减， 则当-2<x<-1时，h'(x)<0,当x>-1时，h'(x)>0, ·当x=2时x)取得极大做马 即有h(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+%)上单调逆 增.于是当x=-1时，h(x)m=(-1)=0, 综上x)的单调递增区间为(-x,2),单调递减区间为(2. 因此x+1≥n(x+2)(当且仅当x=-1时取等号)，所以当x> +),授大值为，无授小位 -2时.f代x)>ln(x+2). 【易错点】注意取等号的条件 (2)证明：由(1)知，x→-0时，八x）+-,x++0时，x》0, 4.[证明]x>y>e-1,∴.x+1>y+1>e )(] 即n(x+1)>n(y+1)>1, 欲证e'ln(y+I)>eln(x+I) 由mlnn-lnm=m-n得血m-」_血n-上 e 即证明n(x+D>n(y+ 又nm）=血m-_hm-同理n)=血n-l 令g(x)=n(x+1) -464