3.2.2 导数与函数的极值，最值-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

g(x)=anx-,则g'(x)=osx+sinx-1=1-cosx【变式训练】 cos'x cos'x 若a=n个-0.01a,b=0.02sim0.01,c= ≥0，所以函数g(x)在定义城内单调递增，所以当x>0 0.01sin0.02,则 时，g(x）>g(0)=0,即有anx>x(x>0)成立，所以 A.a<b<c B.a<c<b m子>行，即4m子>1，所以云>1，又6>0，所以c C.b<c<a D.c<a<b >b.综上，c>b>a. 温馨提示：复习至此，请完成练案[16 第二课时 导数与函数的极值、最值 知识梳理·双基自测 知识梳理 归纳拓展 知识点一函数的极值 1.f'(x)=0与是f八x)极值点的关系 1.函数的极值 函数八x)可导，则了'()=0是x为f(x)的极值点 (1)设函数f(x)在点x。附近有定义，如果对x。附 的必要不充分条件.例如，(x)=x,∫'(0)=0，但x 近的所有的点，都有(x) f(xo),那么f(x。) =0不是极值点。 是函数八x)的一个极大值，记作f八x)大恤=f(x,):如2.极大值（或极小值）可能不止一个，可能没有，极大 果对x附近的所有的点，都有(x) f(o),那 值不一定大于极小值， 么代x。)是函数(x)的一个极小值，记作八(x)腰继= 3.极值与最值的关系 八x).极大值与极小值统称为极值， 极值只能在定义域内取得（不包括端点），最值却可 (2)当函数f八x)在。处连续时，判别f八xo)是极大 以在端点处取得：有极值的不一定有最值，有最值的 (小)值的方法： 也未必有极值：极值有可能成为最值，非常数可导函 如果x<有f'(x) 0,x>xo有f'(x) 数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取 0,那么f(x)是极大值. 4.定义在开区间(a,b)内的函数不一定存在最大 如果x<x有f'(x) 0,x>有f'(x) (小)值 》 0,那么(x)是极小值， 数 2.求可导函数f八x)极值的步骤 双基自测 (1) 题组一 走出误区 069 (2) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√“或 (3)检验f(x)在方程f'(x)=0的 的符 “”) 号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. 数y=(x)在这个根处取得 :如果在根的左侧 附近为负，右侧附近为正，那么函数y=代x)在这个根 (2)函数的极小值不一定比极大值小 处取得 (3)导数等于0的点不一定是函数的极值点 知识点二函数的最值 1.函数的最值的概念 (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值 设函数y=f代x)在 上连续，在 也不一定是极小值 () 可导，函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大（最 (5)单调函数一定没有极值 () 小)值，叫做函数y=f八x)的最大（最小）值 题组二走进教材 2.连续函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最 2.(选修2PT1改编)如图是f八x)的导函数f'(x)的图 小值. 象，则八x)的极小值点的个数为 3.求函数最值的步骤 设函数y=f八x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 求fx)在[a,b]上的最值，可分两步进行： 3-2 (1) (2) A. B.2 C.3 D.4 3.(选修2PT6改编)函数f(x)=1nx-x在区间(0，题组三走向高考 e]上的最大值为 )5.(2017·课标Ⅱ，11)若x=-2是函数f代x)=(x2+ A.1-e B.-1 C.-e D.0 ax-1)·e-的极值点，则f代x)的极小值为(） 4.(选修2P5改编)已知函数(x)=nx+“在其定 A-1 B.-2e- C.5e-3 D.1 义域的一个子区间(e,e2)上有极值，则实数a的取6.(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)=alnx+ 值范围是 取得最大值-2，则”(2)= () A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,2) A.-1 B.- c D.1 考点突破·互动探究 名师点拔：可导函数求极值的步骤 考点 用导数求解函数极值问题—多维探究 1.确定函数的定义城 角度！根据函数图象判断极值 例1（多选题）设函数x)在R上 2.求方程f'(x)=0的根。 y=g(=) 3.用方程∫'(x)=0的根和不可导点的x的值顺 可导，其导函数为f'(x),且函数 ”()的图象如图所示，则下式外 次将函数的定义城分成若于个小开区间，并形成表格 列结论中一定成立的是 4.由∫'(x)=0的根左右的符号以及f'(x)在不可 A.八x)有两个极值点 导点左右的符号来判断∫'(x)在这个根或不可导点处 B.f(0)为函数的极大值 取极值的情况，此步骤不可缺少，∫'(x)=0是函数有极 070 C.f八x)有两个极小值 值的必要条件 225 D.f-1)为f(x)的极小值 角度3根据极值求参数的取值范围 2.函数f(x)=x+bx2+cx+d的大致图象如图所 例函数化x)=（x)。在区间(2,3)内没有极值 年 示，则x+x= 度 点，则实数a的取值范围是 A(-,3]U[4,+x) 新 B.[3,4] 计 .(-,3] 名师点拨：据图象求极值的解题策略 D.[4,+e) 1,已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导 名师点拔：已知函数极值点或极值求参数的2 数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数 系 符号. 个要领 2.已知函数求极值.求'(x)→求方程f'(x)=0 1.列式：根据校值点处导数为0和校值这两个条 的根→列表检验∫'(x)在'(x)=0的根的两侧的符号 件列方程组，利用待定系数法求解 →得出结论 2.验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为 角度2求函数的极值 极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 例(2023·安微省部分重点学校联考)求下列函数的 验证根的合理性。 极值。 【变式训练】 (4x)=2(x-5)2+6血 1.(角度1)函数y=f八x)的导函数∫(x)的图象如图所 示，则下列说法正确的是 () (2n)=2m(2-)-hx A.函数y=(x）在(-，0)上单湖递增 B.函数y=八x)的递减区间为(3,5) C.函数y=八x)在x=3处取得极大值 D.函数y=f(x)在x=4处取得极小值 2.（角度2)(2024·河南中原名校质量检查)已知函数 名师点拨： f代x)=2f(1)lnx-x,则f代x)的极大值为( 1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 A.2 B.2ln2-2 步骤 C.e D.2-e (1)求函数在(a,b)内的极值. 3.(角度3)函数f(x)=lnx+ 2-r(x>0)在 1 (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f八b). (3)将函数f八x)的极值与f(a),f(b)比较，其中最 [乃3]上有且仅有一个极值点则实数a的取值范 大的一个为最大值，最小的一个为最小值 2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，一般 围是 要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图 A(3劉 [3 求解 c(3 注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值 ,点，要通过比较再下结论 喜点己 【变式训练】 用导数求函数的最值一 师生共研 已知函数f代x)=e'cos x-x 例(2024·江西省贵溪市实验中学高三上学期第三 (1)求曲线y=八x)在点(0，(0))处的切线方程： 次模拟检测)已知函数f八x)=xnx一 2ax.g(x) (2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最 =-x+a(aER). 小值 (1)若y=x与f(x)的图象恰好相切，求实数a 的值： (2)设函数F(x)=f(x)+g(x)的两个不同极值 点分别为x(x<x ①求实数a的取值范围： ②若不等式e1<x1·x对恒成立，求正数A的取 值范围(e=2.71828…为自然对数的底数) 高考一轮总复习 071 名师讲坛·素美提升 利用导数研究生活中的优化问题 例一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将 (1)求V关于0的函数表达式： 此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中 (2)求当体积V最大时0的值 一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等 [解析】(1)梯形ABCD的面积S#影An=三 腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C,D在半圆 上)，设∠BOC=0,木梁的体积为V(单位：m),表面积 2cs+2.in sin 0cossin 0. 为S(单位：m). 体积V=10(sin0ms0+sin0).0e(0,）} (2)V=10(2c0s20+cos0-1)=10(2cos0- 1)(co50+1) 由9e(0,）,得cs0e(0,1). 令P=0,得cm0=2或ms0=-1(含) 【变式训练】 一工厂计划生产某种当地政府控制产量的特殊产 品，月固定成本为1万元，设此工厂一个月内生产该 特殊产品x万件并全部销售完.根据当地政府要求 当0e0.)时 -<cos0<1,'>0, 产量x满足1≤x≤3，每生产x万件需要再投入3x V=10(sin0cos0+sin0)单调递增； 万元.每1万件的销售收人为5-子（万元），且每 当0e(得引时.0<m0<2,”<0,v= 生产1万件产品政府给予补助1+2血（万元）（注： 10(sin0os0+sim)单调递减.当0=号时，体积V 月利润=月销售收入+月政府补助一月总成本). 最大 (1)写出月利润f代x)(万元)关于月产量x(万件)的 名师点拔： 函数解析式； 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 (2)求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利 润最大值（万元）及此时的月生产量（万件） 守新实际向题中各变若之间的关桑，列出安际问题 第1步 的数学模型，写出实际句退中支星之何的函戴头系 式y=),由笑际意义确定走义城 第2岁》 求函数的导敷"国，解方登∫国)=0 (第3多 比校谪兼在区對端点和f'(国=0的点的函数位的大个 成大（小）者为装大（小）俊 072 (第4 的自实际付愿作答 2025 提醒：在利用导数解决实际问题时，若在定义城内 年 度 只有一个极值，则这个值即为最优解。 温馨提示：复习至此，请完成练案[17 新 计 第三讲 导数的综合应用 知识梳理·双基自测 f代x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤ 知识梳理 f八x);若存在x∈D,使得f八x)≤g(a)成立，应求f八x) 知识点一利用导数证明不等式 在xeD上的最小值，将原条件转化为g(a)≥八x)m 若证明f(x)<g(x),xe(a,b),可以构造函数 知识点三利用导数研究函数零点的方法 F(x)=f(x)-g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的最 方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值. 大值小于0，即可证明/(x)<g(x),x∈(a,b) (2)根据函数f八x)的性质作出图象 知识点二利用导数解决不等式的恒成立 (3)判断函数零点的个数 问题 方法二：(1)求函数八x)的单调区间和极值. “恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般 (2)分类讨论，判断函数零点的个数， 都可通过求相关函数的最值来解决，如：当八x)在x∈ 归纳拓展 D上存在最大值和最小值时，若f八x)≥g(a)对于xeD 恒成立，应求x)在xeD上的最小值，将原条件转化L若xe(0,),则anx>x>sinx 为g(a)≤f代x)m:若f八x)≤g(a)对于x∈D恒成立， 2.若x∈(0，+），则e≥x+1>x-1≥lnx 应求f八x)在xeD上的最大值，将原条件转化为g(a) ≥)若存在ED,使得)≥g0)成立.应求3若xe(-山，+x),则≥ln(x+1)≥本令'(x)=0,得x=2, 当xe(0,1)时，g(x)<0,f'(x)<0. ,.h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增 当xe(1,+)时，g(x)>0..f(x)>0 又4）=2-h2>0,a(2)=h2-1<0,s(e)=3>0, 八x)在(-x,-2),(0,1)上单调递诚 在(-2,0)，(1，+x)上单调递增 .h(x)与x轴有两个交点， 故A,D错误，B,C正确 ∴.过点(0,1)向曲线y=八x)可作2条切找， 例2：台由图知)=(+1)(-2) 第二课时导数与函数的极值、最值 ∴"(x)=3x2-2x-2,因此，x12为32-2x-2=0的两根 知识梳理·双基自测 出+=3出=， 知识梳理 知识点一 +=+户-25 1.<> <<> 角度2 2.求导数了(x)求方程f(x)=0的根根左右的值极大值 例：[分析】求导，研究函数的单调性从而确定极值， 极小值 [解析] (1)函数八x)的定义城为(0，+). 知识点二 1.a,b](a,b f'(x)=x-5+6=(x-2)(x-3) 3.求八x)在(a,b)内的极值将f(x)的各极值与(a),f(b)比 令f(x)=0.解得x=2,x,=3,可得 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 (0,2) 2 (2.3) 3 (3,+0) 双基自测 1.(1)×(2)V(3)V(4)V(5)V f(x) + 0 0 [解析](1)函数的被值是局部概念，极值点是与该点附近的 点的函数值比较得到的，而不是在某区问或定义域上比较. f八x) 极大值 4 授小值 (2)如图，在x1处的授大值比在x处的极小值小 由上表可知当x=2时，授大德2)=号+6n2,当x=3时。 授小值f八3)=2+6ln3, (2)由题意知(x)=-1 +mx=m2-1 ,x>0 ①当m≤0时(x)=m-1<0,所以x)在(0.+￥)上单 (3)如y=x3在x=0处，导数为0，但不是极值点， 调递减，没有极值. (4)如图知正确. ②当m>0时，令(x)=m-1=0,得x: (,时(<0：当e(+)时国>0.所以 )在(，上单调逢减，在（+小上单 2.A由题意知只有在x=-1处(-1)=0，且其两侧导数符号 故几x)在x= 为左负右正 处取得小值/（）2nm+2m, √m 3B因为了(x)= 1-1=:,当xe(0,1时(x)>0:当x 无校大值 综上，当m≤0时，J八x)无极值：当m>0时，(x)的极小值为 ∈(1，e]时(x)<0,所以当x=1时，八x)取得最大值n1-1 =-1,故选B. nm+ “立m,无授大值 4.A求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极角度3 值，由已知建立不等式求解即可了()=-血=，令”(x) 例：A由函数八x)=(x-a)e在区间(2,3)内设有极值点，可得 x2 '()≥0或'(x)≤0在区间(2,3)内恒成立，进而可得实数 =0,即1-nx-a=0.解得x=e",且0<x<e“,f"(x)>0:x 的取值范围.八x)=(-a)e.∴，(x)=(x+1-a)e,,函 >e“‘(x)<0.f(x)在(0，)上单调递增，在(e- 数f八x)=(x-a)e在区间(2,3)内没有极偵点，∴x+1-a≥0 +x)上单调递减，(x)有极大值f代e…)=ne+a。 或+1-a0在区间(2,3)内恒成立，即a≤x+1或a≥x+1 el- 在区间(2,3)内恒成立，∴，≤3或a≥4.故实数a的取值范围 .e<e<e2,-1<a<0,故选A 是(-0,3]U[4,+》,故选A. 5.A由题意可得f广(x)=e-[2+(a+2)x+a-1],x=-2 变式训练 是函数fx)=(2+m-1)e-的极值点，(-2)=0，.a= 1.C根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图象 -1,jx)=(2-x-1)e-厂广(x)=e(2+x-2)=e-(x 即可得出答案.根据函数y=f八x)的导函数f'(x)的图象可得， -1)(x+2),,xE(-,-2),(1,+)时”(x)>0fx)单 当x<-1,3<x<5时f”(x)<0.故函数f八x)在(-g,-1)和 调递增：x∈(-2,1)时厂'(x)<0,/八x)单调递减.六八x)额小值 (3,5)上递减.当-1<x<3,x>5时"(x)>0.故函数f八x)在 1)=-1.故选A (-1,3)和(5，+)上递增，所以函数(x)在x=-1和x=5 处取得极小值，在x=3处取得极大值，故A,B,D错误，C正确. 6.B由题意知1)=n1+b=b=-2.求导得f'(x)=a 故选G, 2(>0).因为)的定义域为(0，+s),所以易得(1)=a 2B因为x)=2(1)nx-x,所以f(x)=2(1)1-1,令x -b=0,所以a=-2.所以W"(2)=号-冬=-子放选R =1得)=2)-1.所以W=1.则()=子-1.所 以函数代x)在(0,2)上单调递增，在(2，+）上单湖递减，则 考点突破·互动探究 f八x)的极大值为f2)=21n2-2.故选B. 考点1 角度1 3B)=h+-a(x>0, 例1：BC由题图知.当xe(-e,-2)时，g(x)>0..f'(x)<0, 当xe(-2.0)时，g(x)<0,,"(x)>0, fe)=+-a -459- :函数x)=nx+子-x(x>0)在[片，3]上有且仅有 令1=点，则te(0,1),A+1<+A)血恒成立. -1 个极值点， 所以m1-A+)-山<0在1e(0.1)时恒成立 y=()在[子3上只有一个变号零点 t+入 令f()=+x-4=0,得4=1 令h)=n1-a+)-D4e(0,1. t+入 设g)=+,则g()在[片，小上单调减，在[1,3]上单 则()=1-(A+1)2_-1)u-A2 1(1+A)9 (1+A)2 若x≥1，即A≥1，划当1e(0,1)时'(t)>0,故h()在(0,1) 调递增∴g(x)。=g(1)=2: 上单调递增， 又)33)= 所以h(1)<h(1)=0恒成立，满足题意： 31 若0<入<1.则当t∈(A2,1)时有'(t)<0 当号≤a<号时y=时()在[分上只有-个变号零点 故h()在(A,1)上单调递减， 所以当t∈（入，1）时，h(t)>h(1)=0,不满足题意. 六实数a的取值意调为[子，》 综上所述，正数A的取值范围为[1，+女) 变式训练 考点2 [解析](1)因为f(x)=ecsx-x,所以f'(x)= 例：[解析】(1x)=nx-2/'(x）=lnx+1-, e'(c5x-sinx)-1,f'(0)=0. 又因为0)=1，所以曲线y=八x)在点(0代0)处的切线方程 设y=x与f八x)的图象的切点为(x,), 为y=1, lno+1-o=1, (2)设h(x）=e(eosx-sinx)-1,则h'(x)=e(esx-inx- 则 1 oln-2G= 解得6=e2,a=马 sin x-cos x)=-2e'sin x. (2)0()=)+g)=h--2+a,定义拔为 当xe(0,）时，h'()<0, (0,+o),F'()=nx-at 所以h()在区同[0，引]上单调递减 F"(x)=lnx-=0有两个不等实根无，x2, 考察函数h(x)=E-a,h(x)=1-n三，所以(e)=0, 所以对任意xe(0,]有(x)<(0)=0,明了()<0 x2 当0<x<e时，h'(x)>0,所以h(x)在区间(0，e)上单调递增： 所以蛋数)在区同[0，]上单调递减 当x>e时，'(x)<0,所以h(x)在区间(e,+x）上单调递减 数h()的极大值也是最大值为h(e)=L 国此x)在区间[0，引上的最大值为f(0)=1,最小值为 因为(x)有两个不同的零点，所以h(心)>0，即上-a>0,即 (）-是 名师讲坛·素养提升 0c1 变式训练 [解析] 当a≤0时，当x>e时，h(x)>0恒成立，放h(x)至多一个零 (1)设该工厂一个月内生产该特殊产品x万件，依 题意， 点，不符合题意， 字上所迷0<a<日 )=-子)+12业）-3-1-+3x+2h 下证：当0<a<。时，A()有两个不同的零点。 所以利润八x)(万元)关于月产量x(万件)的通数解析式为 h(1)=-a<0.h(e)>0,所以h(x)在区问(0，e)内有唯 )=-写2+3x+2h-1,1≤x≤3. 零点： )=h日)令日=1，考察商数p)=2h- (2f”(x)=-2+3+2=--3-2。-x+12x-2边 所以当1≤x<2时f'(x)>0,函数f八x)在区问[1,2)上单调 遠增： 当2<x≤3时'(x)<0,函数x)在区问(2,3]上单调递减， 可得0()m=22-2<0,所以） <0,所以h(x)在区间 所以当x=2时，函数在区何[1,3]上取得最大值(2)，八2)= +2n2. 7 (e,+x）内有唯一零点. 综上所迷：a的取值范国为(0，） 故该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值为 ②由题设条件和①可知：l<1<e<,lh无=1，n= (子+2加2万元，此时的月生产量为2万作 所以a=血名-n当。“五 练案[17] A组基础巩固 若不等式e1<·恒成立， 1.D由已知结合函数的单调性 两边取对数得A-ln,<入n2-1。 与极值的关系进行分析即可 h支 求解.结合函数图象可知，当x 所以A+1<血x+Alnx2=a,+aA2= ·（1+】 <a时'(x)<g(x),此时y =g'(x)-(x)>0,函数单调 递增，当a<x<0时，∫(x)> g'(x),此时y'=g'(x)-∫(x) 1-1 <0,函数单调递诚，当0<x< b时f'"(x)<g'(x),此时y'= '(x）-f'(x)>0,函数单调递 -460