3.2.1 导数与函数的单调性-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

2.由公切线求参数 整理，得4a=9x-8.x-6x+1. 例(202·全国甲卷)已知函数x)=-x,g(x) 令h(x)=9x-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3- =x2+a,曲线y=f(x)在点(xf(x)处的切线 24x2-12x=12x(3x+1)(x-1), 也是曲线y=g(x)的切线， (1)若x1=-1,求a: 由（国=0得x=分0.1， (2)求a的取值范围。 h(x),h'(x)随x的变化如下表所示： [分析](1)求出切点坐标→求出导函数 ”(x)号数的儿何意义求得切线的斜率一点斜式求出 0(0,1)11.+ 切线方程→将切线方程代入y=g(x)一→根据判别 0 + 0- 0 + h(x) 式为0求得a的值 (2)求出导函数'(：)号数的几何意义，求出切线方 由上表知，当x=-3时，h(x)取得极小值 程一→将切线方程代入y=g(x)一→根据判别式为0 求得a的值→求导研究函数h(x)的单调性，求得其 引器 值域一→求得a的取值范围 当x=1时，h(x)取得极小值h(1)=-4, [解析](1)当1=-1时代-1)=0，所以切点 易知当x→-时，h(x)→+0，当x→+时， 坐标为(-1,0). h(x)++e, 由f(x)=x3-x,得f'(x)=3x2-1. 所以函数h(x)的值域为[-4，+x), 所以切线斜率k=∫'(-1)=2， 所以由4ae[-4,+e),得ae[-1,+x), 所以切线方程为y=2(x+1),即y=2x+2. 故实数a的取值范围为[-1，+）. 将y=2x+2代入y=x2+a,得x2-2x+a-2=0. 由切线与曲线y=g(x)相切，得4=(-2)2-4(a 名师点拔： -2)=0, 两曲线存在公切线求参数的取值范国间题的解题 解得a=3. 思路是：由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去 (2)由f八x)=x3-x,得∫'(x)=3x2-1,所以切线 x,和？中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问 斜率k=f'(x,)=3x-1, 题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关 所以切线方程为y-(x-x1)=(3x7-1)(x 注自变量的取值范围. x1),即y=(3x-1)x-2x 【变式训练】 将y=(3x-1)x-2x代入y=x2+a,得x2 若曲线y=nx与曲线y=x2+2x+a(x<0)有公切 (3x-1)x+a+2x=0. 线，则实数：的取值范围是 063 由切线与曲线y=g(x)相切，得4=(3x-1)2 4(a+2x)=0. 追馨提示：复习至此，请完成练案[15 第二讲 导数在研究函数中的应用 第一课时 导数与函数的单调性 知识梳理·双皇自测 2.求可导函数八x)单调区间的步骤： 知识梳理 (1)确定f八x)的 ； 知识点函数的单调性 (2)求导数f"(x): 1.设函数y=(x）在某个区间内 (3)令f'(x) 0(或f'(x)0),解 f'(x) 0,则f八x)为增函数，若'(x) 出相应的x的范围： 0,则f(x)为减函数. (4)当 时，f(x)在相应区间上是增函数， 当 时(x)在相应区间上是减函数。 归纳拓展 题组二走进教材 2.(选修2PT3改编)如图是 =(x) L.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则xe(a,b)时， 函数y=f(x)的导函数 f'(x)≥0恒成立：若函数f(x)在(a,)上单调递减， )的图象，则下列判 1234 则x∈(a,b)时，f'(x)≤0恒成立. 断正确的是 ( 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间，则xe A.在区间(-2,1)上(x)单调递增 (a,b)时f"(x)>0有解：若函数f(x)在(a,b)上存 B.在区间(1,3)上八x)单调递减 在单调递减区间，则xe(a,b)时，f'(x)<0有解. C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 D.在区间(3,5)上f(x)单调递增 双基自测 3.(选修2PT改编)函数(x)=的单调递增区间 题组一走出误区 为 () 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 A.(-g,0) B.(0,2log2e） “×”) C.(-0,2og2e) D.(2oge,+) (1)若函数f(x)在(a.b)内单调递增，那么一定有4.（选修2PT12改编）已知函数f八x)=1+x-sinx, f'(x)>0 ( 则(2)，f(3)f代π)的大小关系正确的是() (2)若函数y=f八x)在(a,b)内恒有'(x)≥0，则y= Af2)>f3)>f八π) B.f3)>f(2)>f代π》 f八x)在(a,b)上一定为增函数. ( C.f2)>f八π)>f3) D.f(π)>f3)>f2) (3)在(a,b)内f'(x)≤0且∫'(x)=0的根有有限题组三走向高考 个，则f(x)在(a,b)内单调递减. 5.(2023·新课标Ⅱ，6,5分)已知函数f(x)=ae- (4)如果函数x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则 lnx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为() 064 八x)在此区间内没有单调性。 A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 2025 (5)因为y= 的导函数为了= -1 In x (nx)2害>0. 6.(2022·全国新高考1卷，7)设4=0.1e1,b= 9.c= 年 度 ∴y’<0,因此y= 的减区间为(0，+. -ln0.9,则 () In a A.a<b<e B.c<b<a 新 C.c<a<b D.a<e<b 计 考点突破·互动探究 中 学 考点 函数的单调性 名师点拨：用导数f'(x)确定函数f八x)单调区间 的三种类型及方法： 考问1爪合数的函数的单调性一自主练透 例求下列函数的单调区间， L,当不等式f'(x)>0或f'(x)<0可解时，根据函 (1x)=4r+ 数的定义城，解不等式∫'(x)>0或∫"(x)<0求出单调 区间， (2)代x)=nx x 2.当方程'(x）=0可解时，根据函数的定义域，解 方程∫'(x)=0,求出实数根，把函数f(x)的间断点（即 8M=2 八x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排 (4)f八x)=(x-1)e'-x2 列起来，把定义域分成若干个小区问，再确定(x)在各 个区间内的符号，从而确定单调区间. 3.当不等式f'(x)>0或f'(x)<0及方程f'(x)=0 均不可解时，对∫'(x)化简，根据∫'(x)的结构特征，选择 相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定∫(x)的 符号，得单调区间. 注意：(1)求单调区间一定要在定义域花围内. (2)函数的单调区间有多个时不能用并集，要用“逗 号“或“和”隔开 考向2合套数的函数的单调性一师生共研 考向3利用导数解决函数的单调性的应用问题一 例(221：全国甲，20)设函数x)=ux+r-3nx 暑维探究 +1,其中a>0. 角度！比较大小 ()讨论f(x)的单调性： (2)若y=八x)的图象与x轴没有公共点，求a的取 例已知a=26=3c=e,则下列大小关系正确 2 3 值范围。 的是 () A.a<b<e B.a<c<b C.e<b<a D.e<a<b 角度2解不等式 例已知定义域为R的函数八)，有-)=()且 x≥0)=e-e-sin2x,则x)>母）的解 集为 名师点拨： 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件 构造辅助函数，把比较大小的问藏转化为先利用导数 研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小， 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖据条件关 系，恰当构造函数：题目中若存在八x)与∫'(x)的不等 关系时，常构造含(x)与另一函数的积（或商）的函 数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调 性，从而求解不等式 名师点拔： 角度3已知函数的单调性求参数取值范围 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等 例若函数代)=x-hx在区间(1，+0)上单调递 式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑 增，则长的取值范围是 A.(-,-2] B.(-,-1] 点 二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以 此来确定分界点，分情况讨论 C.[2.+) D.[1,+o) 习 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨 [引申](1)本例中若f(x)的增区间为(1，+)， 数 论，还要确定导数为0的点和函数的间断点 则k= 3.个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如 (2)若f(x)在(1，+)上递减，则k的取值范围 065 八x)=x,'(x)=3x2≥0(f'(x)=0在x=0时取到)， 是 f(x)在R上是增函数. (3)若f八x)在(1，+∞)上不单调，则k的取值范 【变式训练】 围是 (4)若f(x)在(1，+)上存在减区间，则k的取 已知函数f(x)=+m+山(m≥0)，其中e为自然 e 值范围是 对数的底数，讨论函数f代x)的单调性 (5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是 名师点拔：已知函数单调性，求参数取值范围的 两个方法 1,利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b) 上单调，则区问(a,b)是相应单调区间的子集。 2.转化为不等式的恒成立间题：利用“若函数单调 递增，则f'(x)≥0：若函数f代x)单调递减，则'(x)≤0” 来求解 提醒：(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈ (a,b)都有f(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间 上∫'(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省 略，否则漏解 【变式训练】 A.(-0,0) B.(0,+) 1.(角度1)(2024·江苏无锡模拟)已知a=ln5,b= e1,c=(9-3ln3)e3,则a,b,c的大小为 c(-,) n(日+ A.a<b<c B.a<c<b 3.(角度3)(2024·安徽毛坦厂中学模拟)已知函数 C.c<a<b D.b<e<a 2.(角度2)定义在R上的函数fx)的导函数为f'(x), )=子2-3+4h在，1+1)上不单调，则 若对任意实数x,都有f八x)>f'(x),且f八x)+2021 实数：的取值范围是 为奇函数，则不等式f(x)+2021e<0的解集为 名师讲坛·素养提升 一、构造法在导数中的应用 在导数应用的客观题中，有一类考查热点，不给出具体的函数解析式，大多涉及八x)与∫'(x)的一些关系 式，利用构造法构造新函数，确定其单调性，然后解决问题，下面重点突破两类问题 题型一利用导数的运鳗法贝测的造函数 角度3利用fx)与sin×,cos×构造 角度1利用fx)与e“构造 例已知八x)是定义在(-，+x)上的函数，导函 例（多选题）已知定义在(0，)上的函数f(x), 数(x)满足∫'(x)<f八x)对于xeR恒成立，则 f'(x)是f八x)的导函数，且恒有f'(x)sinx-f(x)cosx CD 066 (D) <0成立则 A.f2)>ef0).f2025)>e2f0) B.f2)<e2f0)J2025)>e2mf0) Af)>2f(a） B2财)>) 2025 C.f八2)>ef0)J2025)<e2f0) 年 c.f()>f） D.财)>() 度 D.f2)<e2f0)f2025)<e2f0) 新 [解析] 为造F()=因，则F'() [解析】令g)思0，引 设 e严(x)-ex_(x)二D,导函数∫'(x)满足 则其导数g()-(x)sin=x)msx. e sin'x 中 f'(x)<f八x),则F'(x)<0,F(x)在R上单调递减，根 又由xe(o,), 据单调性可知选D. [感悟提升]遇到∫'(x)-f(x)的形式，构造函 且恒有f'(x)sinx-f八x)cosx<0, 教F(x)=:道到∫“(x)+(x)的形式构造函数 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数， e 由后<号则有)>引 F(x)=f(x)e'. 角度2利用f(x)与x构造 例已知偶函数(x)(x≠0)的导函数为f'(),且满 足f(-1)=0,当x>0时.2f(x)>f'(x),则使得 血君 血骨 f八x)>0成立的x的取值范围是(-1,0)U(0,1) 可得/)>(： [解析]构造F(x)=,则下‘(x)= (x)·-2x,当x>0时对"(x)-2x)<0,可以 又由君<年则有>8) 推出当x>0时，F'(x)<0,F(x)在(0，+0)上单调递 E 减.因为f(x)为偶函数，x为偶函数，所以F(x)为偶 函数，所以F(x)在(-，0)上单调递增.根据f(-1) =0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得 可得财)>) 函数图象（图路），根据图象可知(x)>0的解集为 [感悟提升】](1)出现f'(x)sinx+f代x)cosx构 (-1,0)U(0,1) 造函数F(x）=f八x)sinx (2)出现'(x)im二x)cos构造函数F(x) [解析]构造函数f八x）=e-lnx,∴∫'(x)=e sin'x =x） 量，在(0,1)上有零点，心八x)在(0,1)上有二个极 sin x 值点，(x)在(0,1)上不单调，无法判断f(x,)与 (3)出现f'(x)cosx-f八x)sinx构造函数F(x) f八x)cosx )的大小，故A,B错误：令g()=号g()= (4)出现'()esx+x)si枸造函数F(x) cosx (x-1山<0，g(x)在(0,1)上单调递减，又：> =x) cos x 三，故选C 【变式训练】 11 1.（角度1)设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f"(x) 2.(2023·石家庄一模)若nx-ny<nxny -c0sx<0,则不等式f(x)<sinx的解集为(x>1,y>1),则 (A) A.e-+>1 B.e-<1 2.(角度2)(2023·湘豫名校联考)已知定义在R上 C.心-1>1 D.e--<1 的函数f八x)的导函数为f"(x),当x>0时f'(x) [解折】依题意，h<h了-令) >0,若a=2),b=2).c=42）则ab,c 的大小关系为 =1-4≠0)，则”()=1+是>0，所以f)在 3.(角度3)(2024·绍兴调研)已知定义在R上的函 (-,0),(0,+)上单调递增：文x>1,y>1,得nx 数f八x)的导函数为f'(x),对任意x∈(0，π)都有 >0,lny>0,则lnx)<flny),则lnx<lny,.1<x f'(x)sx>)n,设a=3财君）b=2财母） <y,即y-x>0,所以e->e°=1，A正确，B不正确： 又y-x-1无法确定与0的大小关系，故C,D不正确. c=）,则a,6e的大小关系为 名师点拔： 高夸 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使 名师点拨：利用导数关系构造函数的一些常见 两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数， 结构 并且利用函数的单调性求解。 1.对于不等式'(x)+g(x)>0,构造函数F(x) 【变式训练】 =f八x）+g(x). (2020·全国Ⅱ卷)若2-2<3-37，则( 数 2.对于不等式f'(x)-g'(x)>0,构造函数F(x) A.n(y-x+1)>0 B.In(y-x+1)<0 =f(x）-g(x) C.Inlx -Yl >0 特别地，对于不等式∫'(x)>k,构造面数F(x)= D.Inlx -yl <0 06 f代x)-kx. 题型三通过数值的造具体函数 3.对于不等式f(x)g(x)+f八x)g(x)>0,构造函 例1.已知a号兰=e=22则a,6e的大小 数F(x)=f八x)·g(x) 关系为c<a<b, 4,对于不等式∫(x)g(x)-(x)g'(x)>0,构造函 数F(x)= 〔解折】令)，则f()n,当 x2 g(x)' 5.对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数 e(0,e)时f'(x)>0f八x)单调递增：当xe(e,+x) F(x)=x”·f八x). 时了'(x)<0(x)单调递减a=n2-2h2_n4。 2 4 4 6.对于不等式f"(x)+fx)>0,构造函数F(x)= e'·fx） d).).c)) e 7.对于不等式'(x)+f(x)>0,构造函数F(x) =ea·f八x. >f4)>f八9)，即c<a<b. 题型二通过变量的造具体函数 2.(2021·全国乙卷改编)设a=2ln1.01,b= 例1.若0<，<<1，则 (C)h1.02,c=04-1,则a,b,c的大小关系为b<c<a. A.e2 e"In x2 Inx [解析]b-c=ln1.02-√1.04+1，设f(x)= B.e"e"In 2 -Inx ln(x+1)-√1+2x+1,则b-c=f(0.02),f'(x)= C.2e1>x1e9 12 D.ze"<xe =+2-(x+,当x≥0时，x+ x+121+2(x+1)W1+2x 1=√(x+1)≥√1+2x,f'(x)≤0，f(x)在[0，+) 名师点拨： 上单调递减，所以f0.02)<f(0)=0,即b<c.a-c= 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细 2ln1.01-1.04+1,设g(x)=2ln(x+1)-√1+4x 观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要 +1,则a-c=g(0.01)g'(x)=2- 4 比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调 Fx+121+4 性比较大小， 2[+4-(x+1)1,当0≤x<2时，4x+1= 【变式训练】 (x+1)√1+4x 1.设a=06=2h(d0+e=h则 1 5 2x+2x+1≥√0+2x+1=√(x+1)=x+1,故当 a,b,c的大小关系为 0≤x<2时，g'(x)≥0，所以g(x)在[0,2)上单调递2.实数e,3,m的大小关系为 增，所以g(0.01)>g(0)=0,故c<a,从而有b<c <a. 二、泰勒展开式 1.泰勒公式 若函数f代x)在含有x的开区间(a,b)内有n+1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x 的多项武和-个余项的和到w)+)-)货是.(-户广.-户+中 2！ (）.(x-x)”+R,(x): n! 2.常见的泰勒展开式 068 在泰勒公式中，令x=0,即可得到如下泰勒展开式： 2025 x2x3 nt 0e=1+x+京+有+ 年 度 2)h(x+1)=-号+号++(-1) x2,x3 x2-1 设 (3)sinx=x- *行…+(-1∵2+…g x24-2 衡 ④1-*++(-0·2-2n* 3.泰勒公式的价值 泰勒公式将各种类型的函数（指数函数、对数函数、正弦与余弦函数）与多项式函数联系了起来，这样在局 部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较 大小 例(202·全国甲卷)已知a-动6=m =1-6×6+高×点+()+0× 4sin子，则 (A) 26+(),所以f)<()<),即a<b<c A.c>b>a B.b>a>e C.a>b>e D.a>e>b 解法二：因为6=6m=1-2sm2名，所以6-a [解析]解法一：根据题意，构造函数f(x)=1- 1-2mg费-7-2mg-2信m}4 g)=sxh()=,则a=)b=g） x fx)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0，所以蹈数f八x) c=4)由泰装晨开式)=1-号g()=1-员 在R上单调递增，所以当x>0时，f八x)>(0)=0,即 希+).a4e到1-景++o分}i- 有>血(：>0)成立，所以日>血日，得> 1 1111 44=4an于，所以令 c04 g(x)=anx-,则g'(x)=osx+sinx-1=1-cosx【变式训练】 cos'x cos'x 若a=n个-0.01a,b=0.02sim0.01,c= ≥0，所以函数g(x)在定义城内单调递增，所以当x>0 0.01sin0.02,则 时，g(x）>g(0)=0,即有anx>x(x>0)成立，所以 A.a<b<c B.a<c<b m子>行，即4m子>1，所以云>1，又6>0，所以c C.b<c<a D.c<a<b >b.综上，c>b>a. 温馨提示：复习至此，请完成练案[16 第二课时 导数与函数的极值、最值 知识梳理·双基自测 知识梳理 归纳拓展 知识点一函数的极值 1.f'(x)=0与是f八x)极值点的关系 1.函数的极值 函数八x)可导，则了'()=0是x为f(x)的极值点 (1)设函数f(x)在点x。附近有定义，如果对x。附 的必要不充分条件.例如，(x)=x,∫'(0)=0，但x 近的所有的点，都有(x) f(xo),那么f(x。) =0不是极值点。 是函数八x)的一个极大值，记作f八x)大恤=f(x,):如2.极大值（或极小值）可能不止一个，可能没有，极大 果对x附近的所有的点，都有(x) f(o),那 值不一定大于极小值， 么代x。)是函数(x)的一个极小值，记作八(x)腰继= 3.极值与最值的关系 八x).极大值与极小值统称为极值， 极值只能在定义域内取得（不包括端点），最值却可 (2)当函数f八x)在。处连续时，判别f八xo)是极大 以在端点处取得：有极值的不一定有最值，有最值的 (小)值的方法： 也未必有极值：极值有可能成为最值，非常数可导函 如果x<有f'(x) 0,x>xo有f'(x) 数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取 0,那么f(x)是极大值. 4.定义在开区间(a,b)内的函数不一定存在最大 如果x<x有f'(x) 0,x>有f'(x) (小)值 》 0,那么(x)是极小值， 数 2.求可导函数f八x)极值的步骤 双基自测 (1) 题组一 走出误区 069 (2) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√“或 (3)检验f(x)在方程f'(x)=0的 的符 “”) 号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. 数y=(x)在这个根处取得 :如果在根的左侧 附近为负，右侧附近为正，那么函数y=代x)在这个根 (2)函数的极小值不一定比极大值小 处取得 (3)导数等于0的点不一定是函数的极值点 知识点二函数的最值 1.函数的最值的概念 (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值 设函数y=f代x)在 上连续，在 也不一定是极小值 () 可导，函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大（最 (5)单调函数一定没有极值 () 小)值，叫做函数y=f八x)的最大（最小）值 题组二走进教材 2.连续函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最 2.(选修2PT1改编)如图是f八x)的导函数f'(x)的图 小值. 象，则八x)的极小值点的个数为 3.求函数最值的步骤 设函数y=f八x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 求fx)在[a,b]上的最值，可分两步进行： 3-2 (1) (2) A. B.2 C.3 D.40)处的切线的斜率为2;y=sin2x.其导数为y=2cos2x,满足 (2)因为y=f(x)若为常数函数,则一定有/’(x)=0满足条件. 在(0.0)处的切线的斜率为2;y=2e -2,其导数为y'=2e',满 但不具备单调性。 足在(0,0)处的切线的斜率为2. (3)C(x)=0在(a.b)内有限个不影响y=f(x)的单调性,故 B组能力提升 1. Ay=1nI--1nx.--1 正确: (4)如果函数/(x)在某个区间内恒有/”(x)=0.则此函数/(x) 在这个区间内为常数函数,则函数f(x)在这个区间内没有单 2. D 由y=f'(x)的图象知,y=/(x)在(0.+x)上单调递减,说 调性。 明函数y=/(x)的切线的斜率在(0.+×)上也单调递减,故可 (5)y=nx 1定义域为(0.1)U(1.+*),因此它的减区问为(0. 排除A.C.又由图象知y=f(x)与y=g'(x)的图象在x=xo处 相交,说明y=/(x)与y=g(x)的图象在x=a。处的切线的斜率 1)和(1.+×). 相同,故可排除B. 3.C 设/(3)/(3)-/(2)-(3)-f(2)/(2)分别表示直线n, 2.C 在区间(4.5)上/(x)>0恒成立, 2./(xt)在区间(4.5)上单调递增,故选C. 3-2 3.B 求导得/(s)-x(2-ln2-),令/”(s)>0.即可得出答案. m.I的斜率,数形结合知0/(3)<f(3)-f(2)f(2),故 选C f(x)-2-2”-21n2.2-1h2t(2-1n2.)令 (2) 2 ##} 2 解得0<x 2log.e或无解.故选B. 0123 4.D/(x)=1-cosx,当xe(0,*]时f(x)>0,所以/(x)在(0 4.A 对函数y=xe'求导得y=e+x·e=(1+x)·e.设切点 *]上是增函数,所以/(n)>/(3)>f(2).故选D. 坐标为(x,xe”),则曲线y=xe'过点A(a.0)的切线的斜率k 5.C .ffx)在(1.2)内单调递增,./f(s)>0在(1.2)内恒成立. “(1。)eoo{&。 -化简得-ar-a=0.依题意知,上述关 于x。的二次方程有两个不相等的实数根,所以A=(-a)-4 令g(x)=xe'(1<x<2),则g'(x)=(x+1)e0. x1x(-a)>0.解得a<-4或a>0. .g(x)在(1.2)内单调递增,g(x)e(e.2e?). 5.ABD 设公切线与两曲线的切点,利用导数求得过切点的切线 方程,再由斜率相等、直线在y轴上的截距相等列式,可得a= 式6.C设/(x)=ln(1+x)-x(x>-1).因为/(x)-+ -4(lnx.-1).令g(x)=-4r(lnx-1)(x>0).再由导数求 11= 最值得答案,切线与两曲线y=x-1与y=anx-1的切点分 别为A(x,y.),B(x,y),由y=x-1.得y=2x.由y=alnx- 1.得y'--.则两切线方程分别为y-(-1)-2x.(x-x.)与 0.所以函数/(x)=ln(1+x)-x在(0.+x)上单调递减,在 y-(aln.-1)-(a-)化简得y-2x-1-y-* .故>1n10-1n0.9.即b>c,所以/(-)(0)=0.所 +aln-a-1,又两条切线为同一条,可得 以# 得a=-4(lnx.-1).令g(x)=-4r(lnx 0<en,所以{}故.g(x) laln-a-, -1)(x>0).得g(x)=4x(1-2lnx).当x=(0.e)时,g(x) =x”+ln(1-x)(0<x<1)则g(x)-(x+1),1 >0,g(x)单调递增,当xe(e.+x)时,g(x)<0.g(x)单调 &'-1)+1令(x)=(c2-1)+1.(x)=(r+2x- 递减..g(x)=g(ve)=2e...ae(0.2e].结合选项可得,正 -1 实数a的取值可能是ABD.故选ABD. 1).当0<x<v2-1时,h'(x)<0,函数(x)=e'(}-1)+1单 6.A 解法一:因为y=(2x-1),所以lny=(x+1)ln(2x-1). 调递减,当/2-1<x<1时,'(x)>0.函数h(x)=e(-1)+ 1单调递增,又h(0)=0.所以当0<x<v2-1时,hi(x)<0,所 以当0<x</2-1时,g(x)>0,函数g(x)=xe’+ln(1-x)单 调递增,所以g(0.1)>g(0)=0.即0.1e”)>-ln0.9,所以a> 线y-(2x-1)(+*)在点(1.1)处的切线方程为y c.故选C -1-4(x-1).即y-4x-3. 考点突破·互动探究 考点 解法二:观察过点(1.1)的切线只有A选项,所以选A 考向1 第二讲 导数在研究函数中的应用 例:[解析] 第一课时 导数与函数的单调性 令”(t)0,得8x->0,即)> 知识梳理·双基自测 .1 知识梳理 知识点 令/”(x)<0.得:且x20. 1.可导) 2.定义域) < /(x)>0f(x)c0 ./(x)的单调递增区问为(.+). 双基自测 1.(1)x(2)x(3)V(4)(5)x 单调减区问为(-*0).(0.) [解析](1)有可能/(x)=0,如f(x)=x它在(-×,+x) 上为增函数,但/(x)-t=0. (2)定义城为(0.1)U(1.+). -454- hx-.1 ( /'(x)= 调递减: 由/’(x)>0,解得x>e. 当m0,即1-m<1时,令f'(x)<0得x<l-m或x>1.令 由/(x)<0,解得0<x<e.且x≠1. /'(x)>0得1-m<x<1. -./(x)的单调递增区间是(e.+). 心.f(x)在(-*,1-m)和(1,+*)上单调遂减,在(1-m,1) f(x)的单调递减区间是(0.1),(1.e). 上单调递增. (3)/'(x)-(2+cos x)os x-sinx(-sin x)2osx+1 综上,当m=0时,ffx)在B上单调强减,当m0时,f(x)在 (2+cosx)2 (2+cosx) (-×,1-m)和(1,+x)上单调递减,在(1-m.1)上单调 递增。 考向3 即2k-2-xc2^k-2-(ke z); 角度1 2 例:C 由题,a=2n2ln4 -44 令/'(x)<o.得 cos-. 令#)-(>e),则/(t)-n1. 即2kr+2x 2kn4-(kez). ln封' 因为>e,所以/(x)>0. 因此(x)的单调递增区问为(2k-r-2-,2k-r+2=)(kez). 所以/(x)-为[e,,x)上的增函数, f(x)的单调递减区问为 2kn+2,2h-+4)(ke乙). 又a=/(4),b=f(3),e=/f(e).ec3<4. 故。h<a.故选C. (4)由f(x)=(x-1)e'-”,得/'(x)=e'+(x-1)e-2= 角度2 xe'-2x=x(e*-2). 例:(-×,-)(x) 令/'(x)=0.得x.=0.x.=ln2. 因为x0,所以/'(x)=e+e 当x变化时f'(x)f(x)的变化如下表; -2cos 2x=2e·e-2cos 2x=2(1-cos 2x)=0 (-,) (0.n2) 0 ln2(n2.+x /'(x)在[0.+×)上为增函数, /(x) 又f(t)为偶函数,所以由/(x)>/(): 0 /() 极大值 极小值 得1xl>,解得x-或>。 ) 由表可知,函数f(x)的单调递减区问为(0,ln2),单调递增区 间为(-x,0).(ln2.+x). 故不等式的解集为(-*.-)(*) 考向2 角度3 例:[分析](1)对函数f(x)求导并因式分解得到/”(x)= 例:D[分析]利用函数f(x)=r-lnx在区间(1,+x)上单 (2ax43)(ax-1),根据a>0.x>0,可以判断/”(x)的正负,即 调递增等价于f(x)>0在(1.4)恒成立求解:或利用区间 (1.+;)是f(x)的增区间的子集求解。 可判断出/f(x)的单调性 [解析] 解法一:因为/(x)在(1,+x)上单调递增 (2)根据题意得到函数/(xt)在(0.+x)上没有零点.由(1)可 所以/”(x)=0在(1.+x)上恒成立, 得(x)_=()使/()>o0.即可求出a的取值范围. 因为/(x)=-lnx. [解析](1)/()=a+ax-3lnx+1xe(0,+×). /(x)=2ax+-32x+a-3 因为x>1.所以o1<1. -(2ar+3)(ax-1) 。r 所以&>1.所以&=[1.+x).故选D. 解法二:”(x)=k-x(1>o), .a_0.x0..2ax3o. 一=x 1 当ks0时/”'(x)=k-l<0/(x)在其定义域内递减,不合 当xe(o.)时)'(x)<co; 题意, 高 当x(,)时(t)0. 当★→0时,由/(x)→0知x→士,即(,,)是/(x)的增区 .函数f(x)在(0.)上单调遂减,在(+*)上单调迷增. 间,由题意可知士<1,即k>1,故选D. (2).y=f(x)的图象与x轴没有公共点, 过[引甲] .函数f(x)在(0,+x)上没有零点, (1)ì (2)(-×,0](3)(0.1)(4)(-×.1) 由(1)可得函数/(x)在(o.-)上单调递减,在(士,+*)上 (5)(-~.]u[1.+*) 单调递增.f(x)_(-)-3-31n-3+3lna→0.v Ina{ [解析](1)由解法二知士=1.:k=1: -1.解得. 故实数a的取范围是(,+*) 又x>1..0<1<1.:=0,即k的取值范围是(-×,0]; 变式训练 由题得/(x)--+(m-2)x+1-m (3)由本例及引电(2)知(x)在(1.+×)上单调,则k<0或& [解析] >1../(x)在(1.+)上不单调,则0<k<1.即k的取值范围 是(0,); [x-(1-m)](x-1) 。 -455一 xe(1.+)有解,由0<-<1可知k<1.即k的取值范围是 (2)>2/(1)>4/().即ccacb. (-,1): 3.a<b<c 构造函数F(x)=f(x)·cosx,x*kn,keZ,则x (0.n)时,F(x)=/'(x)cosx-f(x)sinx>0.所以函数F(x)在 (0.*)上单调递增,于是(吾)<F)<F).即3() 若(x)在(1.2)上单调增,则/'(x)-红-1→0恒成立,即k→ <v2/()(),所以a<c. 题型二 立,即士. 变式训练 A 原已知条件等价于2-3<2-3”,设函数/f(x)=2- (x)在(1.2)上单调,则&的取值范围是(-*,][1. 3”.因为函数y=2 与y=-3在R上均单调递增,所以/(x) 在B上单调递增,即/fx)</y),所以x<y,即y-x>0,所以A +x). 变式训练 正确,B不正确.因为lx-yl与1的大小不能确定,所以C.D不 1.C 令函数/(x)-Inx(x→e). 正确. 题型三 变式训练 当x>e时,求导得/'(x)-1-lnxzo. 1.(以下为新换题答案) 则函数/(x)在e,+)上单调递减。 又a-ln3_j(3),6-nf_)(e). 1#() ),所以只要比较x-,-(“00+△10)-1+ (-1+tn .0.()} =(1+0.02)大小即可 令/fx)=e'-(1+sinx)(x>o),则f'(x)=e'-cosx>0. 显然e<3,则有/()<(3)<(e). 所以f(x)在(0,+x)上递增,所以f(x)>f(0),所以e>1+ sinx,所以>1+sin0. 02,即x>y1. 所以c<a<b.故选C. 令g(x)=(1+x)2-, 2.B 由题意,构造新函数g(x)(x),则g(x)/'(x)-f(x) 则g'(x)=1.2(1+x)*-',g”()=0.24(1+x)-*-e 因为g”(x)在(0.+x)上为减函数,且g”(0)=0.24-1<0.所 因为/f(x)>f’(x),所以g’(x)<0,所以函数g(x)在B上单调 以当x>0时,g”(x)<0,所以g’(x)在(0.+x)上为减函数. 递减.因为f(x)+2021为定义在B上的奇函数,所以f(0)4 因为g(0)=1.2-1>0.g'(0.2)=1.2x1.2-1.2 20 2 1=0.所以/(0)=-2021,则g(0)=-2021,所以不等式 e,要比较1.2与e^的大小只要比较ln1.2=1.2ln1. 2 fx)+2021e<0等价于g(x)<g(0),所以x>0.所以不等式 与lne*-0.2的大小, fx)+2021e<0的解集为(0.+x). 令h(x)=(1+x)ln(1+x)-x(x>0),则h'(x)=ln(1+x)+l -1=ln(1+x)>0,所以h(x)在(0.+x)上递增,所以h(x)> (0)=0,所以当xe(0.+x)时(1+x)ln(1+x)>x. 所以g(0.2)=1.2x1.2^-=1.2-0.所以当xe 所以1.2ln1.2>0.2.所以1.2. ·函数f(x)=--3x+4lnx在(1.1+1)上不单调, (0.0.2)时,g(x)>0,所以g(x)在(0.0.2)上递增, ./(x)--x-3+4在(1.1+1)上有变号零点, 所以g(x)>g(0)-0,所以(1+x)>,所以(1+0.02)> “”,所以:>x,所以:>x>y.所以c>a>b. .+3x-4-0在(11+1)上有解, (以下为原重题答案) .x+3x-4=0在(1.1+1)上有解. 0.1).w(x)=-ln(1-x)(0<x0.1).则当0<x<0.1时, 由x+3x-4=0得x=1或x=-4(舍去). .1e(1.t+1)..1e(0.1). (x)>0.v(x)>0.(x)>0. ①设f(x)=ln[a(x)]-ln[v(x)]=lnx+x-[lnx-ln(1- ] 故实数.的取值范围是(0,1). 名师讲坛·素养提升 一、构造法在导数中的应用 (0.0.1]上恒成立.所以/(x)在(0.01]上单调递减.所以 题型一 f(0. 1)</(0)=0+ln(1-0)=0,即ln[a(0.1)]-ln[v(0.1)] 变式练 <0.所以ln u(0.1)]<lnv(0.1).又函数y=lnx在(0. 1.(0.+x)令q(x)=f(x)-sinx.所以当xo时,q(x)= +)上单调递增,所以a(0.1)<t(0.1),即0.1c^②<,所以 f'(x)-cosx<0,所以(x)在[0,+)上单调递减,又f(x)为 R上的奇函数,所以(x)为R上的奇函数,所以(x)在 a<b. (-,0]上单调递减,故(x)在B上单调递减且(0)=0.不 ②设g(x)=n(x)-(x)=xe'+l(1-x)(0<x<0.1).则 1(1-)'-1(o<x=0.1).设h(x) 等式/(x)<sinx可化为/(x)-sinx<0,即(x)<0.即(x) <c(0),故x>0.所以原不等式的解集为(0.+*). 1- 构造函数g(x)-f()(x>0),得g(t)= =(1-)e-1(0<x0.1),则h(x)=(1-2x-x)e'>0在 2.c<< (0.0.1]上恒成立,所以h(x)在(0.0.1]上单调递增,所以h(x) ”(x)-(x)-[(x)].当x>0时,g”(x)>0.故{ $(0)=(1-0)·e-1=0.即g'(x)>0在(0.0.1]上恒成 立,所以g(x)在(0.0.1]上单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0· e*+ln(1-0)=0.即g(0.1)=(0.1)-(0.1) 0.所以 8(s)在(0.×)上单调增,所以2)(1)() ## _即 0. 1e*,-ln0.9.即a>c.综上,c<a<b. 2.<<3”设/(x)-ln,则/'(x)-1-1n,当x>e时, -456- f'(x)<0,所以/(x)在(e,+)上单调递减,所以/(3)>f(). 单调性解不等式判断CD.对于A.因为/f(x)>1.所以/(x)为增 即ln3,ln“.所以mìn3>3ln-,所以ln3”lnn',即3”>r. 函数,故A正确;对于B,由g(x)=f(x)-x,g'(x)=f(x)-1> 3= 0.所以g(x)为增函数,故B正确;对于C.f(3)=4.则/(2x-1) 因为y=”在(0. x)上单调递增,e<π,所以e<,所以e >4等价于f2x-1)>f3),又ffx)为增函数,所以2x-1>3 <n3”. 解得x>2.所以f(2x-1)>4的解集为(2.+x),故C错误;对 二、泰勒展开式 于D.f2x-1)>2x等价于f2x-1)-(2x-1) 1=f3)-3. 变式练 即g(2x-1)>g(3).又g(x)为增函数,所以2x-1>3,解得x B 易知a=ln1-0.0l*{<ln1=0.而$0.c0.当x0$$ >2.所以/(2x-1)>2x的解集为(2.+x),故D正确.故 时,由奉勒公式展开,得6=0.02sin0.01-0. 02 0. 01-(001) 选ABD. 10. AD 设f(x)-ln(x>o),则/(x)-1-ln,所以当o<xce 3 o()-2x10- 时/”(x)>0.函数/(x)单调递增; 0.01(0.02-(0.02)(x)-2x10--8x10-+o(). 当x>e时f'(x)<0.函数/(x)单调递减 因为<2<e.所以/()</(2). 即21331n2.故选项A正确; 练案[16] 因为23<e所以/(2)(③). A组基础巩固 即/②ln3>3ln2.故选项B不正确; 1.Cf(x)的定义域为(0.+x). 因为e<4<5. /'(x)=1+nx. 所以f(4)>/f5).即5ln4>4ln5. 故选项C不正确. 同理e<n.则/(e)>/(n),即n>elnn,故选项D正确 所以(t)的单调减区间为(0.). 11.BD 由导函数的图象可知,导函数 /'(x)的图象在:轴下方,即/'(x) 2.D因为/(x)=x(e-e”),xeR,定义域关于原点对称,且 <0.故原函数为减函数,并且递减 f-x)=-x(e-e')=x(e-e”)=f(x),所以f(x)是偶 的速度是先快后慢,所以ffx)的图 函数, 象如图所示:f(x)<0恒成立,没有 当xo时,f'(x)='-e”+x(e’+e”')>0. 依据,故A不正确;B表示(x一 所以/(x)在(0.+x)上单调递增. .)与[/(x)-f(x.)]异号。 3.A/(x)=x- 即/(x)为减函数.故B正确; C.D左边的式子意义为t,中点 fx)的单调递减区间是(0.3],所以0<a-1<a+1<3,解得1 对应的函数值,即图中点B的纵坐标值。 <a52.故选A. 右边式子代表的是函数值的平均值,即图中点A的纵坐标值 4.D/(x)的定义域是(0.+x). 显然有左边小于右边,故C不正确,D正确. f(x)-1-ln,令/”(x)=0.得x=e. {12.[-.)函数)(x)-xin(-x)的定义域为(-×,0))'(s) 所以当xe(0.e)时/'(x)>0./(x)单调递增,当xe(e.+x) =ln(-x)+1,令/'(x)s0.解得-士<x<0,所以函数/(x) 时,/’'(x)<0Jf(x)单调递减,故当x=e时f(x)=/(e)= 的单调递减区间是[--,o). 而/(2)-2n8./(3)-3-h9. #,所以/(e)>/(3){ 13.(-×,0]由单调性可知/(x)=0在(0.+x)上恒成立,采 >/(2). 用分离变量法可得2a三x{}42x,由二次函数的最值可求得a的 $.A 由题意,得/(2)=(2a-1)e=2a-1f'(x)=ae }+(x- 1) -(a+a-1)./'(2)-3a-1.3-(2a-1)-3a 范围.f(x)在(0,+x)上单调递增.:./'(x)=x42-2a→o 3-2 -1,得a=1.:.f(s)=(x-1)e-}f'(x)=re ).x>0时, 在(0.+)上恒成立,即2a}+2x在(0.+)上恒成立; 又当x>0时,x+2x>02a50.解得:a50.实数a的取 f'(x)>0.:.f(x)的单调递增区间是(0.+×). 值范围为(-2.0]. 6.D 令g(x)=f(x)-3x-6. 14(-1.1)因为/f(x)=x(2-2)x=R.所以f-x)=(-x)· 则g'(x)=f(x)-3<0. (2-2)=x(2-2”)=f(x),则/(x)为偶函数,又因为f$(x) 所以函数g(x)在R上单调递减, -2-2+xln2(2+2).当x>0时f(x)>0.则/(x)单调 g(-2)=/-2)-3x(-2)-6=0. 递增.又因为(0)-0.(1)-2--,由2/(x)-3<o可得 由g(x)<0eg(x)<g(-2),则x>-2 7.A xe(-×.0)时,”(x)>0即f(x)<0. fx)<f(1),所以lxl<1,解得-1<x<1,即不等式的解集为 2./(x)在(-*,0)上单调递减,又/(x)为偶函数. (-1.1). ./(x)在(0.+x)上单调递增. 15.[解析] (1)f'(x)=(2x+a)e -(x+ax+b)e= .f(3)<f(4)<f(5).f-3)<f(4)<ff-5),故选A [-x+(2-a)x+a-b]e”..f'(0)=a-b,又f(0)=b, 8.B 令/(x)-lnx+1,则/'(x)--ln令/'(x)>0.解得0<x 心.曲线y=ffx)在(0.f(0))处的切线方程为v-b=(a-b)x 文。 1 即(-b)x-y+b=0. <1.所以/ft)在(0.1)上单调递增. 行 令f(x)<0,解得x>1.所以/(x)在(1.+)上单调递减。 1=-5. (2)由(1).得/(x)=(x”+x-5)e'*,x=R 4 /(x)=(-+x+6)e=-(+2)(x-3)e 当x<-2或x3时f(x)<0: n 因为1<e<n<4,所以/(e)>f(π)>f(4),即b>c>a.故选B 当-2x<3时f(x)>0. 故/f(x)的单调递增区间为(-2.3),单调递减区问为(一*, 9.ABD 利用导数与函数的单调性的关系可判断AB,利用函数的 -2)和(3.+x). -457-