2.8 函数与方程-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

名师讲坛·素养提升 利用数形结合思想解题 受+2×受=m故选B 函教仁=子+1=文上构 解法二：特例：令f八x)=x+1,则m=2,又y1+为 =2,∴选B. 一个单位得到，关于(0,1)点对称 名师点拨： 函数y二f(x)关于点(0,1)对标 求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结 合思想解题，其思维流程一般是： 例 (2016·课标lL,12)已知函数fx(x∈R 满起f--2-f,若函数=生与y=树 通过作图法或函数图象变换法画出有关！ 画图 函数的图象 图象的交点为(x).(化2》.，xmm, 准确分析函数图象的特征，定性分析、定 烟三任加 (B) 二分析 量分析 4.0 B.m C.2m D.4m 借助函数图象，把原问题转化为数量关系 三转化 令标出通数后和=生的图象都关 比较明确的间题 050 于点(0,1)对称，进而得两函数图象的交 :解块问题，并回归题目的要求，得出正确 四结论 点成对出现，且每一对交点都关于点(0， 结论 2025 1)对称，从而特出结论 【变式训练】 函数y=lnlx-1I的图象与函数y=-2csmx(-2 度 [解析]解法一：由f(-x)=2-f(x)可知f代x) ≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于() 新 A.3 B.6 C.4 D.2 计 的图象关于点(0,1)对称，又易知y=华：1+士的 温馨提示：复习至此，请完成练案[12] 图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出 现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，宫（无+） 第八讲 函数与方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 3.函数零点的判定（零点存在性定理】 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 知识点一函数的零点 不断的一条曲线，并且有 ,那么函数y=f(x) L.函数零点的定义 在区间(a,b)内有零点，即存在ce(a,b),使得 对于函数y=f八x)(xeD),把使 成立的 ,这个c也就是方程f代x)=0的根 实数x叫做函数y=代x)(x∈D)的零点 知识点二二分法 注：函数的零点不是点.是函数代x)与x轴交点的 1.对于在区间[a,b]上连续不断且 的函 横坐标，而不是y=(x)与x轴的交点 2.几个等价关系 数y=八x),通过不断地把函数八x)的零点所在的区间 方程f八x)=0有实数根一函数y=(x)的图象与 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而 有交点一函数y=f(x)有」 得到零点近似值的方法叫做二分法 2.给定精确度6，用二分法求函数f(x)零点近似 (2)函数y=f代x)的零点就是方程f代x)=0的实根 值的步骤如下： () (1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精 (3)函数y=f八x)在区间(a,b)内有零点（函数图象 确度6； 连续不断)，则f(a)·f代b)<0. () (2)求区间(a,b)的中点c: (3)计算fc): (4)若f代x)在区间[a,b]上连续不断，且f八a)·f代b) ①若f八c)=0,则c就是函数的零点： >0,则/(x)在(a,b)内没有零点 2若f(a)·f(c)<0,则令b=c (5)函数y=f八x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅 (此时零点o∈(a,c)): 有一个零点 () ③若f八c)·f八b)<0,则令a=c (6)函数y=2与y=x2只有两个交点. () (此时零点xoe(c,b) 题组二走进教材 (4)判断是否达到精确度8，即：若Ia-b1<￡，则 得到零点近似值a(或b):否则重复(2)(3)(4). 2.（必修1PT1改编)下列函数图象与x轴均有交点， 其中不能用二分法求图中的函数零点的是( 归纳拓展 L.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数(x)在定义域上是单调函 数，则(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函 3.(必修1PT2改编)(2022·天津南开中学模拟)函 数值保持同号. 数y=nx- 2的零点所在的大致区间是 ()】 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变 号，也可能不变号 A(日 B.(1,2) 华在m商 C.(2,e) D.(e,+x) 所示.所以f(a)·f八b)<0是y=f(x)在闭区闻[a, 4.（必修1PsT2改编)函数y=f(x)的图象是一条连 b]上有零点的充分不必要条件.事实上，只有当函数 续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的 总 图象通过零点（不是偶个零点）时，函数值才变号， 零点个数至少为 即相邻两个零点之间的函数值同号. 1 2 5 (5)若函数f八x)在[a,b]上单调，且f八x)的图象是连 3 6 学 续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0台函数f(x) 126.1 15.15 -3.9216.78 -45.6 -232.64 在[a,b]上只有一个零点。 A.2 B.3 2.二次函数y=ax2+br+c(a>0)的图象与零点的 C.4 D.5 关系 5.（必修1P6T2改编)（多选题）用二分法求方程f八x) 4>0 4=0 4<0 =0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0, 二次函数 f代0.75)>0f八0.6875)<0，则方程的近似解为（精 y=ax'+bx+e 确度0.1) (a>0)的图象 A.0.625 B.0.75 与x轴 (x1,0), (x0) 无交点 C.0.6875 D.0.65 的交点 (0) 题组三走向高考 零点个数 两个零点 一个零点 无零点 6.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点 双基自测 的是 () A.y=cos x B.y =sin x 题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 C.y=In x D.y=x2+1 “×”) 7.方程l0g2(x+4)=3”的实根的个数为 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 A.0 B.1 C.2 D.3 ( 考点突破·互动探究 考点 【变式训练】 函数的零点 rx2-2x,x≤0. 考向1确定函数雾点所在区间一自主练透 1.已知函数f八x)= 则函数y=f八x)+3x 例1.(2022：天津一模)函数)=e+2:-6的零 1+ tt>0. 点所在的区间是 的零点个数是 () A.(3.4) B.(2.3) A.0 B.1 C.2 D.3 C.(1,2) D.(0,1) 2.设函数(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， 2.(多选题)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)· f(x)=e+x-3,则f八x)的零点个数为 () (x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的零点所在 A.1 B.2 C.3 D.4 区间为 吉向3函数零点的应用—一昌维探究 A.(-0,a) B.(a,b) 角度1与零点有关的比较大小 C.(b,e) D.(c,+e) 3.已知函数f八(x）=logx+x-b(a>0,且a≠1). 例已知函数)=2+x,8()=x-g4x,h()= 当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点∈(n,n+ 10唱x一压的零点分别为1,2，，则，2,3的 1),neN',则n= 大小关系为 () 名师点拔：确定函数零点所在区间的方法 A.x>x>x B.>> 1.解方程法：当对应方程八x)=0易解时，可先解 C.x1>>x2 D.>x>x 方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上 角度2 已知函数的零点或方程的根求参数 052 2.利用函数零点的存在性定理：首先看函数y= f八x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有 例1.若函数/(x)=2-2 -a的一个零点在区间 2p25 f八a)·f八b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内 (1,2)内，则实数a的取值范围是 () 年 必有零点. A.(1,3) B.(1,2) 度 3.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴 C.(0,3) D.(0,2) 新 在给定区间上是否有交点来判断· [12x+31-1-m,x≤0若函数 计 喜向2函数零点个数的确定—师生共研 2.设函数f八x)= lIn x-m,x>0. 例1.函数x)= x2+x-2,x≤0， 的零点个数为 八x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为 .-1+nx,x>0 中 [引申1]本例2中函数∫(x)变为“f(x)= A.3 B.2 C.7 D.0 r2-1-m(x>0),”,问题不变 -x2-2x-m(x≤0】 2.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当 xe[-1,1]时f(x）=2H-1,则函数g(x)=f八x) gx的零点个数是 A.9 B.10 C.11 D.18 名师点拨：函数零点个数的判定有下列几种 方法 1.直接求零点：令八x)=0,如果能求出解，那么有 几个解就有几个零点 2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在 [引申2]本例2条件变为“若f(x)恰好有2个零 [a,b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0,还必须结 点”，求实数m的取值范围。 合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多 少个零点. 3.数形结合法：利用函数y=f代x)的图象与x轴的 交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数 图象交点个数问题.画两个函数图象，看其交点的个数 有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个 不同的零点 名师点拨： 营点 1.比较零点大小常用方法： 二分法及其应用一自主练透 (1)确定零点取值范围，进而比较大小 例1.用二分法研究函数八)=+3x-1的零点时， (2)数形结合法。 第一次经计算f八0)<0(0.5)>0，可得其中一个零点 2.已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的 To E ,第二次应计算 方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过 2.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似 解不等式确定参数范围。 解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数信 判定该根所在的区间为 域问题加以解决 3.在用二分法求方程x2=2的正实数根的近似解 (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角 (精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4， 坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解， 1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是 【变式训练】 1.(角度1)(2023·安辙蚌埠月考)已知函数(x)=3 +x,g(x)=logx+x,h(x)=x3+x的零点依次为a, 名师点拨： b,c,则a,b,c的大小关系为 ( 1,用二分法求函数零点的方法：定区问，找中点， A.a<b<c B.a<c<b 中值计算两边看，司号去，异号算，零点落在异号间.周 C.a>b>e D.c>a>b 而复始怎么办？精确度上来判断。 2.(角度2)(2018·课标全国I)已知函数f(x)= 2.利用二分法求近似解需注意的问题 n,>0.8(x)=)++a.若g(x)存在2个零 fe',x≤0， (1)在第一步中：①区问长度尽量小：②a)f八b) 点，则a的取值范围是 ( 的值比较容易计算且f八a)·f八b)<0. A.[-1,0) B.[0.+x) (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函 靶 C.[-1,+9) D.[1,+e) 数的零点与相应方程的根是等价的. 名师讲坛·素美提升 数 一、嵌套函数的零点问题 053 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设 中间函数为1，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解 例1.已知)= [lg xl,x>0 2.(2024·山东省实验中学诊断)已知函数(x》 2m,x≤0， 则函数y=2(x） Ex-1 *>0 3f(x)+1的零点个数为5· 则函数y=f[(x)+1]的零点个数 [解析]令2(x)-3x)+1=0,解得f(x)=1 x2+2x,x≤0 是 (D) 或)=子，作出)的简图： A.2 B.3 C.4 D.5 +1,x>0, [解析] 令1=f(x)+1= finx-1 [(x+1)2,x≤0. 当t>0时f(t)=nt- 则函数f(t)在(0，+)上单调递增， 因为1)=-1<02)=h2->0, 由图象可得当)=1或()=2时，分别有3 所以由函数零点存在定理可知，存在1∈(1,2)， 使得f八41）=0： 个和2个交点，则关于x的函数y=2(x)-3(x)+1 当1≤0时)=2+21， 的零点的个数为5. 由f八t)=2+21=0,解得2=-2,43=0. 作出函数1=f八x)+1的图象，直线1=4,1=-2，【变式训练】 【=0如图所示， 1.已知函数f(x)= r+1,x≤0：则函数y=f(x)门- ogx,x>0. 1的零点个数为 () A.3 B.2 234 C.0 D.4 t=-2 2.(2023·河南名校联考)函数f(x)= [lg xl,x>0, 由图象可知，直线(=41与函数1=八x)+1的图象 1-x2-2x+3,x≤0 则函数g(x)=3[八x)]2-8x) 有两个交点； +4的零点个数是 () 直线1=0与函数1=(x)+1的图象有两个交点； A.5 B.4 直线t=-2与函数t=f八x)+1的图象有且只有 一个交点 C.3 D.6 综上，函数y=f[八x)+1]的零点个数为5. 二、菡数零点的综合问题 例(2022·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的偶 由图可知，函数f(x）与g(x)的图象在区间[-3， 函数满足2-x)=f(x),当0≤x≤1时，f(x)= 5]上有8个交点，且关于直线x=1对称， 。-1,则方程八x)=x在区间[-3,5]上所有 1 所以方程八x)=x-1在区间[-3,5]上所有解 解的和为 (A) 的和为4×2×1=8，故选A A.8 B.7 C.6 D.5 名师点拨： 054 [解析]因为函数f八x)满足f(2-x)=f(x),所 以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相 以函数代x)的图象关于直线x=1对称， 2025 关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数 又函数f(x)为偶函数，所以f(2-x)=f(x) 学知识及其联系，快速解决该问题。 年 =f-x〉）， 度 所以函数f代x)是周期为2的函数， 【变式训练】 新 (2024·山西五校联考)已知函数∫(x)= 又g(x)=1x一1的图象也关于直线x=1对称， -2x,x≤0， 计 若函数g(x)=f八x)-一a恰有三个互不 作出函数八x)与g(x)在区间[-3,5]上的图象， -x2+x,x>0, 潮 如图所示： 相同的零点x,x,则x的取值范围是() A(00 a(-i6 c(.) .(. 温馨提示：复习至此，请完成练案[13】 第九讲 函数模型及其应用 知识梳理·双县自测 知识梳理 二次函数模型 /八x)=ar2+r+c(a,b,c为常数，a≠0) 知识点函数模型及其应用 f(x)=ba+(a,b,e为常数，b≠0，a>0 指数函数模型 1.几类常见的函数模型 且：≠1) 函数模型 函数解析式 f八x)=lgx+c(a,b,c为常数，b≠0，a> 对数函数模型 次函数模型 八x)=ax+b(a,b为常数，a≠0) 0且a≠1) 反比例函数模型 x)=点+b(k,b为常数且k≠0) 幂函数模型 f八x)=ar+(a,b为常数，a≠0)所以周期T=2」 当x∈[0,1门时八x)=x,且x)为偶函数. 在同一个坐标系中画出函数y=八x)的图象与函数y=gJx「 的图象，如图所示： B组能力提升 1.D解法一：设代x)=2im2x,则f八-x）=2-in(-2x)= -10 -2in2x=-x),所以函数《x)为奇函数，其图象关于原点 对称，放排除A,B:当xe(0,）时(x)=2im2x>0,当xe 显然函数y=f代x)的图象与函数y=gx的图象有4个交点， 故选C (受，时x)<0,故排除C故选D 又ABD由图可每d=2,即a=2y=a”=(兮)单调递减且图 解法二：当xe（-受0)时，2“>0.m2x<0,所以y= 象过点(-1,2)，故A正确：y=x"=x1为偶函数，在(0，+) 上单调递减，在(-g,0)上单调递增，故B正确：y=m=2 2“m2<0,故排除A.B:当xe(受时，2“>0.sin2x<0, 三)：≥0，为偶函数，结合指数函数图象可知C错误：y=2 y=2sin2x<0,故排除C.故选D. 函数①y=x·sinx为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是 log.xl▣1gx,根据“上不动，下翻上”可知D正确。故 第→个函数图象，从而排除选项C,D:对于函数④y=x·2,因 选ABD 为y'=2(1+x山2)，当x>0时，y'>0,函数单调递增，所以函 10.AC由题意可知，函数x)的定义域为R.且x)=4-1 数④y=x·2”对应的是第二个函数图象：又当x>0时.函数③ 2 =x·1sx≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B, 2-2“-x)=2-2=-八x),所以函数x)为奇函数 选A 又因为y=2是增函数，y=2是减函数，八x)为增函数.故 选AC 3A因为函数)=m(x+石）的图象关于x轴上的点(e,0) 11.AC万(x)=logx2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不 对称后得到的仍然为三角函数，值域仍然为[一1,1]，故A正 是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与(x)的图象 确：因为f八x)=x-21x|的值域为[-1，+)，关于原点对称 重合，故排除选项B、D:f(x)=log(2x)=1+log2x,将f5(x)= 后的函数为f八x)=-x+21x「，值域为(-，I门，所以B错误： 1g:(x+2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位长度得到y= 尺x)=2'一1的值为（一1，+），关于x轴对称后的值域为 og:x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到f(x) (-x,1),所以C错误x)=l唱x的值城为Rx)=l唱x关 =唱(2x)=1+gx的图象，可知选项A是“同形”函数：将 于y=x对称的函数为f(x)=lgx的反函数，即y=2”值域为 (x)=1g:(x+1)的图象沿着x轴向右平移一个单位长度得 (0,+),所以D错误. 到y=lg,的图象，再沿着y轴向上平移一个单位长度可得到4.ACD由题意知(x)必须满足两个条件： 4(x)=g(2x)=1+gx的图象，可知选项C是“同形”函 ①f1)=0,2f1+x）=-f代1-x). 数，故选AC 对于选项A,C,D八I)均不为0，不满足条件： 12.(3,1)由于函数y=八4-x)的图象可以看作y=八x)的图象 先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，」)关于 对于选项B1)=e°-e°=01+x)=r-e 八1-x)=e-e=-f八1+x).故选ACD. y轴对称的点为(-1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可 推出函数y=代4-x)的图象过定点(3,1). 51)=2=a+二子关于点1@)对称放a=1 x-1 13.(-2,-1)U(1,2)x)<0 6.1由图象可知不等式-2<f爪x+)<4 ,x和八x)异号 由于八x)为奇函数，补齐函数尺x)的图象如图 即f八3)<f八x+)<f八0). 又y=x)在R上单嗣递减。 ∴，0<x+1<3,不等式解集为(-t,3-1) 依题意，1▣1. 第八讲函数与方程 知识梳理·双基自测 当xe(-2,-1)U(0,1)U(2,+x)时fx)>0 知识梳理 当xE(-,-2)U(-1.0)U(1.2)时，f八x)<0 知识点一 ∴，不等式x)<0的解集为(-2，-1)U(1,2) .f八x)=02.x轴零点3.fa)fb)<0fe）=0 14.xx≥1画出y=2-x,y=log(x+1)的图象如图所示，由】 知识点二 图可知.解集为xx≥1 1.fa)fb)<0 一分为二零点 双基自测 y-l0g+1) 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)×(6)× [解析](1)函数的零底是函数耐象与x轴交点的横坐标 (2)函数y=八x)的零点就是方程八x)=0的实根， (3)函数图象若没有穿过x轴，则f八：)·f八b)>0 21 (4)若在区可[a,b]内有多个零点尺a)·f八b)>0地可以. (5)八x)=2'在R上单洞递增没有零点. 1-2 (6)y=x2与y=2”在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如 =2-x 在x=2和x=4处都有交点. 15.1-1U(0,+)在同一平面直角坐标系内作出函数y=x2.C对于选项C,由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号 -21x的图象和直线y=m,可知当m>0或m=一1时，直线 是相同的.故不能用二分法求解。 y=m与函数y=x2-2引x的图象有两个交点，即函数fx)=x -21x1-m有两个零点 3.Cy=x)=lnx-2的定义域为(0，+)，因为y=nx与y -445 。-2在(0.+)上单调递增，所以)=hx-2在(0,2C)=心+-3在(0，+)上为增函数（宁）=e-哥 +如)上单调递增，又f1)=ln1-2=-2<0f(2)=n2-1< <0,f(1)=e-2>0,∴f代x)在(0，+)上只有一个零点，由奇 0e)=lne-2=1-2>0,所以2)e)<0,所以x)在 函数性质得八x)在(-x,0)上也有一个零点，又八0)=0，所以 f八x)有三个零点，故选C. (2.e)上存在唯一的零点.故选C. 考向3 4.B由表可知2)3)<03)4)<04)5)<0，所以函角度1 数八x)在区间[1,6们上至少有3个零点， 例：D由fx)=2+=0,g(x)=x-lg号x=0,h(x)=lgx- 5.BC根据10.75-0.68751=0.0625<0.1.判断区间0.6875 =0,得2'=-x,x=g是x,g2x=乐，在平面直角坐标系中分 0.75]内的任何一个值邵可作为方程的近似解.因为f(0.625) <00.75)>0,计算0.625，+0.75=0.6875.且f0.6875)< 别作出y=2与y=-x的图象：y=x与y=l料x的图象；y= 2 g2与y=√x的图象，由图可知：-1<x1<0,0<x2<1,x3>1, 0.计算10.75-0.68751=0.0625<0.1.所以区间[0.6875 所以x3>1>x, 0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解，故可选方程的 一个近似解为x=0.75或0.6875.故选BC. 6.Ay=0sx是偶函数且有无数多个零 点，y=sinx为奇函数，y=nx既不是奇 函数也不是偶函数，y=x°+1是偶函数 但没有零点，故选A. ■ngrt4 3 x 7.C在同一平面直角坐标系中作出函数 y=log(x+4)与y=3"的大致图象，如 图.由图象可观察出两个函数图象共有 两个不同的交点，故方程g(x+4)=3有两个根 考点突破·互动探究 考点1 考向1 例1：C易知f八x)=e+2x-6是R上的增函数.且f(1)=e-4 3-2-1 <0,f2)=e2-2>0. 所以1)2)<0. 所以八x)的零点所在的区间是(1,2) 例2：BC易肌a)=(a-b)(a-c)Jb)=(b-c)(b-a),(c) 角度2 =(e-a)(e-b),又a<b<e,则/a)>0.b)<0./e)>0 又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别 例1：C因为函数x)=2-2-a在区间(1,2)上单调递增，且 位于区间(a.b)和(b,c)内，故选C 例3：2因为2<a<3<b<4. 函数)=2-2-a的一个零点在区间(1,2)内，所以 所以0<log2<1,og4>log3>1 f1)·f2)<0.所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0. f八2)=l0g.2+2-b<3-b<0. 解得0<a<3. f3)=lg3+3-b>4-b>0. f八4)=g.4+4-b>0, 例2：(-1,2]由题意，设函数g()=24+31-1x≤0， Tn x,x>0, 所以2)·f3)<0,∈(2,3).所以函数f(x)的零点∈ 令f八x)=0,即g(x)=m, (n.n+1)时.t=2. 所以间题转化为函数y=g(x)与y■m的图象有3个交点， 考向2 在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示， 例1：B解法一：（直接法）由(x)= 结合图象可知，当-1<m≤2时，函数g(x)与y=m的图象有 0得 y=f国 3个交点，故实数m的取值范围为(-1,2】 02=00n0 [x≤0， 4 解得x=-2或x=化 因此函数(x)共有2个零点 解法二：（图象法）函数八x)的图象如图所示，由图象知函数 f八x)共有2个零点： 例2：B由函数y=八x)的性质，画出函数y=八x)的图象，如图 再作出函数y=gx的图象. [引申1] 个AA本人 [解析] -3-1O135791011 作g=200的图泉如图所示 = 由图可知，y=八x)与y=gx共有10个交点，故原函数有 10个零点. 变式训练 一=用 x+x,x≤0 1.C由已知得y=x)+3x= 2-10 11++3x,x>0 令2+x=0,解得x=0或x=-1.令1+1+3x=0(x>0)可得 由于函数八x)=g(x)-m有3个零点，结合图象得0<m<1, 即m∈(0,1). 3x+x+1=0.因为4=1-I2<0,所以方程3r+x+1=0无实 [引申2] 根.所以y=八x）+3x的零点个数是2 [解析]由例题知m=-1或m>2时，(x)恰好有2个零点， 即实数m的取值范围是-1U(2.+0), -446 变式训练 二、函数零点的综合问题 1.B解法-：f八-1)=3-1=-子0)=1，心4e 变式训练 A解法一：显然x≤0时，-2x=a,有一根不妨记为，1，则x,= (-1.0.又（兮）-+=-子）=16e 受(u≥0)，当x>0时-2+r=a即2-x+a=0有两个不 (行，小显然e=0a<e<6,故选B 等正根，不妨记为南，则4=1-4知>0，即a<},从而-2e (6且==-号（0）故选A 解法二：作出y=f代x)及y=a的图象，显 然0<a<,不妨设，<<，显然 <0,2>0,x>0,x12<0排除C 解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y=3、y=g D:又当名趋近与时5趋近子与趋 y=-x的图象，结合图象及e=0可知a<c<b,故选B. 解法三：由概念知b>0,a<0,c=0.b最大，选B. 近名，故山趋近京故选人 2.C本题是已知零点个数求参数范佩.函数 g(x)=f八x)+x+a存在2个零点，即关于 练案[13] x的方程fx)=-x-a有2个不同的实根 A组基础巩固 即函数y=(x)的图象与直线y=-x-a 有2个交点，作出函数(x)的图象，并平移 2-1o 1.D因为I)·f2)·4)<0,所以/1)2)(4)中至少有 一个小于0. 直线y=-x,如图所示，由图可知，当且风 若爪1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点： 当-≤1，即a≥-1时，函数y=f八x)的图 若八2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点： 象与直线y=-x-a有2个交点，故选C 若八4)<0，则在(0,4)内有零点.故选D. 考点2 2.B通过构造函数法，结合函数的单调性以及零点存在性定理 例1：(0,0.5)f0.25)因为0)<0.f(0.5)>0,由二分法原 求得正确答案.由nx=4-2”得2'+lnx-4=0,设f八x)=2”+ 理得一个零点。e(0.05):第二次应计算/（心9） nx-4,则fx)在(0，+x)上单嗣递增1)=-2<0(2)= n2>0,所以f代x)的唯-零点在区间(1,2)，即方程nx=4-2 f0.25). 的解所在的区间为(1,2).故选B. 例2（号2）区间1.2）的中点与=子，令)=2-2x-1 3.D当x≤1时，令八x)=2”-1=0,解得x=0: 当x>1时，令fx)=1+lgx=0, )是 -4<0,f(2)=8-4-1>0,则根所在区间 解得x=子 为32 又因为x>1,所以此时方程无解 综上，函数八x)的零点只有0. 例3：7设至少需要计算m次.由题意知5，-L.4<0001,即2 4.C结合图象可得A,B,D选项每个区间的两个端点函数值异 2 号，可以用二分法求出零点，故选C >100.由2=64.27=128，知n=7. 5.B函数f八x)=2simx-sin2x.在[0,2r]的零点个数即2inx- 名师讲坛·素养提升 sin2x=0在区间[0,2r]的根的个数 一、嵌套函数的零点问题 h(x)=2sin x.g(x)=sin 2x. 变式训练 画出两函数在区间[0,2r]的图象（图略），可知h(x)=2nx和 1.Ay=几/x)]-1=0,即/几f八x)]=1, g(x)=sin2x在区间[0.2π]的图象的交点个数为3.故选B. 当fx)≤0时x)+1=1,即八x)=0时，此时gx=0,计算 6.A首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断所 得出x=1,或者x+1=0,计算得出x=-1. 在区间，最后根据高斯函数的定义计算可得.因为y=gx与y 当f代x)>0时，logf尺x)=1.即f八x）=2时，若x+1=2,计算得 3 3 十在(0，+x)上单调递增，所以f八x)=gx中在 出x=1(舍去)，若logx=2,计算得出x=4.综上所述，函数y= 几八x)】-1的图象与x轴的交点个数为3.故选A (0,+)上单调递增，又3)=城3-名=1-子=>0， 2.D函数g(x)=3[fx)]2-8/(x)+4=[3/x)-2][fx)-2] 3 的零点，即方程)=子利)=2的根。 2)=lg2-2本=lg2-1<0,所以fx)在(2.3)上存在唯 零点0，即∈(2,3)，所以[]=2故选A -子-2x+3,x≤0的图象如图所示， [lgxl.x>0. 函数八x)= 7.A画出函数八x)的大致图象如图所示 因为函数(x)在R上有两个零点，所以 八x)在(-3,0]和(0.+3)上各有一个 零点.当x≤0时.八x)有一个零点，需0< 4≤1：当x>0时，八x)有一个零点，需-a <0.即a>0.综上，0<a≤1. 8.A(1)令t=f八x)=x2-11(1≥0).则 原方程可化为r-1+k=0.作出(x) =1x-1的图象如图所示，结合图象 可知： ①当>1或=0时，方程t=1x2-1川 由图可得方程)=子和)=2共有6个根。 有2个不同的实数解： ②当▣1时，方程1=x2-11有3个不 即函数g(x)=3[fx)]-8x)+4有6个零点 同的实数解： 447