2.7 函数的图象-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

对于C,若将信燥比氵从25提升至1023，则数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和 数学运算能力： W1og21+1023)）-1 log,210 【变式训练】 mg(1+255) ,所以c x一1=8一1=1 8 (2021·全国甲，4)青少年视力是社会普遍关注的问 增加了25%，所以C正确； 题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法 对千D,若将信煤比从99提开至49，则 和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L WMog2(1+4999) 1og5000 和小数记录法的数据V满足L=5+gV.已知某同 -1= lg5000 W1og(1+999) -1=j0g,1000 lg1000 学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数 g5+3-1=g5≈0.233，所以D正确 记录法的数据为(010=1.259) 3 3 A.1.5 B.L.2 名师点拨： C.0.8 D.0.6 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活 运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数 温馨提示：复习至此，请完成练案[山 的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对 第七讲 函数的图象 知识梳理·双基自测 046 知识梳理 5.翻折变换 y=x)去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象 225 知识点函数的图象 将y轴右边的图象酶析到左边 1.利用描点法作函数图象的流程 y= 年 度 留下x轴上方图象 确定两数的定义域 y=/(x) 将：轴下方图象翻折上去了三 新 化简 化简函数解析武 计 刊论俩数的性质〔单淌性、奇偶性、周期性、对称性 归纳拓展 除考虑点的般性外，尤其姕注意特妹点，如虹！ 1.函数对称的重要结论 中 (列表 与坐标轴的交点、顶点、墙点、最（极）值点、 对称点等 (1)若f八m+x)=f(m-x)恒成立，则y=f(x)的图 点 画出直角坐标系，准确描出表巾点 象关于直线x=m对称 连线) 用光滑的曲线连接所描点 (2)设函数y=f八x)定义在实数集上，则函数y=八x 2.平移变换 -m)与y=f(m-x)(m>0)的图象关于直线x=m y=/x)">0 “个单位 对称 a<0, 1a1个单位y=/八x-a): 6个单位 (3)若f(a+x)=f(b-x),对任意x∈R恒成立，则y y=f八x) 6>0 b<0. 61个单位y=/八x)+6. 3.伸缩变换 =)的图象关于直线x=“对称 0<创<1，图象上所有点的纵坐标不变 横坐标 为原来的。倍 (4)函数y=f(a+x)与函数y=f八b-x)的图象关于 y=f八x) 标因象上所有装钢坐标不度 y=f(am) 直线￥2对称 为原来的■ 倍 A>1,图象上所有点的横坐标不变 (5)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线 纵坐标 为原来的A侣 y=f八x) 0<A<1,图象上所有点的横坐标不变， y=Af(x). x=a对称 纵坐标 为晾来的 (6)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点 4.对称变换 y=八x)关于箱对称 (a,b)中心对称. y=(x)关于y轴对称 2.函数图象平移变换八字方针 y= (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量， 关于原点对称 y=f八x) y (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值 双基自测 A.y=f(lxl) B.y=If(x)I C.y=f(-lx1) D.y=-f(lxl) 题组一走出误区 5.（必修1PT改编)函数f(x)的图象向右平移1个 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 单位长度，所得到的图象与函数y=e的图象关于y “×”) 轴对称，则f八x)= () (1)函数y=f(2x+1)由y=f(2x)左移1个单位得 A.e+ B.e-1 到 (2)函数y=f1-x)的图象，可由y=f八-x)的图象 C.e-+1 D.e--1 向右平移1个单位得到 题组三走向高考 (3)当x∈(0，+)时，函数y=1f(x)1与y= 6.(2022·全国甲卷)函数y=(3-3-)c0sx在区间 (1x)的图象相同. [-受，引的图象大致为 () (4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对 称 ( (5)若函数y=(x+2)是偶函数，则有f(x+2) f八-x-2). (6)若函数y=f八x)满足八x+1)=1-x),则函数 y=八x)的图象关于直线x=1对称. ( 题组二走进教材 2.（必修1Ps练习T1改编)函数y=logx与函数y= log1x的图象关于 对称；函数y=a与y= (日的图象关于 对称：函数y=logx与函 数y=2的图象关于 对称 7.(2022·全国乙，8,5分)下列四个函数中的某个函 3.(必修1PmT2改编)为了得到函数f八x)=logx的图 数在区间[-3,3]的大致图象如图，则该函数是 象，只需将函数g(x)=log。的图象向 必 复习 移3个单位.将函数f(x)=logx左移2个单位得到 解析式为y= 学 4.(必修PT1改编)已知图甲中的图象对应的函数 047 y=(x),则图乙中的图象对应的函数在下列给出的 四式中只可能是 -x3+3x A.y= x-x x2+1 B.y=2+1 C.y=2xens x2+1 D.y=2sin a x2+1 考点突破·互动探究 喜点 函数的图象 (4)y=1log2x-1川 喜问1利用图象变换作图一自主练透 例作出下列函数的图象： (1)y=21-1: 2y品 3=(分“： 名师点拨：函数图象的画法 角度3知图选图 1,直接法：当函数解析式（或变形后的解析式）是 例(2023：荆州质检)若函数y=x)的曲线如图所 示，则函数y=(2-x)的曲线是 () 熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图 象的关键点直接作出。 2.转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值 符号，转化为分段函数来画图象 3.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的 图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图 象变换作出 易错提醒：L,画函数的图象一定要注意定义域 2.利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直 接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变 D 换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。 名师点拨：函数图象的识辨可从以下几方面 喜向2识图与辨图一师生共研 入手 角度！知式选图 1.从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数 的值域，判断图象的上下位置。 048 例函数x)=nc(受+2x)的图象可能为 2.从函数的单调性，判断图象的变化趋势。 2025 3.从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 4.从函数的周期性，判断图象的循环往复， 年度到 5.从函数的特征点，排除不合要求的图象。 【变式训练】 新设计 1.（角度1)(2024·准安模拟)已知函数f(x）= 1x-1,则八x)的图象大致是 x(e"-e-") (） 中学案 角度2知图选式 例(2023·天津，4,5分)函数x)的图象如图所示. 则八x)的解析式可能为 ( 2.(角度2)已知函数f(x)的 图象如图所示，则f(x)的解 析式可能是 ( Af八x）=x2(e-2) A.f(x)=5(e'-e-) B.f(x)=5sin x B.f()=x2-2+e x2+2 x2+1 c号 C.nx)=5(e'te) x2+2 D.Rx)=5cosx x2+1 D.fx)=(x2-2)e 3.(角度3)已知函数y=(x)的部分图象如图所示，则角度3利用函数图象研究不等式 函数y=22在[-，m]上的大致图象为 例设奇函数八x)在(0，+)上为增函数，且) 0,则不等式x)二-)<0的解集为() ( A.(-1,0)U(1,+0) B.(-,-1)U(0,1)】 C.(-,-1)U(1,+0) D.(-1,0)U(0.1) [引申]若将“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”, 不等式x)+-<0的解集为 名师点拨： 1,利用函数的图象研究函数的性质 对于已知解析式，易画出其在给定区问上图象的 函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、 极值： (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性： (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周 期性. 2.利用函数的图象研究不等式思路 当不等式间题不能用代数法求解，但其与函数有 高夸 关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系 喜向3函数图象的应用一多维探究 问愿，从而利用数形结合求解 角度」函数图象的对称性 总 例1(2018·课标全国Ⅲ，7)下列函数中，其图象与 【变式训练】 1.（角度1)已知f八x)=ln(1-x),函数g(x)的图象与 函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是 八x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式 ( 为 A.y=ln(1-x)】 B.y=In(2-x) 049 C.y=In(I+x) D.y=In(2+x) 2.(角度1)设函数y=八x)的定义域为实数集R,则函 2.已知函数f代2x+1)是奇函数，则函数y=f八2x) 数y=八x-1)与y=八1-x)的图象关于 ( 的图象关于下列哪个点成中心对称？ ( A直线y=0对称 B.直线x=0对称 A.(1.0) B.(-1.0) C.直线y=1对称 D.直线x=1对称 c(20) n(-0) 3.(角度2)（多选题）已知函数八x)=lgx,则( A.f八x)是偶函数 [小题巧解]用特殊，点的对称性解决函数图象 B.f八x)值域为[0，+) 的对称性问题 C.f(x)在(0，+)上递增 角度2利用函数图象研究函数性质 例多选题)(2022·福建厦门月考)对任意两个实 D.f八x)有一个零点 数a,b,定义mina,b= 者-2 4.（角度3)函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函 数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式 x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x) x2<0的解集为 C0 的说法正确的是 A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有三个解 C.函数F(x)在区间[-1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 名师讲坛·素养提升 利用数形结合思想解题 受+2×受=m故选B 函教仁=子+1=文上构 解法二：特例：令f八x)=x+1,则m=2,又y1+为 =2,∴选B. 一个单位得到，关于(0,1)点对称 名师点拨： 函数y二f(x)关于点(0,1)对标 求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结 合思想解题，其思维流程一般是： 例 (2016·课标lL,12)已知函数fx(x∈R 满起f--2-f,若函数=生与y=树 通过作图法或函数图象变换法画出有关！ 画图 函数的图象 图象的交点为(x).(化2》.，xmm, 准确分析函数图象的特征，定性分析、定 烟三任加 (B) 二分析 量分析 4.0 B.m C.2m D.4m 借助函数图象，把原问题转化为数量关系 三转化 令标出通数后和=生的图象都关 比较明确的间题 050 于点(0,1)对称，进而得两函数图象的交 :解块问题，并回归题目的要求，得出正确 四结论 点成对出现，且每一对交点都关于点(0， 结论 2025 1)对称，从而特出结论 【变式训练】 函数y=lnlx-1I的图象与函数y=-2csmx(-2 度 [解析]解法一：由f(-x)=2-f(x)可知f代x) ≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于() 新 A.3 B.6 C.4 D.2 计 的图象关于点(0,1)对称，又易知y=华：1+士的 温馨提示：复习至此，请完成练案[12] 图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出 现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，宫（无+） 第八讲 函数与方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 3.函数零点的判定（零点存在性定理】 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 知识点一函数的零点 不断的一条曲线，并且有 ,那么函数y=f(x) L.函数零点的定义 在区间(a,b)内有零点，即存在ce(a,b),使得 对于函数y=f八x)(xeD),把使 成立的 ,这个c也就是方程f代x)=0的根 实数x叫做函数y=代x)(x∈D)的零点 知识点二二分法 注：函数的零点不是点.是函数代x)与x轴交点的 1.对于在区间[a,b]上连续不断且 的函 横坐标，而不是y=(x)与x轴的交点 2.几个等价关系 数y=八x),通过不断地把函数八x)的零点所在的区间 方程f八x)=0有实数根一函数y=(x)的图象与 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而 有交点一函数y=f(x)有」 得到零点近似值的方法叫做二分法当t=0时，-1≤0恒成立，即keR: [解析】(1)将y=2:的图象向左平移1个单位长度，得到y 当1e0.2时f产-21-1≤6at≥-241--2。 =2的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y= 21-1的图象，如图①. 令g0）=1-}-2,则只舞k≥g(e)m, 1 由于=，y=-均在(0,2]上单调道增，所以g0)=1- 2在(0,2]上单调递增 所以g()=g(2)=2- -2所以 综上，实数k的取值范国为-2，+} 第七讲函数的图象 知识梳理·双基自测 （2y吕1+先作出y=子的国象，将共图象向右平 知识梳理 知识点 参一个单位长度，再向上平移一个单位长度，即得=号的 2.右移左移上移下移 图象，如图② 3.伸长缩短 伸长缩短A w (3)作出y=()的图象，保留)=（分）广的图象中≥0的 4.-fx)f八-x)-f-x) 部分，再作)=(2】 图象中x>0的部分关干y轴的对称图 5.x)f(x) 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)×(6)V 象，即得y=(2）广的图象，如图③ 2.x轴y轴y=x 3.上l0g2(x+2) 4.C由图可知当x≤0时，y=f孔x),故选C 5.D依题意八x)的图象可由y=e的图象关于y轴对称后，再向 左平移1个单位长度得到六y:心美干，轴附称y:。 向左平移1个单位长度 yse(sef)=e 6A解法一（特值法）：取x=1,则y=(3-m1=学m1> 0:取=-1，则y=(兮-3m(-)=-号m1<0结合选 (4)先作出y=1gx的图象，再将其图象向下平移一个单位长 度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方， 项知选A 即得y=1logx-1|的图象，如图④. 解法二：令y=f八x),则f八-x)=(3·-3)cs(-x)=-(3- 考向2 3“)csx=-x),所以函数y=(3-3)csx是奇函数，排角度1 除B,D:取l,则y=3-=1=弩m1>0,排除C故 例：A函数)=nllm(受+2-hlln2,定文城为 选A. xlx0,f(-x)=In Ixlsin(-2x)In lxl sin 2x 7.A由题图可知，当x=3时，y<0 -fx),所以f八x)为奇函数.排除B、D:当0<x<1时，nlx1< 对于当3时多号 0，故排除B. 0,sin2x>0.所以八x)>0,排除C.故选A. 角度2 对于D,号<3<in3>0, 例：D由题图可知八x)为偶函数，而选项A,B中的函数均为奇 当3时y 函数，所以排除A,B.又因为选项C中，《x)=(©+。>0 x2+2 >0,故推除D. 恒成立，故排除C,故选D. 对于C,当0<x≤1时0<csx<1,x+1≥2x, 角度3 01 例：C解法一：先关于y轴对称，得到y=f八-x)的图象，再向右 平移两个单位，即可得到y=∫[-(x-2)门=2-x)的图象.所 心<1，由题图可知当0<x<1时，函数的最大值】 以答案为C(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针 对整个式子变化)， 大于1，故排除C.故选A 解法二：由0)=0知y=f八2-x)的图象过点(2,0)，排除B 考点突破·互动探究 D.又八1)=2-1)>0即y=(2-x)在x=1处的函数值大于 考点 0,排除A.故选C 考向1 变式训练 例：[分析】（1)将y=2的图象左移一个单位得到y=2的图LD函数x)=C的定义域为xx≠±1仪-x)= 象再下移一个单位得到y=2-1的图象： lxl -1 13 (2)化简y=+2 产一将y=是的图象右移1个单位后 二(e二=x),则()为偶函数，其图象关于y轴对称， 1xl-1 再上移1个单位得到y的图象： 可排除A:由f代x)=0,可得x=0,可排除C:当0<x<1时，x -1<0,e'-e>0,则尺x)<0,可排除B.故选D (3)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧： 2.D由图象可得，(0)<0，可排除A,而C中，x2≠2，即x≠ (4)将y=lgx的图象向下平移1个单位一→y=g2-1的图 ±v2,故排除C,又当x>0时.函数存在极小值点，对于B:(x) 象→+将y=Og,x-1的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y =2x+,(x>0),得(x)>0,则x)在(0，+）上不存在极 =ogx-1的图象 值点，故排除B.故选D, -443 3,C由函数图象的伸缩变换可得结论，先将函数y=爪x)的图象 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图 Q因为八)为阀函数三sx也是倒函数，所以了=巴为供 象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数 函数，所以四<0的解集为(-是，-(1，) Cos T y=2之的图象.根据y=八x)的部分图象可知，只有选项C 名师讲坛·素养提升 符合.故选C 变式训练 考向3 B由图象变换的法则可知，y=nx的图象关于y轴对称后的 角度1 图象和原来的一起构成y=n1x|的图象，向右平移1个单位长 例I:B解法一：y=-nx图象上的点P(1.0)关于直线x=1的对 度得到y=lnlx-11的图象：y=-2csmx的周期T=2.如图所 称点是它本身，则点P在y=nx图象关于直线x=I对称的 示，两函数的图象都关于直线x=1对称，且有3对交点，每对交 图象上，结合选项可知，B正确.故选B. 点关于直线x=1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3=6. 解法二：设O(x,y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线 y中 x=1的对称点P(2-x,y)在函数y=nx图象上 '.y=n(2-x).故选B 例2：Cf(2x+1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而 (2x)的图象是由(2x+1)的图象向右平移)个单位得到 的，故关于点（宁0成中心对称 角度2 例：ABD根据函数f(x)=2-x2与 gx)=x,画出函数F(x）=in/x), 练案[12] g(x)的图象，如图.由图象可知， 函数F(x)=minf),g(x)关 A组基础巩固 -2 于y轴对称，所以A项正确：函数 1,A将y=2图象右移3个单位得到y=2'的图象，再向下平 F(x)的图象与x轴有三个交点 移一个单位得到y=23-1的图象.故选A 所以方程F(x)=0有三个解，所 2B利用函数的奇偶性挂除选项C和D,当0<x<牙时代x)> 以B项正确：函数F(x)在(-e, -1门上单调递增，在[一1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递 0,排除选项A,可得正确结论.函数「(x)定义域为R 增，在[1，+）上单调递减，所以C项错误，D项正确.故 选ABD m子---到- e1+w(-x) 角度3 例：D)为奇函数，)=-<0=<0=x)<0,由 =+e0=-x)一八x)是奇函数，图象关于原点对称，排 1-e 题意可知爪x)的大致图象如图所示，所以所求不等式的解集 除选项C和D:当0<x<受时，x)>0,排除选项A:放选B 为(-1.0)(0.1) 3.D由图象可得f(0)=1,可排除选项B:由图象可得f(x)的图 象有两条渐近线x=±1，可排除选项A:由/()>0，可排除选 项C,故选D 4.C将函数f八x)=xlx-2x去掉绝对值，得 ）=r,2xx20 -x2-2x.x<0 [引申] 画出函数八x)的图象，如图所示，观察图象可 (-,-1)U(0,1 知.函数八x)的图象关于原点对称，故函数 变式训练 八x)为奇函数，且在(-1,1)上单调递减 1.g(x)=-ln(x-1设P(x,y)为函数y=g(x)上任意一点，则 5.C由y=x)的图象关于x轴对称，得到y=-f八x)的图象，再 点P(x,y)关于点(1,0)的对称点Q(2-x,-y)在函数y=f尺x) 向左平移1个单位长度，得到y=一八x+1)的图象.故选C 图象上，即-y=f八2-x)=n(x-1),所以y=-n(x-1),所以 6.A因为八x)是定义在[-5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函 g(x)▣-ln(x-1). 数性质得f八x)>0的解集为[-5，-2)U(2,5],f(x)<0的解 2.D解法一：设t=x-1,则y=f()与y=f八-)，关于t=0对 集为(-2,2)，当xe[-5,5]时，sinx>0的解集为[-5，-π】 称，即关于x=1对称故选D. 解法二：y=风x-1)与y=1一x)的图象分别由y=f八x)与y= U(0,).nx<0的解集为(-0)U(5],不等式日<0 爪-x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y=(x)与y= 八-x)的图象关于y轴对称，所以y=八x-1)与y=八1-x)的 等价于之8或58由8解得e(- 图象关于直线x=1对称.故选D 3.BD画出f(x)=gx1的函数图象如 y -2)U(:1.曲伦8解得e0,2,所以不等式侣 sin x 图，由图可知，《x)既不是奇函数也不 x)=llg x 是偶函数，故A错误：(x)值域为[0 0的解集为(-m,-2)U(0,2)U(m,5] 7.A由图象可知y=(x)的图象关于y轴对称，是偶函数，y= +),故B正确：/x)在(0，I)上单嗣 g(x)的图象关于原点对称，是奇函数且定义域为|x1x≠0！，所 递减，在(1，+∞)上单调递增，故C错 以y=八x)·g(x)的定义域是x1x≠0，且是奇函数，排除B 误：f(x)有一个零点，故D正确，故 选BD. C:又当xe(0,）时x)>0,g(x)<0,所以x)·8(x)<0, 4.(-受，-u(1,2）在(0，）)上，y=ms*>0,在 排除D.满足题意的只有A.故选A. 8.Cf八x)=log1xl的解的个数，等价于y=f八x)的图象与函数y (受上=<由)的图象知，在，号）上思 =gIx|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x+2) =八x), 444